数学物理方法 1-3.2 柯西积分公式

1. 公式
   观察依据

   板书条件行写有“C 所包围区域为 $f(z)$ 单连通解析区域”

2. 图示
   观察依据

   右侧画出一个闭合圆环，教师多次指向该闭合曲线

C

包围区域内一点的闭合回路/围道

复平面中的闭合曲线

1. 公式
   观察依据

   板书条件行与公式分子均出现 $f(z)$

2. 声音
   观察依据

   教师说“这个函数 $f(z)$”“被积函数里面的 $f(z)$ 是解析的”

$f(z)$

在 C 所包围的单连通区域内解析的复变函数

复变量 z 的函数

1. 公式
   观察依据

   板书条件行写有“$z_0$ 为区域内一点”，公式分母为 $z-z_0$

2. 图示
   观察依据

   闭合圆内部标有点 $z_0$

$z_0$

位于 C 所包围区域内的指定一点

复平面内的点

1. 公式
   观察依据

   公式分母出现 $2\pi i$

i

虚数单位

复数单位

1. 公式
   观察依据

   公式分母出现 $2\pi i$

$\pi$

圆周率常数

实常数

1. 公式
   观察依据

   积分表达式末尾写有 dz

dz

沿围道 C 积分时的微分元素

复线积分微元

1. 公式
   观察依据

   板书公式中出现 $f(z)$ 和 $f(z_0)$。

$f(z)$

在单连通解析区域内解析的复变函数

复平面上的单连通区域

1. 公式
   观察依据

   板书文字“C所包围区域为$f(z)$单连通解析区域”及积分符号下方的 C。

C

包围区域的简单闭曲线（积分回路）

复平面

1. 公式
   观察依据

   板书文字“$z_0$为区域内一点”及公式中的 $z_0$。

$z_0$

区域内部的一个固定点（非解析点）

复平面

1. 公式
   观察依据

   板书积分符号下方出现 $C_r$。

$C_r$

以 $z_0$ 为圆心、半径为 r 的小圆周

复平面

1. 图示
   观察依据

   图中画出小圆，标注半径为 r。

2. 公式
   观察依据

   参数方程 $z = z_0$ + re^{$i\theta$} 中出现 r。

r

小圆的半径

正实数

1. 公式
   观察依据

   参数方程 $z = z_0$ + re^{$i\theta$} 及积分限 0 到 $2\pi$ 中出现 $\theta$。

$\theta$

极角参数

零到二π

1. 公式
   观察依据

   板书给出“柯西积分公式 $f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$”

2. 声音
   观察依据

   教师说明“$f(z)$ 在 $z_0$ 点的取值……可以用这样一个积分把它表示出来”

若 C 所包围的区域是 $f(z)$ 的单连通解析区域，且 $z_0$ 是该区域内一点，则函数在 $z_0$ 处的值可由沿 C 的围道积分表示为 $f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$。

1. C 所包围区域为 $f(z)$ 的单连通解析区域

2. $z_0$ 为 C 所包围区域内一点

1. 单连通解析区域条件

1. 公式
   观察依据

   板书条件行写有“C 所包围区域为 $f(z)$ 单连通解析区域”

2. 声音
   观察依据

   教师说“整个这个 C 就是这个回路了，是我这样一个函数 $f(z)$ 的单连通解析区域”“在这个包围的区域里面它是单连通解析的，就完完全全解析的”

视频把公式成立的前提表述为：闭合回路 C 所包围的整个区域是函数 $f(z)$ 的单连通解析区域，即 $f(z)$ 在该区域内处处解析。

1. 讨论对象是 C 所包围的区域

2. $f(z)$ 在该区域内单连通解析

1. 声音
   观察依据

   教师说“被积函数不仅仅是 $f(z)$，这个被积函数是 $f(z)$ 除以 z 减掉 $z_0$”

2. 公式
   观察依据

   公式中被积部分为 $\frac{f(z)}{z-z_0}$

1. 片段在“那么我们看到，其实对于这样一个大的被积函数而言”处结束，后续论证未在本片段内展开

在证明柯西积分公式时，视频首先强调不能只看分子 $f(z)$ 的解析性，还要把整个被积函数 $\frac{f(z)}{z-z_0}$ 作为对象来分析。

1. 研究对象是积分 $\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$ 的被积函数

1. 柯西积分公式

1. 公式
   观察依据

   板书标题“柯西积分公式”及公式 $f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz$。

若 C 所包围的区域为 $f(z)$ 的单连通解析区域，$z_0$ 为区域内一点，则 $f(z_0)$ 可以通过沿边界 C 的围道积分来表示。

1. C 所包围区域为 $f(z)$ 单连通解析区域

2. $z_0$ 为区域内一点

1. 声音
   观察依据

   讲师提到“一个大的回路的积分，它其实可以化为包围着 $z_0$ 点的这个非解析点的一个小回路的积分”。

利用复连通域上的柯西积分定理，可以将沿大回路 C 的积分转化为沿包围奇点 $z_0$ 的小回路 $C_r$ 的积分，从而简化计算。

1. 被积函数在 C 与 $C_r$ 之间的环形区域内解析

1. 柯西积分公式

1. 公式
   观察依据

   板书标题为“柯西积分公式”，其下给出 $f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$

2. 声音
   观察依据

   讲师最后总结“那么这个呢就是我们刚才所讨论过的这个柯西积分公式”

视频把柯西积分公式写成：若 C 所包围区域为 $f(z)$ 的单连通解析区域，且 $z_0$ 为该区域内一点，则 $f(z_0)$ 可由沿 C 的围道积分表示。该公式把函数在内部一点的取值与沿边界回路的积分联系起来。

1. C 所包围区域为 $f(z)$ 的单连通解析区域

2. $z_0$ 为 C 所包围区域内一点

1. 声音
   观察依据

   讲师说“大回路积分把它化成一个小回路的积分”“只要这个回路能够把那个非解析区域包住就可以”“所有的结果都是一样的”

2. 图示
   观察依据

   右侧图同时画出外圈 C 和内圈 $C_r$，二者都围绕同一点 $z_0$

视频强调，在证明中可以把沿大回路 C 的积分转化为沿小回路 $C_r$ 的积分。只要新回路仍然把非解析区域包住，并且围绕同一个点 $z_0$，那么不同大小的回路所得积分值相同。这里的关键不是形状本身，而是回路是否包围了同一个奇点区域。

1. 新回路仍包围原来的非解析区域

2. 比较的是同一被积函数 $\frac{f(z)}{z-z_0}$ 的围道积分

1. 柯西积分公式

1. 公式
   观察依据

   板书下方写出 $\lim_{r\to 0}\oint_{C_r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=i\lim_{r\to 0}\int_0^{2\pi}f$($z_0$+re^{$i\theta$})$d\theta$

2. 声音
   观察依据

   讲师说“我可以让我的 r 趋于零，结果也是一样的不变的”

视频进一步说明，由于只要回路包住 $z_0$ 这一点，积分值就不变，因此可以取极限 $r\to 0$，把小圆收缩到中心点附近。这样做的目的是利用解析函数的连续性，把 f($z_0$+re^{$i\theta$}) 在极限下替换为 $f(z_0)$。

1. $C_r$ 以 $z_0$ 为圆心

2. 被积函数除 $z_0$ 外在区域内解析

1. 把大回路积分化为小回路积分的方法

1. 公式
   观察依据

   f 在 z 零处的函数值等于二 π i 分之一乘以沿闭合曲线 C 的积分，被积函数为 f 在 z 处的函数值除以 z 减去 z 零，再对 z 积分

如果 $C$ 所包围的区域为 $f(z)$ 的单连通解析区域，$z_0$ 为区域内一点，则有柯西积分公式。

1. $C$ 所包围的区域为 $f(z)$ 的单连通解析区域

2. $z_0$ 为区域内一点

1. 公式
   观察依据

   二 π i 分之一乘以沿闭合曲线 C 的积分，被积函数为一除以 z 减去 z 零，再对 z 积分，其结果是：当 z 零位于闭合曲线 C 所围成的区域内时，结果为一；当 z 零不在闭合曲线 C 所围成的区域内时，结果为零

当 $f(z) = 1$ 时，柯西积分公式退化为一个非常有用的特例，用于判断点是否在积分回路内。

1. f 在 z 处的函数值恒等于一

1. 柯西积分公式

1. 公式
   观察依据

   f 在 z 处的导数等于二 π i 分之一乘以沿闭合曲线 C 的积分，被积函数为 f 在西格玛处的函数值除以西格玛减去 z，再对西格玛积分，然后对 z 求导；该导数也等于二 π i 分之一乘以沿闭合曲线 C 的积分，被积函数为 f 在西格玛处的函数值除以西格玛减去 z 的平方，再对西格玛积分

对柯西积分公式两边关于 $z$ 求导，可以得到解析函数的一阶导数公式。

1. $f(z)$ 在 $C$ 内部解析

1. 柯西积分公式

1. 公式
   观察依据

   f 在 z 处的二阶导数等于二的阶乘除以二 π i，再乘以沿闭合曲线 C 的积分，被积函数为 f 在西格玛处的函数值除以西格玛减去 z 的三次方，再对西格玛积分

继续对一阶导数公式求导，可以得到解析函数的二阶导数公式。

1. $f(z)$ 在 $C$ 内部解析

1. 解析函数的一阶导数

1. 公式
   观察依据

   板书完整写出“柯西积分公式 $f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$”

2. 声音
   观察依据

   教师口头说明该公式把区域内一点 $z_0$ 的函数值与围绕该点的回路积分联系起来

如果 C 所包围区域为 $f(z)$ 的单连通解析区域，且 $z_0$ 为区域内一点，则 $f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$。

1. C 所包围区域为 $f(z)$ 的单连通解析区域

2. $z_0$ 为 C 所包围区域内一点

对满足上述条件的 C、$f(z)$ 与区域内点 $z_0$ 成立

1. 声音
   观察依据

   讲师提到“我们就要用到复连通域上的柯西积分定理”。

在复连通域上，若函数在各边界之间解析，则沿外边界的积分等于沿内边界的积分之和。

1. 函数在复连通域内解析

对于满足条件的任意复连通域和解析函数

1. 声音
   观察依据

   讲师说“整个的这个柯西积分公式里面的证明呢，我们无非就是运用到了我们之前讨论过的复连通域上的柯西积分定理而得到的”

视频指出，本段所展示的柯西积分公式证明，核心依据是前面讨论过的复连通域上的柯西积分定理。

1. 已建立复连通域上的柯西积分定理

2. 被积函数在相应区域内满足解析条件

针对本段证明所使用的定理依据作总体说明

1. 声音
   观察依据

   讲师说：“只要你是解析函数...在这个C所包围的区域当中，它这个单连通解析的，那么好，我们就可以知道，你这个解析函数它的导数，你可以求无穷多阶导数都可以，任意阶导数都可以去求。”

2. 字幕依据
   观察依据

   字幕显示：“解析函数是任意阶可导的！”

若函数 $f(z)$ 在简单闭曲线 C 及其所围成的单连通区域内解析，则 $f(z)$ 在该区域内具有任意阶导数，且各阶导数均可由围道积分公式给出。

1. $f(z)$ 在 C 上及 C 内部解析

2. C 为简单闭曲线

对于区域内的任意点 z 和任意非负整数 n

1. 声音
   观察依据

   教师说“我们来证明一下这件事情。怎么证明呢？你看，我们就看这个积分被积函数里面”

2. 公式
   观察依据

   板书下方出现“证明：”

3. 声音
   观察依据

   教师继续说“虽然你这个被积函数里面的 $f(z)$ 是解析的……但它的被积函数不仅仅是 $f(z)$，这个被积函数是 $f(z)$ 除以 z 减掉 $z_0$”

1. 本片段只给出证明的起始观察，未包含完整推导链

1. 公式

   $$$$
   解释

   进入证明后，先把注意力放到积分 $\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$ 的被积函数上。

   步骤依据

   视频口头明确“我们就看这个积分被积函数里面”。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{f(z)}{z-z_0}$$
   解释

   指出被积对象不是单独的 $f(z)$，而是商 $\frac{f(z)}{z-z_0}$。

   步骤依据

   教师说“被积函数不仅仅是 $f(z)$，这个被积函数是 $f(z)$ 除以 z 减掉 $z_0$”。

   视频直接表达

本片段中的推导只推进到“证明应从整体被积函数 $\frac{f(z)}{z-z_0}$ 入手”这一步，后续论证未出现。

1. 公式
   观察依据

   板书逐步展示了从 $\oint_C$ 到 $\oint_{C_r}$ 再到参数化积分的推导过程。

1. 公式

   $$\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz = \oint_{C_r} \frac{f(z)}{z - z_0} dz$$
   解释

   利用复连通域上的柯西积分定理，将大回路 C 上的积分转化为小回路 $C_r$ 上的积分。

   步骤依据

   复连通域上的柯西积分定理

   视频直接表达
2. 公式

   $$z \in C_r, \quad z = z_0 + re^{i\theta}$$
   解释

   对小回路 $C_r$ 进行参数化，$z_0$ 为圆心，r 为半径，$\theta$ 为极角。

   步骤依据

   圆的参数方程

   视频直接表达
3. 公式

   $$dz = ire^{i\theta} d\theta$$
   解释

   对参数方程两边求微分，得到 dz 的表达式。

   步骤依据

   复变函数求导法则

   视频直接表达
4. 公式

   $$\oint_{C_r} \frac{f(z)}{z - z_0} dz = \int_0^{2\pi} \frac{f(z_0 + re^{i\theta})}{re^{i\theta}} ire^{i\theta} d\theta$$
   解释

   将 z 和 dz 的参数表达式代入积分式中，并将积分限从回路转化为 $\theta$ 从 0 到 $2\pi$。

   步骤依据

   参数化积分代换

   视频直接表达

通过将积分路径参数化，成功将复平面上的围道积分转化为实变量 $\theta$ 的定积分，为后续取极限 $r \to 0$ 证明公式奠定基础。

1. 公式
   观察依据

   板书证明第一行给出 $\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\oint_{C_r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz$，$z\in C_r$，$z=z_0$+re^{$i\theta$}

2. 公式
   观察依据

   下一行写出 =$\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}$ire^{$i\theta$}$d\theta$

3. 声音
   观察依据

   讲师说“r 和 r 约掉，e 的 i 西塔 e 的 i 西塔约掉，所以这个呢结果一下就出来了”

1. 公式

   $$\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=\oint_{C_r}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$$
   解释

   先把沿大回路 C 的积分改写为沿小圆 $C_r$ 的积分。

   步骤依据

   视频口头说明可用小回路代替大回路，只要仍包住非解析区域。

   视频直接表达
2. 公式

   $$z=z_0+re^{i\theta},\quad dz=ire^{i\theta}\,d\theta$$
   解释

   对小圆 $C_r$ 采用极坐标参数化，并把微分写成关于 $\theta$ 的形式。

   步骤依据

   板书直接给出参数方程与对应微分。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\oint_{C_r}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}\,ire^{i\theta}\,d\theta$$
   解释

   代入 z 与 dz，得到关于 $\theta$ 的定积分。

   步骤依据

   参数代换。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}\,ire^{i\theta}\,d\theta=i\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})\,d\theta$$
   解释

   分子分母中的 r 与 $e^{i\theta}$ 相消，剩下系数 i 与对 $\theta$ 的积分。

   步骤依据

   代数约分；讲师口头明确指出“r 和 r 约掉，e 的 i 西塔 e 的 i 西塔约掉”。

   视频直接表达

得到中间结果 $\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}$\,$dz=i\int_0^{2\pi}f$($z_0$+re^{$i\theta$})\,$d\theta$。

1. 公式
   观察依据

   板书下方写出 $\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz=\lim_{r\to 0}\oint_{C_r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=i\lim_{r\to 0}\int_0^{2\pi}f$($z_0$+re^{$i\theta$})$d\theta=2\pi i f(z_0)$

2. 声音
   观察依据

   讲师说“当我的 r 要是趋于零的话，由于我这个函数解析函数的连续性……就可以把它写成是 $f(z_0)$ 了，然后把它提出去”

3. 声音
   观察依据

   讲师接着说“里面就剩下一个 0 到 $2\pi$ 的一个对西塔的积分，那么这个给出我们 $2\pi$ 的结果”

1. 公式

   $$\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=\lim_{r\to 0}\oint_{C_r}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$$
   解释

   把原积分写成小圆半径趋于零时的极限。

   步骤依据

   视频说明只要回路包住 $z_0$，积分值不随回路大小改变，因此可取 $r\to 0$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\lim_{r\to 0}\oint_{C_r}\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=i\lim_{r\to 0}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})\,d\theta$$
   解释

   沿用前面参数化后的表达式，再整体取极限。

   步骤依据

   上一步推导的代入。

   视频直接表达
3. 公式

   $$i\lim_{r\to 0}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})\,d\theta=i\int_0^{2\pi}\lim_{r\to 0}f(z_0+re^{i\theta})\,d\theta$$
   解释

   把极限移入积分号内。

   步骤依据

   视频口头依据是“解析函数的连续性”；更严格的交换极限与积分条件在本片段中未完整展开。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\lim_{r\to 0}f(z_0+re^{i\theta})=f(z_0)$$
   解释

   当 $r\to 0$ 时，点 $z_0$+re^{$i\theta$} 趋于 $z_0$，函数值趋于 $f(z_0)$。

   步骤依据

   连续性。

   视频直接表达
5. 公式

   $$i\int_0^{2\pi}f(z_0)\,d\theta=i f(z_0)\int_0^{2\pi}d\theta$$
   解释

   $f(z_0)$ 与 $\theta$ 无关，可提到积分号外。

   步骤依据

   常函数可提出积分号。

   视频直接表达
6. 公式

   $$i f(z_0)\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi i f(z_0)$$
   解释

   计算剩余的角度积分，得到长度 $2\pi$。

   步骤依据

   从 0 到 2π 对 θ 求积分，结果是 2π。

   视频直接表达