如果后来将这对 $(p,v)$ 等同于 $v$，为什么还要在 $(p,v)$ 中保留点 $p$？

基点 $p$ 仍然很重要，因为它决定了输出对中使用的线性映射 $Df(p)$。导数取决于求导的点。

适用条件：适用于基点导数 $df_p(v) = (q, Df(p)v)$。

$\mathbb{R}^3$ 上的向量场为每个点 $p$ 分配一个属于该点切空间 $T_p\mathbb{R}^3$ 的向量 $v$。

适用条件：此示例中的周围空间是 $\mathbb{R}^3$。

点 $p$ 处的切空间被定义为有序对 $(p,v)$ 的集合，其中第二个元素 $v$ 遍历所有的 $\mathbb{R}^n$。第一个槽位记录基点，第二个槽位记录向量部分。

适用条件：$p \in \mathbb{R}^n$；$v \in \mathbb{R}^n$

基点导数 $df_p$ 是从 $p$ 处的切空间到 $q=f(p)$ 处的切空间的映射。它将切向量 $v$ 映射到对 $(q, Df(p)v)$，将普通导数与目标基点打包在一起。

适用条件：$U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个开子集。；$f : U \to \mathbb{R}^m$ 且 $f \in C^1$。；$q = f(p)$。

$p$ 处的余切空间是 $p$ 处切空间的对偶空间。它被写成 $\operatorname{Hom}(T_p\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$，因为它由从切空间 $T_p\mathbb{R}^n$ 到域 $\mathbb{R}$ 的所有线性映射组成。

适用条件：$p$ 是一个基点。