你想弄懂什么？

我们创建一个 $2 \times 2$ 矩阵，其中第一列记录 $\hat{i}$ 落在哪里的坐标，第二列记录 $\hat{j}$ 落在哪里的坐标。这个矩阵完整地表示了线性变换。

适用条件：在二维空间中工作。；知道 $\hat{i}$ 和 $\hat{j}$ 的像。

实际增量 $\Delta z$ 测量的是曲面上真实的高度变化，计算为新函数值减去参考值。全微分 $dz$ 测量的是在相同输入位移下切平面的高度变化。

适用条件：输入从参考点 $(x_0, y_0)$ 发生了位移 $(\Delta x, \Delta y)$。；函数在参考点处可微。

要直接求解，需隔离 $n$。首先，注意为了使误差有定义且为正，我们通常考虑 $n > \sqrt{3}$。

适用条件：$\varepsilon > 0$。；$n > \sqrt{3}$ 以确保分母为正。；求解 $\frac{9}{n^2-3} < \varepsilon$。

矩阵加法是通过将对应位置的元素相加来执行的。如果两个矩阵的行数和列数相同，它们的和是一个新矩阵，其中每个位置 $(i,j)$ 的元素等于原矩阵中该位置元素的总和。

适用条件：两个矩阵必须具有相同的维度（相同的 $m \times n$）。

复合矩阵 $A \circ B$ 的第 j 列是 B 的第 j 列在 A 下的像。要找到缺失列，需识别 B 中的对应列，将其视为输入向量，并对它应用变换 A。

适用条件：A 是由矩阵表示的线性变换。；列被读取为 A 定义域中的向量。

三角不等式表明，对于任何实数 $L$，从 $L$ 到 $1$ 的距离与从 $L$ 到 $-1$ 的距离之和至少为 $2$。这意味着这两个距离中至少有一个必须大于或等于 $1$。

适用条件：数列为 $a_n = (-1)^n$。；$L$ 是任意实数。；$\varepsilon$ 选择为 $1$。

通过将高度为 $2\pi r$ 的条带沿半径轴排列，它们的顶部形成一条线性图。当分割宽度趋于零时，阶梯函数近似收敛于直线 $y=2\pi x$ 下方的面积。

适用条件：函数 $f(r) = 2\pi r$ 是线性的；分割宽度 $\Delta r \to 0$

要开始求 $\gcd(1701, 3768)$ 的欧几里得算法，需将较大的数（3768）放在除法方程的左边，将较小的数（1701）作为除数。写出 $3768 = 1701 \cdot q + r$。

适用条件：输入是正整数。；较大的数首先用在方程的左边。；商是整数，且余数满足 $0 \le r < 1701$。

引言建立了一个以原点为中心的网格状球体的三维笛卡尔坐标系。黄色箭头表示表面的外法向量 $\vec{n}$，红色箭头说明了分布的向量场 $\vec{F}$。

适用条件：可视化以原点为中心的球体；清晰区分表面法向量和场向量

一旦有了完整的导数曲线，你可以在可见窗口内选择任何想要的 $x$ 坐标，垂直向上或向下看以与橙色抛物线图相交，并将那个确切的垂直高度解释为原始蓝色曲线在同一 $x$ 处切线的斜率。

适用条件：导数曲线跨越连续的绘图区域。；需要认识到导数图的垂直位置编码的是斜率，而不仅仅是 $f$ 本身的函数输出。

为了比较这两个分数，需调整它们使分子相同。将 $4/9$ 的分子和分母同时乘以 2，得到 $8/18$。

适用条件：比较两个正的真分数或假分数；其中一个分子是另一个分子的倍数

要找到变换后区域的面积，需将原始面积乘以变换矩阵行列式的绝对值。公式为：$\text{新面积} = \text{旧面积} \cdot |\det(A)|$。

适用条件：变换是线性的并由 $2\times 2$ 矩阵表示。；原始面积已知。；在标准正交坐标中使用普通欧几里得面积。