应用数学 / 英语

离散信号的尺度变换

IO爱㛅 · 哔哩哔哩 · 4:12

哔哩哔哩 · IO爱㛅原视频

视频中的要点

01离散信号尺度变换定义
02单位样值序列的尺度变换特性
03求解变换后序列索引的方法

来自学习笔记

\delta(an) = \delta(n)

单位样值序列的尺度变换特性

选中时刻

序列压缩与扩展的索引推导

建议预备知识

离散时间信号的基本概念
单位样值序列 (Unit Sample Sequence)
离散时间信号与序列的基本概念
整数索引与序列支撑集
单位样值序列 $δ(n)$ 的定义
离散时间信号的基本概念
连续信号尺度变换的对比知识

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本片段讲解离散信号的尺度变换，包括压缩 $x(2n)$ 和扩展 $x(n/2)$ 。通过设定辅助变量 n' 建立新旧索引关系，强调了离散信号自变量必须为整数的特性，需舍弃非整数索引。同时指出单位样值序列尺度变换时幅度不变。本片段讲解离散序列的尺度变换，重点区分压缩 $x(2n)$ 与扩展 $x(n/2)$ 两种情形。核心规则是离散信号只在整数点取值，非整数点必须舍弃；压缩等价于取偶过程，扩展则通过 $n=2n$ ' 建立索引映射。同时指出单位样值序列尺度变换时幅度不变，即 δ(an)= $δ(n)$ 。本片段主要讲解离散信号的尺度变换，重点演示了信号扩张（如 $x(n/2)$ ）时如何在奇数点插入零值，并强调了离散单位样值序列尺度变换时幅度不变的特殊性质。此外，画面底部还展示了序列前向差分的定义公式。

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章节

0:00离散信号尺度变换概述 0:35序列压缩与扩展的索引推导 1:15离散信号整数索引特性与易错点 1:30尺度变换与整数点取值规则 1:45压缩序列

x(2n)

的有效点筛选与取值 2:25压缩即取偶的补充说明 2:45扩展序列

x(n/2)

的索引映射建立 3:00离散信号尺度变换与插零推导 4:00单位样值序列性质与差分公式展示

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

视频开篇展示了离散信号尺度变换的主题，并列出了三个波形图：原始序列 $x(n)$ 、压缩序列 $x(2n)$ 和扩展序列 $x(n/2)$ 。画面下方的红框特别提示：单位样值序列尺度变换时幅度不变，即 $\delta(an) = \delta(n)$ 。

讲师开始推导压缩序列 $x(2n)$ 的索引变化。他引入辅助变量 $n'$ ，建立等式 $n = 2n'$ 。为了找到新序列的有效样本点，他将原序列的索引 $n \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ 代入计算 $n' = n/2$ 。

在计算过程中，出现了如 $-1/2$ 和 $1/2$ 这样的小数索引。讲师强调，由于研究对象是“离散信号”，其自变量必须取整数值。因此，在确定 $x(2n)$ 的样本时，必须舍弃非整数索引对应的点，只保留计算结果为整数的索引位置。这一逻辑同样适用于扩展序列 $x(n/2)$ 的分析，即通过 $n = n'/2$ 寻找新索引。

画面呈现三幅并列的离散序列茎状图：左侧为原序列 $x(n)$ ，中间为压缩序列 $x(2n)$ ，右侧为扩展序列 $x(n/2)$ 。下方注意框写明“单位样值序列尺度变换时幅度不变，即 $\delta(an)=\delta(n)$ ”。讲解者以红笔书写“离散信号只在整数点取值”并加下划线，确立本片段的核心判据：离散序列的定义域仅为整数，任何非整数索引处的样本均不存在。

依据整数点取值规则分析压缩序列 $x(2n)$ 。新索引 $n$ 对应的原序列位置为 $2n$ ，因此只有当 $2n$ 落在原序列支撑 $[-2,3]$ 内的整数上时，该点才有效。解得 $n\in\{-1,0,1\}$ 三个整数点，其余如 $n=-2$ 对应 $2n=-4$ 、 $n=2$ 对应 $2n=4$ 等均超出原序列范围或非整数映射，直接舍弃。这一步体现了离散尺度变换与连续信号的本质差异：无需插值，只做整数索引的筛选。

确定有效点后逐一查取幅度。 $n=-1$ 时 $2n=-2$ ，查原序列得 $x(-2)=2$ ； $n=0$ 时 $2n=0$ ，得 $x(0)=0$ ； $n=1$ 时 $2n=2$ ，得 $x(2)=2$ 。讲解者在 $x(2n)$ 图上用黄圈标出这三点，并在 $x(n)$ 图上反向标注对应原索引，形成清晰的映射可视化。最终压缩序列仅含三个样本 $(−1,2),(0,0),(1,2)$ ，样本数减少、间距压缩，直观体现 $|a|>1$ 时的尺度压缩效应。

补充关键洞察：从 $x(n)$ 到 $x(2n)$ 的变换等价于“取偶”过程。因为新序列的第 $n$ 个样本恰好取自原序列的第 $2n$ 个位置，而 $2n$ 恒为偶数，故压缩操作本质上是从原序列中提取所有偶数索引样本并按原顺序重排。讲解者在两图之间画出蓝色箭头并手写“取偶”，将代数定义与直观操作联系起来，帮助学习者建立“尺度因子为整数时即抽样”的认知模型。

转向扩展序列 $x(n/2)$ 的分析。讲解者引入辅助变量 $n'=n/2$ ，则 $n=2n'$ 。由于 $x(n/2)$ 的自变量 $n$ 必须为整数，而 $n'$ 作为原序列索引也必须为整数，因此 $n$ 只能是偶数。在画面上列出 $n'\in\{-2,-1,0,1\}$ 及其对应 $n=2n'\in\{-4,-2,0,2\}$ ，表明扩展序列的非零样本仅可能出现在这些偶数位置。此步建立了从新索引到旧索引的反向映射框架，为后续逐点取值做准备。

片段在扩展序列的索引映射表书写完毕后结束，尚未完成 $x(n/2)$ 各偶数点幅度的具体查取。但已呈现的方法论完整：先通过 $n=2n'$ 确定有效整数位置，再回查原序列 $x(n')$ 获取幅度。结合开头注意框 $\delta(an)=\delta(n)$ 可知，若原序列为单位样值序列，扩展后幅度仍为 1，仅在偶数位置保留冲激，这与连续信号尺度变换中出现 $1/|a|$ 幅度因子的结论截然不同，凸显离散域尺度变换的独特性质。

本片段聚焦于离散信号的尺度变换。首先，通过具体的数值计算，演示了信号扩张操作 $x(n/2)$ 的取值规律：当 $n$ 为偶数时，序列值等于原序列在 $n/2$ 处的值；而当 $n$ 为奇数时，由于 $n/2$ 不是整数，超出了离散序列的定义域，因此这些位置的取值被设定为零。这一过程在视觉上表现为在原信号的非零值之间“插入”了零值点，实现了信号在时间轴上的拉伸。

接着，画面底部的文字框特别强调了一个易错点：离散单位样值序列 $\delta(n)$ 在进行尺度变换时，其幅度保持不变，即满足 $\delta(an) = \delta(n)$ 。这与连续时间信号中冲激函数的尺度变换性质（ $\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$ ）有着本质的区别，学习时需加以区分。

最后，视频画面下方还展示了“序列的差分”这一新主题的开端，给出了前向差分的定义公式 $\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)$ ，以及一个相关的二阶线性常系数差分方程 $y(n+2) + ay(n+1) + by(n) = f(n+2)$ ，为后续讲解离散系统的时域分析做铺垫。

知识卡片

离散信号尺度变换定义

离散信号的尺度变换涉及对自变量 $n$ 的乘除运算。压缩变换如 $x(2n)$ 会减少样本数量（抽取），扩展变换如 $x(n/2)$ 会增加样本间隔（插值）。关键在于离散信号的自变量只能是整数。

单位样值序列的尺度变换特性

对于单位样值序列（离散冲激） $\delta(n)$ ，在进行尺度变换 $\delta(an)$ 时，其幅度保持不变，始终满足 $\delta(an) = \delta(n)$ 。这与某些连续信号冲激函数的缩放性质不同。

\delta(an) = \delta(n)

求解变换后序列索引的方法

为了求 $x(an)$ 或 $x(n/a)$ 的新序列，设新自变量为 $n'$ 。对于压缩 $x(2n)$ ，令原索引 $n = 2n'$ ，解得 $n' = n/2$ ；对于扩展 $x(n/2)$ ，令 $n = n'/2$ ，解得 $n' = 2n$ 。将原序列的有效整数 $n$ 代入，筛选出结果为整数的 $n'$ ，即为新序列的有效样本位置。

n = 2n' \quad \text{or} \quad n = n'/2

易错点：离散信号的非整数索引

在尺度变换计算中，常会出现非整数的索引值（如 $n'=0.5$ ）。必须明确离散信号不能在非整数时刻取值，因此这些计算出的非整数索引点是无效的，应当直接丢弃，而不是试图插值或保留小数。

离散序列尺度变换定义

对离散序列 $x(n)$ 进行尺度变换得到 $x(an)$ ，其中 $a$ 为非零常数。当 $|a|>1$ 时序列被压缩，样本间距变小、有效点数减少；当 $0<|a|<1$ 时序列被扩展，样本间距变大、可能出现零值填充。核心约束是离散序列只在整数点有定义，变换后若新索引对应的原索引非整数，则该点不存在，不可插值或保留。

x(an)

压缩序列 $x(2n)$ 的取偶本质

计算 $x(2n)$ 时，新索引 $n$ 映射到原序列位置 $2n$ 。由于 $2n$ 恒为偶数，该操作等价于从原序列中抽取所有偶数索引样本并按顺序重排，即“取偶”过程。例如原序列在 $n=-2,0,2$ 处的值分别成为 $x(2n)$ 在 $n=-1,0,1$ 处的值。这一视角将抽象的尺度因子转化为具体的抽样操作，便于理解和记忆。

x(2n) \text{corresponds to the \text{偶数} indices of the original sequence} 2n

扩展序列 $x(n/2)$ 的索引映射方法

求 $x(n/2)$ 时，令 $n'=n/2$ 作为原序列索引，则 $n=2n'$ 。因 $n$ 和 $n'$ 均须为整数，故 $n$ 只能取偶数值。有效样本位置由 $n'$ 在原序列支撑内的整数值决定，对应 $n=2n'$ 。例如 $n'=-2,-1,0,1$ 映射到 $n=-4,-2,0,2$ 。该方法通过引入辅助变量建立双向索引关系，避免直接在分数索引上混淆。

n = 2n',\quad n' \in \mathbb{Z}

单位样值序列尺度变换幅度不变

离散单位样值序列 $\delta(n)$ 满足 $\delta(0)=1$ 、 $\delta(n)=0\,(n\neq 0)$ 。对其作尺度变换时，无论 $a$ 取何非零值，均有 $\delta(an)=\delta(n)$ ，幅度始终保持为 1。这与连续 Dirac 冲激 $\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$ 的幅度缩放规律不同，是离散域尺度变换的重要特例，也是易错点：切勿将连续结论直接套用到离散序列。

\delta(an) = \delta(n)

非整数点舍弃原则

离散序列尺度变换中最常犯的错误是对非整数索引点进行插值或保留。正确做法是：先计算新索引对应的原索引值，若该值不是整数，则该样本不存在，直接丢弃。例如求 $x(2n)$ 时 $n=0.5$ 对应 $2n=1$ 虽为整数，但 $n$ 本身非整数亦无效；求 $x(n/2)$ 时 $n=1$ 对应 $n'=0.5$ 非整数，故 $n=1$ 处无样本。该原则贯穿所有离散尺度变换操作。

离散信号尺度扩张（插零）

对离散序列 $x(n)$ 进行扩张变换得到 $x(n/a)$ （ $a$ 为正整数）时，新序列仅在 $an$ 的整数倍位置保留原序列的值，而在其他非整数索引位置取值为零。这在图形上表现为在原波形的采样点之间插入了零值。

x(n/a) = \begin{cases} x(k), & n = ak \\ 0, & n \neq ak \end{cases}

离散单位样值序列的尺度变换

与连续冲激函数不同，离散单位样值序列 $\delta(n)$ 在进行任意非零整数倍的尺度变换时，其幅度始终保持为 1，不会发生缩放。这是一个重要的特殊性质，常用于避免与连续信号混淆。

\delta(an) = \delta(n), \quad a \in \mathbb{Z}, a \neq 0

序列的前向差分

前向差分是离散信号处理中的基础运算，定义为序列在后一时刻的值减去当前时刻的值。它是构建差分方程和分析离散系统动态特性的基本工具。

\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 14

$x(n)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面左侧第一个图表上方标注 $x(n)$ ，横轴为 n，纵轴为 $x(n)$ 。

符号

$x(n)$

含义

原始离散信号序列，自变量为整数 n。

适用范围

n 是整数

n'

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师提到“把这个 n 呢理解成 n'”
公式
观察依据
画面中手写了 $n = 2n$ ' 和 $n = n$ '/2

符号

含义

用于求解新序列自变量的辅助变量，代表变换后序列的索引。

适用范围

n′ 是整数

$\delta(n)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面下方红框内写有“即 $\delta$ (an) = $\delta(n)$ ”

符号

$\delta(n)$

含义

单位样值序列（离散冲激函数）。

适用范围

n 是整数

n

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
横轴标注 n，序列记号 $x(n)$ 、 $x(2n)$ 、 $x(n/2)$ 中均含 n

符号

含义

离散时间自变量（整数索引）

适用范围

整数

$x(n)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
最左图纵轴标注 $x(n)$ ，并给出若干样本值

符号

$x(n)$

含义

原始离散序列

$x(2n)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
中间图纵轴标注 $x(2n)$

符号

$x(2n)$

含义

压缩后的离散序列

$x(n/2)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
右侧图纵轴标注 $x(n/2)$

符号

$x(n/2)$

含义

扩展后的离散序列

$δ(n)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
注意框内写有 δ(an)= $δ(n)$

符号

$δ(n)$

含义

单位样值序列（离散冲激）

n'

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“这里我们把它变成 n'”
公式
观察依据
手写 n' = -2, -1, 0, 1

符号

含义

扩展序列中用于索引原序列的新变量

a

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
δ(an)= $δ(n)$ 中的参数 a

符号

含义

尺度因子（常数）

n

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
横轴标记为 n，表示离散时间序列的自变量

符号

含义

离散时间序列的自变量（整数索引）

适用范围

整数集

$x(n)$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
纵轴标记为 $x(n)$ ，表示离散时间序列的函数值

符号

$x(n)$

含义

离散时间序列在 n 处的取值

适用范围

实数集

知识点 · 8

离散信号的尺度变换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说“今天来分析一下信号与系统里面离散信号的这个尺度变换”
公式
观察依据
画面标题为“(3) 尺度变换”，并展示了 $x(2n)$ 和 $x(n/2)$ 的图表

定义

解释

离散信号的尺度变换包括压缩（如 $x(2n)$ ）和扩展（如 $x(n/2)$ ）。与连续信号不同，离散信号的自变量必须是整数，因此在变换过程中可能会丢失样本或插入零值样本。

公式

适用条件

自变量 n 必须为整数

单位样值序列的尺度变换特性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面下方红框内写有“注意：单位样值序列尺度变换时幅度不变，即 $\delta$ (an) = $\delta(n)$ ”

公式

解释

在进行尺度变换时，单位样值序列 $\delta(n)$ 的幅度保持不变，即 $\delta$ (an) = $\delta(n)$ 。这意味着无论怎么压缩或扩展，冲激的位置和高度（在 $n=0$ 处为 1）都不受影响。

公式

\delta(an) = \delta(n)

适用条件

a 为非零整数

先修条目

离散信号的尺度变换

离散序列的尺度变换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
标题“(3)尺度变换”及三幅序列图 $x(n)$ , $x(2n)$ , $x(n/2)$
声音
观察依据
讲解围绕压缩与展开的取值规则

定义

解释

对离散序列 $x(n)$ 进行尺度变换得到 x(an)。当 |a|>1 时为压缩，当 0<|a|<1 时为扩展。离散情况下自变量必须取整数，非整数点不予保留。

公式

x(an)

适用条件

a 为非零常数
n 为整数

压缩序列 $x(2n)$ 的取偶特性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“它这里变到这一边呢，相当于是一个取偶的过程”
公式
观察依据
$x(2n)$ 图中仅保留 $n=-1$ ,0,1 三个点

方法

解释

计算 $x(2n)$ 时，新索引 n 对应的原序列位置为 2n，因此只取原序列中偶数位置的样本，相当于“取偶”过程。

公式

x(2n)

适用条件

a 等于 2
n 为整数

先修条目

离散序列的尺度变换

扩展序列 $x(n/2)$ 的索引映射

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“这边是除嘛，那这边扩展肯定要乘嘛”
公式
观察依据
手写 n' = -2, -1, 0, 1 及对应 2n' = -4, -2, 0, 2

方法

解释

计算 $x(n/2)$ 时，令 n'= $n/2$ ，则 $n=2n$ '。新序列的每个整数 n 对应原序列索引 n'= $n/2$ ，只有当 n 为偶数时 n' 才为整数，故仅在偶数位置有非零样本。

公式

x(n/2) \text{corresponds to} n=2n'

适用条件

a 等于二分之一
n 为偶数时 n' 为整数

先修条目

离散序列的尺度变换

离散信号的尺度变换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
标题 (3) 尺度变换，手写笔记 $x(2n)$ , $x(n/2)$
声音
观察依据
讲解者提到“扩张后呢，它取值点在负四、负二、零、二、四、六这几个点取值”
图示
观察依据
右侧图表展示了 $x(n/2)$ 的波形，非零值出现在偶数点，奇数点为零

定义

解释

离散信号的尺度变换包括压缩（如 $x(2n)$ ）和扩张（如 $x(n/2)$ ）。对于扩张操作 $x(n/2)$ ，当 n 为奇数时， $n/2$ 不是整数，因此对应的序列值为零，这在图形上表现为在原序列的非零值之间插入了零值点。

公式

x(n/a)

适用条件

a 为正整数
n 为整数

单位样值序列的尺度变换性质

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
底部文字框：注意：单位样值序列尺度变换时幅度不变，即 $\delta$ (an) = $\delta(n)$

公式

解释

在进行离散信号的尺度变换时，如果原信号是单位样值序列（即仅在 $n=0$ 处为 1，其余为 0 的序列），那么无论进行何种整数倍的尺度变换（如 x(an)），其幅度始终保持不变，即 $\delta$ (an) = $\delta(n)$ 。

公式

\delta(an) = \delta(n)

适用条件

a 为非零整数

先修条目

离散信号的尺度变换

序列的前向差分

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
底部公式：(4) 序列的差分 A: 前向差分 $\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)$

定义

解释

前向差分是离散信号处理中的一种基本运算，定义为序列在 $n+1$ 处的值减去在 n 处的值。它常用于将微分方程转化为差分方程。

公式

\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)

适用条件

$f(n)$ 为离散序列

定理与条件 · 1

单位样值序列尺度变换幅度不变

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
注意框：“单位样值序列尺度变换时幅度不变，即 δ(an)= $δ(n)$ ”

命题

对单位样值序列 $δ(n)$ 进行尺度变换时，其幅度保持不变，满足 δ(an)= $δ(n)$ 。

前提

$δ(n)$ 为单位样值序列
a 为非零常数

量词

对所有非零常数 a 与整数 n

推导与证明 · 5

序列压缩 $x(2n)$ 的求解推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说“压缩的话我们是看 2n... 把这个 n 呢理解成 n'... 这里的原本的 n 等于 2n'”
公式
观察依据
画面中手写了 $n = 2n$ '，并在下方列出了 -2, -1, 0, 1, 2, 3 除以 2 的计算过程

直观解释

步骤

公式
$n = 2n'$
解释
设定原序列自变量 n 与新序列自变量 n' 的关系。
步骤依据
为了求 $x(2n)$ ，需要知道当 2n' 取何值时，原序列有定义。
视频直接表达
公式
$n' = n / 2$
解释
将关系式变形，用原索引 n 表示新索引 n'。
步骤依据
代数变形。
视频直接表达
公式
$-2/2, -1/2, 0/2, 1/2, 2/2, 3/2$
解释
将原序列的已知索引代入计算新的索引值。
步骤依据
根据 n' = $n / 2$ 进行计算。
视频直接表达
公式保留整数索引
解释
在离散信号中，只有当计算出的 n' 为整数时，该点才有对应的样本值；否则该点不存在（或视为0，取决于具体定义，但此处强调找整数点）。
步骤依据
离散信号的自变量必须为整数。
依据视频推导

结论

通过令 $n = 2n$ ' 并求解整数 n'，可以得到压缩后序列 $x(2n)$ 的非零样本位置。

序列扩展 $x(n/2)$ 的求解推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说“还有等于这个扩展的二分之 n'”
公式
观察依据
画面中手写了 $n = n$ '/2

待核验内容

讲师未详细展开扩展的具体计算步骤，仅给出了关系式

直观解释

步骤

公式
$n = n' / 2$
解释
设定原序列自变量 n 与新序列自变量 n' 的关系。
步骤依据
为了求 $x(n/2)$ ，需要知道当 n'/2 取何值时，原序列有定义。
视频直接表达
公式
$n' = 2n$
解释
将关系式变形，用原索引 n 表示新索引 n'。
步骤依据
代数变形。
依据视频推导
公式新索引为偶数
解释
由于 n 是整数，n' = 2n 必然是偶数。这意味着扩展后的序列只在偶数位置有原序列的值，奇数位置通常补零。
步骤依据
离散信号扩展的特性。
依据视频推导

结论

通过令 $n = n$ '/2 (即 n'=2n)，可知扩展后序列的非零样本位于原样本索引的两倍处。

由 $x(n)$ 求 $x(2n)$ 的推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“不是整数点的我们都不要……整数点只有负一、零、一这三个有效点”
公式
观察依据
$x(2n)$ 图中标出 $n=-1$ ,0,1 对应值 2,0,2

数值验证

步骤

公式
$n' = 2n$
解释
将压缩后的新索引 n 映射回原序列索引 n'
步骤依据
尺度变换定义 $x(2n)$
视频直接表达
公式
$n \in \{-1, 0, 1\}$
解释
在原序列支撑 [-2,3] 内，使 2n 仍为整数且在范围内的 n 仅有 -1,0,1
步骤依据
离散序列只在整数点取值
依据视频推导
公式
$x(2\cdot(-1)) = x(-2) = 2$
解释
$n=-1$ 时对应原序列 n'=-2，查得值为 2
步骤依据
原序列图示数据
视频直接表达
公式
$x(2\cdot 0) = x(0) = 0$
解释
$n=0$ 时对应原序列 n'=0，查得值为 0
步骤依据
原序列图示数据
视频直接表达
公式
$x(2\cdot 1) = x(2) = 2$
解释
$n=1$ 时对应原序列 n'=2，查得值为 2
步骤依据
原序列图示数据
视频直接表达

结论

$x(2n)$ 仅在 $n=-1$ ,0,1 有值，分别为 2,0,2。

由 $x(n)$ 求 $x(n/2)$ 的索引映射准备

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“这边是除嘛，那这边扩展肯定要乘嘛”
公式
观察依据
手写 n' = -2, -1, 0, 1 与 2n' = -4, -2, 0, 2

待核验内容

片段在列出映射后结束，未完整展示 $x(n/2)$ 各点取值过程

直观解释

步骤

公式
$n' = n/2 \Rightarrow n = 2n'$
解释
引入新变量 n' 表示原序列索引，建立新旧索引关系
步骤依据
尺度变换定义 $x(n/2)$
视频直接表达
公式
$n' \in \{-2, -1, 0, 1\}$
解释
为使 $n=2n$ ' 落在扩展后序列可见范围内，选取这些 n' 值
步骤依据
原序列支撑与扩展倍数
依据视频推导
公式
$n = 2n' \in \{-4, -2, 0, 2\}$
解释
计算对应的新序列整数位置
步骤依据
代入 $n=2n$ '
视频直接表达

结论

扩展序列 $x(n/2)$ 的非零样本只可能出现在 $n=-4$ ,-2,0,2 等偶数位置。

离散信号扩张变换的取值推导

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者逐步计算 $x(n/2)$ 在 $n=-4$ ,-2,0,2,4,6 处的值，并指出奇数点取值为零
图示
观察依据
右侧图表动态展示了 $x(n/2)$ 的绘制过程，黄色圆圈高亮了新插入的零点

直观解释

步骤

公式
$n = -4 \Rightarrow x(-4/2) = x(-2) = 2$
解释
当 $n=-4$ 时，代入 $x(n/2)$ 得到 $x(-2)$ ，从原图读取其值为 2
步骤依据
尺度变换定义
视频直接表达
公式
$n = -2 \Rightarrow x(-2/2) = x(-1) = 1$
解释
当 $n=-2$ 时，代入得到 $x(-1)$ ，原图值为 1
步骤依据
尺度变换定义
视频直接表达
公式
$n = 0 \Rightarrow x(0/2) = x(0) = 0$
解释
当 $n=0$ 时，代入得到 $x(0)$ ，原图值为 0
步骤依据
尺度变换定义
视频直接表达
公式
$n = 2 \Rightarrow x(2/2) = x(1) = 1$
解释
当 $n=2$ 时，代入得到 $x(1)$ ，原图值为 1
步骤依据
尺度变换定义
视频直接表达
公式
$n = 4 \Rightarrow x(4/2) = x(2) = 2$
解释
当 $n=4$ 时，代入得到 $x(2)$ ，原图值为 2
步骤依据
尺度变换定义
视频直接表达
公式
$n = 6 \Rightarrow x(6/2) = x(3) = 3$
解释
当 $n=6$ 时，代入得到 $x(3)$ ，原图值为 3
步骤依据
尺度变换定义
视频直接表达
公式
$n \text{is odd} \Rightarrow x(n/2) = 0$
解释
由于离散序列仅在整数点有定义，当 n 为奇数时 $n/2$ 非整数，故取值为 0
步骤依据
离散信号定义域限制
视频直接表达

结论

扩张后的序列 $x(n/2)$ 在偶数点保留原序列对应位置的值，在奇数点插入零值。

例题详解 · 2

离散序列尺度变换示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
三幅并列序列图及手写计算过程

题目

给定离散序列 $x(n)$ ，求其压缩序列 $x(2n)$ 与扩展序列 $x(n/2)$ 的有效样本点及取值。

已知条件

原序列 $x(n)$ 在 $n=-2$ ,-1,0,1,2,3 处有定义
图示样本值： $x(-2)=2$ , $x(-1)=1$ , $x(0)=0$ , $x(1)=1$ , $x(2)=2$ , $x(3)=1$
尺度变换规则：只在整数点取值

目标

确定 $x(2n)$ 和 $x(n/2)$ 的有效整数索引及对应幅度

步骤

公式
$x(2n): n \in \{-1,0,1\}$
解释
压缩时仅保留使 2n 为原序列整数索引的 n
步骤依据
离散序列整数点取值原则
依据视频推导
公式
$x(2n)|_{n=-1}=2,\; x(2n)|_{n=0}=0,\; x(2n)|_{n=1}=2$
解释
查原序列对应偶数点值得到压缩序列幅度
步骤依据
原序列图示数据
视频直接表达
公式
$x(n/2): n=2n',\; n' \in \{-2,-1,0,1\}$
解释
扩展时通过 $n=2n$ ' 将新索引映射回原索引
步骤依据
尺度变换定义
视频直接表达
公式
$n \in \{-4,-2,0,2\}$
解释
计算扩展序列中可能存在的整数位置
步骤依据
代入 $n=2n$ '
依据视频推导

结果

$x(2n)$ 有效点为 $n=-1$ ,0,1，对应值 2,0,2； $x(n/2)$ 的非零样本仅出现在偶数位置 $n=-4$ ,-2,0,2（具体取值需继续查原序列，片段未完全展示）。

检验

对照画面中 $x(2n)$ 图的三个标注点与手写计算一致； $x(n/2)$ 图横轴刻度为偶数间隔，与推导吻合。

离散信号尺度扩张示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左侧图表给出原序列 $x(n)$ 的值： $x(-2)=2$ , $x(-1)=1$ , $x(0)=0$ , $x(1)=1$ , $x(2)=2$ , $x(3)=3$
图示
观察依据
右侧图表展示变换后的序列 $x(n/2)$

题目

已知离散序列 $x(n)$ 的波形如图所示，求 $x(n/2)$ 的波形。

已知条件

x在负二处的函数值等于二
x在负一处的函数值等于一
x在零处的函数值等于零
x在一处的函数值等于一
x在二处的函数值等于二
x在三处的函数值等于三

目标

绘制并确定 $x(n/2)$ 在各整数点的取值

步骤

公式
$x(-4/2) = x(-2) = 2$
解释
计算 $n=-4$ 时的值
步骤依据
代入法
视频直接表达
公式
$x(-3/2) = 0$
解释
$n=-3$ 为奇数，非整数索引，值为 0
步骤依据
离散信号定义
视频直接表达
公式
$x(-2/2) = x(-1) = 1$
解释
计算 $n=-2$ 时的值
步骤依据
代入法
视频直接表达
公式
$x(-1/2) = 0$
解释
$n=-1$ 为奇数，值为 0
步骤依据
离散信号定义
视频直接表达
公式
$x(0/2) = x(0) = 0$
解释
计算 $n=0$ 时的值
步骤依据
代入法
视频直接表达
公式
$x(1/2) = 0$
解释
$n=1$ 为奇数，值为 0
步骤依据
离散信号定义
视频直接表达
公式
$x(2/2) = x(1) = 1$
解释
计算 $n=2$ 时的值
步骤依据
代入法
视频直接表达
公式
$x(3/2) = 0$
解释
$n=3$ 为奇数，值为 0
步骤依据
离散信号定义
视频直接表达
公式
$x(4/2) = x(2) = 2$
解释
计算 $n=4$ 时的值
步骤依据
代入法
视频直接表达
公式
$x(5/2) = 0$
解释
$n=5$ 为奇数，值为 0
步骤依据
离散信号定义
视频直接表达
公式
$x(6/2) = x(3) = 3$
解释
计算 $n=6$ 时的值
步骤依据
代入法
视频直接表达

结果

$x(n/2)$ 的序列值为：..., 0, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 3, ... （在偶数点保留原值，奇数点为0）

检验

与右侧图表中绘制的 $x(n/2)$ 波形完全一致

图示与动画 · 4

离散信号尺度变换图示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
画面展示了三个并排的离散信号波形图，分别是 $x(n)$ , $x(2n)$ , $x(n/2)$

图中对象

$x(n)$ 原信号图
$x(2n)$ 压缩信号图
$x(n/2)$ 扩展信号图

变化过程

$x(2n)$ 图中样本点变稀疏，仅保留原图偶数位置的样本
$x(n/2)$ 图中样本点变密集，原样本位置被拉伸，中间插入零值样本

不变量

纵轴幅度在对应样本点上保持不变
单位样值序列 $\delta(n)$ 在变换后仍为 $\delta(n)$

数学含义

直观展示了离散序列压缩（抽取）和扩展（插零）对样本位置和数量的影响。

三幅离散序列对比图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
画面并列展示 $x(n)$ 、 $x(2n)$ 、 $x(n/2)$ 三幅离散序列茎状图

图中对象

$x(n)$ 原序列图
$x(2n)$ 压缩序列图
$x(n/2)$ 扩展序列图
手写注释与计算

变化过程

讲解者用黄色圈标出 $x(2n)$ 的三个有效点
在 $x(n)$ 图上标注对应原索引值
后期添加蓝色箭头与“取偶”文字
写出 n' 与 2n' 的映射表

不变量

三幅图共享同一原序列数据
横轴均为整数索引 n
纵轴均为序列幅度

数学含义

通过并列图示直观展示尺度变换中索引压缩与扩展对样本位置和数量的影响。

整数点取值强调动画

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
红色手写字“离散信号只在整数点取值”逐字书写并加下划线

图中对象

红色手写文字
下划线

变化过程

文字从无到有逐字出现
最后添加下划线强调

不变量

文字内容始终为离散信号取值规则

数学含义

突出离散序列与连续信号的本质区别：仅在整数时刻有定义，非整数点直接舍弃。

插零过程的可视化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
在讲解 $x(n/2)$ 时，使用黄色圆圈高亮了奇数点上新插入的零值
图示
观察依据
右侧图表下方标注了“插零”字样，并用蓝色箭头指示

图中对象

$x(n/2)$ 波形图
黄色圆圈
蓝色箭头

变化过程

奇数点被高亮显示为零值
波形在水平方向上被拉伸

不变量

偶数点的值与原序列对应点的值相同

数学含义

直观展示了离散信号扩张变换（ $x(n/a)$ ）时，在非整数索引位置插入零值的数学过程。

易错点 · 4

误以为离散信号可以取非整数索引

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
讲师在计算 $n/2$ 时提到“发现里面有整数也有小数对吧”，并随后写下“离散信号”以强调这一点

误区

在处理 $x(2n)$ 或 $x(n/2)$ 时，直接像连续信号一样画出平滑曲线或保留小数索引的点。

说明

离散信号的自变量 n 必须是整数。在尺度变换计算出新索引后，必须舍弃非整数的索引值，只保留整数索引对应的样本。

误以为非整数点可插值或保留

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“不是整数点的我们都不要”

误区

在进行离散序列尺度变换时，试图保留或插值非整数索引处的样本。

说明

离散序列只在整数点有定义，尺度变换后若新索引对应的原索引非整数，则该点不存在，必须舍弃。

误以为尺度变换会改变冲激幅度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
注意框明确写出幅度不变

误区

类比连续信号尺度变换中的 1/|a| 因子，认为离散单位样值序列 δ(an) 幅度也会缩放。

说明

离散单位样值序列尺度变换时幅度不变，恒有 δ(an)= $δ(n)$ 。

误以为尺度变换会改变信号幅度

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
底部文字框特别强调：“注意：单位样值序列尺度变换时幅度不变”

误区

学生可能类比连续信号的尺度变换（如 $\delta$ (at) = $\frac{1}{|a|}\delta(t)$ ），认为离散信号做 x(an) 变换时幅度也会按比例缩放。

说明

对于离散的单位样值序列 $\delta(n)$ ，无论 a 取何非零整数， $\delta$ (an) 始终等于 $\delta(n)$ ，幅度恒为 1，不会发生缩放。

概念关系 · 5

离散信号的尺度变换 → 单位样值序列的尺度变换特性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
红框内的注意事项紧跟在尺度变换标题和图表之下

应用

解释

单位样值序列的尺度变换特性是离散信号尺度变换规则的一个特例和重要补充。

压缩序列 $x(2n)$ 的取偶特性 → 离散序列的尺度变换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
$x(2n)$ 作为 x(an) 在 $a=2$ 时的具体形式

特例

解释

压缩序列 $x(2n)$ 是离散尺度变换 x(an) 在尺度因子 $a=2$ 时的特例。

扩展序列 $x(n/2)$ 的索引映射 → 离散序列的尺度变换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
$x(n/2)$ 作为 x(an) 在 $a=1/2$ 时的具体形式

特例

解释

扩展序列 $x(n/2)$ 是离散尺度变换 x(an) 在尺度因子 $a=1/2$ 时的特例。

单位样值序列尺度变换幅度不变 → 离散序列的尺度变换

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
注意框将 δ(an)= $δ(n)$ 作为尺度变换的特殊说明

应用

解释

单位样值序列幅度不变性质是离散尺度变换理论在特殊序列上的应用结果。

离散信号的尺度变换 → 单位样值序列的尺度变换性质

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
底部文字框将单位样值序列的性质作为尺度变换的注意事项给出

特例

解释

单位样值序列的尺度变换性质是离散信号一般尺度变换规则中的一个特殊且重要的情形，需特别注意其与连续信号的区别。

问题定位 · 8

如何计算离散信号压缩或扩展后的新样本索引？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师演示了如何通过设 $n=2n$ ' 来寻找新索引

涉及知识点

序列压缩 $x(2n)$ 的求解推导
序列扩展 $x(n/2)$ 的求解推导

离散冲激函数做尺度变换时幅度会变吗？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
画面红框文字

涉及知识点

单位样值序列的尺度变换特性

离散序列尺度变换时为什么非整数点要直接舍弃？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“不是整数点的我们都不要”

涉及知识点

离散序列的尺度变换
误以为非整数点可插值或保留

为什么说 $x(2n)$ 的计算相当于取偶过程？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“相当于是一个取偶的过程”

涉及知识点

压缩序列 $x(2n)$ 的取偶特性

求 $x(n/2)$ 时为什么要用乘法建立索引映射？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
“这边是除嘛，那这边扩展肯定要乘嘛”

涉及知识点

扩展序列 $x(n/2)$ 的索引映射

离散单位样值序列尺度变换时幅度是否改变？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
an 的离散时间冲激函数等于 n 的离散时间冲激函数

涉及知识点

单位样值序列尺度变换幅度不变
误以为尺度变换会改变冲激幅度

离散信号做尺度扩张（如 $x(n/2)$ ）时，奇数点的值是如何确定的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者详细演示了 $x(n/2)$ 的取值计算过程

涉及知识点

离散信号的尺度变换
离散信号扩张变换的取值推导
离散信号尺度扩张示例

离散单位样值序列进行尺度变换时，其幅度会发生改变吗？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
底部文字框明确给出了 $\delta$ (an) = $\delta(n)$

涉及知识点

单位样值序列的尺度变换性质
误以为尺度变换会改变信号幅度

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 引入离散信号尺度变换概念，展示原信号及变换目标图表。

已覆盖 · 详细推导压缩和扩展的索引计算方法，强调离散信号索引必须为整数的易错点，并提及单位样值序列的特性。

已覆盖 · 画面展示三幅序列图与注意框，讲解者书写并强调离散信号只在整数点取值。

已覆盖 · 讲解者筛选 $x(2n)$ 的有效整数点并逐一确定幅度，完成压缩序列示例推导。

已覆盖 · 讲解者补充说明压缩过程本质上是取偶，并在画面上标注“取偶”。

已覆盖 · 讲解者开始扩展序列 $x(n/2)$ 的分析，建立 n' 与 $n=2n$ ' 的映射关系并列出对应位置。

已覆盖 · 片段完整覆盖了离散信号尺度变换的定义、插零推导、具体示例、单位样值序列的特殊性质以及前向差分的公式展示。

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已审核的主题路径

离散化

离散信号的尺度变换

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

离散信号尺度变换定义

单位样值序列的尺度变换特性

求解变换后序列索引的方法

易错点：离散信号的非整数索引

离散序列尺度变换定义

压缩序列 x(2n)x(2n)x(2n) 的取偶本质

扩展序列 x(n/2)x(n/2)x(n/2) 的索引映射方法

单位样值序列尺度变换幅度不变

非整数点舍弃原则

离散信号尺度扩张（插零）

离散单位样值序列的尺度变换

序列的前向差分

详细学习笔记

x(n)x(n)x(n)

n'

δ(n)\delta(n)δ(n)

n

x(n)x(n)x(n)

x(2n)x(2n)x(2n)

x(n/2)x(n/2)x(n/2)

δ(n)δ(n)δ(n)

n'

a

n

x(n)x(n)x(n)

离散信号的尺度变换

单位样值序列的尺度变换特性

离散序列的尺度变换

压缩序列 x(2n)x(2n)x(2n) 的取偶特性

扩展序列 x(n/2)x(n/2)x(n/2) 的索引映射

离散信号的尺度变换

单位样值序列的尺度变换性质

序列的前向差分

单位样值序列尺度变换幅度不变

序列压缩 x(2n)x(2n)x(2n) 的求解推导

序列扩展 x(n/2)x(n/2)x(n/2) 的求解推导

由 x(n)x(n)x(n) 求 x(2n)x(2n)x(2n) 的推导

由 x(n)x(n)x(n) 求 x(n/2)x(n/2)x(n/2) 的索引映射准备

离散信号扩张变换的取值推导

离散序列尺度变换示例

离散信号尺度扩张示例

离散信号尺度变换图示

三幅离散序列对比图

整数点取值强调动画

插零过程的可视化

误以为离散信号可以取非整数索引

误以为非整数点可插值或保留

误以为尺度变换会改变冲激幅度

误以为尺度变换会改变信号幅度

离散信号的尺度变换 → 单位样值序列的尺度变换特性

压缩序列 x(2n)x(2n)x(2n) 的取偶特性 → 离散序列的尺度变换

扩展序列 x(n/2)x(n/2)x(n/2) 的索引映射 → 离散序列的尺度变换

单位样值序列尺度变换幅度不变 → 离散序列的尺度变换

离散信号的尺度变换 → 单位样值序列的尺度变换性质

如何计算离散信号压缩或扩展后的新样本索引？

离散冲激函数做尺度变换时幅度会变吗？

离散序列尺度变换时为什么非整数点要直接舍弃？

为什么说 x(2n)x(2n)x(2n) 的计算相当于取偶过程？

求 x(n/2)x(n/2)x(n/2) 时为什么要用乘法建立索引映射？

离散单位样值序列尺度变换时幅度是否改变？

离散信号做尺度扩张（如 x(n/2)x(n/2)x(n/2)）时，奇数点的值是如何确定的？

离散单位样值序列进行尺度变换时，其幅度会发生改变吗？

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$x(n)$

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$x(n/2)$

$δ(n)$

$x(n)$

压缩序列 $x(2n)$ 的取偶特性

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序列压缩 $x(2n)$ 的求解推导

序列扩展 $x(n/2)$ 的求解推导

由 $x(n)$ 求 $x(2n)$ 的推导

由 $x(n)$ 求 $x(n/2)$ 的索引映射准备

压缩序列 $x(2n)$ 的取偶特性 → 离散序列的尺度变换

扩展序列 $x(n/2)$ 的索引映射 → 离散序列的尺度变换

为什么说 $x(2n)$ 的计算相当于取偶过程？

求 $x(n/2)$ 时为什么要用乘法建立索引映射？

离散信号做尺度扩张（如 $x(n/2)$ ）时，奇数点的值是如何确定的？