数学建模 / 英语

微分方程的分岔

Duane Nykamp · YouTube · 9:57

YouTube · Duane Nykamp原视频

选中时刻 · 8:52 · 章节点是时间参考，不表示实时播放进度。

视频中的要点

01正在研究的自治常微分方程
02通过绘制函数 $f(z)$ 来分析该常微分方程
03原方程的平衡点

来自学习笔记

\frac{dz}{dt}=4z-z^3

正在研究的自治常微分方程

选中时刻

构建分岔图

建议预备知识

自治常微分方程
函数的零点
多项式的基本符号分析
一维向量场的定性解释
基础常微分方程
自治常微分方程的平衡解
从图像中读取符号变化
相线图
平衡点的稳定性
自治的一阶微分方程
平衡解
相线图
函数 $f(z)=0$ 的基本图像解释
微分方程中参数的概念
一阶常微分方程
平衡解的概念
基础稳定性分析（相线法）
三次函数及其根

阅读与收藏

把讲解展开来看。

被收藏 0

已审核学习内容 · 视频分析 · 中文

阅读完整概览

本160段时长为-秒的白板讲解分析标量自治常微分方程 $dz/dt =4z-z^3$ ，方法是绘制函数 $f(z) =4z-z^3$ ，并找出平衡点—2，0，以及2，并利用 f 在每个区间上的符号对——进行分类2 和 2 为稳定点，而 0 为不稳定点。随后将动力学行为简化为一条相线，并指出：初值条件高于 0 的解趋向于 2，而初值条件低于 0 的解趋向于－2。在最后部分，该方程被嵌入单参数族 $dz/dt$ ＝ $4z-z^3$ ＋c 中，原情形对应 c＝0，而 c＝1 的情形仅刚开始讨论，视频片段即结束。这段时长为 160 秒的黑板讲解，研究了一维微分方程 $dz/dt = 4z - z^3 + C$ ，其中参数 C 变化。讲解从已画出的 $C=0$ 情形出发，该情形下的平衡点列为：-2 和 2 是稳定的，0 是不稳定的；随后引入了平移后的函数 $f_0$ 、 $f_1$ 、 $f_2$ 和 $f_3$ ，分别对应 $C=0$ 、1、2、3。讲师利用纵向平移的三次曲线图像及其对应的相线说明：当 $C=1$ 时，平衡点仍为三个，稳定性顺序不变，但对称性消失；当 $C=2$ 时，左侧两个平衡点相互靠近，而右侧平衡点进一步右移；当 $C=3$ 时，左侧两个平衡点变得非常接近。在视频结尾，主讲人总结道： $C=0$ 、1、2、3 的相线在定性上均相似；随后开始转向 $C=4$ ，但在所提供的时间内未完成对该情形的分析。本片段分析了一维微分方程 $dz/dt=4z-z^3+C$ 随参数 C 变化的行为。借助函数 $f(z)=4z-z^3$ +常数的图像与相线，讲师指出：当 $C=4$ 时，两个平衡点消失，仅剩一个稳定的正平衡点，且它吸引所有初始条件。这种定性变化被定义为分岔，其临界值记为 C^*=3.079，它将含三个平衡点的情形与含一个平衡点的情形分隔开来。最后几秒开始将相线信息转化为竖直方向的分岔图，其中横轴为参数 C。本视频片段讲解微分方程 $dz/dt = 4z - z^3 + C$ 中的分岔现象。首先分析参数 C 取整数值（从 0 到 4）时的相线图，展示稳定与不稳定平衡点如何移动，并最终合并或消失。随后，主讲人将这些平衡点对参数 C 作图，构建出分岔图，呈现出稳定状态（实线）与不稳定状态（虚线）的连续曲线。其中识别出一个临界值 C* ≈ 3.079，在此处发生鞍结分岔，使平衡点数量由三个减少为一个。

在学习检查器中查看要点和时刻，或切换阅读标签查看完整笔记。

章节

0:00标题：微分方程的分支现象 0:04原常微分方程：

dz/dt = 4z - z^3

0:16绘制函数

f(z) = 4z - z^3

0:29平衡点位于 -2、0、2 0:37

dz/dt

的符号与箭头方向 0:55稳定与不稳定的平衡点 1:15相线总结 1:34由相线得出的长期行为 1:55引入参数 c 2:12原方程对应

c = 0

2:29开始分析

c = 1

的情形 2:40

C=0

的基准方程及其平衡点 2:58命名

f_0

并引入

C=1

3:27

C=1

对应的图像与相线 4:05增大至

C=2

4:30增大至

C=3

4:52比较

C=0

、1、2、3 5:13开始讨论

C=4

5:20参数化方程与图像族 5:28当

C=4

时，仅剩一个平衡点。5:54

C=4

对应的相线与全局吸引性。6:34分岔的定义。6:58临界值 C^*=3.079。7:43构建垂直分岔图。8:00分析

C = 0

至

C = 4

时的相线图 8:52构建分岔图 9:25定义分岔图与临界值

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

本片段以标题“微分方程的分支现象”开场，表明目标并非显式求解常微分方程，而是研究其定性动力学如何变化。

首先引入的数学对象是自治标量方程 $\frac{dz}{dt}=4z-z^3$ 。由于右端仅依赖于 $z$ ，其长期运动趋势可由该表达式的符号直接读出。

为分析该方程，主讲人将 $f(z)=4z-z^3$ 绘制在水平的 $z$ -轴上。该图像与横轴的交点即为平衡点；图像位于横轴上方或下方的部分则分别决定 $z$ 是增加还是减少。

该图像与横轴相交于三点，主讲人指出平衡点为 $z=-2$ 、 $z=0$ 和 $z=2$ 。这些正是该微分方程的常数解。

接下来，逐区间读取 $\frac{dz}{dt}$ 的符号：在 $z<-2$ 上为正，在 $-2<z<0$ 上为负，在 $0<z<2$ 上为正，在 $z>2$ 上为负。坐标轴上的紫色箭头编码了这些运动方向。

根据箭头模式，平衡点 $-2$ 和 $2$ 被归类为稳定，因为邻近的流向它们汇聚；而 $0$ 是不稳定的，因为邻近的流向它远离。黑板上记录为： $x_e=-2$ 和 $2$ （稳定）， $x_e=0$ （不稳定）。

随后，上述信息被压缩为相线图：一条一维坐标轴，在稳定平衡点处标以实心圆点，在不稳定平衡点处标以空心圆点。该图仅保留追踪运动所需的定性特征。

利用该相线图，主讲人陈述粗略的全局行为：任何位于 $0$ 之上的初始条件都将趋向于 $2$ ，而任何位于 $0$ 之下的初始条件都将趋向于 $-2$ 。位于 $0$ 处的不稳定平衡点将这两种吸引结果分隔开来。

接着，讨论从单个常微分方程转向含参方程族，写作 $\frac{dz}{dt}=4z-z^3+c$ 。主讲人强调 $c$ 是一个参数，因此 $c$ 的每一个固定取值都定义了一个不同的微分方程。

原方程被识别为特例 $c=0$ 。这将已完成的相线分析与后续用于分岔推理的更广泛方程族联系起来。

最后，主讲人通过选取 $c=1$ 开启一个新例子，并开始书写代入后的方程。本片段中仅呈现了 $c=1$ 情形的设定；其平衡点及稳定性分析在视频结束前尚未展开。

视频片段以一块白板开场，标题为“微分方程的分岔”。基础方程已写为 $dz/dt$ ＝ 4z － $z^3$ ，并标出 C＝0；平衡点列示为 $x_e$ ＝－2 和 2（稳定），以及 $x_e$ ＝0（不稳定）。一幅绿色的三次曲线图像及对应的相线图已存在，用以呈现参数未发生变化时的未扰动情形。

接着，主讲人通过在绿色公式右侧添加 +0，明确参数的作用，并将右侧记为 $f_0(z) = 4z - z^3$ 。这一命名方式为后续比较族方程 $dz/dt = 4z - z^3 + C$ 中的不同成员做好准备。

随后引入 $C=1$ 的情形。黑板上补充了特化方程 $dz/dt = 4z - z^3 + 1$ ，以及蓝色公式 $f_1(z) = 4z - z^3 + 1$ 。关键观察是： $f_1$ 与 $f_0$ 仅相差一个向上平移一个单位的垂直位移。

为直观呈现这一平移，画出一条位于绿色曲线之上的蓝色曲线。根据草图，主讲人得出结论： $C=1$ 方程仍具有三个平衡点，其中外侧两个稳定，中间一个不稳定。重要的定性变化在于：这些平衡点不再关于零点对称。

接着画出 $C=1$ 对应的相线。其箭头方向仍保持“稳定—不稳定—稳定”的模式，但所标注的平衡点位置发生了偏移：相较于 $C=0$ 的图像，两个稳定平衡点向右移动，而不稳定平衡点则向左移动。

参数再次增大至 $C=2$ 。新增公式 $f_2(z) = 4z - z^3 + 2$ ，同时添加一条进一步上移的曲线及另一条相线。口述解释指出：左侧两个平衡点彼此靠近，而右侧平衡点则进一步向右移动。

主讲人接着处理 $C=3$ ，用粉红色写出 $f_3(z) = 4z - z^3 + 3$ ，并绘制一条更高的三次曲线。对应的相线显示左侧两个平衡点已非常接近，暗示当 C 更大时可能发生更剧烈的变化，尽管本片段中并未明确展示二者合并。

当 $C=0$ 、1、2、3 的四条相线均已可见时，主讲人直接比较它们。结论是：这四种情形在定性上仍完全相同——每种都有三个平衡点，中间的不稳定，外侧两个稳定。

最后，主讲人宣布下一步将 C 增大至 4，并在片段末尾开始书写新公式。 $C=4$ 的分析未在所提供的 160 秒内完成。

黑板上展示了单参数族 $\frac{dz}{dt}=4z-z^3+C$ 。右侧绘制了若干不同加性常数（包括 $f_5(z)=4z-z^3+4$ ）对应的三次函数图像。关键思想在于：改变 $C$ 会改变整个微分方程，而不仅仅是一个表面细节。

焦点转向情形 $C=4$ 。主讲人指出，此时右端函数图像仅有一个平衡点。直观来看，曲线在负 $z$ 侧不再下弯至横轴，因此原先存在的两个平衡点已消失。

随后对正侧剩余的平衡点进行分类。由于在该根左侧 $f(z)$ 为正、右侧为负，故两侧轨线均朝其运动。因此，这个幸存的平衡点是稳定的。

为 $C=4$ 绘制一条相线以概括流向。该相线上在正侧有一个实心平衡点，且两侧箭头均指向该点。此图所编码的信息与函数图像一致，但以沿 $z$ -线的运动方式表达。

本讲将此情形与先前的情形 $C=0,1,2,3$ 进行对比。当 $C$ 处于该范围内时，足够负的初值将趋向于一个负值处的较低平衡点；而在跃变至 $C=4$ 后，该去向已不复存在。

因此，当 $C=4$ 时，长期行为变得简单得多：无论初值位于何处，解最终都趋于正平衡点。黑板上记为‘所有初值 $\to$ 正平衡点’。

这种随参数变化而发生的定性改变被称为分岔。此处给出的定义侧重行为表现而非词源：分岔是指由改变某个参数（如 $C$ ）所引发的微分方程动力学的剧烈变化。

主讲人明确指出了一个可能的误解：尽管“分岔”一词暗示着分裂，但本例并未展示平衡点彼此分离，而是两个平衡点消失了。术语仍适用，是因为相图发生了定性变化。

临界参数值记为 $C^*=3.079$ 。这是平衡点数量由三个变为一个的阈值。黑板将不同情形总结为： $C<C^* \Rightarrow 3$ 个平衡点和 $C>C^* \Rightarrow 1$ 个平衡点。

针对参数 $C=0,1,2,3,4$ 所呈现的一系列相线，是可视化该分岔现象的一种方式。每条水平线表示某一固定参数值对应的平衡点位置及箭头方向。

最后，讲师开始介绍第二种表示方法：将相线竖直放置，并用横轴表示参数 $C$ ，从而绘制出平衡点的值 $z$ 随参数变化的图像。这构成了标准的分岔图框架，尽管本片段中尚未画出实际的分支。

视频首先考察微分方程 $dz/dt = 4z - z^3 + C$ 。当参数 C 取值为 0 时，方程变为 $dz/dt = 4z - z^3$ 。令其等于零，解得平衡点位于 $z = 0$ 、 $z = 2$ 和 $z = -2$ 。相线图中，箭头指向 $z = 2$ 和 $z = -2$ ，表明它们是稳定平衡点（以实心圆标记）；而箭头远离 $z = 0$ ，表明它是不稳定平衡点（以空心圆标记）。

当参数 C 增大至 1 时，整个三次函数 $f(z) = 4z - z^3 + C$ 向上平移。这导致其根（即平衡点）发生移动：原位于 $z = 0$ 的不稳定平衡点下移至负值区域，而两个稳定平衡点则上移。 $C = 1$ 对应的相线图反映了这些平衡点的垂直位移。

继续将 C 增大至 2，上述趋势持续：不稳定平衡点进一步下移，稳定平衡点进一步上移；尤为关键的是，下方稳定平衡点与不稳定平衡点之间的距离不断缩小。当 $C = 3$ 时，这两个点在相线图上已非常接近。

当 $C = 4$ 时，系统发生显著变化：下方的稳定平衡点与不稳定平衡点已完全合并并消失。此时相线图仅显示一个位于较高正 z 值处的稳定平衡点。这体现了参数变化所引发的系统行为的定性改变。

为了系统化地呈现这一现象，主讲人构建了一幅图像：横轴为参数 C，纵轴为状态变量 z。图中描出对应于 $C=0$ 、1、2、3 和 4 各相线所求得的平衡点。主讲人指出，若补充中间值（如 $C=0.5$ 或 $C=0.1$ ）对应的点，便会发现这些离散点实际上落在若干条连续曲线上。

这些曲线被绘制在图中：对应稳定平衡点的分支用实心红色线条表示，而对应不稳定平衡点的分支则用虚线红色线条表示。该合成图像被称为‘分岔图’，它概括了所有 C 值（而不仅限于整数）所对应的平衡状态。

该图清晰标出了一个关键参数值，记为 C* ≈ 3.079。在此处，实线（下方稳定平衡分支）与虚线（不稳定平衡分支）相交并终止。当 C 大于 C* 时，仅存上方的稳定平衡分支。主讲人总结道：分岔图是一种强有力的工具，用于概括动力系统行为随参数变化的整体规律。

知识卡片

正在研究的自治常微分方程

该片段始于标量自治微分方程 $\frac{dz}{dt}=4z-z^3$ 。由于右端仅依赖于 $z$ ，故 $4z-z^3$ 的符号告诉我们解随时间是增加还是减少。

\frac{dz}{dt}=4z-z^3

通过绘制函数 $f(z)$ 来分析该常微分方程

所用方法是绘制 $f(z)=4z-z^3$ 。 $f$ 的零点给出平衡点，而 $f$ 在各区间上的符号则给出一维向量场的方向。

f(z)=4z-z^3

原方程的平衡点

平衡点是满足 $\frac{dz}{dt}=0$ 的常数解。对于这个三次方程，视频识别出三个平衡值： $z=-2$ 、 $z=0$ 和 $z=2$ 。

4z-z^3=0 \quad\Rightarrow\quad z=-2,\,0,\,2

$dz/dt$ 的符号模式

通过观察 $f(z)$ 的图像，片段指出： $\frac{dz}{dt}$ 在区间 $(-\infty,-2)$ 上为正，在区间 $(-2,0)$ 上为负，在区间 $(0,2)$ 上为正，在区间 $(2,\infty)$ 上为负。这些符号决定了相线上箭头的方向。

\begin{cases}\frac{dz}{dt}>0,&z<-2\\\frac{dz}{dt}<0,&-2<z<0\\\frac{dz}{dt}>0,&0<z<2\\\frac{dz}{dt}<0,&z>2\end{cases}

由箭头方向判断稳定性

由于向量场从两侧均指向 $-2$ 和 $2$ ，因此这两个平衡点是稳定的；而向量场从 $0$ 向外指向，故该平衡点不稳定。

x_e=-2,\,2\ \text{stable};\quad x_e=0\ \text{unstable}

相线总结

相线将动力学行为压缩到单一轴上：稳定平衡点用实心圆表示，不稳定平衡点用空心圆表示。这样无需重绘 $f(z)$ 的完整图像，即可捕捉其定性行为。

由相线推断长期行为

仅凭相线，视频即得出结论：初值高于 $0$ 的解趋近于 $2$ ，初值低于 $0$ 的解趋近于 $-2$ 。位于 $0$ 处的不稳定平衡点分隔了两个吸引域。

含参数的常微分方程族

原方程通过添加常数项 $c$ 被嵌入一个单参数方程族： $\frac{dz}{dt}=4z-z^3+c$ 。对每个固定的 $c$ 值，都对应一个不同的动力系统。

\frac{dz}{dt}=4z-z^3+c

原方程即为 $c = 0$ 的情形

此前分析的方程对应参数值 $c=0$ 。这表明先前的相线讨论属于更大参数族中的一个成员。

c=0\ \Rightarrow\ \frac{dz}{dt}=4z-z^3

开始分析 $c = 1$ 的情形

该片段通过设定 $c=1$ 来开启一个新例子，由此得到 $\frac{dz}{dt}=4z-z^3+1$ 。视频结束前仅展示了设定过程；本片段未完成对 $c=1$ 的平衡点或稳定性分析。

c=1\ \Rightarrow\ \frac{dz}{dt}=4z-z^3+1

$dz/dt = 4z - z^3 + C$ 的分岔设定

本讲研究一族单参数自治的一维微分方程。基准情形 $C=0$ 对应的方程为 $dz/dt = 4z - z^3$ ；改变参数 C 得到一族方程，其右端仅通过垂直平移而相互区别。

\frac{dz}{dt}=4z-z^3+C

$C=0$ 时的平衡点及其稳定性

当 $C=0$ 时，黑板上列出了三个平衡点：-2 和 2 是稳定的，而 0 是不稳定的。这三个点对应绿色三次函数图像的三个零点。

x_e=-2,\;0,\;2

函数族 $f_C(z)=4z-z^3+C$

每个参数值 C 定义一个函数 $f_C(z)=4z-z^3+C$ 。在视频片段中，主讲人明确命名了 $f_0$ 、 $f_1$ 、 $f_2$ 和 $f_3$ ，分别对应 $C=0$ 、1、2、3。

f_C(z)=4z-z^3+C

$C=1$ 的效应：向上平移且对称性丧失

当 $C=1$ 时，右端变为 $f_1(z)=4z-z^3+1$ ，即 $f_0$ 整体向上平移一个单位。该方程仍具有三个平衡点，且稳定性顺序不变，但它们的位置不再对称。

f_1(z)=4z-z^3+1

示例中使用的相线法

主讲人将每幅图像转化为一条水平相线，并标出平衡点及方向箭头：指向平衡点的箭头表示稳定，背离平衡点的箭头表示不稳定。

当 C 增大至 2 和 3 时的趋势

当 $C=2$ 时，左侧两个平衡点彼此靠近，右侧平衡点进一步右移；当 $C=3$ 时，左侧两个平衡点变得非常接近，但整体‘稳定—不稳定—稳定’的模式依然保持。

f_2(z)=4z-z^3+2,\quad f_3(z)=4z-z^3+3

$C=0$ 、1、2、3 下的定性不变性

在所展示的四个参数取值下，相线在定性上保持相似：每条相线上都有三个平衡点，中间的一个不稳定，而两侧的两个稳定。视频片段在讲师刚开始讨论 $C=4$ 时结束。

含参常微分方程族

方程 $\frac{dz}{dt}=4z-z^3+C$ 定义了一个由参数 $C$ 标定的一维自治微分方程族。参数 $C$ 的每一个固定取值，都对应一个不同的向量场，因而也对应一组不同的平衡点与轨线。

\frac{dz}{dt}=4z-z^3+C

由右端函数的零点确定平衡点

对于自治方程 $\frac{dz}{dt}=f(z)$ ，平衡点即满足 $f(z)=0$ 的那些值。从几何上看，这些点正是曲线 $y=f(z)$ 与横轴的交点。在 $C=4$ 的例子中，图像仅与横轴相交一次，因此只剩下一个平衡点。

f(z_e)=0

由 $f(z)$ 的符号判断稳定性

在一维情形下，若流向在平衡点两侧均指向该点，则该平衡点是稳定的。这可通过观察平衡点紧邻左侧与右侧处 $f(z)$ 的符号来判断：左侧为正、右侧为负，意味着箭头向内，从而构成稳定平衡点。

f(z)>0 \text{ left},\ f(z)<0 \text{ right} \Rightarrow \text{stable}

C＝4时的相线

参数为 $C=4$ 时的相线包含一个位于正半轴的单稳态平衡点，其两侧箭头均指向该点。这一简洁图示概括了该参数值下解的全局行为。

当 C＝4 时的全局吸引性

由于 $C=4$ 系统仅有一个平衡点，且该平衡点在两侧均稳定，因此所有初始条件最终都会趋近于这个正平衡点。当 $C$ 增大至 4 时，此前负侧的吸引去向便消失了。

\forall z(0),\ z(t)\to z_{\text{pos}}

分岔的定义

分岔是指通过改变某个参数，导致微分方程的行为发生定性变化。在此例中，改变 $C$ 会使两个平衡点消失，从而改变相图结构以及解的长期归宿。

分岔未必意味着字面上的‘分叉’

尽管‘分岔’一词暗示着分裂，但本讲强调：即使平衡点是消失而非分裂，该术语依然适用。关键在于动力学行为的定性变化，而不在于该词字面的几何含义。

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 26

$\frac{dz}{dt}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示的微分方程写作 $dz/dt = 4z - z^3$ 。
声音
观察依据
主讲人说：“假设我有微分方程 $dz/dt$ 等于 4 乘以 z 减去 z 的立方。”

符号

$\frac{dz}{dt}$

含义

状态变量 z 对时间的导数。

适用范围

z 是一个实值状态变量，t 表示时间。

$f(z)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
图像标签写为 $f(z) = 4z - z^3$ 。
声音
观察依据
主讲人说：“我们可以通过绘制函数 $f(z) = 4z$ 减去 z 的立方的图像，来分析该微分方程的行为。”

符号

$f(z)$

含义

该自治常微分方程右侧的函数，用于确定平衡点及向量场的符号。

$x_e$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出平衡点： $x_e = -2$ 和 2（稳定），然后 $x_e = 0$ （不稳定）。
声音
观察依据
主讲人说该微分方程在负二、零和二处有三个平衡点。

待核验内容

视频中用 $x_e$ 表示平衡值，而常微分方程中的变量是 z；这种记号切换可见但未作说明。

符号

$x_e$

含义

状态变量的平衡值。

c

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
修改后的方程写作 $dz/dt = 4z - z^3 + c$ 。
声音
观察依据
主讲人说：“我们在等式右侧再添加一项，即常数 c。c 是一个参数。”

符号

含义

添加到常微分方程右侧的一个常数分岔参数。

$C=0$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板在原方程下方写出 $C = 0$ 。
声音
观察依据
主讲人说：“我们最初的微分方程对应于 c 等于零的情形。”

待核验内容

c 和 C 的大小写在视觉上不一致；但所指为同一参数。

符号

$C=0$

含义

对应于原始未修改微分方程的参数取值。

$C=1$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板写出 $C = 1$ ，并开始推导新方程。
声音
观察依据
主讲人说：“我们令 c 等于 1。这意味着我们得到微分方程 $dz/dt = 4z$ 。”

待核验内容

代入 $c = 1$ 后最终显示的方程，在本片段结束时仅部分完成。

符号

$C=1$

含义

为修改后的微分方程所选定的参数值。

$\frac{dz}{dt}$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
白板上显示的微分方程形式为 $dz/dt = 4z - z^3 + C$ 。

符号

$\frac{dz}{dt}$

含义

状态变量 z 对时间的导数。

适用范围

z 是因变量，t 表示时间。

z

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
z 在 $dz/dt = 4z - z^3 + C$ 中作为因变量出现，也在所绘制曲线的横轴上出现。

符号

含义

一维微分方程的状态变量。

C

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
C 在 $dz/dt = 4z - z^3 + C$ 中以加性参数的形式写出。
声音
观察依据
说话人说：“C 是一个参数；对每个 C 的取值，都对应一个不同的方程。”

符号

含义

控制右侧函数垂直平移的实参数。

$f_0$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我们可以将这个函数记作 f₀，以强调当 c 等于零时，它就是右侧的函数。”
公式
观察依据
绿色曲线标注为 $f(z) = 4z - z^3 + 0$ 。

符号

$f_0$

含义

当 $C = 0$ 时的右侧函数，即 $f_0(z) = 4z - z^3$ 。

$f_1$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“当 c 等于 1 时，我们得到一个新函数……可以称之为 f1。”
公式
观察依据
蓝色公式写作 $f(z) = 4z - z^3 + 1$ 。

符号

$f_1$

含义

当 $C = 1$ 时，右侧函数为 $f_1(z) = 4z - z^3 + 1$ 。

$f_2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“我们让 c 更大一些。设它等于 2。”
公式
观察依据
新增一个蓝色公式： $f_2(z) = 4z - z^3 + 2$ 。

符号

$f_2$

含义

当 $C = 2$ 时，右侧函数为 $f_2(z) = 4z - z^3 + 2$ 。

知识点 · 23

正在研究的自治微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板显示 $dz/dt = 4z - z^3$ 。
声音
观察依据
主讲人将此作为待分析的微分方程引入。

公式

解释

本片段研究一个一维自治常微分方程，其右端是关于 z 的三次多项式。右端符号决定 z 随时间增大还是减小。

公式

\frac{dz}{dt}=4z-z^3

适用条件

该方程是自治的，因为右端仅依赖于 z，而不显含 t。

利用 $f(z)$ 分析该常微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，可通过绘制 $f(z)=4z-z^3$ 来分析其行为。
图示
观察依据
绘制了一幅坐标图，横轴为 z，曲线上为一条绿色三次曲线。

方法

解释

该方法是绘制右端函数 $f(z)=4z-z^3$ 。f 的零点给出平衡点，而 f 在各区间上的符号则给出相线上运动的方向。

公式

f(z)=4z-z^3

适用条件

适用于自治标量常微分方程 $dz/dt=f(z)$ 。

先修条目

正在研究的自治微分方程

原常微分方程的平衡点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，平衡点位于 -2、0 和 2 处。
图示
观察依据
红色圆点标记绿色曲线与横轴的交点。

定义

解释

平衡点即时间导数为零的常数解。对这个三次式而言，它们出现在 $4z-z^3=0$ 的根处，即 $z=-2$ 、0、2。

公式

4z-z^3=0 \quad\Rightarrow\quad z=-2,\,0,\,2

适用条件

通过令 $dz/dt = 0$ 来求平衡点。

先修条目

正在研究的自治微分方程
利用 $f(z)$ 分析该常微分方程

各区间上 $dz/dt$ 的符号

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人列出了 $dz/dt$ 在区间 (-∞, -2)、(-2, 0)、(0, 2) 和 (2, $\infty$ ) 上的符号。
图示
观察依据
沿 z 轴绘制紫色箭头，表示每个区间内解的流动方向。

方法

解释

通过读取 $f(z)$ 的图像，视频判定：当 $z < -2$ 时， $dz/dt$ 为正；当 -2 < $z < 0$ 时， $dz/dt$ 为负；当 $0 < z < 2$ 时， $dz/dt$ 为正；当 $z > 2$ 时， $dz/dt$ 为负。这些符号定义了相线上的一维向量场。

公式

\begin{cases}\frac{dz}{dt}>0,&z<-2\\\frac{dz}{dt}<0,&-2<z<0\\\frac{dz}{dt}>0,&0<z<2\\\frac{dz}{dt}<0,&z>2\end{cases}

适用条件

利用所绘制的 $f(z) = 4z - z^3$ 相对于横轴的符号。

先修条目

利用 $f(z)$ 分析该常微分方程
原常微分方程的平衡点

根据箭头方向进行稳定性分类

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，向量场指向 -2 和 2，因此二者均为稳定平衡点；而背离 0，故 0 为不稳定平衡点。
公式
观察依据
黑板上写出： $x_e = -2$ 和 2（稳定）， $x_e = 0$ （不稳定）。

定义

解释

此处将平衡点称为稳定的，是指其邻近轨迹向它运动；称为不稳定的，是指其邻近轨迹远离它。由箭头模式可知，-2 和 2 是稳定的，而 0 是不稳定的。

公式

x_e=-2,\,2\ \text{stable};\quad x_e=0\ \text{unstable}

适用条件

稳定性由每个平衡点两侧一维向量场的方向推断得出。

先修条目

各区间上 $dz/dt$ 的符号
原常微分方程的平衡点

相线图示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，该系统的行为可通过仅绘制相线来概括。
图示
观察依据
一条标有 z 的水平线，其上在 -2 和 2 处画有实心红色圆点，在 0 处画有空心红色圆点。

方法

解释

相线将定性动力学压缩到单一轴上：平衡点以点标记，稳定平衡点用实心圆表示，不稳定平衡点用空心圆表示。

公式

适用条件

用于概括运动的长期方向，而无需重新绘制 $f(z)$ 的完整图像。

先修条目

根据箭头方向进行稳定性分类

由相线得出的长期行为

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，初值大于零的轨迹将趋于 2，初值小于零的轨迹将趋于 -2。
图示
观察依据
完成的相线始终保留在屏幕上，供讲解者进行解读。

待核验内容

该陈述是定性的；本片段并未证明收敛速率，也未专门处理初值条件 $z(0)=0$ 的情形，仅将其标记为不稳定。

方法

解释

仅凭相线，视频即得出结论：起始于 0 上方的轨迹将移向稳定平衡点 2，而起始于 0 下方的轨迹将移向稳定平衡点 -2。

公式

适用条件

适用于被位于 0 的不稳定平衡点所分隔的初值条件。

先修条目

相线图示
根据箭头方向进行稳定性分类

引入参数 c

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $dz/dt = 4z - z^3 + c$ 。
声音
观察依据
讲解者指出 c 是一个参数，每个 c 值对应一个不同的微分方程。

定义

解释

通过在原常微分方程右侧添加一个常数项 c，将其嵌入到一个单参数族中。改变 c 会改变整个动力系统。

公式

\frac{dz}{dt}=4z-z^3+c

适用条件

在分析该参数族中某一特定成员时，c 被视为固定常数。

先修条目

正在研究的自治微分方程

原方程即为 $c=0$ 的情形

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上在原方程下方写出 $C=0$ 。
声音
观察依据
说话者指出，原微分方程对应于 $c=0$ 。

公式

解释

将参数设为零，即可复原此前已分析过的方程，表明先前关于相线的讨论属于该参数族中的一个特例。

公式

c=0\ \Rightarrow\ \frac{dz}{dt}=4z-z^3

适用条件

将参数值代入参数族方程。

先修条目

引入参数 c
正在研究的自治微分方程

开始讨论 $c=1$ 的情形

时间近似

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $C=1$ ，并开始书写代入后所得的微分方程。
声音
观察依据
说话者说：“我们令 c 等于1。这意味着我们得到微分方程 $dz/dt$ 等于4z。”

待核验内容

该片段在代入后的方程尚未完整写出或分析前结束。

方法

解释

视频通过在参数化常微分方程中固定 $c=1$ ，开启一个新例子，为分析当参数不再为零时系统动力学如何变化做准备。

公式

c=1\ \Rightarrow\ \frac{dz}{dt}=4z-z^3+1

适用条件

这只是片段中展示的预备步骤；在结尾之前，未给出 $c=1$ 时的任何平衡点或稳定性结论。

先修条目

引入参数 c

微分方程的分支现象

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
左上角标题：“微分方程的分支现象”。
声音
观察依据
本讲座讨论改变参数 C 如何影响该方程及其平衡点。

定义

解释

本节研究一维微分方程的定性相线结构如何随参数 C 的变化而变化。

适用条件

该方程在 z 上是一维的。
C 被视为一个实参数。

含参微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $dz/dt = 4z - z^3$ ，随后变为 $dz/dt = 4z - z^3 + C$ 。
声音
观察依据
“C 是一个参数；对每个 C 的取值，对应一个不同的方程。”

定义

解释

基础方程 $dz/dt = 4z - z^3$ 通过添加参数项 C 得到扩充，从而生成一族方程： $dz/dt = 4z - z^3 + C$ 。

适用条件

在分析该族方程中某一个具体成员时，C 被视为固定值。
不同的 C 值对应不同的右端函数。

先修条目

微分方程的分支现象

定理与条件 · 17

平衡点的个数与位置

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，该微分方程在 -2、0 和 2 处有三个平衡点。
图示
观察依据
在水平轴上，三次曲线与之相交的位置标出了三个红点。

命题

对于 $dz/dt=4z-z^3$ ，其平衡点恰好为 $z=-2$ 、 $z=0$ 和 $z=2$ 。

前提

该常微分方程为 $dz/dt=4z-z^3$ 。
平衡点由 $dz/dt=0$ 定义。

量词

针对片段中展示的这个具体标量自治常微分方程。

三个平衡点的稳定性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，−2 和 2 是稳定的，因为箭头指向它们；而 0 是不稳定的，因为箭头远离它。
公式
观察依据
黑板上标注： $x_e=-2$ 和 2（稳定）， $x_e=0$ （不稳定）。

命题

在 $c=0$ 系统中，平衡点 -2 和 2 是稳定的，而平衡点 0 是不稳定的。

前提

$dz/dt$ 在四个区间上的符号模式如视频片段中所述。
稳定性的判断依据是：邻近的轨线是朝向还是远离该平衡点运动。

量词

针对一维相线图中每个平衡点两侧的所有邻近初始条件。

轨线相对于不稳定平衡点的归宿

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者指出，高于零的初始条件将趋于 2，而低于零的初始条件将趋于 -2。
图示
观察依据
相线显示：从 0 出发的箭头向外，指向 -2 和 2 的箭头向内。

待核验内容

该视频片段陈述了轨线的定性极限归宿，但并未通过定义或证明来形式化吸引域。

命题

由相线可知，高于 0 的初始条件趋近于 2，低于 0 的初始条件趋近于 -2。

前提

该系统的方程为 $dz/dt=4z-z^3$ 。
相线解释适用于此类标量自治常微分方程。

量词

针对严格高于或严格低于 0 的初始条件。

改变 c 的影响

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，c 是一个参数，对每个 c 的取值，我们得到一个不同的微分方程。
公式
观察依据
黑板上写出 $dz/dt=4z-z^3+c$ 。

命题

加入常数 c 构成一个单参数微分方程族，其中每个 c 值对应一个不同的方程。

前提

在每次单独的分析中，c 被视为一个固定常数。

量词

对参数 c 的每一个取值。

从 $C=0$ 到 $C=1$ 的垂直平移

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
f1与 f0的唯一区别在于 f1整体向上平移了一个单位。
公式
观察依据
$f_0(z)=4z-z^3+0$ 与 $f_1(z)=4z-z^3+1$ 相差 +1。

命题

将 C 从0增大到1，会使右侧函数恰好向上平移一个单位。

前提

比较 $f_0(z)=4z-z^3$ 与 $f_1(z)=4z-z^3+1$ 。

量词

对所有 z， $f_1(z) = f_0(z) + 1$ 。

$C = 1$ 时的平衡点个数与稳定性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
同样，该微分方程有三个平衡点，其中两侧的平衡点是稳定的，而中间的那个是不稳定的。
图示
观察依据
当 $C = 1$ 时，蓝色曲线仍三次穿过横轴。

待核验内容

视频片段中未计算 $C = 1$ 时的精确平衡点位置。

命题

当 $C = 1$ 时，该微分方程仍有三个平衡点，其中外侧两个稳定，中间一个不稳定。

前提

C 等于 1。
右端函数为 $f_1(z) = 4z - z^3 + 1$ 。

量词

对该参数值，存在三个平衡点。

在加入 $C = 1$ 后对称性丧失

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
但现在它们不再对称了。

待核验内容

视频并未明确定义所失去的对称性，但将其与 $C = 0$ 的情形作了对比。

命题

当参数 C 从 0 变为 1 后，平衡点不再对称分布。

前提

比较 $C = 0$ 与 $C = 1$ 两种情形下的平衡构型。

量词

针对图中所示的 $C = 1$ 情形。

$C = 1$ 时平衡点的移动方向。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
其中两个稳定平衡点向右移动，而不稳定平衡点向左移动。
图示
观察依据
$C = 1$ 的相线绘制成其标记点相对于 $C = 0$ 的相线发生位移的形式。

待核验内容

未给出各平衡点的精确数值位置。

命题

当 C 从 0 增大到 1 时，两个稳定平衡点向右移动，而不稳定平衡点向左移动。

前提

C 从 0 变为 1。
相线对比即黑板上所展示的那幅图。

量词

针对图中示例的三个平衡点。

$C=2$ 时的平衡运动

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
左侧两个平衡点将彼此靠近，而右侧平衡点则进一步向右移动。
图示
观察依据
为 $C=2$ 绘制了一条新的蓝色曲线和一条新的相线。

待核验内容

未计算精确的平衡点坐标。

命题

当 $C=2$ 时，右侧表达式进一步上移；两个左侧平衡点彼此靠近，而右侧平衡点则进一步右移。

前提

C 等于 2。
与黑板上展示的先前更小的 C 值构型进行比较。

量词

针对 $C=2$ 情形下的三个平衡点。

当 $C=3$ 时，左侧平衡点几乎重合。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
两个左侧平衡点变得非常接近。
图示
观察依据
$C=3$ 对应的粉红色曲线绘制得更高，相应的相线上两个左侧标记几乎相邻。

待核验内容

视频未说明在 $C=3$ 时它们是否已合并。

命题

在 $C=3$ 时，两个左侧平衡点变得非常接近。

前提

C 等于3。
右侧为 $f_3(z)$ ＝4z－ $z^3$ ＋3。

量词

针对所示的 C＝3 构型。

C＝0、1、2、3 时的常见相线模式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“在这些情形中，当 c 等于 0、1、2 或 3 时，相线看上去大体相同。”
声音
观察依据
“它们均具有三个平衡点，其中中间的平衡点不稳定，而两侧的两个平衡点稳定。”
图示
观察依据
可见四条相线，每条均标出三个平衡点，且箭头方向模式相同。

待核验内容

“大体相同”这一表述是定性的，而非形式化的定理陈述。

命题

当 C＝0、1、2、3 时，所有相线均具有相同的定性模式：三个平衡点，中间的平衡点不稳定，两侧的两个平衡点稳定。

前提

C 是 0、1、2 或 3 之一。
该方程为 $dz/dt$ ＝ 4z － $z^3$ ＋ C。

量词

对每个所示参数值 $C\in {0,1,2,3}$ 。

当 C＝4 时，仅存在一个平衡点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人说：‘此时 f 的图像仅有一个平衡点。另外两个平衡点已消失，因为 f 的图像对于负的 z 不再下探至零。’
图示
观察依据
橙色曲线 $f_5(z)=4z-z^3+4$ 仅在正侧与横轴相交一次。

命题

当参数值为 C＝4 时，该微分方程仅有一个平衡点，因为右端函数的图像不再在负 z 区域穿过零点。

前提

方程为 $dz/dt$ ＝4z－ $z^3$ ＋C。
C 等于4。

量词

对于特定的参数值 C＝4。

推导与证明 · 10

从 $f(z)$ 的图像中求平衡点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人首先指出，可通过绘制 $f(z)=4z-z^3$ 来分析系统行为，然后说明平衡点为 -2、0 和 2。
图示
观察依据
绿色的三次曲线被画出，它与横轴的交点用红色标出。

待核验内容

代数因式分解过程未口头陈述；根的数值是直接给出的。

视觉说明

步骤

公式
$f(z)=4z-z^3$
解释
绘制该自治常微分方程右端函数的图像。
步骤依据
视频指出，可通过绘制 $f(z)=4z-z^3$ 来分析系统行为。
视频直接表达
公式
$f(z)=0$
解释
平衡点出现在所绘制函数与横轴相交的位置。
步骤依据
对于自治方程 $dz/dt = f(z)$ ，常数解要求 $f(z) = 0$ 。
依据视频推导
公式
$z=-2,\,0,\,2$
解释
图中所示的交点给出了三个平衡值。
步骤依据
讲解者明确指出了这三个平衡点，图中也对它们进行了标注。
视频直接表达

结论

$dz/dt = 4z - z^3$ 的平衡点为 $z = -2$ 、0 和 2。

由 $dz/dt$ 的符号到稳定性分类

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者列出了每个区间上 $dz/dt$ 的符号，然后根据箭头是指向还是远离平衡点来推断稳定性。
图示
观察依据
紫色箭头沿 z 轴在 -2、0 和 2 周围交替方向绘制。

视觉说明

步骤

公式
$\frac{dz}{dt}>0\text{ for }z<-2$
解释
在 -2 左侧，流向指向右侧。
步骤依据
讲解者指出，由于 f 在该区间上为正，因此 $dz/dt$ 为正。
视频直接表达
公式
$\frac{dz}{dt}<0\text{ for }-2<z<0$
解释
在 -2 与 0 之间，流向指向左侧。
步骤依据
讲解者指出，导数在该区间上为负。
视频直接表达
公式
$\frac{dz}{dt}>0\text{ for }0<z<2$
解释
在0和2之间，流向指向右侧。
步骤依据
讲话者指出，该区间上导数为正。
视频直接表达
公式
$\frac{dz}{dt}<0\text{ for }z>2$
解释
在2右侧，流向指向左侧。
步骤依据
讲话者指出，2上方导数再次为负。
视频直接表达
公式
$x_e=-2,\,2\text{ stable},\quad x_e=0\text{ unstable}$
解释
箭头向 -2 和 2 收敛，并从 0 发散，因此前两者是稳定的，中间一个是不稳定的。
步骤依据
讲话者明确根据矢量场方向作出这一推断。
视频直接表达

结论

相线符号模式表明，-2 和 2 是稳定平衡点，而 0 是不稳定平衡点。

用相线概括动力学行为

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲话者表示，该行为可通过仅绘制相线来概括，随后解释零点上方与下方的初始条件。
图示
观察依据
单独绘制一条水平相线，在 -2 和 2 处标以实心圆点，在 0 处标以空心圆点。

待核验内容

该片段未对相线作形式化定义；而是将其作为概括工具引入。

视觉说明

步骤

公式
$\text{Draw a line in }z$
解释
用一条代表状态空间的一维轴替代完整图像。
步骤依据
主讲人指出，该系统的性态可通过仅绘制相线来概括。
视频直接表达
公式
$\bullet\text{ at }-2,2;\ \circ\text{ at }0$
解释
用实心圆标记稳定平衡点，用空心圆标记不稳定平衡点。
步骤依据
主讲人明确将这些符号分别指定给稳定平衡点和不稳定平衡点。
视频直接表达
公式
$z_0>0\to 2,\quad z_0<0\to -2$
解释
根据相线上箭头的指向，读出轨迹的长期归宿。
步骤依据
主讲人指出，初值大于零的解趋向于2，小于零的解趋向于-2。
视频直接表达

结论

相线以简洁方式编码了平衡点、它们的稳定性以及初值的定性归宿。

从基础方程到含参函数族

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板书内容从 $dz/dt = 4z - z^3$ 变为 $dz/dt = 4z - z^3 + C$ ，再特化为 $C = 1$ 。
声音
观察依据
主讲人解释说，每个 C 值对应一个不同的方程，并将所得函数分别命名为 $f_0$ 和 $f_1$ 。

直观解释

步骤

公式
解释
从基础微分方程 $dz/dt = 4z - z^3$ 出发。
步骤依据
该方程被明确写在黑板上。
视频直接表达
公式
解释
引入加性参数 C，得到 $dz/dt = 4z - z^3 + C$ 。
步骤依据
推广后的方程直接写在基础方程正下方。
视频直接表达
公式
$f_0(z)=4z-z^3+0$
解释
当 $C = 0$ 时，将等式右侧的函数命名为 $f_0$ 。
步骤依据
主讲人指出，这一命名旨在突出 $C = 0$ 的情形，同时绿色公式被展示出来。
视频直接表达
公式
$f_1(z)=4z-z^3+1$
解释
当 $C = 1$ 时，将新的等式右侧函数命名为 $f_1$ 。
步骤依据
主讲人引入 $C = 1$ 的情形，并写出对应的公式。
视频直接表达

结论

改变 C 会生成一族仅在垂直方向上平移的等式右侧函数。

从平移后的图像读取 $C=1$ 的相线。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人比较 f1 与 f0，随后描述新的平衡点，并绘制相线。
图示
观察依据
在绿色曲线之上添加一条蓝色曲线，接着绘制一条标有三个平衡点的相线。

待核验内容

视频片段中未通过代数方法计算 $C=1$ 对应的精确平衡点位置。

视觉说明

步骤

公式
解释
注意 $f_1$ 是 $f_0$ 整体向上平移一个单位所得。
步骤依据
该关系以口头方式陈述，并可从两者公式仅相差 +1 这一事实直观看出。
视频直接表达
公式
解释
在函数 f_ 的绿色图像上方绘制函数 f_ 的蓝色图像1的绿色图像上方0.
步骤依据
讲师在同一坐标系中画出平移后的三次曲线。
视频直接表达
公式
解释
注意平移后的曲线仍与横轴有三个交点。
步骤依据
主讲人指出该方程仍有三个平衡点。
视频直接表达
公式
解释
根据图像走势推断：两端的平衡点是稳定的，中间的平衡点是不稳定的。
步骤依据
主讲人明确陈述了 $C=1$ 情形下的这一稳定性模式。
视频直接表达
公式
解释
将该信息转化为相线图：箭头指向两侧的平衡点，远离中间的平衡点。
步骤依据
所绘制的相线编码了平衡点之间 $dz/dt$ 的符号模式。
视频直接表达

结论

当 $C=1$ 时，相线的定性结构仍为三个平衡点，且呈外侧稳定、中间不稳定排列，但平衡点的位置不再对称。

C 经过 2 和 3 时的变化趋势

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者依次设定 $C=2$ 和 $C=3$ ，并描述平衡点如何移动。
图示
观察依据
额外绘制了位置更高的蓝色和粉色曲线，并在下方添加了对应的相线。

待核验内容

该片段在任何实际分岔事件发生前即结束。

视觉说明

步骤

公式
解释
将参数从 $C=1$ 增大至 $C=2$ 。
步骤依据
讲述者说：“我们让 c 更大一些。设它等于 2。”
视频直接表达
公式
$f_2(z)=4z-z^3+2$
解释
写出 $C=2$ 时新的右端函数。
步骤依据
公式被添加到黑板上。
视频直接表达
公式
解释
观察到该图像相比 $C=1$ 的情形进一步向上平移。
步骤依据
用语言陈述，并在绘图顺序中可见。
视频直接表达
公式
解释
推断出两个左侧平衡点彼此靠近，而右侧平衡点进一步向右移动。
步骤依据
说话者明确描述了这一运动。
视频直接表达
公式
解释
对 $C=3$ 重复该过程，其中 $f_3(z)=4z-z^3+3$ 。
步骤依据
说话者引入 $C=3$ ，并写出对应的公式和曲线。
视频直接表达
公式
解释
注意，两个左侧平衡点变得非常接近。
步骤依据
在 $C=3$ 的音频中明确指出。
视频直接表达

结论

当 C 从 1 增加到 3 时，右侧图形整体上移，左侧一对平衡点趋近于合并，而右侧平衡点持续向右移动。

比较所展示的四个参数取值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者比较所展示的四种情形，并总结它们共有的结构。
图示
观察依据
黑板上同时显示四条相线。

待核验内容

该比较是定性的；未给出结构稳定性的形式化证明。

直观解释

步骤

公式
解释
在讨论中，并排放置 $C=0$ 、1、2、3 的相线。
步骤依据
主讲人明确列出了这四个数值。
视频直接表达
公式
解释
验证每种情形仍显示三个平衡点。
步骤依据
该结论以口头陈述方式给出，并在图示中可见。
视频直接表达
公式
解释
验证每种情形均具有相同的稳定性次序：两端稳定，中间不稳定。
步骤依据
主讲人对全部四种情形重复了这一模式。
视频直接表达
公式
解释
得出结论：这些相线在定性意义上大致相同。
步骤依据
这是主讲人的总结性陈述。
视频直接表达

结论

在所展示的范围 $C=0$ 、1、2、3 内，分岔图尚未发生定性类型的改变。

从图像出发推导 $C=4$ 时的相线行为

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人解释了当 $C=4$ 时平衡点的消失、剩余平衡点的稳定性，以及由此产生的相线行为。
图示
观察依据
当 $C=4$ 时的图像与相线显示函数仅与横轴相交一次，且箭头均指向正向平衡点。

视觉说明

步骤

公式
$f_5(z)=4z-z^3+4$
解释
从 $C=4$ 对应的右端函数开始。
步骤依据
将 $C=4$ 代入 $dz/dt=4z-z^3+C$ 。
视频直接表达
公式
$f_5(z)=0 \text{ has one real solution}$
解释
图像仅与横轴相交一次，因此仅存在一个平衡点。
步骤依据
平衡点对应于右端函数的零点。
视频直接表达
公式
$f_5(z)>0 \text{ left of the root},\quad f_5(z)<0 \text{ right of the root}$
解释
在剩余的平衡点附近，符号模式表明轨迹指向内部。
步骤依据
从图像中读取，并由主讲人明确指出。
视频直接表达
公式
$\text{all initial conditions} \to \text{positive equilibrium}$
解释
由于仅存在一个稳定平衡点，所有解都趋于该点。
步骤依据
将单平衡点事实与稳定性符号规则相结合。
视频直接表达

结论

当 $C=4$ 时，系统具有唯一一个稳定的正平衡点，且所有初始条件均趋近于它。

总结分岔阈值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出了平衡点个数由三个变为一个时所对应的参数值。
公式
观察依据
黑板上写出 C^*=3.079， $C<C$ ^* ⇒ 3 个平衡点， $C>C$ ^* ⇒ 1 个平衡点。

待核验内容

视频以数值形式给出了该阈值，但未展示代数推导过程。

直观解释

步骤

公式
$C^* \approx 3.079$
解释
引入平衡点个数发生变化时所对应的临界参数值。
步骤依据
在讲座中直接陈述。
视频直接表达
公式
$C<C^* \Rightarrow 3 \text{ equilibria}$
解释
在阈值以下，三次右侧函数仍三次穿过横轴。
步骤依据
直接陈述，并由 $C=0$ 、1、2、3 的前期相线支持。
视频直接表达
公式
$C>C^* \Rightarrow 1 \text{ equilibrium}$
解释
在阈值之上，两个平衡点已消失，仅剩一个交点。
步骤依据
直接陈述，并由 $C=4$ 的图像与相线支持。
视频直接表达

结论

参数 C^*=3.079 将三平衡点情形与单平衡点情形分隔开来。

分岔图的构建

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人通过为参数C的中间取值（例如 $1/2$ 、 $1/10$ 等）添加相线，来逐步填充图像，这些相线最终汇合为曲线。
动画
观察依据
在C-z平面上，红色圆点按C的整数值顺序依次出现，随后绘制经过这些点的曲线。

视觉说明

步骤

公式
解释
利用相线，针对参数C的若干离散取值（例如 $C=0$ 、1、2、3、4），确定其对应的平衡点（z值）。
步骤依据
平衡点的定义及其在相线上的直观表示。
视频直接表达
公式
解释
将这些(C, z)数对作为点，绘制在以C为横轴、z为纵轴的坐标系中。
步骤依据
将参数值映射到状态值。
视频直接表达
公式
解释
为参数C的中间取值（例如0.5、0.1）补充更多点，以观察变化趋势。
步骤依据
采样密度足够高时，呈现出连续曲线。
视频直接表达
公式
解释
用实线连接对应稳定平衡点的点，用虚线连接对应不稳定平衡点的点。
步骤依据
分岔图中稳定性所采用的视觉惯例。
视频直接表达

结论

所有参数取值下的平衡点集合构成连续曲线，从而形成分岔图。

例题详解 · 9

对原方程的完整分析过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上自始至终展示的方程为 $dz/dt=4z-z^3$ ，贯穿整个第一部分分析。
声音
观察依据
主讲人针对该方程分析了平衡点、函数符号、稳定性及长期行为。
图示
观察依据
本例中绘制了 $f(z)$ 的图像、带箭头的 z 轴以及相线。

题目

对该微分方程 $dz/dt=4z-z^3$ 进行定性分析。

已知条件

该常微分方程为 $dz/dt=4z-z^3$ 。
定义 $f(z) = 4z - z^3$ 。

目标

求出平衡点，判断其稳定性，并描述解的长期行为。

步骤

公式
$f(z)=4z-z^3$
解释
绘制右侧函数的图像，从中读取零点及符号。
步骤依据
主讲人指出，这是分析该微分方程的方法。
视频直接表达
公式
$z=-2,\,0,\,2$
解释
图像在三个点处穿过横轴，对应三个平衡点。
步骤依据
主讲人明确指出了这些平衡点的名称。
视频直接表达
公式
$\frac{dz}{dt}>0\ (z<-2),\ <0\ (-2<z<0),\ >0\ (0<z<2),\ <0\ (z>2)$
解释
利用 $f(z)$ 在每个区间上的符号来判断运动方向。
步骤依据
主讲人直接从图像中读出这些符号。
视频直接表达
公式
$x_e=-2,2\text{ stable},\ x_e=0\text{ unstable}$
解释
指向中心的箭头表示稳定平衡点；背离中心的箭头表示不稳定平衡点。
步骤依据
主讲人明确作出了这一推断。
视频直接表达
公式
$z_0>0\to 2,\quad z_0<0\to -2$
解释
在相线上总结系统动力学行为，并从中读出解的极限归宿。
步骤依据
主讲人指出，相线本身已足以确定该系统的粗略行为。
视频直接表达

结果

平衡点：-2和2是稳定的，0是不稳定的；位于0上方的轨线趋向于2，位于0下方的轨线趋向于-2。

检验

该结论与所绘制的函数 $f(z)$ 图像、z轴上的箭头方向以及最终的相线记号一致。

$c=1$ 例题的开始

时间近似

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $C=1$ ，并开始代入方程。
声音
观察依据
说话人说：“我们令c等于1。这意味着我们得到微分方程 $dz/dt$ 等于4z。”

待核验内容

该例题在本片段中未完成，因为代入后的方程未在屏幕上写完，且未进行后续分析。

题目

设 $c =1$ 代入参数化方程 $dz/dt =4z-z^3 + c$ ，并开始写出所得的常微分方程。

已知条件

该族方程为 $dz/dt=4z-z^3+c$ 。
取 $c=1$ 。

目标

写出对应于 $c=1$ 的微分方程。

步骤

公式
$c=1$
解释
选择一个新的参数值。
步骤依据
说话人明确指出，令c等于1。
视频直接表达
公式
$\frac{dz}{dt}=4z-z^3+1$
解释
将 $c=1$ 代入族方程。
步骤依据
这直接源于屏幕上显示的参数化常微分方程。
依据视频推导

结果

该片段仅进行到设定阶段：正在写出 $c=1$ 对应的方程 $dz/dt=4z-z^3+1$ 。

检验

在片段结束前，未对 $c=1$ 进行进一步的平衡点或稳定性分析。

基准例子： $C=0$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $dz/dt = 4z - z^3$ ，其中 $C=0$ ，并列出平衡点 $x_e = -2$ 、0、2。
图示
观察依据
针对此情形，已画出一条绿色的三次曲线及对应的相线。

题目

分析微分方程 $dz/dt = 4z - z^3$ 。

已知条件

C 等于 0。
右端函数 $f_0(z) = 4z - z^3$ 。

目标

找出平衡点并判断其稳定性。

步骤

公式
$\frac{dz}{dt}=4z-z^3$
解释
从屏幕上显示的方程出发。
步骤依据
写在黑板上。
视频直接表达
公式
$x_e=-2,\;0,\;2$
解释
直接读出平衡点的取值。
步骤依据
在“平衡点”标题下列出，且明确写出。
视频直接表达
公式
$x_e=-2,2\text{ stable};\;x_e=0\text{ unstable}$
解释
为每个平衡点指派稳定性。
步骤依据
黑板将两侧的平衡点标记为稳定，中间的平衡点标记为不稳定。
视频直接表达

结果

当 $C = 0$ 时，平衡点为 -2、0 和 2，其中 -2 和 2 是稳定的，0 是不稳定的。

检验

绿色图像在这三个点处穿过横轴，相线上的箭头方向与所陈述的稳定性模式一致。

示例： $C = 1$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $dz/dt = 4z - z^3 + 1$ ，且 $f(z) = 4z - z^3 + 1$ 。
声音
观察依据
主讲人分析 $C = 1$ 的情形，并画出其相线。

待核验内容

未计算 $C = 1$ 时的精确平衡点位置。

题目

分析微分方程 $dz/dt = 4z - z^3 + 1$ 。

已知条件

C 等于1。
右端函数 $f_1(z) = 4z - z^3 + 1$ 。

目标

确定平衡点与相线相对于 $C = 0$ 的变化情况。

步骤

公式
$\frac{dz}{dt}=4z-z^3+1$
解释
将 $C = 1$ 代入含参方程。
步骤依据
在黑板上明确写出。
视频直接表达
公式
$f_1(z)=4z-z^3+1$
解释
为右端函数命名。
步骤依据
主讲人引入 f1。
视频直接表达
公式
解释
认识到这是 $C=0$ 的图像整体向上平移了一个单位。
步骤依据
用语言表述为：“f1整体向上平移一个单位。”
视频直接表达
公式
解释
得出结论：仍然存在三个平衡点，其中外侧两个稳定，中间一个不稳定。
步骤依据
由主讲人明确指出。
视频直接表达
公式
解释
画出对应的相线，其中稳定点向右移动，不稳定点向左移动。
步骤依据
主讲人描述并画出了这条相线。
视频直接表达

结果

当 $C=1$ 时，方程仍具有三个平衡点；外侧两个稳定，中间一个不稳定，但这些平衡点不再对称。

检验

蓝色曲线仍是一条垂直平移后的三次曲线，所画的相线与所述稳定性模式一致。

例如： $C=2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上补充写出 $f_2(z)=4z-z^3+2$ 。
声音
观察依据
主讲人说：“我们令它等于2”，并描述了平衡点的运动情况。

待核验内容

对于 $C=2$ ，未给出精确的平衡点坐标。

题目

分析微分方程 $dz/dt = 4z - z^3 + 2$ 。

已知条件

C 等于2。
右端函数 $f_2(z) = 4z - z^3 + 2$ 。

目标

描述当 C 增大至 2 时，平衡构型如何变化。

步骤

公式
$f_2(z)=4z-z^3+2$
解释
写出当 $C = 2$ 时的右端表达式。
步骤依据
已添加在黑板上。
视频直接表达
公式
解释
注意，该图像相比 $C = 1$ 的情形进一步向上平移。
步骤依据
口头陈述。
视频直接表达
公式
解释
推断出左侧两个平衡点彼此靠近。
步骤依据
由主讲人明确指出。
视频直接表达
公式
解释
推断出右侧平衡点进一步向右移动。
步骤依据
由主讲人明确指出。
视频直接表达
公式
解释
画出对应的相线。
步骤依据
在先前的相线下方新增一条相线。
视频直接表达

结果

当 $C = 2$ 时，右侧表达式的值变得更高；两个左侧平衡点彼此靠近，而右侧平衡点进一步右移。

检验

新增的蓝色曲线与相线在视觉上与口述描述一致。

示例： $C = 3$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上添加了 $f_3(z) = 4z - z^3 + 3$ 。
声音
观察依据
说话人说：“当 c 等于 3 时……两个左侧平衡点变得非常接近。”

待核验内容

该片段未展示左侧平衡点是否真的在 $C = 3$ 时合并。

题目

分析微分方程 $dz/dt = 4z - z^3 + 3$ 。

已知条件

C 等于3。
右侧函数 $f_3(z) = 4z - z^3 + 3$ 。

目标

描述 $C = 3$ 时的平衡点分布情况。

步骤

公式
$f_3(z)=4z-z^3+3$
解释
写出当 $C=3$ 时的右端表达式。
步骤依据
以粉色笔迹写在黑板上。
视频直接表达
公式
解释
观察到图像进一步上移。
步骤依据
口头陈述。
视频直接表达
公式
解释
得出结论：两个左侧平衡点变得非常接近。
步骤依据
由主讲人明确指出。
视频直接表达
公式
解释
画出对应的相线。
步骤依据
为 $C=3$ 额外添加一条更低的相线。
视频直接表达

结果

当 $C=3$ 时，右端表达式进一步上移，且两个左侧平衡点变得非常接近。

检验

粉色曲线及其对应的相线显示左侧平衡点对几乎重合，同时保持三个标出的平衡点。

例题演示：将 C 从 3 变为 4。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出微分方程 $dz/dt=4z-z^3+C$ ，并特化为 $C=4$ ，此时 $f_5(z)=4z-z^3+4$ 。
声音
观察依据
主讲人分析 $C=4$ 的情形，并将其与 $C=0$ 、1、2、3 进行比较。
图示
观察依据
绘制 $C=4$ 的图像与相线，随后总结 $C<C$ ^* 与 $C>C$ ^* 两种情形。

题目

分析当 C 增大至 $4z-z^3+C$ 时， $dz/dt=4$ 时，平衡点及 $dz/dt$ 的长期行为如何变化。

已知条件

该微分方程为 $dz/dt=4z-z^3+C$ 。
当 $C=0$ 时，平衡点为 $X_e=-2$ 、0、2，其中 -2 和 2 是稳定的，0 是不稳定的。
当 $C=4$ 时，图像为 $f_5(z)=4z-z^3+4$ 。

目标

确定当 $C=4$ 时平衡点的个数与稳定性，并描述解的相应行为。

步骤

公式
$\frac{dz}{dt}=4z-z^3+4$
解释
将 $C=4$ 代入该族方程。
步骤依据
对含参常微分方程进行直接参数代入。
视频直接表达
公式
$f_5(z)=4z-z^3+4$
解释
找出其零点即为平衡点的右端函数。
步骤依据
对于自治的1D 常微分方程，平衡点满足 $f(z)=0$ 。
视频直接表达
公式
$\text{one equilibrium only}$
解释
图像仅与横轴相交一次，因此原先的两个平衡点已消失。
步骤依据
通过图像直观读取，再结合讲述者的解释。
视频直接表达
公式
$f_5(z)>0 \text{ left of the root},\ f_5(z)<0 \text{ right of the root}$
解释
剩余根附近的符号模式表明轨线指向内部。
步骤依据
由讲述者陈述，并在相线上标出。
视频直接表达
公式
$\text{stable positive equilibrium}$
解释
因此，剩余的平衡点是稳定的。
步骤依据
应用1D 稳定性符号判据。
依据视频推导
公式
$\forall z(0),\ z(t)\to z_{\text{pos}}$
解释
所有初始条件均趋近于正的平衡点。
步骤依据
只有一个平衡点，且它从两侧都吸引解。
视频直接表达

结果

当 C＝4 时，系统存在一个稳定的正平衡点，所有初始条件都收敛到该点。

检验

该结论与 C＝4 时所画的相线以及文字总结‘所有初始条件 → 正平衡点’一致。

$C = 0$ 对应的平衡点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人：“因此，当 C 等于零时，我们在二和负二处有稳定平衡点，在零处有不稳定平衡点。”
图示
观察依据
$C = 0$ 的相线在 $z = -2$ 、2 处标有实心点，在 $z = 0$ 处标有空心圆。

题目

求微分方程 $dz/dt = 4z - z^3$ 在 $C = 0$ 时的平衡点及其稳定性。

已知条件

$dz/dt = 4z - z^3 + C$
C 等于 0

目标

确定平衡值及其稳定性。

步骤

公式
$4z - z^3 = 0$
解释
令变化率等于零，以求出平衡点。
步骤依据
平衡点的定义。
依据视频推导
公式
$z(4 - z^2) = 0$
解释
对方程进行因式分解。
步骤依据
代数运算。
依据视频推导
公式
$z = 0, z = 2, z = -2$
解释
解出 z。
步骤依据
零乘积性质。
依据视频推导
公式
解释
根据相线图或导数检验法分析稳定性。
步骤依据
稳定性分析方法。
视频直接表达

结果

稳定平衡点位于 $z = 2$ 和 $z = -2$ ；不稳定平衡点位于 $z = 0$ 。

检验

与白板上所画的 $C = 0$ 的相线图一致。

$C = 4$ 对应的平衡点。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人：‘直到最后当 C 等于四时，仅剩上方的平衡点。’
图示
观察依据
$C = 4$ 的相线图仅在正 z 值处显示一个实心圆点。

题目

描述微分方程 $dz/dt = 4z - z^3 + 4$ 的平衡点。

已知条件

$dz/dt = 4z - z^3 + C$
C 等于 4

目标

识别剩余的平衡点。

步骤

公式
解释
观察参数 $C=4$ 时的相线。
步骤依据
对所给示意图进行直观观察。
视频直接表达

结果

仅剩一个稳定平衡点（位于正的 z 值处）。

检验

这与分岔图一致：在 $C=4$ 之前，下方分支已终止。

图示与动画 · 21

三次右侧函数的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
先绘制一个以 z 为横轴的坐标系，随后画出一条标有 $f(z)=4z-z^3$ 的绿色三次曲线。
声音
观察依据
主讲人指出，可通过绘制 $f(z)=4z-z^3$ 的图像来分析系统行为。

图中对象

横轴标记为 z
纵轴
绿色三次曲线
标注 $f(z)=4z-z^3$

变化过程

先绘制坐标轴。
绿色曲线随后在整个平面上绘制出来。
公式标签被添加在曲线附近。

不变量

横轴变量仍为 z。
所绘制的函数仍为 $f(z)=4z-z^3$ 。

数学含义

该图像用于定位 f 的零点，并读出每个区间上 $dz/dt$ 的符号。

在图像上标出平衡点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
绿色曲线与横轴相交处出现红色圆点。
声音
观察依据
讲解者指出，平衡点位于 -2、0 和 2 处，共三个。

图中对象

z 轴上的三个红色点
绿色三次曲线

变化过程

红色平衡点依次添加在曲线与横轴的交点处。

不变量

底层曲线 $f(z)=4z-z^3$ 不发生变化。

数学含义

与水平轴的交点代表该常微分方程的常数解。

z 轴上的向量场箭头

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
在由 -2、0 和 2 确定的四个区间内，沿水平轴绘制紫色箭头。
声音
观察依据
讲述者描述了每个区间上 $dz/dt$ 的符号。

图中对象

水平的 z 轴
紫色方向箭头
平衡点：-2、0、2

变化过程

箭头从左至右依次添加到各区间中。
箭头方向根据 $f(z)$ 的符号交替变化。

不变量

平衡点位置固定于 -2、0 和 2。

数学含义

箭头方向表示 z 在每个区间上随时间增加还是减少。

相线的构建

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
另画一条水平直线并标注为 z，在 -2 和 2 处标以实心红色圆点，在 0 处标以空心红色圆点。
声音
观察依据
主讲人指出，该系统的行为可通过仅绘制相线来概括：用实心圆点表示稳定平衡点，空心圆点表示不稳定平衡点。

图中对象

水平相线
在 -2 和 2 处绘制实心红色圆点
在 0 处绘制空心红色圆点
轴标签为 z

变化过程

一种新的简化一维图示取代了原先更详尽的基于图像的分析。
稳定平衡点用实心圆点标记，不稳定平衡点用空心圆点标记。

不变量

平衡值仍为 -2、0 和 2。
稳定性判定与上一步保持一致。

数学含义

相线是对动力系统的紧凑定性概括。

将原常微分方程嵌入一个含参数的方程族中

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $dz/dt = 4z - z^3 + c$ ，并在原方程下方标出 $C = 0$ 。
声音
观察依据
主讲人指出 c 是一个参数，且原方程对应于 $c=0$ 。

图中对象

修正后的方程为 $dz/dt=4z-z^3+c$
标注 $C=0$

变化过程

在等式右侧添加了一个新项 +c。
原方程被重新标记为特例 $C=0$ 。

不变量

三次部分 $4z-z^3$ 保持不变。
状态变量仍为 z。

数学含义

视觉上的变化标志着从单个常微分方程过渡到用于分岔讨论的一参数方程族。

初始预写设置

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一开始，黑板上已预先写有标题、方程 $dz/dt=4z-z^3$ 、平衡点列表、一条绿色的三次曲线，以及 $C=0$ 对应的相线。

图中对象

标题：“微分方程的分岔”
方程 $dz/dt = 4z - z^3$
平衡点列表
绿色三次曲线图
参数 $C = 0$ 对应的相线

变化过程

最初几秒内未绘制任何新内容；画面呈现的是 $C = 0$ 基准情形。

不变量

绿色曲线表示 $C = 0$ 时方程右端的函数图像。
所列平衡点为 -2、0 和 2。

数学含义

起始帧确立了参数变化开始前的未扰动情形。

写出 $C = 1$ 对应的方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
左下角的特例化完成为 $dz/dt = 4z - z^3 + 1$ 。

图中对象

左下方的方程行

变化过程

将 +1 项添加到参数化方程的特例中。

不变量

基础三次形式 $4z-z^3$ 保持不变。

数学含义

这标志着首个明确超出 $C=0$ 的参数值。

标记 $C=0$ 的函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
在绿色公式上添加一个 "+0"，使其变为 $f(z)=4z-z^3+0$ 。

图中对象

图示附近的绿色公式

变化过程

绿色表达式被重写，以显式呈现加性常数 0。

不变量

图像本身并不移动。

数学含义

讲师先将 $C=0$ 的右侧单独分离出来，定义为一个命名函数，再与后续情形进行比较。

写出 $C=1$ 的函数

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
一个蓝色公式 $f(z)=4z-z^3+1$ 被写在绿色公式上方。

图中对象

蓝色公式位于绿色公式上方

变化过程

$C=1$ 右侧出现一个新的彩色表达式。

不变量

绿色的 $C=0$ 公式仍保留在下方可见。

数学含义

颜色区分有助于辨识原函数与平移后的函数。

绘制 $C=1$ 曲线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
在图像上，一条蓝色三次曲线绘制在绿色曲线的上方。

图中对象

蓝色三次曲线
绿色三次曲线
坐标轴

变化过程

蓝色曲线位于绿色曲线的正上方。

不变量

两条曲线具有相同的三次形状。

数学含义

该图示将 $f_1$ 直观呈现为 $f_0$ 的垂直平移。

$C=1$ 的相线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
在 $C=1$ 方程下方绘制了一条水平相线，其上标出三个平衡点，并配有方向箭头。

待核验内容

刻度的精确数值位置未作标注。

图中对象

水平直线
三个平衡点标记
方向箭头

变化过程

一条新的相线出现在先前内容的下方。

不变量

从左到右，该模式保持稳定—不稳定—稳定。

数学含义

该相线编码了 $C=1$ 情形下各平衡点之间 $dz/dt$ 的符号。

引入 $C=2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
添加文字“ $c=2$ ”，随后是一个蓝色公式 $f_2(z)=4z-z^3+2$ ，以及另一条曲线/相线序列。

待核验内容

在此区间内，曲线与公式的实际绘制顺序仅为近似。

图中对象

文字 $c=2$
公式 $f_2(z)=4z-z^3+2$
额外的蓝色曲线
额外的相线

变化过程

添加了第二个平移后的三次曲线和一条新的相线。

不变量

函数形式保持为 $4z-z^3$ 加上一个常数。

数学含义

进一步增大 C 会使图像整体上移，并压缩左侧的一对平衡点。

易错点 · 5

记号由 z 切换为 $x_e$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该常微分方程用 z 表示，但平衡点标签使用 $x_e$ 。
声音
观察依据
主讲人在记号发生变化的同时，继续指代同一微分方程的平衡点。

误区

人们可能会认为 $x_e$ 表示一个与常微分方程中状态变量 z 不同的变量。

说明

在本片段中， $x_e$ 被用作同一维状态变量的平衡值的标签，该状态变量的演化由 $dz/dt$ 描述。

相线不只是平衡点的罗列

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
演讲者指出，如果我们仅掌握相线这一信息，就已经能够确定该动力系统的粗略行为。
图示
观察依据
相线既包含平衡位置，也包含稳定性标记。

误区

相线可能被误认为仅用于标出平衡点。

说明

本视频利用相线同时编码平衡位置及其稳定性，这已足以推断初始条件的定性归宿。

假设加入 C 后平衡点仍保持对称

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“但现在它们不再对称了。”

误区

人们或许会预期，在改变 C 后，平衡点仍关于 0 对称。

说明

视频明确指出，一旦引入 $C=1$ ，平衡点便不再对称。

混淆定性上的相同性与平衡点位置的完全一致

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
主讲人称相线“大致相同”，同时此前已描述过平衡点位置的移动。
图示
观察依据
不同 C 值对应的相线具有不同的标记位置，但箭头模式相同。

误区

说相线看起来一样，可能被误解为平衡点位于相同的位置。

说明

源自视频：这种‘相同’是定性的（均具有三个平衡点，且稳定性顺序相同），而非数值位置的相等。

分岔并不总意味着字面上的分裂

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：‘分岔意为分裂。尽管在此例中它并未导致平衡点发生任何分裂，我们仍沿用“分岔”一词。相反，平衡点只是消失了。’

误区

由于“分岔”一词本义为分裂，人们可能预期每一次分岔都会产生彼此分离的平衡点分支。

说明

在此例中，定性变化是两个平衡点的消失，而非可见的分裂事件，但它仍被称为分岔。

概念关系 · 19

正在研究的自治微分方程 → 利用 $f(z)$ 分析该常微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
演讲者指出，可通过绘制 $f(z)=4z-z^3$ 来分析该微分方程的行为。

应用

解释

该作图法直接应用于自治常微分方程，将其右端函数视为 $f(z)$ 。

利用 $f(z)$ 分析该常微分方程 → 原常微分方程的平衡点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
平衡点标在所绘三次函数的零点处。

证明依赖

解释

平衡位置由所绘函数 $f(z)$ 的零点读出。

原常微分方程的平衡点 → 各区间上 $dz/dt$ 的符号

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在为平衡点命名后，演讲者讨论了 $dz/dt$ 在这些平衡点所划分的各区间上的符号。

先修

解释

符号分析中所用的区间由平衡点决定。

各区间上 $dz/dt$ 的符号 → 根据箭头方向进行稳定性分类

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者根据向量场在每个平衡点处是指向该点还是远离该点，来推断其稳定性。

证明依赖

解释

稳定性分类源于向量场在相邻区间上的指向。

根据箭头方向进行稳定性分类 → 相线图示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者通过绘制带有实心圆和空心圆的相线，来总结系统行为。

应用

解释

相线记号将先前确定的稳定性信息以紧凑图示的方式呈现。

相线图示 → 由相线得出的长期行为

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者指出，仅凭相线即可判断初值大于零或小于零时解的走向。

证明依赖

解释

轨迹的长期归宿可直接从相线结构中读出。

引入参数 c → 正在研究的自治微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
原方程被推广为 $dz/dt=4z-z^3+c$ 。

推广

解释

参数化族包含了原常微分方程作为一个特例。

引入参数 c → 原方程即为 $c=0$ 的情形

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上在原方程下方写出 $C=0$ 。

特例

解释

令 $c=0$ ，恰好恢复为先前所分析的微分方程。

引入参数 c → 开始讨论 $c=1$ 的情形

时间近似

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上写出 $C=1$ ，并开始将其代入该参数化族方程。

待核验内容

$c=1$ 的分析在本片段中未完成。

特例

解释

选取 $c=1$ 会得到同一单参数族中的另一个特定成员。

含参微分方程 → 微分方程的分支现象

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
标题与含参方程同时出现在黑板上。

应用

解释

此处的分岔研究是通过改变参数族 $dz/dt=4z-z^3+C$ 中的参数 C 来进行的。

当 $C=0$ 时的平衡点 → 含参微分方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
平衡点直接列在方程 $dz/dt=4z-z^3$ 旁边。
图示
观察依据
绿色图像的交点对应所列出的平衡点。

证明依赖

解释

平衡点的取值由微分方程右端函数的零点确定。

稳定与不稳定的平衡点 → 相线表示法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
相线通过箭头方向编码了轨线趋近或远离平衡点的行为。
声音
观察依据
主讲人反复将外侧平衡点与稳定性、内侧平衡点与不稳定性关联起来。

应用

解释

稳定性分类是从相线所表示的方向场中直接读出的。

问题定位 · 23

本片段开头分析的是哪个微分方程？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
开场方程写在黑板上。

涉及知识点

正在研究的自治微分方程

如何从 $f(z)$ 的图像中找出平衡点？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人通过绘制 $f(z)$ 的图像来分析其行为，并随后指出平衡点。

涉及知识点

利用 $f(z)$ 分析该常微分方程
原常微分方程的平衡点

为什么-2和2被称为稳定的，而0被称为不稳定的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人根据箭头指向平衡点（趋近）或远离平衡点（发散）来推断其稳定性。

涉及知识点

各区间上 $dz/dt$ 的符号
根据箭头方向进行稳定性分类

相线上的实心圆点和空心圆点分别表示什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
相线上使用实心圆点和空心圆点。

涉及知识点

相线图示
根据箭头方向进行稳定性分类

相线告诉我们：不同初值条件的解最终会趋向何处？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出：初值大于零的解趋向于2，初值小于零的解趋向于-2。

涉及知识点

由相线得出的长期行为
相线图示

参数 c 在修改后的方程中起什么作用？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出 c 是一个参数，每个 c 值对应一个不同的微分方程。

涉及知识点

引入参数 c

原方程如何融入该参数族？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上在原方程下方写出 $C=0$ 。

涉及知识点

原方程即为 $c=0$ 的情形
引入参数 c

当 c 取值为 1 时会发生什么？

时间近似

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人开始讲解 $c=1$ 的情形，但视频片段在代入过程中结束。

待核验内容

本片段仅呈现了问题的设定。

涉及知识点

开始讨论 $c=1$ 的情形

本片段中用于阐释分岔现象的微分方程是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
标题与含参方程同时可见。

涉及知识点

微分方程的分支现象
含参微分方程

当 $C=0$ 时，平衡点及其稳定性分别是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
展示了 $C=0$ 时的平衡点列表。

涉及知识点

当 $C=0$ 时的平衡点
稳定与不稳定的平衡点

将 C 从0变为1会对图像和相线产生什么影响？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者分析了 $C=1$ 的情形。
图示
观察依据
绘制了蓝色曲线及对应的相线。

涉及知识点

右端函数族
相线表示法

为何在加入参数项后，平衡点不再具有对称性？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
但现在它们不再对称了。

涉及知识点

在加入 $C = 1$ 后对称性丧失
当 $C=0$ 时的平衡点

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 仅有标题卡片；尚无数学内容。

已覆盖 · 原微分方程被写出并口述。

已覆盖 · 介绍了绘制 $f(z)=4z-z^3$ 图像的方法，并画出了该图像。

已覆盖 · 标出了三个平衡点并加以标记。

已覆盖 · 陈述了每个区间上 $dz/dt$ 的符号，并画出了箭头。

已覆盖 · 推断并板书 -2、0 和 2 的稳定性。

已覆盖 · 单独绘制一条相线，并标出稳定点与不稳定点。

已覆盖 · 主讲人依据初始条件的极限性态来解释该相线。

已覆盖 · 简短停顿并过渡，引出含参数的方程。

已覆盖 · 写出并讲解含参数 c 的修正方程。

已覆盖 · 指出原方程对应参数 $c = 0$ 的情形。

已覆盖 · 过渡到选取其他参数值；此时尚未完成任何新的数学推导。

已覆盖 · 开始分析 $c = 1$ 的情形，但代入后的方程在本片段结束时仅部分完成。

已覆盖 · 初始板书状态展示了 $C=0$ 的方程、其平衡点、图像及相线。

已覆盖 · 讲师命名 $f_0$ 并引入 $f_1$ 以表示 $C=1$ 。

已覆盖 · 绘制并解读了 $C=1$ 对应的图像与相线。

已覆盖 · 写出 $C=2$ 的情形，并描述其平衡运动状态。

已覆盖 · 加入 $C=3$ 的情形，此时左侧两个平衡点变得非常接近。

已覆盖 · 讲师比较了 $C=0$ 、1、2、3 四种情形，并指出它们具有共同的定性规律。

已覆盖 · 讲师宣布下一步将分析 $C=4$ ，并开始书写一个新公式，但视频片段在此处结束，尚未展示对该公式的分析。

已覆盖 · 黑板上展示了参数族 $dz/dt=4z-z^3+C$ 以及若干标有标签的三次函数图像。

已覆盖 · 主讲人解释道：当 $C=4$ 时，仅剩一个平衡点，且该平衡点是稳定的。

已覆盖 · 画出了 $C=4$ 对应的相线，并对其进行了阐释。

已覆盖 · 短暂的黑色过渡画面，不含任何数学内容。

已覆盖 · 讲座对比了 $C=0$ 、1、2、3 与 $C=4$ 的情形，并指出所有初始条件都趋于正的平衡点。

已覆盖 · 定义了“分岔”一词，主讲人进一步说明：分岔未必涉及字面意义上的分裂。

已覆盖 · 写出了临界值 C^*=3.079，并总结了该值下方与上方的两种情形。

已覆盖 · 完成后的总结持续显示在屏幕上，同时主讲人转向另一种表示方式。

已覆盖 · 主讲人引入一种竖直重绘方式，将参数 C 置于横轴，从而构建分岔图。

已覆盖 · 针对参数 C 的若干整数值，分析其相线图，描述平衡点的运动与消失过程。

已覆盖 · 通过在离散的相线图之间插值得到分岔图，并加以解释。

探索视频中的知识

已审核的主题路径

分岔

微分方程的分岔

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

正在研究的自治常微分方程

通过绘制函数 f(z)f(z)f(z) 来分析该常微分方程

原方程的平衡点

dz/dtdz/dtdz/dt 的符号模式

由箭头方向判断稳定性

相线总结

由相线推断长期行为

含参数的常微分方程族

原方程即为 c=0c = 0c=0 的情形

开始分析 c=1c = 1c=1 的情形

dz/dt=4z−z3+Cdz/dt = 4z - z^3 + Cdz/dt=4z−z3+C 的分岔设定

C=0C=0C=0 时的平衡点及其稳定性

函数族 fC(z)=4z−z3+Cf_C(z)=4z-z^3+CfC​(z)=4z−z3+C

C=1C=1C=1 的效应：向上平移且对称性丧失

示例中使用的相线法

当 C 增大至 2 和 3 时的趋势

C=0C=0C=0、1、2、3 下的定性不变性

含参常微分方程族

由右端函数的零点确定平衡点

由f(z)f(z)f(z)的符号判断稳定性

C＝4时的相线

当 C＝4 时的全局吸引性

分岔的定义

分岔未必意味着字面上的‘分叉’

详细学习笔记

dzdt\frac{dz}{dt}dtdz​

f(z)f(z)f(z)

xex_exe​

c

C=0C=0C=0

C=1C=1C=1

dzdt\frac{dz}{dt}dtdz​

z

C

f0f_0f0​

f1f_1f1​

f2f_2f2​

正在研究的自治微分方程

利用 f(z)f(z)f(z) 分析该常微分方程

原常微分方程的平衡点

各区间上 dz/dtdz/dtdz/dt 的符号

根据箭头方向进行稳定性分类

相线图示

由相线得出的长期行为

引入参数 c

原方程即为 c=0c=0c=0的情形

开始讨论 c=1c=1c=1的情形

微分方程的分支现象

含参微分方程

平衡点的个数与位置

三个平衡点的稳定性

轨线相对于不稳定平衡点的归宿

改变 c 的影响

从 C=0C=0C=0 到 C=1C=1C=1 的垂直平移

C=1C = 1C=1 时的平衡点个数与稳定性

在加入 C=1C = 1C=1 后对称性丧失

C=1C = 1C=1 时平衡点的移动方向。

C=2C=2C=2 时的平衡运动

当 C=3C=3C=3 时，左侧平衡点几乎重合。

C＝0、1、2、3 时的常见相线模式

当 C＝4 时，仅存在一个平衡点

从 f(z)f(z)f(z) 的图像中求平衡点

由 dz/dtdz/dtdz/dt 的符号到稳定性分类

用相线概括动力学行为

从基础方程到含参函数族

从平移后的图像读取 C=1C=1C=1 的相线。

C 经过 2 和 3 时的变化趋势

比较所展示的四个参数取值

从图像出发推导 C=4C=4C=4 时的相线行为

总结分岔阈值

分岔图的构建

对原方程的完整分析过程

c=1c=1c=1例题的开始

基准例子：C=0C=0C=0

示例：C=1C = 1C=1

通过绘制函数 $f(z)$ 来分析该常微分方程

$dz/dt$ 的符号模式

原方程即为 $c = 0$ 的情形

开始分析 $c = 1$ 的情形

$dz/dt = 4z - z^3 + C$ 的分岔设定

$C=0$ 时的平衡点及其稳定性

函数族 $f_C(z)=4z-z^3+C$

$C=1$ 的效应：向上平移且对称性丧失

$C=0$ 、1、2、3 下的定性不变性

由 $f(z)$ 的符号判断稳定性

$\frac{dz}{dt}$

$f(z)$

$x_e$

$C=0$

$C=1$

$\frac{dz}{dt}$

$f_0$

$f_1$

$f_2$

利用 $f(z)$ 分析该常微分方程

各区间上 $dz/dt$ 的符号

原方程即为 $c=0$ 的情形

开始讨论 $c=1$ 的情形

从 $C=0$ 到 $C=1$ 的垂直平移

$C = 1$ 时的平衡点个数与稳定性

在加入 $C = 1$ 后对称性丧失

$C = 1$ 时平衡点的移动方向。

$C=2$ 时的平衡运动

当 $C=3$ 时，左侧平衡点几乎重合。

从 $f(z)$ 的图像中求平衡点

由 $dz/dt$ 的符号到稳定性分类

从平移后的图像读取 $C=1$ 的相线。

从图像出发推导 $C=4$ 时的相线行为

$c=1$ 例题的开始

基准例子： $C=0$

示例： $C = 1$

例如： $C=2$

示例： $C = 3$

$C = 0$ 对应的平衡点

$C = 4$ 对应的平衡点。

写出 $C = 1$ 对应的方程

标记 $C=0$ 的函数

写出 $C=1$ 的函数

绘制 $C=1$ 曲线

$C=1$ 的相线

引入 $C=2$

记号由 z 切换为 $x_e$

正在研究的自治微分方程 → 利用 $f(z)$ 分析该常微分方程

利用 $f(z)$ 分析该常微分方程 → 原常微分方程的平衡点

原常微分方程的平衡点 → 各区间上 $dz/dt$ 的符号

各区间上 $dz/dt$ 的符号 → 根据箭头方向进行稳定性分类

引入参数 c → 原方程即为 $c=0$ 的情形

引入参数 c → 开始讨论 $c=1$ 的情形

当 $C=0$ 时的平衡点 → 含参微分方程

如何从 $f(z)$ 的图像中找出平衡点？

当 $C=0$ 时，平衡点及其稳定性分别是什么？