你想弄懂什么？

要计算定积分 $\int_0^{\ln 2} e^u \sqrt{1+e^u} \, du$，令 $x = 1 + e^u$，则微分关系为 $dx = e^u \, du$。将积分限从 $u=0$ 和 $u=\ln 2$ 转换为 $x=2$ 和 $x=3$，原积分变为 $\int_2^3 \sqrt{x} \, dx$。求出原函数 $\frac{2}{3}x^{3/2}$ 并在新限处求值，最终结果为 $2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$。

适用条件：积分是定积分，限为 $u=0$ 到 $u=\ln 2$。；被积函数是 $e^u \sqrt{1+e^u}$。；使用换元 $x = 1 + e^u$。

要计算定积分 $\int_0^{\ln 2} e^u \sqrt{1+e^u} \, du$，令 $x = 1 + e^u$，则微分关系为 $dx = e^u \, du$。将积分限从 $u=0$ 和 $u=\ln 2$ 转换为 $x=2$ 和 $x=3$，原积分变为 $\int_2^3 \sqrt{x} \, dx$。求出原函数 $\frac{2}{3}x^{3/2}$ 并在新限处求值，最终结果为 $2\sqrt{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3}$。

适用条件：积分是定积分，限为 $u=0$ 到 $u=\ln 2$。；被积函数是 $e^u \sqrt{1+e^u}$。；使用换元 $x = 1 + e^u$。

为了推导 $\varphi(p^k)$，我们需要计算从 1 到 $p^k$ 中与 $p^k$ 互质的整数个数。一个整数与 $p^k$ 不互质，当且仅当它与 $p^k$ 有共同的质因数。

适用条件：$p$ 是质数。；$k$ 是正整数（由上下文暗示）。；计数范围是从 1 到 $p^k$（包含两端）。

为了推导 $\varphi(p^k)$，我们需要计算从 1 到 $p^k$ 中与 $p^k$ 互质的整数个数。一个整数与 $p^k$ 不互质，当且仅当它与 $p^k$ 有共同的质因数。

适用条件：$p$ 是质数。；$k$ 是正整数（由上下文暗示）。；计数范围是从 1 到 $p^k$（包含两端）。