下鞅和上鞅有什么区别？

在时间 $N$ 具有终端收益 $V_N$ 的衍生品的风险中性定价公式为 $V_n = \mathbb{E}_n\left[\frac{V_N}{(1+r)^{N-n}}\right]$。这意味着时间 $n$ 的价格是折现终端收益的条件期望。

适用条件：在风险中性定价设定中使用。；折现使用因子 $(1+r)^{N-n}$。；$V_N$ 是时间 $N$ 的收益，$V_n$ 是时间 $n$ 的价格。

恒定期望属性指出，鞅的无条件期望不随时间变化，并保持等于其初始值。形式上，对于所有 $n$，有 $\mathbb{E}[M_n] = M_0$。

适用条件：适用于离散时间设定中的所有时间 $n$。；这是无条件期望，而不是条件期望。

上涨的风险中性概率 $p$ 使用公式 $p = \frac{(1+r)-d}{u-d}$ 计算。给定 $r = 0.1$，$u = 1.2$ 和 $d = 0.9$，计算为 $p = \frac{1.1 - 0.9}{1.2 - 0.9} = \frac{0.2}{0.3} = \frac{2}{3}$。

适用条件：具有一期二项式模型，包含上涨因子 $u$，下跌因子 $d$ 和利率 $r$。；$u > 1+r > d$ 以确保 $0 < p < 1$。

随机变量序列 $M_0, M_1, \ldots, M_N$ 是一个鞅，如果它是适应的，并且对于所有 $n = 0, 1, \ldots, N - 1$ 满足条件 $M_n = \mathbb{E}_n[M_{n+1}]$。这意味着在给定所有先前信息的情况下，下一个变量的期望值恰好等于当前变量的值。

适用条件：序列必须是适应的，意味着 $M_n$ 仅依赖于前 $n$ 个事件。；等式必须对所有时间步 $0$ 到 $N-1$ 成立。

时间一致性意味着鞅的未来值的期望，在以今天可用的信息为条件的情况下，总是等于今天的值。形式上，对于所有 $n \le m$，有 $M_n = \mathbb{E}_n[M_m]$。

适用条件：适用于所有满足 $n \le m$ 的时间对。；期望是以时间 $n$ 的信息为条件的。