【生活记录】狄利克雷积分+sinc²积分 by 傅里叶变换+复变围道积分 p01 p1：狄利克雷积分 by 傅里叶变换

1. 公式
   观察依据

   白板上写出积分变量 x，出现在 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx$ 与 $\int_{0}^{\infty} (\frac{\sin x}{x})^2 dx$ 中。

x

积分变量

实数

1. 公式
   观察依据

   白板上写出 $f(t)$，并在分段条件中使用 |t| $\le 1$。

t

函数 f 的自变量

实数

1. 公式
   观察依据

   白板上写出 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$。

$\omega$

傅里叶变换的频率变量

实数

1. 公式
   观察依据

   白板上写出分段函数 $f(t) = 1$ (|t| <= 1), 0 (other)

$f(t)$

矩形脉冲函数（门函数），在 |t| <= 1 时值为 1，其余为 0

t 是实数

1. 公式
   观察依据

   傅里叶变换公式中出现变量 $\omega$

$\omega$

角频率变量

ω 是实数

1. 公式
   观察依据

   白板上写出 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$

$F(\omega)$

函数 $f(t)$ 的傅里叶变换

ω 是实数

1. 公式
   观察依据

   白板上给出 $f(t)=1$ (|t|≤1), $f(t)=0$ (other)，并配有矩形脉冲图。

$f(t)$

关于时间变量 t 的矩形脉冲函数，在 |t|≤1 时取 1，其余取 0。

t 是实数

1. 公式
   观察依据

   傅里叶变换与逆变换公式中均出现 ω。

$\omega$

角频率变量，作为傅里叶变换后的自变量。

ω 是实数

1. 公式
   观察依据

   白板上写有 $F(ω)=\int$_{-}^{$\infty$} $f(t)e^{-iωt}dt$，并在后续代入得到 $2 \sin ω/ω$。

$F(\omega)$

$f(t)$ 的傅里叶变换。

ω 是实数

1. 公式
   观察依据

   指数因子写作 $e^{-iωt}$ 与 $e^{iωt}$。

i

虚数单位。

i 的平方等于负一

1. 公式
   观察依据

   顶部目标积分与底部结论均出现 π 与 $π/2$。

$\pi$

圆周率常数。

实常数

1. 公式
   观察依据

   逆变换公式写为 $\int$_{-}^{$\infty$} $F(ω)e^{iωt} dω$。

u

白板字迹中用于逆变换积分的微分变量，视觉上接近 ω。

积分变量

1. 声音
   观察依据

   讲师说“我们今天讲这个，狄利克雷积分”。

2. 公式
   观察依据

   白板上写出 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \int_{0}^{\infty} (\frac{\sin x}{x})^2 dx = \frac{\pi}{2}$。

视频首先给出两个反常积分，并声明它们的结果相同，都等于 $\frac{\pi}{2}$。

1. 积分下限为 0，上限为 $\infty$

2. 被积函数分别为 $\frac{\sin x}{x}$ 与 ($\frac{\sin x}{x}$)^2

1. 声音
   观察依据

   讲师说“那我们第一个方法呢，是用傅里叶……然后第二个方法呢，是通过这个复变函数，这个围道积分来解决”。

2. 公式
   观察依据

   白板上写出“1. Fourier”和“2. 复变”。

视频列出求解该积分的两种方法：第一种使用傅里叶变换，第二种使用复变函数中的围道积分。

1. 狄利克雷积分及其平方形式

1. 声音
   观察依据

   讲师说“利用傅里叶的话呢，我们需要用这样一个函数……就是 t 的绝对值小于等于 1 的时候，它为 1，否则在其余的情况下呢，它还是为 0”。

2. 图示
   观察依据

   白板上画出矩形脉冲图，横轴标有 -1 和 1，纵轴标有 1。

3. 公式
   观察依据

   白板上写出 $f(t) = \begin{cases} 1 & (|t| \le 1) \\ 0 & (\text{other}) \end{cases}$。

为了使用傅里叶方法，视频引入了一个在区间 [-1, 1] 上取值为 1、其余位置取值为 0 的分段函数。

1. 当 |t| $\le 1$ 时，$f(t) = 1$

2. 当 |t| > 1 时，$f(t) = 0$

1. 公式
   观察依据

   白板上写出傅里叶变换的定义式 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$

函数 $f(t)$ 的傅里叶变换定义为 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$。

1. 积分收敛

1. 公式
   观察依据

   白板上写出傅里叶逆变换的定义式 $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$

函数 $F(\omega)$ 的傅里叶逆变换定义为 $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$。

1. 积分收敛

1. 傅里叶变换定义

1. 公式
   观察依据

   白板上写出分段函数 $f(t) = 1$ (|t| <= 1), 0 (other)

2. 图示
   观察依据

   白板上画出了该函数的图像，为一个矩形脉冲

矩形脉冲函数 $f(t)$ 定义为：当 |t| <= 1 时，$f(t) = 1$；当 |t| > 1 时，$f(t) = 0$。

1. 声音
   观察依据

   讲师提到“利用欧拉公式”

2. 公式
   观察依据

   白板上将 $e^{-i\omega t}$ 展开为 $\cos \omega t - i \sin \omega t$

欧拉公式建立了复指数函数与三角函数之间的联系：e^{ix} = $\cos x + i \sin x$。在此处用于展开 $e^{-i\omega t}$。

1. 声音
   观察依据

   讲师提到“因为这个是一个偶函数...这是一个奇函数...奇函数就没了”

2. 公式
   观察依据

   白板上将积分区间从 [-1, 1] 变为 2 倍的 [0, 1]，并去掉了正弦项

在对称区间 [-a, a] 上，奇函数的积分为 0，偶函数的积分为其在 [0, a] 上积分的两倍。

1. 积分区间关于原点对称

1. 公式
   观察依据

   白板上写出 $F(ω)=\int _{-\infty }^{\infty } f(t)e^{-iωt}dt$。

视频把矩形脉冲 $f(t)$ 的傅里叶变换定义为对全实轴积分 $\int _{-\infty }^{\infty } f(t)e^{-iωt}dt$。

1. $f(t)$ 为白板所给的矩形脉冲函数

2. 积分变量为 t

3. 结果为关于 ω 的函数

1. 公式
   观察依据

   白板上写出 $f(t)=1/(2π)\int _{-\infty }^{\infty } F(ω)e^{iωt}$du。

1. 微分变量书写为 du，但结合上下文应为 dω。

视频使用逆变换公式把 $f(t)$ 表示为 $F(ω)$ 乘以 $e^{iωt}$ 后再除以 2π 的积分。

1. $F(ω)$ 为 $f(t)$ 的傅里叶变换

2. t 为实变量

1. 傅里叶变换定义

1. 公式
   观察依据

   白板上写有 $f(t)=1$ (|t|≤1), $f(t)=0$ (other)。

2. 图示
   观察依据

   左侧画出高度为 1、底边从 -1 到 1 的矩形。

视频选取的示例函数是在区间 [-1,1] 上恒为 1、在区间外恒为 0 的矩形脉冲。

1. 定义在全实轴上

1. 公式
   观察依据

   白板顶部写有 $\int _0^\infty$ sinx/x $dx = \int _0^\infty$ (sinx/x)^$2 dx = π/2$。

视频开头已给出目标等式，本片段通过傅里叶变换推导其中的 $\int _0^\infty$ sinx/x $dx = π/2$。

1. 被积函数在 $x=0$ 处按极限理解

1. 公式
   观察依据

   白板上写出 ∴ $π=\int _{-\infty }^{\infty } \sin ω/ω dω$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说“这个积分就等于π”。

从负无穷到正无穷对 ω 分之正弦 ω 关于 ω 的积分等于 π。

1. 沿用前面由矩形脉冲得到的 $F(ω)=2 \sin ω/ω$

2. 在 $t=0$ 处代入逆变换公式

对所有实 ω 的广义积分

1. 公式
   观察依据

   白板上写出 ∴ $π/2=\int _0^\infty \sin ω/ω dω$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说“因为奇函数其实是一个偶函数”，随后给出最后结果是二分之π。

1. 音频中“奇函数其实是一个偶函数”表述含混，但画面结论明确使用了 $\sin ω/ω$ 的偶性。

从零到正无穷对 ω 分之正弦 ω 关于 ω 的积分等于 π 的二分之一。

1. 从负无穷到正无穷对 ω 分之正弦 ω 关于 ω 的积分等于 π

2. $\sin ω/ω$ 为偶函数

对 $ω\ge 0$ 的广义积分

1. 声音
   观察依据

   讲师说“那如果是傅里叶的话呢，我们先看这个函数的傅里叶变换……它是负一到一之间才有一的嘛，所以我们呢，其实就是负一到一”。

2. 公式
   观察依据

   白板上写出 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt = \int_{-1}^{1} e^{-i\omega t} dt$。

1. 公式

   $$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$
   解释

   写出傅里叶变换的定义式。

   步骤依据

   傅里叶变换定义

   视频直接表达
2. 公式

   $$= \int_{-1}^{1} e^{-i\omega t} dt$$
   解释

   由于 $f(t)$ 仅在 [-1, 1] 上非零且值为 1，将积分区间缩小并代入 $f(t)=1$。

   步骤依据

   $f(t)$ 的分段定义

   视频直接表达

将无穷区间上的傅里叶变换积分化简为有限区间 [-1, 1] 上的积分。

1. 公式
   观察依据

   白板上逐步写出了傅里叶变换的计算过程

1. 公式

   $$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$$
   解释

   根据傅里叶变换的定义写出积分式。

   步骤依据

   傅里叶变换定义

   视频直接表达
2. 公式

   $$= \int_{-1}^{1} e^{-i\omega t} dt$$
   解释

   代入矩形脉冲函数 $f(t)$ 的具体形式，积分区间缩小为 [-1, 1]。

   步骤依据

   矩形脉冲函数定义

   视频直接表达
3. 公式

   $$= \int_{-1}^{1} (\cos \omega t - i \sin \omega t) dt$$
   解释

   利用欧拉公式将复指数函数展开为三角函数。

   步骤依据

   欧拉公式

   视频直接表达
4. 公式

   $$= 2 \int_{0}^{1} \cos \omega t dt$$
   解释

   由于 $\cos \omega t$ 是偶函数，$\sin \omega t$ 是奇函数，在对称区间 [-1, 1] 上，奇函数积分为 0，偶函数积分为其在 [0, 1] 上积分的两倍。

   步骤依据

   奇偶函数的积分性质

   视频直接表达
5. 公式

   $$= 2 \left[ \frac{\sin \omega t}{\omega} \right]_{0}^{1}$$
   解释

   计算定积分，求出原函数。

   步骤依据

   微积分基本定理

   视频直接表达
6. 公式

   $$= 2 \frac{\sin \omega}{\omega}$$
   解释

   代入积分上下限，得到最终结果。

   步骤依据

   代数运算

   视频直接表达

矩形脉冲函数 $f(t)$ 的傅里叶变换为 $F(\omega) = 2 \frac{\sin \omega}{\omega}$。

1. 公式
   观察依据

   白板上写出了傅里叶逆变换公式，并准备代入 $t=0$

1. 公式

   $$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$$
   解释

   根据傅里叶逆变换的定义写出积分式。

   步骤依据

   傅里叶逆变换定义

   视频直接表达
2. 公式

   $$t = 0 \Rightarrow f(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) d\omega$$
   解释

   令 $t=0$，此时 $e^{i\omega t} = 1$，且 $f(0) = 1$。

   步骤依据

   代入特定值

   视频直接表达

通过傅里叶逆变换在 $t=0$ 处的值，可以将矩形脉冲函数的傅里叶变换与狄利克雷积分联系起来。

1. 公式
   观察依据

   白板上依次写出 $F(ω)=\int _{-\infty }^{\infty } f(t)e^{-iωt}dt = \int _{-1}^{1} e^{-iωt}dt = \int _{-1}^{1}(\cos ωt+i \sin ωt)dt = 2\int _0^1 \cos ωt dt = 2[\sin ωt/ω]_0^1 = 2 \sin ω/ω$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者同步说明把 $f(t)$ 代入并把积分限缩到 -1 到 1。

1. 公式

   $$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$
   解释

   从傅里叶变换定义出发。

   步骤依据

   使用白板上给出的定义式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$=\int_{-1}^{1} e^{-i\omega t}\,dt$$
   解释

   由于 $f(t)$ 仅在 |t|≤1 时为 1，其余为 0，所以积分区间收缩到 [-1,1]。

   步骤依据

   使用矩形脉冲定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$=\int_{-1}^{1}(\cos\omega t+i\sin\omega t)\,dt$$
   解释

   把复指数展开为余弦加 i 倍正弦。

   步骤依据

   欧拉公式 $e^{-iωt}=\cos ωt - i \sin ωt$；白板书写为 $\cos ωt+i \sin ωt$，后续只保留余弦项贡献。

   视频直接表达
4. 公式

   $$=2\int_{0}^{1}\cos\omega t\,dt$$
   解释

   正弦项在对称区间上积分为 0，余弦项为偶函数，因此化为 2 倍半区间积分。

   步骤依据

   利用 cos 为偶函数、sin 为奇函数以及对称区间积分性质。

   视频直接表达
5. 公式

   $$=2\left[\frac{\sin\omega t}{\omega}\right]_{0}^{1}=2\frac{\sin\omega}{\omega}$$
   解释

   对 cosωt 关于 t 积分得到 $\sin ωt/ω$，再代入上下限。

   步骤依据

   基本积分公式与端点代入。

   视频直接表达

F 括号 ω 等于二倍的 ω 分之正弦 ω。

1. 公式
   观察依据

   白板上写出 $f(0)=1=1/(2π)\int _{-\infty }^{\infty } 2 \sin ω/ω dω$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说“也就是 t 等于 0 的时候，把 t 等于 0 代进去，$f(0)$ 等于 1”。

1. 公式

   $$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega$$
   解释

   先写出傅里叶逆变换公式。

   步骤依据

   使用白板上给出的逆变换。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\,d\omega$$
   解释

   令 $t=0$，则 $e^{iωt}=e^0=1$。

   步骤依据

   指数函数在 0 处等于 1。

   视频直接表达
3. 公式

   $$1=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}2\frac{\sin\omega}{\omega}\,d\omega$$
   解释

   左边由矩形脉冲定义得 $f(0)=1$，右边代入前面求得的 $F(ω)=2 \sin ω/ω$。

   步骤依据

   使用 $f(t)$ 的定义与已推导的傅里叶变换结果。

   视频直接表达

得到 $1=(1/(2π))\int _{-\infty }^{\infty }2 \sin ω/ω dω$。

1. 公式
   观察依据

   白板上写出 ∴ $π=\int _{-\infty }^{\infty } \sin ω/ω dω$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说“这个 2 和 2 它就消掉了”，然后把 π 拿过去。

1. 公式

   $$1=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}2\frac{\sin\omega}{\omega}\,d\omega$$
   解释

   从上一步等式开始。

   步骤依据

   承接前一步代入结果。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}\,d\omega$$
   解释

   分子中的 2 与分母 2π 中的 2 相消。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\pi=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}\,d\omega$$
   解释

   两边同乘 π。

   步骤依据

   等式两边同乘非零常数。

   视频直接表达

从负无穷到正无穷对 ω 分之正弦 ω 关于 ω 的积分等于 π。

1. 公式
   观察依据

   白板上写出 ∴ $π/2=\int _0^\infty \sin ω/ω dω$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者提到“因为奇函数其实是一个偶函数”，随后给出最后结果是二分之π。

1. 音频表述不够严谨，但画面结论与标准偶函数半轴化一致。

1. 公式

   $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}\,d\omega=\pi$$
   解释

   先引用全轴积分结果。

   步骤依据

   来自上一推导。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{\sin\omega}{\omega}\text{is an \text{偶数} function}$$
   解释

   因为 $\sin (-ω)/(-ω)=\sin ω/ω$。

   步骤依据

   正弦为奇函数，分母 ω 也为奇函数，二者相除得偶函数。

   依据视频推导
3. 公式

   $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}\,d\omega=2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}\,d\omega$$
   解释

   偶函数在全轴上的积分等于其在半轴上积分的两倍。

   步骤依据

   偶函数对称积分性质。

   依据视频推导
4. 公式

   $$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}\,d\omega=\frac{\pi}{2}$$
   解释

   将全轴积分值 π 代入并除以 2。

   步骤依据

   代数求解。

   视频直接表达

从零到正无穷对 ω 分之正弦 ω 关于 ω 的积分等于 π 的二分之一。

1. 公式
   观察依据

   整个白板围绕 $f(t)=1$(|t|≤1), 0(other) 展开，并最终写出 $π/2=\int _0^\infty \sin ω/ω dω$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者逐步代入 $t=0$、消去常数并得到最后结果。

已知 $f(t)=1$ 当 |t|≤1，否则为 0，利用傅里叶变换与逆变换求 $\int _0^\infty$ sinx/x dx。

1. f 括号 t 等于：当 t 的绝对值小于或等于一时，函数值为一；其他情况下，函数值为零。

2. F 括号 ω 等于从负无穷到正无穷对 f 括号 t 乘以 e 的负 i ω t 次方关于 t 的积分。

3. f 括号 t 等于二 π 分之一乘以从负无穷到正无穷对 F 括号 ω 乘以 e 的 i ω t 次方关于 ω 的积分。

计算 $\int _0^\infty$ sinx/x dx。

1. 公式

   $$F(\omega)=\int_{-1}^{1}e^{-i\omega t}dt=2\int_0^1\cos\omega t\,dt=2\frac{\sin\omega}{\omega}$$
   解释

   先求矩形脉冲的傅里叶变换。

   步骤依据

   由 $f(t)$ 的分段定义和对称区间积分化简。

   视频直接表达
2. 公式

   $$f(0)=1=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}2\frac{\sin\omega}{\omega}d\omega$$
   解释

   在逆变换中取 $t=0$。

   步骤依据

   $f(0)=1$ 且 $e^{iω\cdot 0}=1$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\pi=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}d\omega$$
   解释

   消去常数 2 并移项。

   步骤依据

   代数化简。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{\pi}{2}=\int_0^{\infty}\frac{\sin\omega}{\omega}d\omega$$
   解释

   利用 $\sin ω/ω$ 的偶性把全轴积分化为半轴积分。

   步骤依据

   偶函数对称积分性质。

   视频直接表达

从零到正无穷对 x 分之正弦 x 关于 x 的积分等于 π 的二分之一。

与白板顶部预先写出的目标等式 $\int _0^\infty$ sinx/x $dx = π/2$ 一致。

1. 声音
   观察依据

   讲师说“那利用复变的话呢，我们是用这样一个经典的挖孔的围道积分，来计算这样一个问题”。

2. 图示
   观察依据

   白板上画出复平面，包含上半平面的大半圆和原点处的小半圆凹陷。

1. 复平面坐标轴

2. 上半平面大半圆

3. 原点处小半圆

1. 讲师画出大圆弧

2. 讲师在原点处画出小圆弧以避开奇点

1. 坐标轴保持不变

该草图展示了使用留数定理计算实轴反常积分时常用的避开原点的围道结构。

1. 图示
   观察依据

   白板上画出了一个矩形脉冲函数的图像，横轴为 t，纵轴为 $f(t)$，在 [-1, 1] 区间内高度为 1

1. 坐标轴

2. 矩形

1. 矩形的宽度和高度

直观展示了被积函数 $f(t)$ 的形状和取值范围，解释了为什么积分区间可以从 (-\infty, $\infty$) 缩小到 [-1, 1]。

1. 图示
   观察依据

   白板顶部先写目标积分，中部写“1. Fourier”、矩形图和 $f(t)$ 分段定义，右侧写傅里叶变换与逆变换推导，底部逐步补出最终结论。

1. 顶部目标积分

2. 左侧矩形脉冲图与 $f(t)$ 定义

3. 中部 $F(ω)$ 推导

4. 下部逆变换与最终结论

1. 讲解者先在右侧补写 $f(0)=1$ 的代入式

2. 随后在下方写出 $π=\int _{-\infty }^{\infty } \sin ω/ω dω$

3. 最后再写出 $π/2=\int _0^\infty \sin ω/ω dω$

1. 顶部目标等式始终可见

2. 左侧矩形脉冲定义始终可见

画面把“目标积分—示例函数—傅里叶变换—逆变换代入 $t=0$—化简得结论”组织成一条连续的板书证明链。

1. 图示
   观察依据

   左侧坐标图中画出高度为 1、横跨 -1 到 1 的矩形。

1. 横轴

2. 纵轴

3. 高度为 1 的矩形

4. 标注 -1 与 1

1. 矩形只在 |t|≤1 上非零

2. 高度恒为 1

该图直观说明 $f(t)$ 是宽度为 2、高度为 1 的门函数，因此其傅里叶变换积分限可缩到 [-1,1]。

1. 声音
   观察依据

   讲解者在说明半轴化时说“因为奇函数其实是一个偶函数”。

2. 公式
   观察依据

   画面结论使用的是 $\int _{-\infty }^{\infty } \sin ω/ω dω = 2\int _0^\infty \sin ω/ω dω$。

1. 音频措辞含混，可能为口误或省略说明。

容易把“sin 是奇函数”误说成“$\sin ω/ω$ 也是奇函数”。

sinω 是奇函数，ω 也是奇函数，但商 $\sin ω/ω$ 是偶函数；本片段最后一步正是按偶函数把全轴积分化为半轴积分的两倍。

1. 声音
   观察依据

   讲师在写出积分后，紧接着列出两种方法。

傅里叶变换和复变围道积分是用于计算狄利克雷积分及其平方形式的两种方法。

1. 声音
   观察依据

   讲师说“利用傅里叶的话呢，我们需要用这样一个函数”，随后定义了 $f(t)$ 并计算其傅里叶变换。

矩形脉冲函数 $f(t)$ 的定义是进行后续傅里叶变换计算的前提。

1. 声音
   观察依据

   讲师提到“这是我们傅里叶变换之后的函数，那我们利用傅里叶逆变换...”

通过计算矩形脉冲函数的傅里叶变换，然后利用傅里叶逆变换在特定点（$t=0$）的性质，来求解狄利克雷积分。

1. 公式
   观察依据

   由 $f(t)$ 的分段定义直接推出 $F(ω)=2 \sin ω/ω$。

矩形脉冲定义被代入傅里叶变换定义，得到具体的 sinc 型表达式。

1. 公式
   观察依据

   先用 $F(ω)$ 表达式，再代入 $f(t)=1/(2π)\int F(ω)e^{iωt}dω$。

必须先求出 $F(ω)$，才能在逆变换中代入并取 $t=0$ 得到积分恒等式。

1. 公式
   观察依据

   由 $π=\int _{-\infty }^{\infty } \sin ω/ω dω$ 进一步写出 $π/2=\int _0^\infty \sin ω/ω dω$。

利用被积函数的偶性，把全轴积分结论 specialize 为半轴积分结论。

1. 公式
   观察依据

   底部结论与顶部目标积分形式一致，只是变量名由 ω 换成 x。

本片段推导出的 $\int _0^\infty \sin ω/ω dω = π/2$ 正是顶部目标中的第一个狄利克雷积分。

1. 公式
   观察依据

   白板上写出积分结果等于 $\frac{\pi}{2}$。

1. 狄利克雷积分及其平方形式

1. 公式
   观察依据

   白板上写出 $f(t)$ 的分段定义。

1. 矩形脉冲函数 $f(t)$