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基点导数 $df_p$ 是从 $p$ 处的切空间到 $q=f(p)$ 处的切空间的映射。它将切向量 $v$ 映射到对 $(q, Df(p)v)$，将普通导数与目标基点打包在一起。

适用条件：$U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个开子集。；$f : U \to \mathbb{R}^m$ 且 $f \in C^1$。；$q = f(p)$。

基点导数 $df_p$ 是从 $p$ 处的切空间到 $q=f(p)$ 处的切空间的映射。它将切向量 $v$ 映射到对 $(q, Df(p)v)$，将普通导数与目标基点打包在一起。

适用条件：$U$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个开子集。；$f : U \to \mathbb{R}^m$ 且 $f \in C^1$。；$q = f(p)$。

$p$ 处的余切空间是 $p$ 处切空间的对偶空间。它被写成 $\operatorname{Hom}(T_p\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$，因为它由从切空间 $T_p\mathbb{R}^n$ 到域 $\mathbb{R}$ 的所有线性映射组成。

适用条件：$p$ 是一个基点。

$p$ 处的余切空间是 $p$ 处切空间的对偶空间。它被写成 $\operatorname{Hom}(T_p\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$，因为它由从切空间 $T_p\mathbb{R}^n$ 到域 $\mathbb{R}$ 的所有线性映射组成。

适用条件：$p$ 是一个基点。

对于域 $F$ 上的光滑流形 $M$，$p$ 处的余切空间定义为 $\operatorname{Hom}(T_pM, F)$。前面的 $\mathbb{R}^n$ 例子可以通过取 $M = \mathbb{R}^n$ 和 $F = \mathbb{R}$ 来恢复。

适用条件：$M$ 是一个光滑流形。；$F$ 是流形所在的域。

对于域 $F$ 上的光滑流形 $M$，$p$ 处的余切空间定义为 $\operatorname{Hom}(T_pM, F)$。前面的 $\mathbb{R}^n$ 例子可以通过取 $M = \mathbb{R}^n$ 和 $F = \mathbb{R}$ 来恢复。

适用条件：$M$ 是一个光滑流形。；$F$ 是流形所在的域。