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单调收敛定理指出，每个有界的实数单调数列都收敛。因此，为了使用该定理证明收敛，必须建立有界性和单调性作为必要的假设条件。

适用条件：数列由实数组成。；目标是使用单调收敛定理证明收敛。

单调收敛定理指出，每个有界的实数单调数列都收敛。因此，为了使用该定理证明收敛，必须建立有界性和单调性作为必要的假设条件。

适用条件：数列由实数组成。；目标是使用单调收敛定理证明收敛。

该证明使用数学归纳法。首先，通过检查 $a_1=1 \ge \frac{1}{2}$ 来验证基础情况。

适用条件：数列由 $n \ge 1$ 时的 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$ 定义。；初始值为 $a_1=1$。；目标是证明对于所有 $n \ge 1$，$a_n \ge \frac{1}{2}$。

该证明使用数学归纳法。首先，通过检查 $a_1=1 \ge \frac{1}{2}$ 来验证基础情况。

适用条件：数列由 $n \ge 1$ 时的 $a_{n+1}=\frac{1}{3}(a_n+1)$ 定义。；初始值为 $a_1=1$。；目标是证明对于所有 $n \ge 1$，$a_n \ge \frac{1}{2}$。