绝对值方程——如何求解（学习代数1）

1. 声音
   观察依据

   教师指出，竖直线条表示绝对值。

2. 公式
   观察依据

   白板示例使用如 |2x-3|、|$x+5$|、|x-4| 和 |x-10| 这样的记号。

| $\cdot$ |

绝对值；表示括号内数量到零的距离。

竖线内的实数值表达式。

1. 公式
   观察依据

   所演示的方程为 3|x-4|+$2=14$，代数拆分时使用 $x-4=4$ 或 $x-4=-4$。

x

未知实数，该数到 4 的距离是本例中待求解的量。

实数。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写有 |x - TARGET VALUE| = EQUATION。

2. 声音
   观察依据

   在示例 |x-4|=4 中，教师将 4 解释为数轴上的参考点。

TARGET VALUE

绝对值表达式中的参考点；|x-a| 表示 x 与 a 之间的距离。

实数参考点。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写有 |x - TARGET VALUE| = EQUATION。

2. 声音
   观察依据

   教师通过分正、负两种情况来求解 |x-4|=4。

1. 黑板上写的单词 EQUATION 是非正式用法，指等式右边的常数或目标距离，而非完整的等式。

EQUATION

孤立绝对值方程中等号右边的数值；被理解为到目标值所需的距离。

在有解的情况下，为非负实数。

1. 图示
   观察依据

   画出一条数轴，在“到零的距离”下方标出 -2、0 和 2 的位置。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 |-2|=2 和 |2|=2。

-2, 0, 2

选取样例点，说明 -2 和 2 都与 0 相距两个单位。

数轴上的位置。

1. 公式
   观察依据

   代数演算最终得出 $x=8$ 和 $x=0$，并用圆圈标出。

2. 图示
   观察依据

   方程 |x-4|=4 的数轴表示中，0 和 8 分别标记在 4 左侧和右侧各四个单位处。

$x=8$, $x=0$

例题方程 3|x-4|+$2=14$ 经过移项化简为 |x-4|=4 后所得的解。

实数。

1. 公式
   观察依据

   在所有例题中，竖线表示绝对值，例如 |2x-3|、|$x+5$|、|x-4| 和 |x-10|。

|$\cdot$|

括号内表达式的绝对值。

实值代数表达式。

1. 公式
   观察依据

   未知变量 x 出现在全部四个例题方程及其求解步骤中。

x

每个方程中待求解的未知实数。

实数。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，需将含绝对值的方程拆分为两个方程，并在二者之间使用“或”。

2. 公式
   观察依据

   书面解答中，在所得的两个线性方程或两个解之间使用“或”。

$\text{ or }$

用于连接正情况方程与负情况方程（或其解）的逻辑析取。

用于方程之间以及解的数值之间。

1. 声音
   观察依据

   教师说：“我直接用 h 表示高度。”

2. 公式
   观察依据

   他在方程 |h - 120| = .25 以及由此得到的两个线性方程中都写入了 h。

h

篮球筐的实际高度（单位换算后，以英寸为单位）

实数；本题中表示以英寸为单位的物理高度

1. 声音
   观察依据

   教师指出目标高度为 10 英尺，并将其换算为 120 英寸。

2. 公式
   观察依据

   数字 120 出现在 |h - 120| = .25 中，也出现在 h - 120 = .25 或 h - 120 = -.25 中。

120

以英寸为单位表示的篮球筐目标高度

以英寸为单位的常量长度

1. 声音
   观察依据

   教师说偏差为 .25，并解释篮筐高度与目标值的偏差不得超过 .25 英寸。

2. 公式
   观察依据

   数字 .25 出现在 |h - 120| = .25 的右侧，也作为 +.25 和 -.25 出现在拆分后的方程中。

.25

允许的目标高度绝对偏差（单位：英寸）

以英寸为单位的正的常量长度

1. 声音
   观察依据

   教师指出，绝对值表示一个数到零的距离。

2. 公式
   观察依据

   黑板上列出：绝对值：|-2|=2 和 |2|=2。

3. 图示
   观察依据

   一条标有“到零的距离”的数轴，标出 -2、0 和 2，并用等长线段标示它们到零的距离相等。

竖直的双竖线表示绝对值。对任意实数而言，它的绝对值就是它在数轴上到零的距离。由于距离是非负的，因此 |-2| 和 |2| 都等于 2，且在这些例子中，取绝对值的结果为正数。

1. 适用于绝对值符号内的实数或实值表达式。

2. 所表示的量是距离，因此是非负的。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，第一步是将含绝对值的部分单独分离出来，即从外向内逐步化简。

2. 公式
   观察依据

   黑板上将方程 3|x-4|+$2=14$ 通过两边减去 2、再除以 3，变形为 |x-4|=4。

求解含绝对值的方程时，首先消去绝对值符号外部的运算。以例题 3|x-4|+$2=14$ 为例，两边同时减去 2，得到 3|x-4|=12；再两边同时除以 3，从而分离出 |x-4|=4。

1. 在方程两边同时使用逆运算。

2. 目标是将绝对值表达式单独留在等式的一侧。

1. 绝对值即到零的距离

1. 声音
   观察依据

   教师解释道：减号表示差，而几何中差即距离，因此某个数与4之间的距离为4个单位。

2. 公式
   观察依据

   分离后的方程为 |x-4|=4。

3. 图示
   观察依据

   以4为中心的数轴上，标出其左侧和右侧各4个单位处的解。

像 |x-4| 这样的表达式表示 x 与4在数轴上的距离。方程 |x-4|=4 要求找出那些到4的距离恰好为4个单位的数。

1. x 被视为数轴上的一个实数。

2. 将等式右侧解释为一个距离。

1. 绝对值即到零的距离

1. 声音
   观察依据

   教师说要将该方程拆分为两个方程：一个对应正的情形，另一个对应负的情形。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $x-4=4$ 或 $x-4=-4$，然后解得 $x=8$ 和 $x=0$。

当绝对值表达式已被分离后，令其内部表达式分别等于右侧的正值与负值。对于 |x-4|=4，这给出 $x-4=4$ 或 $x-4=-4$。分别解这两个方程，即可得到两个可能的解。

1. 必须先将绝对值表达式单独分离出来。

2. 必须同时考虑正、负两种情况，因为应用绝对值之前，内部表达式的值可能为负。

1. 求解前先分离出绝对值表达式
2. 将 |x-a| 解释为到 a 的距离

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出：绝对偏差：|x - 目标值| = 方程。

2. 声音
   观察依据

   教师将例题 |x-4|=4 与到目标值的距离联系起来。

1. 黑板上标注的“方程”是非正式说法；从数学角度看，它实际充当的是右侧的距离值。

黑板总结了绝对值方程的结构：|x - 目标值| = 方程。用文字表述即：x 与某个目标值之间的距离等于一个指定的量。在本例中，目标值是4，指定的距离是4。

1. 用作解释绝对值方程的模板。

2. 若期望存在实数解，则等式右侧应为非负数。

1. 将 |x-a| 解释为到 a 的距离

1. 声音
   观察依据

   ‘取绝对值后得到负值。因此这个方程实际上无解。’

2. 公式
   观察依据

   黑板上的问题①是 |2x-3| = -2，教师在其下方写下‘NO SOLN.’。

视频指出，如果一个方程要求绝对值表达式等于负数，则该方程无解。这一点在题目①中直接演示：|2x-3| = -2被标注为“NO SOLN”（无解）

1. 等式右边为负数。

2. 等式左边是一个绝对值表达式。

1. 声音
   观察依据

   ‘那么这道题，我们要把它拆成两个方程：$x + 5$ 等于 3，或者 $x + 5$ 等于 负 3。’

2. 公式
   观察依据

   在题目②下方，黑板上显示 $x+5=3$ 或 $x+5=-3$。

当绝对值表达式已在等式一侧单独存在，且等于一个非负常数时，教师通过将其重写为两个独立的一次方程来求解：一个对应正的常数，另一个对应该常数的相反数。

1. 绝对值表达式已单独位于等式一侧。

2. 等式另一侧的常数是非负的。

1. 绝对值不可能等于负数

1. 声音
   观察依据

   ‘现在代数的好处在于，你可以检验自己的答案：把解代回去，负 2 加 5 得到 3，3 的绝对值是 3；负 8 加 5 得到 负 3，负 3 的绝对值仍得到正 3。’

求解完成后，教师将每个候选解代入原绝对值方程，计算绝对值以验证其正确性。

1. 在通过分两种情况讨论得到候选解后使用。

1. 将已分离的绝对值方程拆分为两种情况

1. 声音
   观察依据

   “同样，我们的目标是让绝对值内的部分单独留在等号一侧。因此我将从外向内，逐次施行逆运算。”

2. 公式
   观察依据

   对于题目③，黑板上显示先减去2，再乘以-1，然后才进行分情况讨论。

对于绝对值外围还有其他运算的方程，教师首先逐步施行逆运算，消除这些外部运算，使绝对值表达式单独呈现，然后再分为两个方程求解。

1. 绝对值表达式最初并未被隔离出来。

2. 必须使用逆运算来消除外部运算。

1. 将已分离的绝对值方程拆分为两种情况

1. 公式
   观察依据

   白板右侧有一条带星号的注释：绝对偏差：|X - 目标值| = 偏差。

1. 应用题本身仅在本片段结尾处被引入；本段内未展示完整的建模过程或求解过程。

黑板上给出了一般性的绝对偏差问题建模公式：某变量量与目标值之差的绝对值等于允许的偏差。

1. 用于涉及偏离目标值的文字应用题。

1. 将已分离的绝对值方程拆分为两种情况

1. 声音
   观察依据

   教师介绍了“这个绝对偏差方程”，并说明x是变量，目标值是你希望达到的数值，而差值即为偏差。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示：绝对偏差：|x - 目标值| = 偏差。

视频呈现了一个用于建模“围绕目标值存在容差”这类情境的公式：实际变量与目标值之差的绝对值等于允许的偏差。用语言描述，偏差表示实际值偏离目标值的程度。

1. 变量、目标值和偏差必须使用相容的单位来表达。

2. 此处偏差被用作一个非负的、允许偏离目标值的距离。

1. 声音
   观察依据

   教师朗读了关于将篮球筐安装在10英尺高度、且绝对偏差为.25英寸的应用题。

2. 公式
   观察依据

   黑板文字显示：你想将篮球筐安装在10英尺的高度，且绝对偏差为.25英寸。请写出一个绝对值方程来建模该情境，并求解。

方法是将容差表述转化为一个绝对值方程：将实际量与目标量作比较，允许的误差则成为绝对值方程等号右侧的值。

1. 题目给出了目标值和绝对偏差。

2. 所要求的模型是一个绝对值方程。

1. 绝对偏差公式

1. 声音
   观察依据

   教师指出，取绝对值的结果恒为正数。

2. 公式
   观察依据

   黑板上展示 |-2|=2 和 |2|=2。

3. 声音
   观察依据

   临近结尾时，教师开始解释 |2x-3|=-2 是一道陷阱题，因为绝对值结果必然为正。

1. 口述表述使用了‘正数结果’；标准数学表述应为‘非负结果’，因为 |0| = 0。

对于所展示的例题，取绝对值得到的是一个非负的距离；教师将其表述为‘总是得到正数结果’。

1. 绝对值符号内的表达式是一个实数或实值表达式。

针对所展示的例题 |-2| 和 |2|，以及本课正在引入的一般性规则。

1. 公式
   观察依据

   黑板上列出例题①：|2x - 3| = -2。

2. 声音
   观察依据

   教师称其为一道‘陷阱题’，并开始说明：绝对值必须是正数，因此你绝不可能……

1. 该片段在教师说完句子或明确写出‘无解’之前就结束了。

2. 结论已被强烈暗示，但在所提供的片段中并未完整陈述。

方程 |2x - 3| = -2 被作为一道‘陷阱题’提出，因为绝对值不可能等于负数；因此它没有实数解。

1. 该方程定义在实数范围内。

2. 绝对值表达式已经单独位于等式一侧。

对于实数值的绝对值表达式，不存在实数 x 满足形如 |表达式| = 负数 的方程。

1. 声音
   观察依据

   “取绝对值时得到负数。因此这个方程实际上无解。”

2. 公式
   观察依据

   问题①是|2x-3| = -2，标记为无解（NO SOLN）。

若方程形式为|表达式| = c，且$c < 0$，则该方程无实数解。

1. c为负数。

2. 左边是一个绝对值表达式。

适用于实数值的表达式与常数。

1. 声音
   观察依据

   “我们将它拆分为两个方程：$x + 5$ 等于 3，或者 $x + 5$ 等于 负的 3。”

2. 公式
   观察依据

   黑板上将|$x+5$|=3重写为$x+5=3$或$x+5=-3$。

对于非负常数c，孤立方程|u| = c 的解法是分两种情况：$u = c$ 或 $u = -c$。

1. 绝对值表达式已分离。

2. c 大于等于 0。

其中 u 和 c 为实数。

1. 声音
   观察依据

   教师说：“偏差指的是你偏离了多少”，然后解释篮筐可能略高或略低，但偏离幅度不超过25英寸。

2. 公式
   观察依据

   黑板将 |x - 目标值| = 偏差 的右侧标注为“偏差”。

本课中，偏差指实际值与目标值之间的差额，无论实际值高于还是低于目标值。

1. 存在一个目标值。

2. 存在一个实际的变量值。

3. 该比较通过绝对值实现。

针对所建模情境中的变量与目标值

1. 公式
   观察依据

   板书上写出已分离的方程 |x-4|=4。

2. 图示
   观察依据

   画出一条数轴，标出 4，并用箭头或间距表示向左和向右各 4 个单位。

3. 声音
   观察依据

   教师指出答案可能是向右四个单位，也可能是向左四个单位，从而得到 0 或 8。

1. 公式

   $$3|x-4|+2=14$$
   解释

   从板书上写出的例题方程开始。

   步骤依据

   白板上给出的方程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$|x-4|=4$$
   解释

   在将绝对值表达式分离后，将其解释为一个距离等式。

   步骤依据

   两边同时减去 2，再除以 3，如前述代数步骤所示。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{distance between }x\text{ 且 }4=4$$
   解释

   将 |x-4| 读作 x 到 4 在数轴上的距离。

   步骤依据

   教师解释：‘减’表示差，而‘差’在几何中即表示距离。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x=4-4=0 \quad \text{or} \quad x=4+4=8$$
   解释

   向左移动 4 个单位，从 4 到达 0，或 4 向右移动 4 个单位，从 8。

   步骤依据

   固定距离相对于目标值的数轴解释。

   视频直接表达

几何法给出解 $x=0$ 和 $x=8$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写出 $x-4=4$ 或 $x-4=-4$，然后圈出 $x=8$ 和 $x=0$。

2. 声音
   观察依据

   教师表示他会采用代数方法，并将其拆分为两个方程。

1. 公式

   $$|x-4|=4$$
   解释

   从绝对值已单独分离的方程开始。

   步骤依据

   将 3|x-4|+$2=14$ 中的绝对值表达式分离后所得结果。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x-4=4 \quad \text{or} \quad x-4=-4$$
   解释

   将含绝对值的方程拆分为正的情形和负的情形。

   步骤依据

   若一个绝对值等于4，则其内部表达式可能为 +4 或 -4。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x=8$$
   解释

   通过在等式两边同时加上4来求解第一个线性方程。

   步骤依据

   等式加法性质应用于 $x-4=4$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x=0$$
   解释

   通过在等式两边同时加上4，解第二个线性方程。

   步骤依据

   对 $x-4=-4$ 应用等式的加法性质。

   视频直接表达

代数方法同样得出 $x=8$ 或 $x=0$，与数轴上的几何解法一致。

1. 声音
   观察依据

   教师验证了 $0-4=-4$，其绝对值为4；又验证了 $8-4=4$，其绝对值仍为4。

1. 公式

   $$|0-4|=|-4|=4$$
   解释

   将 $x=0$ 代入 |$x-4$| 并计算其绝对值。

   步骤依据

   直接代入，并依据绝对值表示到零点距离的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$|8-4|=|4|=4$$
   解释

   将 $x=8$ 代入 |$x-4$| 并计算其绝对值。

   步骤依据

   直接代入，并依据绝对值表示到零点距离的定义。

   视频直接表达

$x=0$ 和 $x=8$ 均满足 |$x-4$|=4。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 |$x+5$|=3，然后 $x+5=3$ 或 $x+5=-3$，进而得到 $x=-2$ 或 $x=-8$。

2. 声音
   观察依据

   教师讲解将方程拆分为两个方程，并分别求解。

1. 公式

   $$|x+5|=3$$
   解释

   从给定的绝对值方程出发。

   步骤依据

   黑板上的题目②。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x+5=3 \text{ or } x+5=-3$$
   解释

   将绝对值方程改写为两个线性方程。

   步骤依据

   对一个已分离的绝对值等于正数的情形，应用分情况讨论法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x=-2$$
   解释

   求解第一个线性方程。

   步骤依据

   两边同时减去 5，得到 $x+5=3$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x=-8$$
   解释

   求解第二个线性方程。

   步骤依据

   两边同时减去 5，得到 $x+5=-3$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x=-2 \text{ or } x=-8$$
   解释

   将两个结果合并为解集。

   步骤依据

   原绝对值方程在两种情况下均成立。

   视频直接表达

方程 |$x + 5$| = 3 的解为 $x = -2$ 或 $x = -8$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示：-1|x - 4| + $2 = -7$，接着是 -1|x - 4| = -9，然后是 |x - 4| = 9，再然后是 $x - 4 = 9$ 或 $x - 4 = -9$，最后得到 $x = 13$ 或 $x = -5$。

2. 声音
   观察依据

   教师讲解从外向内逐步求解：先减去 2，再乘以 -1，最后拆分为两个方程。

1. 公式

   $$-1|x-4|+2=-7$$
   解释

   从给定的方程出发。

   步骤依据

   黑板上的第③题。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-1|x-4|=-9$$
   解释

   移去左侧所加的常数项。

   步骤依据

   在方程两边同时减去 2。

   视频直接表达
3. 公式

   $$|x-4|=9$$
   解释

   使绝对值的系数变为正数。

   步骤依据

   两边同乘以 -1。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x-4=9 \text{ or } x-4=-9$$
   解释

   将已分离出的绝对值方程拆分为两个线性情形。

   步骤依据

   对右端为 9 的情况应用双情形法。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x=13$$
   解释

   求解第一个线性方程。

   步骤依据

   两边同时加上 4，得到 $x-4=9$。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x=-5$$
   解释

   求解第二个线性方程。

   步骤依据

   两边同时加上 4，得 $x-4=-9$。

   视频直接表达
7. 公式

   $$x=13 \text{ or } x=-5$$
   解释

   写出最终解集。

   步骤依据

   两种情形均满足原方程。

   视频直接表达

方程 -1|x-4|+$2=-7$ 的解为 $x=13$ 或 $x=-5$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上依次显示：5|x-10|-5=20，然后 5|x-10|=25，然后 |x-10|=5，然后 $x-10=5$ 或 $x-10=-5$，最后 $x=15$ 或 $x=5$。

2. 声音
   观察依据

   教师提示从外向内解题：先除以5，再拆分为两个方程。

1. 公式

   $$5|x-10|-5=20$$
   解释

   从给定的方程出发。

   步骤依据

   黑板上的第④题。

   视频直接表达
2. 公式

   $$5|x-10|=25$$
   解释

   将常数项移到等号右边。

   步骤依据

   等式两边同时加上5。

   视频直接表达
3. 公式

   $$|x-10|=5$$
   解释

   将绝对值表达式完全分离出来。

   步骤依据

   等式两边同时除以5。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x-10=5 \text{ or } x-10=-5$$
   解释

   拆分为两个一次方程。

   步骤依据

   应用双情况法，右端为5。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x=15$$
   解释

   求解第一个一次方程。

   步骤依据

   两边同时加上 10，得 $x-10=5$。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x=5$$
   解释

   解第二个线性方程。

   步骤依据

   两边同时加上 10，得 $x-10=-5$。

   视频直接表达
7. 公式

   $$x=15 \text{ or } x=5$$
   解释

   写出最终的解集。

   步骤依据

   两种情况均满足原方程。

   视频直接表达

方程 5|x - 10| - $5 = 20$ 的解为 $x = 15$ 或 $x = 5$。

1. 声音
   观察依据

   教师书写并口述设定 |h - 120| = 。25，然后解 h - 120 = 。25 或 h - 120 = -。25 两边同时加上 120 to both sides.

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 |h - 120| = .25，接着是 h - 120 = .25 或 h - 120 = -.25，再接着是 +$120 +120$，最后得出 $h = 120.25$ 和 $h = 119.75$。

1. 公式

   $$|h-120|=.25$$
   解释

   使用绝对偏差公式，其中 h 表示实际高度，120表示目标高度（单位：英寸），.25表示允许的偏差（单位：英寸）。

   步骤依据

   将10英尺换算为120英寸后，从公式 |x - 目标值| = 偏差 出发的建模步骤。

   视频直接表达
2. 公式

   $$h-120=.25 \ \text{or} \ h-120=-.25$$
   解释

   通过允许绝对值内部表达式等于 +.25 或 -.25，去掉绝对值符号。

   步骤依据

   绝对值定义为到零点的距离；等价地，当 b 为非负数时，|A| = b 意味着 $A = b$ 或 $A = -b$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$h-120+120=.25+120$$
   解释

   在第一个线性方程两边同时加上120。

   步骤依据

   等式的加法性质。

   视频直接表达
4. 公式

   $$h=120.25$$
   解释

   化简第一个方程，得到可能的最大高度。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达
5. 公式

   $$h-120+120=-.25+120$$
   解释

   在第二个线性方程两边同时加上120。

   步骤依据

   等式的加法性质。

   视频直接表达
6. 公式

   $$h=119.75$$
   解释

   化简第二个方程，得到可能的最小高度。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达

满足该方程的边界高度为 $h = 120.25$ 英寸 和 $h = 119.75$ 英寸。

1. 声音
   观察依据

   教师说最大高度可能是10英尺又四分之一英寸，而最小高度可能是119.75英寸。

1. 音频；口语解释中，上限采用英尺加英寸的表述方式，下限则仅用英寸表述。

1. 公式

   $$h=120.25\text{ in}$$
   解释

   这是高度。25 英寸高于 120 英寸目标。

   步骤依据

   它源自解方程 h－120＝.25。

   依据视频推导
2. 公式

   $$120.25\text{ in}=10\text{ ft }\tfrac14\text{ in}$$
   解释

   将120.25英寸改写为10英尺加四分之一英寸。

   步骤依据

   由于120英寸等于10英尺，因此额外的.25英寸即为四分之一英寸。

   依据视频推导
3. 公式

   $$h=119.75\text{ in}$$
   解释

   这是高度。25 英寸低于 120英寸目标值。

   步骤依据

   它源自解方程 h－120＝－.25。

   依据视频推导

解的数值代表允许的极限高度：比目标高10英尺$1/4$英寸，以及比目标低119.75英寸。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示了方程 3|$x-4$|+$2=14$ 及其完整求解过程。

2. 声音
   观察依据

   教师说：“我们来看一个例子，我来演示它是如何运作的。”

3. 图示
   观察依据

   围绕4的数轴用于表示解0和8。

解绝对值方程3|$x-4$|+$2=14$。

1. 方程：3|$x-4$|+$2=14$。

2. 未知量：实数 x。

3. 目标：找出所有满足该方程的 x。

将绝对值表达式单独分离出来，将其解释为距离方程，并通过几何与代数两种方法求解 x。

1. 公式

   $$3|x-4|+2-2=14-2$$
   解释

   两边同时减去2，以开始消去绝对值符号外部的运算。

   步骤依据

   针对 +2 项的逆运算；教师提示要由外向内逐步运算。

   视频直接表达
2. 公式

   $$3|x-4|=12$$
   解释

   减去2后，化简等式两边。

   步骤依据

   黑板上展示了算术化简过程。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{3|x-4|}{3}=\frac{12}{3}$$
   解释

   两边同时除以3，以分离出绝对值表达式。

   步骤依据

   乘以3的逆运算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$|x-4|=4$$
   解释

   该方程现在已化为绝对值单独在等号一侧的形式。

   步骤依据

   对上一步除法运算的化简。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x-4=4 \quad \text{or} \quad x-4=-4$$
   解释

   将绝对值单独在等号一侧的方程拆分为两个线性方程。

   步骤依据

   绝对值内部的表达式可以等于右侧数值的正值，也可以等于其负值。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x=8 \quad \text{or} \quad x=0$$
   解释

   在每个线性方程的两边同时加上4。

   步骤依据

   等式的加法性质。

   视频直接表达

$x=8$ 或 $x=0$。

教师验证两个解：|0-4|=|-4|=4，且|8-4|=|4|=4，因此两者均满足|x-4|=4。

1. 公式
   观察依据

   黑板上列出：① |2x-3|=-2。

2. 声音
   观察依据

   教师称其为一道陷阱题，并开始解释：绝对值的结果恒为非负数。

1. 讲解在教师明确说出“无解”之前被中断。

2. 本片段中未展示该例题的任何代数演算过程。

考虑黑板上标为①的方程 |2x-3|=-2。

1. 方程：|2x-3|=-2。

2. 绝对值表达式已经单独分离出来。

3. 等式右边为负数。

根据绝对值的含义，判断该方程是否存在实数解。

1. 公式

   $$|2x-3|=-2$$
   解释

   该方程要求某个绝对值等于 -2。

   步骤依据

   来自黑板的给定方程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$|\text{real expression}|\ge 0$$
   解释

   绝对值表示距离，不可能等于负数。

   步骤依据

   将绝对值定义为到零点的距离；讲师指出绝对值恒为正数。

   视频直接表达

在本片段中，讲师将其识别为一道陷阱题，并指出因等式右边为负数，该方程无解；但在片段结束前，未完整说出最终结论“无解”。

验证是概念性的：非负的绝对值不可能等于-2。

1. 公式
   观察依据

   黑板上的第①题是 |2x - 3| = -2，教师写下‘无解’。

2. 声音
   观察依据

   ‘因此这道题实际上无解。’

解方程 |2x - 3| = -2。

1. 方程：|2x - 3| = -2。

判断实数解是否存在。

1. 公式

   $$|2x-3|=-2$$
   解释

   观察该方程。

   步骤依据

   这是题目给出的问题。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{NO SOLN}$$
   解释

   得出该方程无解。

   步骤依据

   绝对值表达式不可能等于负数。

   视频直接表达

无解。

该结论直接源于绝对值的非负性。

1. 公式
   观察依据

   问题②是|$x+5$|=3，改写为$x+5=3$或$x+5=-3$，解为$x=-2$或$x=-8$，并用圆圈标出。

2. 声音
   观察依据

   教师分别求解这两个方程，再通过代入法逐一验证两个解。

解|$x+5$| = 3。

1. 方程：|$x+5$| = 3。

求满足该方程的所有实数x。

1. 公式

   $$x+5=3 \text{ or } x+5=-3$$
   解释

   将含绝对值的方程分为两种情况讨论。

   步骤依据

   对 |u| = c（其中 $c > 0$）使用两情况法。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x=-2$$
   解释

   解正向情况。

   步骤依据

   两边同时减去 5，得到 $x+5=3$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x=-8$$
   解释

   解负向情况。

   步骤依据

   两边同时减去 5，得到 $x+5=-3$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x=-2 \text{ or } x=-8$$
   解释

   写出解集。

   步骤依据

   两种情况均成立。

   视频直接表达
5. 公式

   $$|-2+5|=|3|=3$$
   解释

   检验第一个解。

   步骤依据

   将 $x = -2$ 代入原方程。

   视频直接表达
6. 公式

   $$|-8+5|=|-3|=3$$
   解释

   检验第二个解。

   步骤依据

   将 $x = -8$ 代入原方程。

   视频直接表达

$x = -2$ 或 $x = -8$。

代入得到两种情况下均有$3=3$。

1. 公式
   观察依据

   问题③为 -1|x-4|+$2=-7$，在黑板上变形为 |x-4|=9，再进一步变为 $x=13$ 或 $x=-5$。

2. 声音
   观察依据

   教师明确指出应从外向内运算，然后拆分为两个方程。

解方程 -1|x-4| + $2 = -7$。

1. 方程：-1|x-4| + $2 = -7$。

求所有实数解。

1. 公式

   $$-1|x-4|=-9$$
   解释

   两边同时减去2。

   步骤依据

   消去绝对值项外部的加法运算。

   视频直接表达
2. 公式

   $$|x-4|=9$$
   解释

   两边同时乘以 -1。

   步骤依据

   将绝对值表达式单独分离出来，并使其系数为正。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x-4=9 \text{ or } x-4=-9$$
   解释

   拆分为两个线性方程。

   步骤依据

   对 |x-4|=9 应用双情况法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x=13$$
   解释

   求解第一种情况。

   步骤依据

   两边同时加上 4，得到 $x-4=9$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x=-5$$
   解释

   求解第二种情况。

   步骤依据

   加上 4到等式 x-4=- 两边9。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x=13 \text{ or } x=-5$$
   解释

   写出最终答案。

   步骤依据

   两种情况均满足已分离绝对值的方程。

   视频直接表达

$x=13$ 或 $x=-5$。

教师指出，可将所得答案代回原方程进行验证。

1. 公式
   观察依据

   第④题为 5|x-10|-5=20，板书上先变形为 |x-10|=5，再进一步解得 $x=15$ 或 $x=5$。

2. 声音
   观察依据

   教师提示：先两边同除以 5，再拆分为两个方程，最后在每种情况下都给等式两边同时加上 10。

解方程 5|x-10| - $5 = 20$。

1. 方程：5|x-10| - $5 = 20$。

求所有实数解。

1. 公式

   $$5|x-10|=25$$
   解释

   等式两边同时加上 5。

   步骤依据

   消去绝对值项外部的减法运算。

   视频直接表达
2. 公式

   $$|x-10|=5$$
   解释

   等式两边同时除以 5。

   步骤依据

   将绝对值表达式单独放在等式一侧。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x-10=5 \text{ or } x-10=-5$$
   解释

   拆分为两个线性方程。

   步骤依据

   对 |x-10|=5 应用双情况法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x=15$$
   解释

   解第一种情况。

   步骤依据

   加上 10到等式 x-10= 两边5。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x=5$$
   解释

   解第二种情况。

   步骤依据

   加上 10到等式 x-10=- 两边5。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x=15 \text{ or } x=5$$
   解释

   写出最终答案。

   步骤依据

   两种情况均满足分离后的方程。

   视频直接表达

$x=15$ 或 $x=5$。

教师在解完两种情况后，表明解答已完成。

1. 声音
   观察依据

   教师朗读并口头求解篮球筐情境应用题。

2. 公式
   观察依据

   黑板上完整展示了从题目陈述到答案 h＝120.25 和 h＝119.75 的全部解题过程。

你想将篮球框安装在10英尺的高度，允许的绝对偏差为.25英寸。请写出一个绝对值方程来建模这一情况，并求解。

1. 目标高度 = 10英尺

2. 允许的绝对偏差 = .25英寸

3. 选用变量 h 表示实际高度

写出描述该情况的绝对值方程，并求解边界高度。

1. 公式

   $$10\text{ ft}=120\text{ in}$$
   解释

   将目标高度换算为英寸，使其与偏差单位一致。

   步骤依据

   列方程前需确保单位统一。

   视频直接表达
2. 公式

   $$|h-120|=.25$$
   解释

   令实际高度与目标高度之间的绝对差值等于允许的偏差。

   步骤依据

   应用绝对偏差公式 |x - 目标值| = 偏差。

   视频直接表达
3. 公式

   $$h-120=.25 \ \text{or} \ h-120=-.25$$
   解释

   将绝对值方程拆分为两个线性方程。

   步骤依据

   若 |A| = b 且 $b \ge 0$，则 $A = b$ 或 $A = -b$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$h=120.25$$
   解释

   通过在等式两边同时加上120，解第一个线性方程。

   步骤依据

   等式的加法性质与算术运算。

   视频直接表达
5. 公式

   $$h=119.75$$
   解释

   通过在等式两边同时加上120，解第二个线性方程。

   步骤依据

   等式的加法性质与算术运算。

   视频直接表达

h＝120.25 或 h＝119.75，分别解释为允许的最大高度与最小高度。

教师口头验证含义：将120.25描述为10英尺$1/4$英寸，将119.75英寸作为下限边界。

1. 图示
   观察依据

   右上方板书区域显示绝对值：|-2|=2，|2|=2，以及‘到零的距离’，并配有一条数轴，标有-2、0、2。

2. 声音
   观察依据

   教师指出，-2和2各自距零均为两个单位。

1. 标有-2、0和2的数轴

2. 标注 |-2|=2 和 |2|=2

3. 标题：到零的距离

1. 教师在绝对值示例与数轴之间做手势示意

2. 从0到-2的距离与从0到2的距离相等，这一关系在图中被视觉强调。

1. 零始终是参考点。

2. 距离解释适用于负数和正数两种输入。

图示表明，绝对值衡量的是到零的距离，因此-2和2的绝对值均为2。

1. 图示
   观察依据

   在例题下方另画一条数轴，标出 4，并将解分别置于其左右各四个单位处。

2. 声音
   观察依据

   教师指出，该数可能位于 4 右侧四个单位处，也可能位于其左侧四个单位处。

1. 数轴上有一些手写的小标签难以辨认，但口述讲解明确指出了关键数值为4、0和8。

1. 数轴在概念上以4为中心。

2. 标有0和8的刻度或标签。

3. 表示距离为 4 个单位，从 4。

1. 参考点从定义示例中的0变为了方程示例中的4。

2. 在4两侧对称地标识出两个解的位置。

1. 该方程仍表达一种距离条件。

2. 距离值保持为4个单位。

该直观模型表示 |x-4|=4 代入语句，即 x 是 4 个单位远离 4，得到 $x = 0$ 或 $x = 8$。

1. 图示
   观察依据

   从方程 |x-4|=4 出发，画出两条向下的箭头，分别指向两个方程：$x-4=4$ 和 $x-4=-4$。

2. 公式
   观察依据

   得到的解 $x=8$ 和 $x=0$ 被圈出。

1. 已分离的方程 |x-4|=4。

2. 两条向下延伸的分支。

3. 两个线性方程：$x-4=4$ 和 $x-4=-4$。

4. 被圈出的解：$x=8$ 和 $x=0$。

1. 一个含绝对值的方程被转化为两个独立的线性方程。

2. 每条分支各自独立求解。

1. 两条分支均源自同一个已分离的方程。

2. 正负两种情形被对称地处理。

该分支流程图展示了将含绝对值的方程标准地拆分为两种情形的解法。

1. 图示
   观察依据

   黑板布局为：左上角是课程标题6.5解绝对值方程，中左区域是四道编号的求解题，右侧是参考笔记，左下角是一道应用题提示。

1. 标题框：6.5解绝对值方程

2. 题目①–④

3. 右侧参考笔记

4. 左下角应用题提示

1. 教师按顺序在每道编号题下方书写解答。

2. 在45–70秒期间，画面切出至一个促销叠加层，随后返回同一块黑板。

1. 主黑板内容保持不变，始终显示同一组绝对值方程及参考注释。

2. 右侧注释在黑板出现时始终可见。

视觉布局将解题示例与概念性参考资料分隔开，使解题步骤能逐题清晰追踪。

1. 动画
   观察依据

   大约从45秒到70秒，黑板画面被替换成讲师站在纯色墙面前讲解的画面，画面中有一张红色促销卡片，上面写着“代数1视频课程：循序渐进的课程，共13章87讲！”。

1. 讲师位于纯色背景前

2. 红色课程广告卡片

1. 数学黑板在促销片段期间消失。

2. 促销结束后黑板重新出现，此前写下的解题过程仍保留在黑板上。

1. 促销片段期间未引入任何新的数学内容。

该时间段为插入在第二道例题与后续例题之间的非数学性质促销。

1. 图示
   观察依据

   白板占据整个背景，标题为6.5解绝对值方程，上方列有若干先前编号的例题，左下角为新出现的应用题，右下角为绝对偏差公式。

2. 动画
   观察依据

   教师先指向应用题，再指向公式，最后在应用题下方写出完整解答过程。

1. 标题6.5解绝对值方程

2. 先前已解的例题1–4

3. 应用题5

4. 绝对偏差公式

5. 求解 h 的手写解答步骤

1. 教师将注意力从书面应用题转向通用公式。

2. 接着，他在应用题下方写下 |h - 120| = .25。

3. 他补充两个分拆方程：h - 120 = .25 或 h - 120 = -.25。

4. 他在两个方程下方分别写下 +120 和 +120。

5. 他圈出最终答案：$h = 120.25$ 和 $h = 119.75$。

1. 整个片段中，黑板始终为静态的白板讲授场景。

2. 通用公式 |x - 目标值| = 偏差 在具体例题求解过程中始终保持可见。

视觉布局通过将公式置于例题旁，并在题目正下方直接推导解答，将通用的绝对偏差模型与具体应用题关联起来。

1. 动画
   观察依据

   讲解偏差概念时，教师在胸前高度附近用手势向上和向下比划。

1. 教师的手部动作

2. 关于偏差的口头讲解

1. 他的双手分别指向目标上方和下方，以示意两个相反的方向。

1. 在此手势过程中，目标本身并未被重新绘制。

这些手势直观地强化了绝对偏差的概念：误差可出现在目标值的上方或下方任一方向。

1. 公式
   观察依据

   黑板上的例题①是 |2x-3|=-2。

2. 声音
   观察依据

   教师指出这是一道陷阱题，因为绝对值恒为非负数，并开始说道：‘你永远不可能有……’

1. 视频片段在教师讲完明确结论前就结束了。

学生可能将 |2x-3|=-2 当作等式右侧是一个普通且允许的距离来求解。

由于绝对值表示距离且具有非负性，一个孤立的绝对值表达式不可能等于 -2。视频将此题呈现为一道陷阱题，并指出该方程无实数解，尽管最终话语被截断。

1. 声音
   观察依据

   教师解释说，需考虑两种情况，因为原式内部的表达式原本可能是负数，而绝对值会使其变为正数。

2. 公式
   观察依据

   黑板上将 |x-4|=4 拆分为 $x-4=4$ 或 $x-4=-4$。

学生可能只解 $x-4=4$，从而漏掉第二个解。

视频强调必须拆分为正、负两种情形，从而得到两个解：$x=8$ 和 $x=0$。

1. 声音
   观察依据

   “取绝对值后得到负数。因此这个方程实际上无解。”

2. 公式
   观察依据

   问题①明确标注为无解（NO SOLN）。

有人可能试图将形如 |2x-3| = -2 的方程，像处理普通可解方程那样直接拆分为两种情况。

视频指出：若绝对值表达式等于一个负数，则正确结论是无解。

1. 声音
   观察依据

   “同样，我们的目标是把绝对值内的部分单独分离出来。因此我将从外向内，通过执行逆运算来实现。”

有人可能在未先分离绝对值的情况下，就立即对形如 -1|x-4|+$2=-7$ 或 5|x-10|-5=20 的方程直接拆分为两种情况。

讲师强调应先消去外部运算，使绝对值表达式独立呈现，之后再将其拆分为两个方程。

1. 声音
   观察依据

   教师明确将10英尺换算为120英寸，并说明这样做的原因是偏差以英寸为单位，他希望单位保持一致。

有人可能直接将10与.25一起写入方程，而不进行单位换算。

目标高度必须重写为120英寸，以确保|h - 120| = .25中两项均以英寸为单位。

1. 声音
   观察依据

   教师指出篮筐可能略高或略低，但偏差不得超过.25英寸。

有人可能误以为偏差仅指过高。

这里的偏差指的是到目标值的距离，不考虑方向，因此绝对值方程会拆分为加号和减号两种情况。

1. 声音
   观察依据

   教师首先将绝对值定义为距离，然后指出解题的第一步是将绝对值部分单独分离出来。

在对方程应用隔离法之前，先将绝对值理解为距离。

1. 公式
   观察依据

   黑板上首先将3|x-4|+$2=14$变形为|x-4|=4，然后将|x-4|=4拆分为两个方程。

只有当绝对值表达式已被隔离后，才进行拆分为两个方程的操作。

1. 公式
   观察依据

   具体方程|x-4|=4与黑板模板|x - 目标值| = 等式相对应。

具体距离解释|x-4|=4被推广为模板|x - 目标值| = 等式。

1. 图示
   观察依据

   数轴法得出$x=0$和$x=8$。

2. 公式
   观察依据

   代数拆分法同样得出$x=8$和$x=0$。

几何数轴法与代数分情况讨论法对|x-4|=4得到相同的解。

1. 声音
   观察依据

   教师利用“绝对值必须为非负数”这一规则，解释为什么|2x-3|=-2是一个陷阱问题。

1. 结语在明确说出“无解”之前被截断。

利用绝对值的非负性，判定|2x-3|=-2在实数范围内不可能成立。

1. 声音
   观察依据

   讲师首先排除问题①，因其右侧为负数；随后针对问题②（右侧为正数）引入拆分法。

该片段对比了两种情形：|u| = 负数（无解）与 |u| = 正数（可通过拆分为两个方程求解）。

1. 声音
   观察依据

   “我们的目标是把绝对值内的部分单独分离出来”，随后再拆分为两个方程。

对于第③题和第④题，必须先将绝对值表达式单独分离出来，才能正确应用“分两种情况讨论”的解法。

1. 声音
   观察依据

   分情况求解后，讲师指出代数的一大优点是你可以检验答案，并将两个解分别代回原方程验证。

这种检验方法应用于通过分两种情况讨论所得出的解。

1. 公式
   观察依据

   右侧注释 |X - 目标值| = 偏差 与所演示的绝对值方程并列出现。

1. 该片段并未用此模板完整解答一个实际应用题；它仅展示了公式，并在结尾处提及存在一个实际应用题。

偏差模板是一种绝对值方程的应用形式，后续仍会使用相同的“先分离、再分情况讨论”思路来求解。

1. 声音
   观察依据

   教师先介绍绝对偏差公式，然后在篮球问题中应用该公式，使用变量 h、120 和 .25。

2. 公式
   观察依据

   黑板上的式子从 |x - 目标值| = 偏差 变为 |h - 120| = .25。

一般形式的绝对偏差公式，在篮球实例中通过将 x 替换为 h、目标值替换为 120、偏差替换为 .25 而具体化。

1. 公式
   观察依据

   已解出的例子 |h - 120| = .25 立即被重写为 h - 120 = .25 或 h - 120 = -.25。

利用拆分绝对值方程的方法来求解这个具体的篮球方程。

1. 声音
   观察依据

   教师先将 10 英尺换算为 120 英寸，再写出方程。

必须先进行单位换算，才能用统一的单位正确建立实际问题的数学模型。

1. 声音
   观察依据

   教师说明竖直短杠表示绝对值，也表示到零点的距离。

1. 绝对值即到零的距离

1. 声音
   观察依据

   教师指出，第一步是将绝对值部分单独隔离出来。

1. 求解前先分离出绝对值表达式

1. 声音
   观察依据

   教师解释说，要分正、负两种情形讨论，因为绝对值内部的表达式原本可能是负数。

1. 将已分离的绝对值方程拆分为两个线性方程
2. 拆解绝对值方程时遗漏负号情形

1. 图示
   观察依据

   以 4 为中心的数轴显示了解在 4 个单位长度的左侧和右侧。

1. 将 |x-a| 解释为到 a 的距离
2. 在数轴上几何求解 |x-4|=4
3. 表示 |x-4|=4 的数轴示意图。

1. 公式
   观察依据

   黑板上列出 |2x-3|=-2 作为一道陷阱题示例。

2. 声音
   观察依据

   教师开始讲解：绝对值的结果恒为非负数。

1. 视频片段中未完整听清明确的最终结论。

1. 右边为负数的绝对值方程没有实数解
2. 引入一个陷阱例题：|2x-3|=-2
3. 误以为绝对值可以等于负数

1. 声音
   观察依据

   “所以这道题实际上无解。”

2. 公式
   观察依据

   |2x-3| = -2 标注为无解（NO SOLN）。

1. 绝对值不可能等于负数
2. 当绝对值等于负数时，方程无解。
3. 例 1：|2x - 3| = -2 无解

1. 声音
   观察依据

   “我们将它拆成两个方程：$x + 5$ 等于 3，或者 $x + 5$ 等于负的 3。”

1. 将已分离的绝对值方程拆分为两种情况
2. 右侧为非负数时，产生两个线性情形。
3. 通过拆分为两个方程来求解 |$x+5$|=3。