如何利用行列配对快速验证一个矩阵是否是另一个矩阵的逆矩阵？

适用条件

• 给定两个相同维度的方阵。
• 需要验证它们的乘积是否为单位矩阵。

理解与推导

1. 识别第一个矩阵的行和第二个矩阵的列。
2. 选择第 $i$ 行和第 $j$ 列。
3. 计算第 $i$ 行和第 $j$ 列的点积。
4. 检查当 $i=j$ 时结果是否为 1，当 $i \neq j$ 时结果是否为 0。
5. 对所有组合重复此操作以完全验证，或在选择题环境中使用特定组合来排除选项。

例子

为了验证 $C = \begin{bmatrix} c' & a' & b' \\ f' & d' & e' \\ i' & g' & h' \end{bmatrix}$ 是否是 $N = \begin{bmatrix} g & h & i \\ a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix}$ 的逆矩阵，检查 $(2,2)$ 元素：$N$ 的第二行是 $[a\ b\ c]$，$C$ 的第二列是 $\begin{bmatrix} a' \\ d' \\ g' \end{bmatrix}$。它们的点积是 $aa' + bb' + cc'$，等于 1，因为它是 $AA^{-1}=I$ 的 $(1,1)$ 元素。检查 $(1,2)$ 元素：$N$ 的第一行是 $[g\ h\ i]$，$C$ 的第二列是 $\begin{bmatrix} a' \\ d' \\ g' \end{bmatrix}$。它们的点积是 $ga' + hd' + ig'$，等于 0，因为它是 $AA^{-1}=I$ 的 $(3,1)$ 元素。

容易误解的地方

• 假设只检查对角线元素就足以证明一个矩阵是逆矩阵，而不验证非对角线元素是否为零。
• 认为候选矩阵中包含相同的元素集合就自动使其成为逆矩阵。

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相关概念

继续追问

• 为什么交换原矩阵的行需要交换逆矩阵的列？
• 这种行重排的置换矩阵表示是什么？
• 为什么这道题的答案是选项 (5)？

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