你想弄懂什么？

光滑流形 $M$ 上的黎曼度量 $g$ 是一个光滑协变 2-张量场，使得对于每个点 $p \in M$，其值 $g_p$ 是切空间 $T_pM$ 上的内积。它是对称且正定的。

适用条件：$M$ 是光滑流形。；$g$ 是光滑协变 2-张量场。；对于每个 $p \in M$，$g_p$ 是 $T_pM$ 上的内积。；对所有 $v \in T_pM$，$g_p(v,v) \ge 0$。；当且仅当 $v = 0$ 时，$g_p(v,v) = 0$。

光滑流形 $M$ 上的黎曼度量 $g$ 是一个光滑协变 2-张量场，使得对于每个点 $p \in M$，其值 $g_p$ 是切空间 $T_pM$ 上的内积。它是对称且正定的。

适用条件：$M$ 是光滑流形。；$g$ 是光滑协变 2-张量场。；对于每个 $p \in M$，$g_p$ 是 $T_pM$ 上的内积。；对所有 $v \in T_pM$，$g_p(v,v) \ge 0$。；当且仅当 $v = 0$ 时，$g_p(v,v) = 0$。

协变 2-张量场在光滑函数环上是线性的。如果 $X, Y$ 是向量场，$f, h$ 是光滑函数，那么 $g(fX, hY) = f h g(X,Y)$。

适用条件：$g$ 是协变 2-张量场。；$X, Y$ 是向量场。；$f, h$ 是光滑函数。

协变 2-张量场在光滑函数环上是线性的。如果 $X, Y$ 是向量场，$f, h$ 是光滑函数，那么 $g(fX, hY) = f h g(X,Y)$。

适用条件：$g$ 是协变 2-张量场。；$X, Y$ 是向量场。；$f, h$ 是光滑函数。

协变张量场以向量为输入，并输出一个标量数。在黎曼度量的背景下，它作用于给定切空间中的向量对。

适用条件：张量场是协变的。；输入是切空间中的向量。；输出是标量。

协变张量场以向量为输入，并输出一个标量数。在黎曼度量的背景下，它作用于给定切空间中的向量对。

适用条件：张量场是协变的。；输入是切空间中的向量。；输出是标量。

流形 $M$ 的切丛 $TM$ 定义为 $M$ 中每个点 $p$ 的切空间 $T_pM$ 的不交并。符号上，$TM = \bigsqcup_{p \in M} T_pM$。

适用条件：$M$ 是光滑流形。；$T_pM$ 是点 $p$ 处的切空间。

流形 $M$ 的切丛 $TM$ 定义为 $M$ 中每个点 $p$ 的切空间 $T_pM$ 的不交并。符号上，$TM = \bigsqcup_{p \in M} T_pM$。

适用条件：$M$ 是光滑流形。；$T_pM$ 是点 $p$ 处的切空间。