为什么反转一对元素会产生不同的排列而不是不同的组合？

首先，从 4 个盒子中选出 2 个空盒子，有 $C_4^2$ 种方法。然后，将 4 个不同的球分配到剩余的 2 个非空盒子中，且这两个盒子都不能为空。

适用条件：球是不同的。；盒子是不同的。；必须恰好有两个盒子为空，这意味着另外两个必须非空。

对于不重复的选择，组合数使用二项式系数公式 $\binom{n}{r}=n!/[r!(n-r)!]$ 进行计算。该公式计算了从 $n$ 个元素的集合中选择 $r$ 个不同元素的方法数，其中顺序不重要。

适用条件：选择不重复。；元素是不同的。；选择中顺序不重要。

要计算可重复组合数（忽略顺序且允许重复），可以使用公式 $\binom{n+r-1}{r}$。这计算了从 $n$ 种不同类型中选择 $r$ 个对象的方法数。

适用条件：允许重复。；顺序不重要。；有 $n$ 种不同类型的对象。；你正在选择恰好 $r$ 个对象。

我们除以 $r!$ 是因为排列计数包含了每个所选组的所有可能的内部排序。由于组合是无序选择，这些内部排序是多余的。

适用条件：选择不重复。；最终计数中顺序不重要。