← 全部问题为什么 G-不变内积的存在确保了 G-不变子空间的正交补也是 G-不变的？
如果
W 是
G-不变子空间且内积是
G-不变的，那么对于任意
y∈W⊥ 和
g∈G，向量
ρ(g)y 仍然与
W 中的每个
w 正交。这可以通过将
(ρ(g)y,w) 重写为
(y,ρ(g−1)w) 来展示。由于
W 是不变的，
ρ(g−1)w∈W，且由于
y∈W⊥，内积为零。因此，
ρ(g)y∈W⊥，证明了
W⊥ 是
G-不变的。
适用条件
- W⊆V 是一个 G-不变子空间（对所有 g∈G，ρ(g)W⊆W）。
- V 上的内积 (⋅,⋅) 是 G-不变的（(ρ(g)v,ρ(g)w)=(v,w)）。
- W⊥={y∈V∣(y,w)=0 对所有 w∈W}。
理解与推导
- 取任意的 y∈W⊥ 和 g∈G。
- 固定任意的 w∈W。
- 利用表示性质将 w 写为 ρ(g)(ρ(g−1)w)。
- 应用 G-不变内积条件得到 (ρ(g)y,w)=(y,ρ(g−1)w)。
- 注意到 ρ(g−1)w∈W，因为 W 是 G-不变的。
- 得出 (y,ρ(g−1)w)=0，因为 y∈W⊥。
- 推断 ρ(g)y∈W⊥，所以 W⊥ 是 G-不变的。
例子
视频通过展示链条 (ρ(g)y,w)=(ρ(g)y,ρ(g)ρ(g−1)w)=(y,ρ(g−1)w)=0 来证明这一点，利用了 W 和内积的不变性。
容易误解的地方
- 假设任何内积都能使正交补不变；内积的不变性至关重要。
- 在将群作用从一个参数转移到另一个参数时，忘记使用逆元素 g−1。
相关问题
认识概念↗ 分块对角矩阵形式表示表示 ρ 在不变子空间 W 和 W⊥ 上分解为独立的子表示。当 V=W⊕W⊥ 且两个和项都是 G-不变时，在此直和的适应基下，ρ(g) 的矩阵具有零非对角块，意味着 W 上的作用不与 W⊥ 上的作用混合。
适用条件：V=W⊕W⊥ 是一个直和分解。；W 和 W⊥ 都是 G-不变子空间。；V 的基被选为 W 和 W⊥ 基的并集。
认识概念↗ 表示空间 V 上的群不变内积由以下条件定义：将相同的群元素 g 作用于两个向量不会改变它们的内积。数学上，这表示为对所有 g∈G 和所有 v,w∈V，有 (ρ(g)v,ρ(g)w)=(v,w)。
适用条件：V 是带有内积 (⋅,⋅) 的向量空间。；ρ:G→GL(V) 是一个表示。；该条件必须对所有 g∈G 和所有 v,w∈V 成立。
理解原因↗ 分解终止是因为表示空间的维数是有限的。在每一步，都会分离出一个真非零的 G-不变子空间 W，留下一个互补的不变子空间 W⊥。
适用条件：V 是有限维向量空间。；W 是 V 的真非零 G-不变子空间。；内积是 G-不变的，确保 W⊥ 也是 G-不变的。
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