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顺着知识,继续探索

复分析

围绕复数与复函数、积分与奇点、映射与整体性质理解概念与联系。先建立知识结构,视频讲解按审核情况逐步补充。

前置知识与跨科联系

  • 导数

    导数是差商的极限,在极限存在时刻画函数的局部变化率。

    14 条审核资源

复数与复函数

  • 复数

    复数有实部与虚部,可表示为复平面上的点。

    视频讲解待补充
  • 复指数与欧拉公式

    欧拉公式把实角度的复指数与余弦、正弦联系起来。

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  • 全纯函数

    函数在开邻域内处处复可导时称全纯。

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  • 柯西—黎曼方程

    复可导对实部和虚部的偏导数施加关系;反向判定须加正则条件。

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积分与奇点

  • 复路径积分

    复路径积分沿有向参数曲线累积复函数值。

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  • 柯西积分公式

    满足围道条件时,全纯函数的边界积分可确定内部函数值及导数。

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  • 洛朗级数

    洛朗级数允许正负整数次幂,并在适当圆环内表示函数。

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  • 孤立奇点

    函数在去心邻域全纯时,中心可为可去奇点、极点或本性奇点。

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  • 留数

    洛朗展开中负一次幂的系数是留数,决定局部围道积分。

    视频讲解待补充

映射与整体性质

  • 留数定理

    在适用条件下,闭围道积分等于内部留数和乘以二派i。

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  • 保角映射

    导数非零的全纯映射局部保持有向夹角。

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  • 解析延拓

    解析延拓通过相容的全纯函数把原函数扩展到更大连通区域。

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课程范围参考