余切空间 $T_p$^* $R^n$ 是什么，为什么写成 Hom($T_p R^n$, R)？

适用条件

• $p$ 是一个基点。

理解与推导

1. 识别切空间 $T_p\mathbb{R}^n$。
2. 将余切空间 $T_p^*\mathbb{R}^n$ 定义为对偶空间 $(T_p\mathbb{R}^n)^*$。
3. 将对偶空间表示为线性映射集 $\operatorname{Hom}(T_p\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$。

例子

幻灯片将 $T_p^*\mathbb{R}^n = (T_p\mathbb{R}^n)^*$ 定义为切空间的对偶，然后将其展开为 $\operatorname{Hom}(T_p\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$，即从 $p$ 处的切空间到域 $\mathbb{R}$ 的线性映射空间。

容易误解的地方

• 认为余切空间与切空间相同。
• 假设映射的目标是 $\mathbb{R}^n$ 而不是 $\mathbb{R}$。

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继续追问

• 对于一般流形 M 和域 F，余切空间的定义如何变化？
• 范畴论中自然变换的正式定义是什么？

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