黎曼几何_Part 2_黎曼度量_John Lee_Introduction to Riemannian Manifolds p01 11_Riemannian度量

1. 公式
   观察依据

   在线性等距定义中记作 V。

V

一个内积空间。

内积空间

1. 公式
   观察依据

   在线性等距定义中记作 W。

W

另一个内积空间。

内积空间

1. 公式
   观察依据

   记作 F: $V \to W$。

F

两个内积空间之间的映射。

从 V 到 W 的映射

1. 公式
   观察依据

   在内积保持方程中记作 a, b。

a, b

V 中的任意向量。

V 中的向量

1. 公式
   观察依据

   在线性条件 F(ka) = kF(a) 中写作 k。

k

底域中的一个标量。

域

1. 公式
   观察依据

   手写文字为：“设 V、W 为内积空间。”

V

一个内积空间。

内积空间

1. 公式
   观察依据

   手写文字为：“设 V、W 为内积空间。”

W

一个内积空间。

内积空间

1. 公式
   观察依据

   手写文字为：“映射 F: $V \to W$ 称为线性等距……”

F

内积空间之间的映射。

从 V 到 W 的映射

1. 公式
   观察依据

   手写文字为：“设 M 为光滑流形。”

M

一个光滑流形。

光滑流形

1. 公式
   观察依据

   手写文字为：“M 上的一个黎曼度量 g 是一个光滑的协变2阶张量场……”

g

M 上的一个黎曼度量。

M 上的一个光滑协变2阶张量场

1. 公式
   观察依据

   手写文字为：“（在 $T^2(M)$ 中）”。

$T^2(M)$

M 上协变2阶张量场的空间。

张量场的空间

1. 公式
   观察依据

   手写文字为：“其在 $p \in M$ 处的取值 $g_p$……”

p

光滑流形 M 上的一个点。

M 中的一个点

1. 公式
   观察依据

   屏幕文字：「设 V、W 为内积空间。映射 F: $V \to W$ 称为线性等距，若它是一个保持内积的向量空间同构。」

2. 声音
   观察依据

   主讲人朗读该定义并解释各项条件。

线性等距是两个内积空间之间的映射，它既是向量空间同构，又保持内积。

1. V 和 W 是内积空间。

2. F 是一个向量空间同构。

3. F 对所有 a, $b \in V$ 保持内积。

1. 公式
   观察依据

   写出的等式：$F(a+b) = F(a) + F(b)$ 与 F(ka) = kF(a)。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，这些是成为向量空间同构所需的条件。

要成为向量空间同构映射，该映射必须保持向量加法与标量乘法。

1. a、b 属于 V

2. k 是数域中的一个标量

1. 公式
   观察依据

   手写文字定义了线性等距映射：“设 V、W 为内积空间。映射 F: $V \to W$ 称为线性等距映射，若它是一个保持内积的向量空间同构。”

线性等距映射被定义为两个内积空间之间的映射，该映射既是向量空间同构，又保持内积。

1. V 和 W 是内积空间。

2. F 是一个向量空间同构。

3. F 保持内积。

1. 公式
   观察依据

   手写文字定义了黎曼度量：“设 M 是一个光滑流形。M 上的一个黎曼度量 g 是一个光滑的协变2阶张量场（属于 $T^2(M)$），其在每点 $p \in M$ 处的取值 $g_p$ 是切空间 T_pM 上的一个内积。因此，g 是一个对称的2阶张量场，且是正定的，即对所有 $v \in T$_pM，有 $g_p(v,v) \ge 0$；并且 $g_p(v,v)=0$ 当且仅当 $v=0$。”

2. 声音
   观察依据

   讲话者解释道：黎曼度量是一个光滑的协变2阶张量场，并进一步阐释了‘协变’与‘张量’的含义。

光滑流形上的黎曼度量是一个光滑的协变2阶张量场，它在每一点处的取值是该点切空间上的一个内积。该张量场是对称的且正定的。

1. M 是一个光滑流形。

2. g 是一个光滑的协变2阶张量场。

3. 对每个 $p \in M$，$g_p$ 是切空间 T_pM 上的一个内积。

4. 对所有 $v \in T$_pM，有 $g_p(v,v) \ge 0$。

5. $g_p(v,v) = 0$ 当且仅当 $v = 0$。

1. 线性等距映射

1. 公式
   观察依据

   手写的黎曼度量定义在整段视频中始终可见。

流形 M 上的一个黎曼度量 g 是指一个光滑的协变2-张量场，它在每一点 p 处的取值是切空间 T_pM 上的一个内积；该内积必须是对称且正定的。

1. M 是一个光滑流形

2. g 是一个光滑的协变2-张量场

3. 对所有 $p \in M$，$g_p$ 是 T_pM 上的一个内积

1. 声音
   观察依据

   讲解者说明，张量场允许将系数函数提取出来。

2. 公式
   观察依据

   讲解者写出等式 g(fX, hY) = fh $g(X,Y)$。

对于一个协变2-张量场 g，它在光滑函数环上是线性的；这意味着，若将输入的向量场乘以光滑函数，则这些函数可在张量求值时被提取出来。

1. g 是一个协变2-张量场

2. X、Y 是向量场

3. f、h 是光滑函数

1. 黎曼度量的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，“光滑”是指在某个坐标图中，它作为欧几里得空间上的函数是光滑的。

诸如黎曼度量之类的张量场的光滑性是在局部定义的：在任意局部坐标图中，该张量的分量函数必须是欧几里得空间上的光滑函数（即无穷次可微）。

1. 适用于局部坐标

1. 黎曼度量的定义

1. 公式
   观察依据

   主讲人写出 TM = $\bigsqcup_{p \in M} T$_pM。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将切丛定义为所有切空间的不交并。

流形 M 的切丛 TM 是其上每一点 p 处的切空间 T_pM 的不交并。它自然地从 M 继承了一个光滑流形结构。

1. M 是一个光滑流形

1. 黎曼度量的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板上写道：“设 M 是一个光滑流形。M 上的一个黎曼度量 g 是一个光滑的协变2阶张量场（属于 $\mathcal{T}^2(M)$），其在每点 $p \in M$ 处的取值 $g_p$ 是切空间 T_pM 上的一个内积。因此 g 是一个对称的2阶张量场，且是正定的，即满足 $g_p(v,v) \ge 0$，且 $g_p(v,v)=0 \Leftrightarrow v=0$。”

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释：g 具有对称性，是因为它在每一点 p 处对切空间的限制是一个内积；并进一步指出，g 是正定的，因为 $g_p(v,v)$ 非负，且等于零当且仅当 $v=0$。

光滑流形 M 上的一个黎曼度量被定义为一个光滑的协变2阶张量场 g，使得对每一点 $p \in M$，其取值 $g_p$ 是切空间 T_pM 上的一个内积。主讲人进一步阐释：这意味着 g 必须逐点对称且逐点正定。

1. M 是一个光滑流形。

2. g 是一个光滑的协变2阶张量场。

3. 对每个 $p \in M$，$g_p$ 是 T_pM 上的一个内积。

4. 对称性以口头形式表述为 $g(x,y)=g(y,x)$。

5. 正定性是在切向量 $v \in T$_pM 上逐点表述的。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着：“赋予黎曼度量后，(M,g) 称为黎曼流形。”

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，当光滑流形 M 被赋予一个黎曼度量时，就称其为黎曼流形；这正是本课程所研究的对象。

一旦光滑流形 M 被赋予黎曼度量 g，该二元组 (M,g) 就称为黎曼流形。这是本片段中引入的主要研究对象。

1. M 是一个光滑流形。

2. g 是 M 上的一个黎曼度量。

1. 黎曼度量的定义

1. 公式
   观察依据

   黑板显示标题“〔Prop, Existence of Riemannian metric〕”，以及陈述：“每个光滑流形都容许一个黎曼度量。”

2. 声音
   观察依据

   讲师说：“接下来我们将研究黎曼度量的存在性。”

3. 公式
   观察依据

   下页以‘注：使用单位分解’开头展开证明，随后给出一个图册及一个从属于它的单位分解。

1. 在片段结束前仅可见证明的起始部分；完整论证并未包含在此片段中。

该片段引入命题：每个光滑流形都容许一个黎曼度量，并通过提及使用单位分解来开启证明思路。可见的设定是选取流形 M 的一个图册 𝒜 和一个从属于该图册的单位分解 {$ρ_α$}，然后在每个坐标卡上定义局部张量 $δ_α = \sum$ᵢ du_αⁱ ⊗ du_αⁱ。

1. M 是一个光滑流形。

2. 该证明使用了一个图册 $\mathcal{A}$=\{$F_\alpha$: $U_\alpha \to Q_\alpha \subseteq \mathbb{R}^n$\}。

3. 它还使用了一个从属于 $\mathcal{A}$ 的单位分解 \{这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。alpha: $U_\alpha \to [0,1]$\}。

1. 黎曼度量的定义

1. 公式
   观察依据

   手写文字明确列出了正定性的条件。

黎曼度量 g 是正定的，即对任一切向量 v，有 $g_p(v,v) \ge 0$，且 $g_p(v,v) = 0$ 当且仅当 $v = 0$。

1. g 是流形 M 上的一个黎曼度量

2. v 属于 T_pM

对任意 $p \in M$，任意 $v \in T$_pM

1. 公式
   观察依据

   手写文字将 g 描述为一个‘对称的2-张量场’。

黎曼度量 g 是一个对称的2-张量场，这意味着对任意向量场 X 和 Y，都有 $g(X,Y) = g(Y,X)$。

1. g 是流形 M 上的一个黎曼度量

2. X、Y 是流形 M 上的向量场

对任意 X、Y ∈ 𝔛(M)

1. 公式
   观察依据

   黑板上明确写出：“每个光滑流形都容许一个黎曼度量。”

2. 声音
   观察依据

   讲师宣布，接下来的部分将研究黎曼度量的存在性。

1. 该证明仅在此片段中开始，并未在所提供的时长内完成。

每个光滑流形都容许一个黎曼度量。

1. M 是一个光滑流形。

对每个光滑流形 M，都存在一个定义在 M 上的黎曼度量 g。

1. 公式
   观察依据

   写出的等式：$\langle a$, $b \rangle_V = \langle F(a)$, $F(b) \rangle_W$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说明：在 V 中任取两个向量 a 和 b，计算它们在 V 中的内积，等于计算它们在 W 中的像 $F(a)$ 与 $F(b)$ 的内积。

1. 公式

   $$\langle a, b \rangle_V$$
   解释

   对定义域空间 V 中任意两个向量 a 和 b，取它们的内积。

   步骤依据

   内积空间的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\langle F(a), F(b) \rangle_W$$
   解释

   对陪域空间 W 中它们的像 $F(a)$ 和 $F(b)$，取它们的内积。

   步骤依据

   内积空间的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\langle a, b \rangle_V = \langle F(a), F(b) \rangle_W$$
   解释

   令这两个内积相等，从而定义内积保持性质。

   步骤依据

   线性等距映射的条件。

   视频直接表达

映射 F 保持由内积所度量的几何结构。

1. 声音
   观察依据

   说话者通过解释系数如何被提取出来，推导出该性质。

2. 公式
   观察依据

   说话者写出最终等式 g(fX, hY) = fh $g(X,Y)$。

1. 公式

   $$g(fX, hY)$$
   解释

   从张量 g 作用在缩放后的向量场 fX 和 hY 上开始。

   步骤依据

   张量场输入的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= f h g(X,Y)$$
   解释

   将标量函数 f 和 h 分别从其对应参数中提取出来。

   步骤依据

   作为协变张量场所具有的性质（对函数具有线性性）。

   视频直接表达

一个协变2-张量场对光滑函数环是线性的，允许将系数函数提取出来。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出：由于 g 在每一点 p 处的限制是切空间上的一个内积，因此对任意向量 x 和 y，都有 $g(x,y)=g(y,x)$，即 g 具有对称性。

2. 公式
   观察依据

   黑板上单独指出：g 是一个对称的2-张量场。

1. 口述公式使用 $g(x,y)$，不带下标 p；而黑板上的形式定义在切空间 T_pM 上使用 $g_p$；从上下文可明确看出这是逐点解读。

1. 公式

   $$g_p \text{ is an inner product on } T_pM$$
   解释

   从度量在每一点的取值是切空间上的内积这一定义性质出发。

   步骤依据

   黑板上在黎曼度量的定义中直接写出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$g(x,y)=g(y,x)$$
   解释

   由于内积具有对称性，讲者写出两个向量 x 和 y 的对称关系式。

   步骤依据

   音频中的口述解释。

   视频直接表达
3. 公式

   $$g \text{ is a symmetric 2-tensor field}$$
   解释

   因此张量场 g 是对称的。

   步骤依据

   结论既口头陈述，也写在黑板上。

   视频直接表达

g 的对称性源于每个 $g_p$ 都是切空间 T_pM 上的内积。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着“正定，即 $g_p(v,v) \ge 0$，$g_p(v,v)=0 \Leftrightarrow v=0$”。

2. 声音
   观察依据

   讲者说明它也是正定的，因为对每一点，$g_p(v,v)$ 非负，且当且仅当向量 v 本身为零向量时等于零。

1. 公式

   $$g_p(v,v) \ge 0$$
   解释

   在每一点 p 处，将度量作用于一个切向量与其自身所得结果是一个非负数。

   步骤依据

   写在黑板上，并在音频中重复。

   视频直接表达
2. 公式

   $$g_p(v,v)=0 \Leftrightarrow v=0$$
   解释

   该二次表达式恰好在零切向量处消失。

   步骤依据

   写在黑板上，并通过口头方式解释。

   视频直接表达

这两个条件表明 $g_p$ 在 T_pM 上是正定的。

1. 公式
   观察依据

   下页显示“注：使用单位分解。”，随后是一个图册 $\mathcal{A}$、一个从属于它的单位分解 \{这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。alpha\}，以及“现在记 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。alpha = $\sum_i$ du_\alpha^$i \otimes$ du_\alpha^i”。

2. 声音
   观察依据

   讲师表示接下来的部分将研究黎曼度量的存在性。

1. 本片段在利用 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。alpha 和 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。alpha 构造全局度量之前即已结束。

2. 证明的最终组装步骤在此片段中不可见。

1. 公式

   $$\text{Use a partition of unity.}$$
   解释

   证明策略被宣布为使用单位分解。

   步骤依据

   写在命题标题下方的黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\mathcal{A}=\{F_\alpha: U_\alpha \to Q_\alpha \subseteq \mathbb{R}^n\}$$
   解释

   选取流形 M 的一个图册。

   步骤依据

   写在下方页面上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\{\rho_\alpha: U_\alpha \to [0,1]\}$$
   解释

   取一个从属于该图册的单位分解。

   步骤依据

   写在下方页面上。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\delta_\alpha = \sum_i du_\alpha^i \otimes du_\alpha^i$$
   解释

   在每个坐标卡上，利用坐标微分定义一个局部协变的2-阶张量。

   步骤依据

   写在下方页面上。

   视频直接表达

本片段仅展示标准单位分解证明的初始设置——该证明用于说明每个光滑流形都可赋予黎曼度量；后续构造不在本片段范围内。

1. 声音
   观察依据

   主讲人给出一个将向量场与函数相乘的例子。

2. 公式
   观察依据

   主讲人写下“fX”。

说明向量场如何与光滑函数相乘。

1. X 是一个向量场

2. f 是一个光滑函数

展示 f 乘以 X 的结果。

1. 公式

   $$fX$$
   解释

   用光滑函数 f 乘以向量场 X。

   步骤依据

   光滑函数环上的模结构定义。

   视频直接表达

fX 是另一个向量场。

这是微分几何中的标准构造，其中向量场构成光滑函数环上的一个模。

1. 动画
   观察依据

   数字白板滚动显示此前关于内积、范数、极化恒等式、正交补、标准正交基以及格拉姆-施密特算法的笔记。

1. 数字白板笔记

1. 向下滚动至2.1定义部分

1. 手写文本格式

在引入新定义前，对先修线性代数概念进行视觉化回顾。

1. 动画
   观察依据

   主讲人将保持内积与向量空间同构性质的方程写在该定义旁。

1. 方程

2. 紫色墨水

1. 出现〈a, b〉_V = 〈$F(a)$, $F(b)$〉_W

2. 出现$F(a+b) = F(a) + F(b)$与F(ka) = kF(a)

1. 定义文字持续可见

将口头定义明确拆解为形式化的数学等式。

1. 动画
   观察依据

   数字白板向下滚动，展示黎曼度量的定义。

1. 数字白板

2. 手写文字

1. 画面向下滚动。

1. 白板上的内容保持不变。

滚动操作将焦点从先前的线性等距主题自然过渡到新的黎曼度量主题。

1. 动画
   观察依据

   主讲人使用紫色笔圈出或下划定义中的关键词，例如“内积”、“光滑流形”、“黎曼度量 g”、“光滑协变2阶张量场”以及“张量”。

1. 手写文字

2. 紫色笔迹

1. 特定词语和短语被圈出或下划。

1. 底层文字保持不变。

这种高亮强调了当前所讨论定义中的关键组成部分。

1. 动画
   观察依据

   视频显示一块数字白板，上面写有并高亮标出黎曼度量的定义。

1. 手写文字

2. 数字笔

1. 讲话人写下额外的符号，例如 $C^\infty(M)$、g、X、f、h、Y 和 TM。

2. 讲话人对预先写好的定义中部分文字加下划线并画圈。

1. 核心定义文字保留在屏幕上。

视觉呈现与讲解者的口头解释同步，将形式化定义逐步拆解为其构成部分和性质。

1. 动画
   观察依据

   在定义行中，先用紫色圆圈标出 $g_p$，再标出 T_pM。

2. 声音
   观察依据

   在此时间段内，讲者正在解释：对每个点 p 的限制，是切空间上的一个内积。

1. g 下标 p

2. M 在点 p 处的切空间

3. 紫色注释圆圈

1. 首先圈出 $g_p$。

2. 接着圈出 T_pM。

1. 底层定义文字保持不变。

2. 所强调的关系是：$g_p$ 定义在 T_pM 上。

视觉强调与口头讲解一致，即度量是逐点定义的：对每个 p，$g_p$ 是切空间 T_pM 上的一个内积。

1. 动画
   观察依据

   在“正定”一词下方画一条紫色下划线，随后在涉及 $g_p(v,v)$ 的不等式行下方也画一条紫色下划线。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出该度量还具有正定性，并解释了非负性及零等价条件。

1. 短语“正定”

2. 公式 $g_p(v,v) \ge 0$, $g_p(v,v)=0 \Leftrightarrow v=0$

3. 紫色下划线

1. “正定”一词首先被加下划线。

2. 随后，所显示的不等式被加下划线。

1. 定义文本本身不发生变化。

2. 焦点始终集中在逐点二次型 $g_p(v,v)$ 上。

批注引导读者关注定义中正定性的精确代数含义。

1. 动画
   观察依据

   页面从定义区块向下滚动，先到达命题标题，再继续向下滚动至证明准备部分的行。

2. 公式
   观察依据

   新呈现的文本包括“〔Prop, Existence of Riemannian metric〕”、“〔Every smooth manifold admits a Riemannian metric.〕”、“〔Rmk: Use a partition of unity.〕”、图册定义，以及 〔这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。alpha = $\sum_i$ du_\alpha^$i \otimes$ du_\alpha^i〕。

1. 定义段落

2. 命题标题

3. 证明准备部分的行

1. 视图从黎曼流形的定义移至命题陈述。

2. 随后，它展示了利用图册与单位分解的证明开头几行。

1. 此前写下的定义在上方保持不变。

2. 数学主题仍聚焦于黎曼度量。

滚动画面标志着从定义核心对象转向陈述并开始证明该对象在任意光滑流形上的存在性。

1. 声音
   观察依据

   讲解者纠正自己先前说的‘张量场’，改为‘切空间’。

误以为定义中提到的向量 v 和 w 直接属于某个张量场。

向量 v 和 w 属于特定点 p 处的切空间 T_pM。而度量 g 本身才是那个为这些切空间赋予内积的张量场。

1. 公式
   观察依据

   黑板将 g 定义为一个光滑的协变2-张量场，其在每一点 p 处的取值是切空间 T_pM 上的一个内积。

2. 声音
   观察依据

   讲者强调了逐点限制到每个 p 的要点。

人们可能误以为度量是流形上的一个单一数值函数，而非随点变化的张量场。

该片段将 g 定义为一个光滑的协变2-张量场，关键在于：在每一点 p 处，$g_p$ 是切空间 T_pM 上的一个内积。

1. 公式
   观察依据

   黑板写出“$g_p(v,v) \ge 0$, $g_p(v,v)=0 \Leftrightarrow v=0$”。

2. 声音
   观察依据

   讲者明确指出：等于零当且仅当该向量自身为零。

人们可能会将半正定性与正定性混淆。

在此定义中，$g_p(v,v)$不仅非负，而且当且仅当$v=0$时为零，这一额外条件使得该形式成为正定的。

1. 声音
   观察依据

   主讲人提到，可通过切空间与微分映射，将这一概念推广至抽象流形，以研究黎曼度量。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示2.2黎曼度量这一节。

线性等距的概念从内积空间推广至流形之间：借助其切空间来定义流形间的等距，这是研究黎曼度量的关键。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说道：“我们将上述几何概念推广至抽象光滑流形——即在每个切空间上光滑地选取一个内积。”

黎曼度量的概念将保持内积（如线性等距映射中）的思想推广到光滑流形上，其方法是为每个切空间赋予一个内积。

1. 公式
   观察依据

   定义表述为：‘黎曼度量 g …… 是一个光滑的协变2阶张量场’。

黎曼度量的定义中包含了‘它是一个张量场’这一概念，而这隐含了前述所讨论的线性性质。

1. 公式
   观察依据

   讲解者通过流形 M 上各点的切空间 T_pM 来定义切丛 TM。

黎曼度量的概念适用于切丛，因为它在该丛的每个纤维（即每个切空间）上定义了一个内积。

1. 公式
   观察依据

   黑板首先定义了一个黎曼度量g，然后写道：“赋予黎曼度量后，(M,g)称为黎曼流形。”

黎曼流形的概念直接建立于此前在M上定义的黎曼度量概念之上。

1. 公式
   观察依据

   在定义了度量与流形之后，黑板引入了“[命题：黎曼度量的存在性]”以及“每个光滑流形都容许一个黎曼度量”的陈述。

2. 声音
   观察依据

   讲师表示，接下来的部分将研究黎曼度量的存在性。

该存在性命题将刚刚定义的黎曼度量概念应用于所有光滑流形。

1. 声音
   观察依据

   讲师从g在每一点p上的限制是一个内积这一事实出发，推导出g的对称性。

对称性的推导依赖于$g_p$是T_pM上的内积这一定义要求。

1. 声音
   观察依据

   主讲人定义线性等距。

1. 线性等距的定义

1. 公式
   观察依据

   写出向量空间同构的方程。

1. 向量空间同构的条件

1. 公式
   观察依据

   黎曼度量的定义写在黑板上。

1. 黎曼度量

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释道：“协变仅表示它是一个关于向量的函数：你输入若干向量，输出是一个数。”

1. 黎曼度量

1. 公式
   观察依据

   完整定义显示在屏幕上。

1. 黎曼度量的定义
2. 黎曼度量的正定性
3. 黎曼度量的对称性

1. 公式
   观察依据

   方程 g(fX, hY) = fh $g(X,Y)$ 被写出。

1. 张量场的线性性质
2. 张量场线性性质的推导

1. 公式
   观察依据

   方程 TM = $\bigsqcup_{p \in M} T$_pM 被写出。

1. 切丛的定义

1. 公式
   观察依据

   黎曼度量的完整定义被写在黑板上。

1. 黎曼度量的定义

1. 声音
   观察依据

   讲师通过$g(x,y)=g(y,x)$来解释对称性，因为每个$g_p$都是一个内积。

1. 黎曼度量的定义
2. 为何度量具有对称性

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $g_p(v,v) \ge 0$，且 $g_p(v,v) = 0$ 当且仅当 $v = 0$。

1. 黎曼度量的定义
2. 度量的逐点正定性

1. 公式
   观察依据

   黑板指出：配备黎曼度量 g 的流形 M，即 (M,g)，称为黎曼流形。

1. 黎曼流形的定义

1. 公式
   观察依据

   下方页面展示了该命题及其证明的开头部分，证明中使用了单位分解和 $δ_α$。

1. 本片段仅呈现了证明的起始部分。

1. 存在性命题及证明准备
2. 光滑流形上黎曼度量的存在性
3. 通过单位分解构造存在性的起始部分