解析几何入门 | 几何学 | Letstute

1. 声音
   观察依据

   讲解员说，横轴称为x轴。

2. 图示
   观察依据

   画出一条两端带箭头的水平直线，并标注为X轴；其右端标为X，左端标为X'。

X-axis / $X / X$'

水平坐标轴；X表示正方向一侧，X'表示负方向一侧。

平面图形／笛卡尔平面

1. 声音
   观察依据

   讲解员说，纵轴称为y轴。

2. 图示
   观察依据

   画出一条两端带箭头的竖直直线，并标注为Y轴；其上端标为Y，下端标为Y'。

Y-axis / $Y / Y$'

竖直坐标轴；Y表示正方向一侧，Y'表示负方向一侧。

平面图形／笛卡尔平面

1. 声音
   观察依据

   讲解员说，两轴的交点称为原点。

2. 图示
   观察依据

   在交点处出现一个红点，并标注为“原点”。

3. 公式
   观察依据

   原点写作（0，0）。

Origin / (0,0)

x轴与y轴的交点，用坐标（0，0）表示。

笛卡尔平面

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出该平面被划分为四个相等的部分，并依次命名为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

2. 图示
   观察依据

   这四个区域分别编号为1、2、3、4，然后标注为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

I, II, III, IV Quadrant

平面上两条坐标轴相交所形成的四个区域。

笛卡尔平面

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出该点在正x轴方向覆盖两个单位，在正y轴方向覆盖三个单位，因此其位置据此确定。

2. 图示
   观察依据

   第一象限中有一个蓝色点，标注为（2，3），并用箭头分别标示x坐标与y坐标。

3. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的坐标对为（2，3）。

(2,3)

示例点的坐标：x坐标为2，y坐标为3。

笛卡尔平面的第一象限

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出x坐标也称为横坐标。

2. 图示
   观察依据

   标签‘x坐标’被扩展为‘x坐标（横坐标）’。

abscissa

点的横坐标的另一种名称。

坐标几何

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，纵坐标也称为“纵坐标（ordinate）”。

2. 图示
   观察依据

   标签“纵坐标”被扩展为“纵坐标（纵坐标）”。

ordinate

点的纵坐标的另一种名称。

坐标几何

1. 图示
   观察依据

   一个蓝色的点位于平面右上方着色区域内，标记为$(2,3)$。

(2,3)

平面上某一点的示例坐标。

平面坐标

1. 图示
   观察依据

   水平轴与垂直轴的交点标记为$(0,0)$。

(0,0)

原点，即x轴与y轴的交点。

平面坐标

1. 图示
   观察依据

   水平轴标记为“x轴”。

2. 声音
   观察依据

   说话者将x轴称为两条参考轴之一。

x-axis

用于第一个坐标的水平参考轴。

坐标平面

1. 图示
   观察依据

   垂直轴标记为“y轴”。

2. 声音
   观察依据

   说话者将y轴称为另一条参考轴。

y-axis

用于第二个坐标的垂直参考轴。

坐标平面

1. 声音
   观察依据

   说话者说该坐标的值为负三逗号负四。

2. 图示
   观察依据

   作图辅助线相交后，所描出的点标记为$(-3,-4)$。

(-3,-4)

示例点在平面上的坐标。

平面坐标

1. 声音
   观察依据

   讲解者欢迎观众参加本次坐标几何课程，并表示将学习与该主题相关的基本概念。

2. 图示
   观察依据

   黑板标题显示“坐标几何”，屏幕上同时出现“基本概念”。

本片段将坐标几何介绍为：研究在平面上利用参考轴来确定点位置所用的基本概念。

1. 讨论设定在一张平面纸或任意平面表面上。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，需考虑两条轴：称为x轴的水平轴和称为y轴的垂直轴，它们的交点称为原点。

2. 图示
   观察依据

   一条标有“X轴”的水平直线与一条标有“Y轴”的垂直直线相交于一个标为“原点”的红色点。

3. 公式
   观察依据

   原点表示为（0，0）。

在本图所示的笛卡尔坐标系中，水平轴为x轴，垂直轴为y轴，两轴交点为原点，记作（0，0）。正方向分别标为X和Y，相反方向则标为X'和Y'。

1. 在平面表面上画出两条坐标轴。

2. 两条坐标轴相交于一点。

1. 坐标几何简介

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出：当这两条坐标轴画在任意一张平面纸或任意平面上时，会将该平面划分为四个相等的部分，分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

2. 图示
   观察依据

   平面被框出，四个区域依次编号为1、2、3、4，随后分别着色并标注为“I象限”、“II象限”、“III象限”、“IV象限”。

相交的x轴与y轴将平面划分为四个区域，称为象限。按图中所示惯例，右上方区域为I象限，左上方为II象限，左下方为III象限，右下方为IV象限。

1. 两条坐标轴已经画出并相交。

1. 坐标轴与原点

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出：x轴在原点右侧取正值，左侧取负值；同理，y轴在原点上方取正值，下方取负值。

2. 图示
   观察依据

   坐标轴上标有刻度线，正数位于右侧和上方，负数位于左侧和下方。

在x轴上，数值从原点向右为正向增大，向左为负向增大；在y轴上，数值从原点向上为正向增大，向下为负向增大。

1. 原点被固定为参考点。

1. 坐标轴与原点

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，x轴与y轴的这些数值帮助我们确定平面上任意一点的位置，而这种表示点位置的方式称为坐标。

2. 图示
   观察依据

   屏幕上依次显示文字：平面上任意一点的位置；参考：x轴、y轴；并在第一象限中标出一个点，标注为（2,3），并附带指向该点的箭头，箭头上标有“坐标”。

坐标是用有序数字表示某一点相对于x轴和y轴位置的方式。在所展示的例子中，该点沿x轴方向定位2个单位，沿y轴方向定位3个单位，从而得到（2,3）。

1. 存在一对相互垂直的参考坐标轴。

2. 该点与坐标轴位于同一平面内。

1. 坐标轴上的符号约定

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，x轴上的数值称为x坐标，y轴上的数值称为y坐标。

2. 图示
   观察依据

   箭头分别将水平分量标注为X坐标，将垂直分量标注为Y坐标。

对于以(a,b)形式表示的点，第一个分量是x坐标，表示沿x方向相对于y轴的位移；第二个分量是y坐标，表示沿y方向相对于x轴的位移。在示例(2,3)中，2是x坐标，3是y坐标。

1. 该点以有序数对的形式表示。

1. 坐标作为位置的表示方式

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，x坐标也称为横坐标，y坐标也称为纵坐标。

2. 图示
   观察依据

   标签变为X坐标（横坐标）和Y坐标（纵坐标）。

x坐标也称为横坐标，y坐标也称为纵坐标。它们是点的坐标对中两个分量的另一种名称。

1. 该点已用坐标描述。

1. x坐标和y坐标

1. 声音
   观察依据

   主讲人将坐标定义为点的位置或地址，并将其类比为门牌号、巷弄号与区号。

2. 图示
   观察依据

   屏幕文字显示：“坐标：点的位置或地址”，随后显示“在平面上定位一个点的参考依据”。

坐标是用于在平面上定位一个点的参考依据。视频通过类比地址来引入这一概念：正如住宅可通过街道、巷弄与区号来确定，一个点也可通过其坐标值来确定。

1. 适用于在平面上定位一个点。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，两条参考轴——x轴和y轴——称为坐标轴。

2. 图示
   观察依据

   箭头将水平轴和垂直轴标注为“坐标轴”。

x轴和y轴是平面的两条参考轴；它们共同提供了读取两个坐标的两个方向。

1. 用于视频中展示的笛卡尔平面。

1. 坐标的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，整个系统称为坐标系，并以勒内·笛卡尔的名字命名为笛卡尔坐标系。

2. 图示
   观察依据

   屏幕文字列出“1. 坐标”和“2. 坐标轴”，随后将二者组合标注为“坐标系”和“笛卡尔坐标系”。

坐标的集合与坐标轴共同构成一个坐标系；视频指出，这一特定系统即为笛卡尔坐标系，以勒内·笛卡尔命名。

1. 指由坐标加上x轴和y轴所构建的平面系统。

1. 坐标的定义
2. 坐标轴

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，当该坐标系的概念被运用于几何学时，便称为坐标几何。

2. 图示
   观察依据

   屏幕标题“坐标几何”被突出显示。

坐标几何是在几何中运用坐标系的方法。视频中，在定义了笛卡尔坐标系之后，将其作为本节的主题标题呈现。

1. 当在几何中应用坐标系相关概念时适用。

1. 坐标系与笛卡尔坐标系

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，坐标的符号取决于其所处的象限。

2. 图示
   观察依据

   四个区域分别标注为$(+,+)$、$(-,+)$、$(-,-)$和$(+,-)$。

视频解释道，坐标的正负性取决于其所处的象限。屏幕上显示的符号规律展示了平面上四个区域中x值与y值的符号变化情况。

1. 适用于不在坐标轴上的点，如象限标签所示。

1. 坐标的定义
2. 坐标轴

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，该点在正x轴方向覆盖两个单位，在正y轴方向覆盖三个单位，因此其位置将据此给出。

2. 图示
   观察依据

   一个蓝色的点位于第一象限，虚线向导线将其分别连接至x轴上的2和y轴上的3。

3. 公式
   观察依据

   该点标记为(2,3)。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从坐标平面第一象限内绘制的一个点开始。

   步骤依据

   视频在说明坐标轴有助于定位点之后，引入了一个具体的示例点。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   沿正x轴方向，读取该点相对于原点的水平位移。

   步骤依据

   x轴的符号约定此前已确立：原点右侧为正方向。

   视频直接表达
3. 公式

   $$2$$
   解释

   水平位移为2个单位。

   步骤依据

   从该点引出的辅助线与x轴交于2处，讲解者说明这是正x轴上的两个单位。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   沿正y轴方向，读取该点相对于原点的竖直位移。

   步骤依据

   y轴的符号约定此前已确立：原点上方为正方向。

   视频直接表达
5. 公式

   $$3$$
   解释

   竖直位移为3个单位。

   步骤依据

   从该点引出的辅助线与y轴交于3处，讲解者说明这是正y轴上的三个单位。

   视频直接表达
6. 公式

   $$(2,3)$$
   解释

   将水平位移与竖直位移合并为一个有序数对。

   步骤依据

   根据刚刚介绍的坐标定义，该位置由一对坐标轴上的数值表示。

   视频直接表达

示例点的坐标为（2，3），其横坐标为2，纵坐标为3。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，先取x坐标，再取y坐标，并说明二者在所要求的值处相交。

2. 动画
   观察依据

   在$x = -3$处画一条竖直线，再在$y = -4$处画一条水平线，它们的交点标记为(-3,-4)。

1. 公式

   $$(-3,-4)$$
   解释

   从待定位的点所对应的有序数对开始。

   步骤依据

   音频中给出并在屏幕上以示例坐标形式呈现。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x=-3$$
   解释

   用第一个坐标确定x轴上的水平位置。

   步骤依据

   主讲人明确指出要先取x坐标。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y=-4$$
   解释

   用第二个坐标确定y轴上的垂直位置。

   步骤依据

   主讲人将下一个数值明确标识为y坐标。

   视频直接表达
4. 公式

   $$(-3,-4)$$
   解释

   过$x = -3$的竖直线与过$y = -4$的水平线的交点即为所求的点。

   步骤依据

   动画展示了两条参考线在标出的点处相交。

   视频直接表达

坐标为(-3,-4)的点位于对应于$x = -3$和$y = -4$的两条直线的交点处。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说道：“例如，这里有一个点……这个点在正x轴方向覆盖两个单位，在正y轴方向覆盖三个单位……x轴方向两个单位，y轴方向三个单位。”

2. 图示
   观察依据

   第一象限中一个蓝色点通过虚线分别连接到x轴上的2和y轴上的3，然后标注为（2，3）。

3. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的坐标对为（2，3）。

利用x轴和y轴作为参考，找出第一象限中屏幕上所显示点的坐标。

1. 绘制了一个带有x轴和y轴的笛卡尔平面。

2. 该点位于第一象限。

3. 水平参考值为正x轴上的2。

4. 垂直参考值为正y轴上的3。

用坐标表示该点的位置，并指出它的横坐标分量和纵坐标分量。

1. 公式

   $$$$
   解释

   以坐标轴作为定位的参考。

   步骤依据

   讲解者明确指出，要确定位置，需要参考x轴和y轴。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2$$
   解释

   测量该点沿正x轴方向的位移。

   步骤依据

   从该点引出的虚线指引线到达x轴上的数值2。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3$$
   解释

   测量该点沿正y轴方向的位移。

   步骤依据

   从该点引出的虚线指引线到达y轴上的数值3。

   视频直接表达
4. 公式

   $$(2,3)$$
   解释

   将该位置写作一个有序数对。

   步骤依据

   视频中将这种表示方法定义为“坐标”。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   将2识别为x坐标（横坐标），将3识别为y坐标（纵坐标）。

   步骤依据

   图中标注了“X坐标（横坐标）”和“Y坐标（纵坐标）”。

   视频直接表达

该点为（2,3）；其x坐标为2，y坐标为3。

答案与屏幕上显示的标签（2,3）、X坐标（横坐标）及Y坐标（纵坐标）一致。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将坐标比作用门牌号、巷弄号和邮政编码来给出家庭住址。

2. 图示
   观察依据

   一幅房屋插图出现，配文为“住址”、“门牌号：221B”、“巷弄号：010”、“邮政编码：007”以及“参考依据”。

在绘制一个点之前，如何引出坐标的观念？

1. 家庭可通过门牌号、巷弄号和邮政编码等住址信息加以识别。

将坐标解释为用于定位某物的参考依据。

1. 公式

   $$$$
   解释

   引入日常生活中“住址”的概念：它是一组用于抵达某家庭的参考依据。

   步骤依据

   该观点在音频中被直接陈述，并由屏幕上的住址标签加以强化。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   将同一思想迁移到平面：坐标是用于定位平面上某一点的参考依据。

   步骤依据

   主讲人明确说道：“类似地，这些坐标就是定位平面上某一点的参考依据。”

   视频直接表达

坐标的作用就像住址：它们是一组参考数值，用于标识某一点所在的位置。

视觉类比与口头讲解完全一致。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“假设我们已知一个坐标点为负三、负四，现在要确定这个点的位置。”

2. 动画
   观察依据

   辅助线与最终标注（-3,-4）出现在坐标平面上。

在笛卡尔平面上标出坐标为（-3,-4）的点。

1. 该点的坐标是（-3,-4）。

2. 平面中x轴与y轴已标注，原点为（0,0）。

找出该点在平面上的确切位置。

1. 公式

   $$x=-3$$
   解释

   将第一个坐标读作x值，并沿水平轴移动到-3处。

   步骤依据

   主讲人指出应先取x坐标。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y=-4$$
   解释

   将第二个坐标读作y值，并沿竖直轴移动到-4处。

   步骤依据

   主讲人指出下一个数值是y坐标。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(-3,-4)$$
   解释

   标记对应的竖直参考线与水平参考线的交点。

   步骤依据

   动画展示了两条直线在标出的点处相交。

   视频直接表达

该点位于（-3，-4）。

最终绘制的标签与给定的有序数对一致。

1. 图示
   观察依据

   第一象限中有一个蓝色圆点，标注为“(2,3)”，并用箭头标出其横坐标和纵坐标。

识别第一象限中所显示点的坐标分量。

1. 该点位于(2,3)。

2. 坐标轴分别标注为“x轴”和“y轴”。

读出横坐标和纵坐标，并说出它们的名称。

1. 公式

   $$(2,3)$$
   解释

   有序数对给出了该点的水平参考和垂直参考。

   步骤依据

   在回顾幻灯片中直接展示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{X-Coordinate (abscissa)} = 2,\quad \text{Y-Coordinate (Ordinate)} = 3$$
   解释

   第一个分量是横坐标，第二个分量是纵坐标。

   步骤依据

   幻灯片相应地标注了这两个分量。

   视频直接表达

该点的横坐标为2，纵坐标为3。

该点位于标记为(+, +)的象限中，这与两个坐标均为正值一致。

1. 动画
   观察依据

   先画一条水平双向箭头线，再画一条垂直双向箭头线与其相交，交点处出现一个红点。

2. 图示
   观察依据

   依次添加X轴、Y轴、原点及点（0,0）的标签。

1. 横轴

2. 纵轴

3. 交点

4. 添加X轴、Y轴、原点及（0,0）的标签

1. 先绘制横轴，再绘制纵轴。

2. 交点以红色高亮显示。

3. 在直线绘制完成后添加文字标签。

1. 在所显示的布局中，坐标轴保持笔直且互相垂直。

2. 交点始终为原点。

该动画逐步构建基本的笛卡尔坐标系：两条互相垂直的参考线及其公共原点。

1. 动画
   观察依据

   四个区域首先依次编号为1、2、3、4，然后填充不同颜色，并标注为第一象限至第四象限。

2. 图示
   观察依据

   右上区域为黄色，左上区域为绿色，左下区域为青色，右下区域为紫色。

1. 平面上的四个区域

2. 数字编号1–4

3. 象限名称标签

4. 彩色填充

1. 数字出现在正式的象限名称之前。

2. 每个区域均被赋予一种独特的颜色。

3. 标签从数字编号逐步过渡为罗马数字形式的象限名称。

1. 坐标轴持续将平面精确划分为四个区域。

2. 各区域的空间顺序保持不变。

着色强调了相交的坐标轴将平面划分为四个有名称的区域。

1. 动画
   观察依据

   刻度标记和整数先出现在x轴上，再出现在y轴上。

2. 图示
   观察依据

   正整数从原点向右、向上延伸；负整数从原点向左、向下延伸。

1. x轴刻度标记

2. y轴刻度标记

3. 正整数

4. 负整数

5. 原点

1. 在标出象限名称之后，再添加刻度标记。

2. 通过数字，正方向和负方向变得明确。

1. 原点仍作为零参考点。

2. 坐标轴保持互相垂直。

带数字刻度的轴将定性坐标轴转化为带符号的坐标系。

1. 动画
   观察依据

   一个蓝色点出现在第一象限，随后虚线辅助线将其连接至坐标轴。

2. 图示
   观察依据

   该点被标记为（2,3），箭头分别标出“坐标”、“横坐标”和“纵坐标”。

1. 蓝色点

2. 水平虚线辅助线

3. 竖直虚线辅助线

4. 标签（2,3）

5. 分量标签

1. 该点在介绍平面上任意一点位置的文字之后被引入。

2. 绘制辅助线至坐标轴，以显示各分量的数值。

3. 附加的标签用于标识坐标的各个分量。

1. 该点始终位于第一象限。

2. 所参照的坐标轴数值保持为2和3。

视觉辅助线展示了如何将一个点的位置分解为x分量和y分量。

1. 图示
   观察依据

   展示了一个带坐标轴、原点（0，0）和示例点（2，3）的彩色笛卡尔平面。

1. x 轴

2. y 轴

3. 原点（0，0）

4. 点（2，3）

5. 四个彩色区域

1. 文字标签将坐标介绍为点的位置或地址。

1. 坐标轴始终保持垂直，并在原点处相交。

2. 示例点（2，3）固定在右上方区域。

开场画面先呈现坐标平面、坐标轴，以及坐标对的含义，再开始任何描点操作。

1. 动画
   观察依据

   出现一座房屋图形，附有“地址”及参考字段，例如“街道号”“巷弄号”和“区号”。

1. 房屋图标

2. 地址标签

3. 街道号：221B

4. 巷弄号：010

5. 区号：007

6. 参考字段

1. 地址字段依次出现在房屋图像下方。

1. 坐标平面始终保留在该类比图旁可见。

该动画将日常地址参照映射到数学坐标上，从而支持将坐标定义为定位参照。

1. 动画
   观察依据

   在 $x = -3$ 处画一条竖直线，再在 $y = -4$ 处画一条水平线，它们的交点标记为 (-3, -4)。

1. 坐标平面

2. 位于 $x = -3$ 的竖直参照线

3. 位于 $y = -4$ 的水平参照线

4. 交点 (-3, -4)

1. 首先强调 x 参照，再强调 y 参照，最后标出交点。

1. 坐标轴与原点保持固定不变。

2. 目标有序数对在整个作图过程中始终为 (-3, -4)。

该动画演示了：一个有序数对通过其坐标参照线的交点，唯一确定一个点。

1. 图示
   观察依据

   符号标签出现在四个区域中：右上区域为 (+, +)，左上区域为 (-, +)，左下区域为 (-, -)，右下区域为 (+, -)。

1. 四个彩色象限

2. 符号标签（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）

1. 在标出示例点后，逐区域添加符号注释。

1. 坐标轴持续将平面划分为四个区域。

该图示直观表达了点位于各坐标轴哪一侧时，其横坐标 x 与纵坐标 y 的符号变化规律。

1. 图示
   观察依据

   坐标轴、坐标系、笛卡尔坐标系、勒内·笛卡尔肖像、解析几何等标签依次出现。

1. 坐标平面

2. 列表：1. 坐标，2. 坐标轴

3. 标注“坐标系”

4. 标注为“勒内·笛卡尔”的肖像

5. 标注笛卡尔坐标系

6. 高亮标题：坐标几何

1. 总结从坐标系的组成部分逐步推进到完整的坐标系名称，再上升至学科标题。

1. 底层平面图始终保持可见，同时逐个添加标注。

该序列以视觉方式构建出层级结构：坐标与坐标轴构成坐标系；这一特定坐标系称为笛卡尔坐标系；将其运用于几何学便形成坐标几何。

1. 动画
   观察依据

   出现一个分支大纲，包含距离公式、分点公式和三角形面积，并为前两个主题附上小型坐标示意图。

1. 标题：坐标几何

2. 分支1距离公式

3. 分支2分点公式

4. 分支3三角形面积

5. 点($x_1$,$y_1$)、($x_2$,$y_2$)、(?,?)

1. 分支从左到右依次出现。

2. 距离公式分支在两点之间增加了一条线段。

3. 定比分点公式分支增加了一个第三点及比例标注。

4. 三角形面积分支最后仅以标题形式出现。

1. 这三个分支均被呈现为坐标几何的后续子主题。

结尾动画将当前导论置于更宏大的课程序列中，并区分接下来三个主题各自的目的。

1. 图示
   观察依据

   一张薄荷绿色幻灯片，标题为“坐标几何”，展示三个分支：距离公式、分点公式、三角形面积。

2. 动画
   观察依据

   在右侧分支中，第三个点出现，三角形随之闭合，并以蓝色填充。

1. 流程图标题

2. 小型坐标平面示意图

3. 各点标注为（x1,y1）、（x2,y2）、（x3,y3）

4. 蓝色填充的三角形

1. 面积板块中的第三个点变得可见。

2. 三角形的三条边绘制完成。

3. 三角形内部被填充为蓝色。

1. 本单元的三主题结构在开场全程保持可见。

该动画直观地将‘三个坐标点构成三角形’的语言描述，与即将展开的‘三角形面积’主题关联起来。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片切换为手绘风格的坐标平面，包含四个彩色象限及坐标轴标签。

2. 动画
   观察依据

   文字与标签逐步出现：象限名称、示例点（2,3）、坐标的定义、符号规律，以及带勒内·笛卡尔头像的‘笛卡尔坐标系’。

1. 横轴

2. 纵轴

3. 原点 O

4. 四个彩色象限

5. 示例点（2,3）

6. 坐标的文字标签及系统名称

7. 勒内·笛卡尔肖像

1. 象限名称最先出现。

2. 随后添加一个示例点及其坐标标签。

3. 坐标定义出现。

4. 符号规律取代或补充象限标签。

5. 该系统被命名为“笛卡尔坐标系”，并与勒内·笛卡尔相关联。

1. 底层的垂直轴布局保持固定，而各类标注逐步叠加。

回顾环节采用分层标注的方式，从原始坐标轴逐步过渡到术语、示例读法、象限符号规律及历史命名。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说道：在任意平面纸张或任意平面上，它都将该平面划分为四个相等的部分。

2. 图示
   观察依据

   在坐标轴周围展示了一个带边框的平面区域。

1. 讲解员说出‘四个相等的部分’这一短语，但画面上的边框仅为示意图，并非对所有平面表示中‘相等性’的严格证明。

人们可能误以为坐标系仅适用于一张实际的纸。

视频明确地从平面纸张推广到任意平面；坐标轴在平面上定义了一种坐标结构，而不仅限于物理纸页。

1. 图示
   观察依据

   该点被标记为(2,3)，其中2与x轴关联，3与y轴关联。

2. 声音
   观察依据

   讲解员分别区分了x坐标和y坐标。

有人可能将（2,3）和（3,2）视为同一位置，因为它们使用了相同的数字。

在此系统中，第一个分量对应x坐标，第二个分量对应y坐标，因此顺序至关重要。这种顺序隐含在带标签的示例中，也体现在‘x坐标’与‘y坐标’的分别命名里。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出：定位点(-3,-4)时，应先取x坐标，再取y坐标。

2. 动画
   观察依据

   作图过程遵循该顺序：先由x作竖直参考线，再由y作水平参考线。

有人可能认为有序数对中的两个数可任意调换顺序使用，而不会改变所表示的点。

本视频将有序数对的第一个数视为x坐标，第二个数视为y坐标，且绘图步骤依赖于这一顺序。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，坐标的符号取决于其所处的象限。

2. 图示
   观察依据

   不同象限用不同的符号模式标注。

可以假设无论点位于何处，x 和 y 的符号始终相同。

视频展示了符号模式随象限变化：〔+〕、〔+〕；〔−〕、〔+〕；〔−〕、〔−〕；〔+〕、〔−〕。

1. 声音
   观察依据

   旁白仅说明本视频将展示如何求由三个点构成的三角形的面积。

2. 图示
   观察依据

   本片段中未显示代数形式的面积公式。

人们可能从‘如何求面积’这一表述推断，实际公式在此处已给出。

本节仅设定问题类型，并展示三个坐标点构成三角形；并未呈现面积公式本身。

1. 声音
   观察依据

   讲述者说，当这两条坐标轴画出时……便将该平面划分为四个相等的部分。

2. 图示
   观察依据

   四个着色区域紧随坐标轴与原点确立之后出现。

正是两条相交坐标轴的存在，才形成了平面上所示的四个象限。

1. 声音
   观察依据

   讲述者首先解释每条坐标轴上正方向与负方向的含义，再利用这些方向确定点（2,3）的位置。

2. 图示
   观察依据

   有向刻度出现在示例点及其坐标标注之前。

在解读诸如+2和+3之类的坐标值之前，必须先理解原点哪一侧为正、哪一侧为负。

1. 声音
   观察依据

   在定义坐标之后，讲述者将x轴上的数值称为x坐标，将y轴上的数值称为y坐标。

2. 图示
   观察依据

   ‘坐标’这一标签指向（2,3），随后用独立箭头分别标注‘x坐标’与‘y坐标’。

坐标的普遍概念包含两个具体组成部分：x坐标与y坐标。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，X 坐标也称为横坐标，Y 坐标也称为纵坐标。

2. 图示
   观察依据

   括号内的术语被附加到现有组件标签之后。

横坐标是 x 坐标的另一种名称，纵坐标是 y 坐标的另一种名称。

1. 声音
   观察依据

   讲解从定义坐标出发，进而将 x 轴和 y 轴命名为坐标轴。

2. 图示
   观察依据

   总结列表将“坐标”与“坐标轴”并列放置。

理解坐标的含义，有助于观众理解提供两个参考方向的坐标轴。

1. 图示
   观察依据

   列表“1. 坐标”和“2. 坐标轴”被整体框出，并标注为“坐标系”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，整个系统被称为坐标系。

坐标系包含坐标作为其组成部分之一。

1. 图示
   观察依据

   同一份总结列表中，坐标轴也被包含在坐标系之内。

坐标系还包含坐标轴作为其第二部分。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，该坐标系以勒内·笛卡尔命名，称为笛卡尔坐标系。

2. 图示
   观察依据

   标签从“坐标系”更改为“笛卡尔坐标系”。

本视频中所展示的坐标系被认定为笛卡尔坐标系，这是坐标系的一种特定命名形式。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，当这一坐标系的概念应用于几何学时，便称为坐标几何。

坐标几何将笛卡尔坐标系应用于几何问题。

1. 图示
   观察依据

   符号规律被置于由x轴和y轴划分出的各个区域中。

象限符号规则取决于坐标轴对平面的划分。

1. 图示
   观察依据

   距离公式作为分支1出现在标题“坐标几何”之下。

距离公式被列为坐标几何中的一个主要子主题。

1. 图示
   观察依据

   分点公式作为分支2出现在标题“坐标几何”之下。

分点公式被列为坐标几何中的另一个主要子主题。

1. 声音
   观察依据

   讲解者将交点定义为原点。

2. 公式
   观察依据

   原点表示为（0，0）。

1. 坐标轴与原点

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，坐标轴将平面划分为四个相等的部分，分别命名为第一象限至第四象限。

2. 图示
   观察依据

   四个彩色区域分别标注为 I 象限至 IV 象限。

1. 坐标平面的四个象限

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出两条坐标轴上均有正方向与负方向。

2. 图示
   观察依据

   坐标轴上标有带符号的数。

1. 坐标轴上的符号约定

1. 声音
   观察依据

   讲解员指出，该点在正x轴方向上覆盖两个单位，在正y轴方向上覆盖三个单位。

2. 图示
   观察依据

   虚线辅助线将该点分别连接至2和3，并显示标签（2,3）。

1. 坐标作为位置的表示方式
2. 在第一象限中定位一个点
3. 推导示例点的坐标

1. 声音
   观察依据

   讲解员说明，x坐标也称为横坐标，y坐标也称为纵坐标。

2. 图示
   观察依据

   这些术语以括号形式出现在各分量标签旁。

1. 横坐标与纵坐标的术语

1. 声音
   观察依据

   主讲人将坐标定义为一个点的位置或地址。

1. 坐标的定义

1. 动画
   观察依据

   点（-3，-4）由其x方向和y方向的参考值构造而成。

1. 坐标的定义
2. 各象限中坐标的符号

1. 图示
   观察依据

   四个象限用符号模式标注。

1. 各象限中坐标的符号

1. 声音
   观察依据

   主讲人将x轴和y轴称为坐标轴。

1. 坐标轴

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，该系统以勒内·笛卡尔命名，称为笛卡尔坐标系。

1. 坐标系与笛卡尔坐标系

1. 声音
   观察依据

   主讲人将坐标几何定义为在几何中使用坐标系。

1. 坐标几何

1. 图示
   观察依据

   结尾提纲列出了距离公式、分点公式和三角形面积。

1. 距离公式预览
2. 分点公式预览
3. 三角形的面积预览