为什么数字上的普通相等关系是等价关系？

朴素条件 $r_1s_2 = s_1r_2$ 是不够的，因为在一般的交换环中，元素可以被 $S$ 的非零元素湮灭。细化条件要求存在某个 $t \in S$ 使得 $t(r_1s_2 - s_1r_2) = 0$，这考虑了零因子现象并确保等价关系是良定义的。

适用条件：$R$ 是一般的交换环（不一定是整环）。；$S \subset R$ 是乘法闭的。

不，使用像 10、7 和 13 这样的特定数字的数值演示仅仅是一个说明性的例子，而不是适用于所有整数的严格正式证明。

适用条件：演示使用了特定的数值。；正式证明需要将性质推广到所有整数。

自反性通过展示任何数字都与自身相关来演示，具体来说，10 mod 3 等于 10 mod 3。

适用条件：该关系定义为模 3 的余数相等。；该性质要求每个元素都与自身相关。

传递性通过展示如果第一个数字模 3 的余数与第二个数字相同，且第二个数字与第三个数字的余数相同，那么第一个数字与第三个数字的余数也相同来展示。

适用条件：该关系是模 3 的余数相等。；该性质要求如果 x 与 y 相关且 y 与 z 相关，则 x 与 z 相关。

对称性通过展示如果一个数字模 3 的余数与另一个数字相同，那么第二个数字模 3 的余数也与第一个数字相同来演示。

适用条件：该关系是模 3 的余数相等。；该性质要求如果 x 与 y 相关，则 y 也与 x 相关。