$\bar{f}(x) = x^4 + 2x^3 + x^2 + x + 1$ 在 $Z_3$ 上的完全因式分解是什么？

$\bar{f}(x)$ 在 $\mathbb{Z}_3$ 上的完全因式分解是 $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 2x + 2)$。这是通过求值识别线性因子 $(x-1)$ 和 $(x+1)$，执行多项式除法找到二次因子，并验证其不可约性来得到的。

\bar{f}(x)

在

\mathbb{Z}_3

上的完全因式分解是

(x - 1)(x + 1)(x^2 + 2x + 2)

。这是通过求值识别线性因子

(x-1)

和

(x+1)

，执行多项式除法找到二次因子，并验证其不可约性来得到的。

适用条件

在 0, 1, 2 处求值 $\bar{f}(x)$ 以寻找根。 $\bar{f}(1)=0$ 和 $\bar{f}(2)=0$ ，给出因子 $(x-1)$ 和 $(x-2) \equiv (x+1)$ 。
将线性因子相乘： $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ 。
将 $\bar{f}(x)$ 除以 $x^2 - 1$ 得到剩余因子 $x^2 + 2x + 2$ 。
检查 $x^2 + 2x + 2$ 在 $\mathbb{Z}_3$ 中是否有根。没有，所以它是不可约的。
组合因子得到完全因式分解。

旁白指出，“f-bar 在 $Z_3$ 上的完全因式分解是 (x - 1)( $x + 1$ )( $x^2 + 2x + 2$ )。”