二重积分的换元法

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学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

0:00画面采用双栏布局，左侧建立常规的二维直角坐标系 $xOy$，右侧构建由极角 $\theta$ 和极径 $r$ 组成的参数平面。动画首先在左侧描绘出一个以原点为中心、半径标记为 1 的实心圆盘，并用细密网格示意其面积构成；紧接着在右侧生成对应的红色矩形框，横向刻度覆盖 $[0, 1]$，纵向延伸至 $2\pi$。此举形象地揭示了非线性几何图形在线性参数空间中的规整形态。

0:14上方弹出花括号括起的坐标代换关系式：$x = r \cos \theta$ 与 $y = r \sin \theta$。随即在正中位置写出相应的雅可比矩阵行列式 $J = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{vmatrix}$，并迅速得出运算结果为 $r$。这一步骤强调了在不同坐标系间切换时，必须考虑度量系数的变化以保证积分值的不变性。

0:20最终换元同时处理三件事：改写被积函数、改写积分区域、乘上面积伸缩因子 $|J|=r$。二重积分仍是二维积分，只是区域描述与函数表达更方便。

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