为什么形式为 (x,0,-x) 的向量集被认为是子空间？

完美地位于前两个向量形成的平面上的第三个向量没有提供新的方向自由度。从数学上讲，它是冗余的，因为它可以写成其他两个向量的线性组合。

适用条件：三维空间中存在三个向量；前两个向量是线性无关的（非平行）；第三个向量位于前两个向量张成的平面内

添加一个以一定角度伸出平面的第三个向量，使得整个二维薄片可以在空间中上下滑动。随着三个自由变化的标量（$a\vec{v} + b\vec{w} + c\vec{u}$），张成空间从平面扩展为涵盖三维体积中的每一个可设想点，有效地填满了整个三维空间。

适用条件：始于两个张成一个平面的线性无关向量；引入一个不在该平面内的第三个向量

一组向量的张成空间由所有这些向量的线性组合构成。它是一个包含该集合的子空间，且任何包含这些向量的其他子空间也必须包含它们的张成空间。

适用条件：集合由一个或多个向量组成。；线性组合涉及标量乘法和向量加法。

要构成基，一组向量必须既线性无关又张成目标空间。线性无关意味着每个向量都贡献了一个不能被其他向量重建的全新维度。

适用条件：向量属于目标向量空间；集合是最小的（没有冗余向量）

两个任意非共线向量 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 的线性组合是通过将每个向量乘以一个标量（$a$ 和 $b$）并将它们相加（$a\vec{v} + b\vec{w}$）形成的。如果允许两个标量在所有实数范围内连续变化，这些组合向量的尖端将扫过二维平面上的每一个可能的点。

适用条件：两个向量 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 是非共线的（指向不同方向且不位于同一直线上）。；标量 $a$ 和 $b$ 在所有实数范围内连续变化。