对偶问题 1,2 - 线性规划问题 (LPP) - 工程数学 - 4

1. 公式
   观察依据

   白板上显示的目标函数形式为“Max Z = …”和“Min Z = …”。

Z

线性规划问题中的目标函数值。

实数值的目标函数值；视频中未说明单位。

1. 公式
   观察依据

   两个展示的原始问题在目标函数和约束条件中均使用变量 $x_1$ 和 $x_2$。

$x_1$, $x_2$

两个展示的原始线性规划问题的决策变量。

白板明确写出两个问题均有 $x_1$, $x_2 \ge 0$。

1. 公式
   观察依据

   右上方注释框中包含“Max -> <=”和“Min -> >=”。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，最大化问题的所有约束应为小于等于，最小化问题的所有约束应为大于等于。

Max, Min

用于区分最大化型问题与最小化型问题的优化方向标签。

此处应用于原始问题及其对应的对偶问题。

1. 声音
   观察依据

   讲师反复对比“原始问题”与“对偶问题”，并指出所给问题是原始问题，而其解是对偶问题。

primal, dual

对给定优化问题及其待构造的关联变换问题所采用的术语。

用于线性规划对偶性的语境中。

1. 公式
   观察依据

   白板上显示原始问题的目标函数为：最大化 $Z = 40x_1 + 35x_2$。

Z

原始最大化问题的目标函数值。

实值目标函数。

1. 公式
   观察依据

   原始问题在目标函数和约束条件中使用变量 $x_1$ 和 $x_2$。

2. 声音
   观察依据

   教师在构建对偶约束时，提及了 $x_1$ 和 $x_2$ 的系数。

$x_1$

原始线性规划的第一个决策变量。

非负实变量，$x_1 \ge 0$。

1. 公式
   观察依据

   原始问题在目标函数和约束条件中使用变量 $x_1$ 和 $x_2$。

2. 声音
   观察依据

   教师指出有两个变量，即 $x_1$ 和 $x_2$，因此对应两个对偶约束。

$x_2$

原始线性规划的第二个决策变量。

非负实变量，$x_2 \ge 0$。

1. 公式
   观察依据

   教师在‘对偶问题如下’下方写出：最小化 $W = 60y_1 + 96y_2$。

2. 声音
   观察依据

   他指出，若原问题为最大化问题，则其对偶问题将变为最小化问题。

W

对偶最小化问题的目标函数值。

实值目标函数。

1. 公式
   观察依据

   对偶目标函数包含$60y_1$，而对偶约束包含$2y_1$和$3y_1$。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，对偶目标函数由右侧常数60和96构成。

$y_1$

与第一个原问题约束$2x_1 + 3x_2 \le 60$相对应的对偶变量。

非负实变量，$y_1 \ge 0$。

1. 公式
   观察依据

   对偶目标函数包含$96y_2$，而对偶约束包含$4y_2$和$8y_2$。

2. 声音
   观察依据

   讲师将96称为第二个右侧常数，并将其与$y_2$配对。

$y_2$

与第二个原问题约束$4x_1 + 8x_2 \le 96$相对应的对偶变量。

非负实变量，$y_2 \ge 0$。

1. 公式
   观察依据

   $x_1$ 出现在原始问题的目标函数和约束条件中。

$x_1$

原始问题的决策变量。

$x_1$ 大于等于 0

1. 公式
   观察依据

   $x_2$ 出现在原始问题的目标函数和约束条件中。

$x_2$

原始问题的决策变量。

$x_2$ 大于等于 0

1. 声音
   观察依据

   开场发言介绍了“对偶性、原问题与对偶问题一和二”。

2. 公式
   观察依据

   黑板标题写的是“原问题与对偶问题〔Duality〕”。

本片段通过将主题命名为“原问题与对偶问题〔Duality〕”，并指出任务是求给定问题的对偶问题，来引入线性规划中的对偶性概念；教师还特别说明该主题不同于另一种独立的方法——“对偶单纯形法”。

1. 讨论内容是如何从给定的原线性规划问题构造其对偶问题。

2. 教师明确指出，这与对偶单纯形法不同。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，若问题是最大化类型，则所有约束均为小于等于形式。

2. 公式
   观察依据

   右上角注释框显示“Max -> <=”。

对于本处所采用形式的最大化型线性规划问题，每个约束都必须为$\le$形式；教师说明，这是在构造对偶问题前，检验原问题是否符合正确形式时所依据的条件。

1. 适用于本讨论中所涉及的最大化型问题。

2. 教师在表述中，对原问题和对偶问题均作了说明。

1. 主题介绍：线性规划中的原问题与对偶问题

1. 声音
   观察依据

   教师指出，只要遇到最小化类型的问题，所有约束条件都必须是大于等于形式。

2. 公式
   观察依据

   右上角的注释框显示“最小化 → ≥”。

对于此处所采用形式的最小化型线性规划问题，每个约束条件都必须为$\ge$形式。这被作为最大化规则的对应规则提出。

1. 适用于当前讨论的最小化型问题。

2. 教师在表述中，对原问题和对偶问题均作了说明。

1. 主题介绍：线性规划中的原问题与对偶问题

1. 声音
   观察依据

   教师指出，若问题是最大化型，则该问题即为原问题，其对偶问题为最小化型；反之亦然。

该片段指出：若原问题为最大化问题，则其对偶问题为最小化问题；反之，若原问题为最小化问题，则其对偶问题为最大化问题。这被作为构造对偶问题的基本设定之一提出。

1. 用于将原线性规划问题转化为其对偶问题。

2. 该片段尚未展示完整的系数转置规则。

1. 主题介绍：线性规划中的原问题与对偶问题

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，该问题是最大化问题，且所有约束均为小于等于形式，因此原问题已处于标准形式。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示：最大化 $Z = 40x_1 + 35x_2$，约束条件为 $2x_1 + 3x_2 \le 60$，$4x_1 + 8x_2 \le 96$，且 $x_1$, $x_2 \ge 0$。

根据本课的规则集，当原始问题写成一个最大化问题，其函数约束均使用 ≤ 号，且所有决策变量均非负时，可直接将其转化为对偶问题。教师在写出对偶问题前，会明确验证这三个条件。

1. 原始问题的目标函数是最大化形式。

2. 所有函数约束均为 ≤ 形式。

3. 所有决策变量均非负。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，对偶问题的目标函数将依据约束条件的右端项来构建。

2. 公式
   观察依据

   他写下最小化 $W = 60y_1 + 96y_2$，同时指向常数 60 和 96。

当原始问题包含两个 ≤ 约束，其右端项分别为 60 和 96 时，对偶问题的最小化目标函数便以这两个数作为新对偶变量 $y_1$ 和 $y_2$ 的系数。因此，对偶目标函数由原始约束的常数项构建，而非由原始目标函数的系数构建。

1. 该规则应用于当前展示的、含两个约束条件的原始最大化问题。

2. 每个原始约束条件对应一个对偶变量。

1. 构造对偶问题的正确形式

1. 声音
   观察依据

   教师指出，约束条件将首先根据 $x_1$ 的系数确定，随后再根据 $x_2$ 的系数确定。

2. 公式
   观察依据

   他写出 $2y_1 + 4y_2 \ge 40$ 和 $3y_1 + 8y_2 \ge 35$。

每个原始决策变量生成一个对偶约束。对于 $x_1$，原始约束中该变量的系数为 2 和 4，得到 $2y_1 + 4y_2$；右侧为原始问题目标函数的系数 40，其系数为 2，其系数为 3 和 8，得到 $3y_1 + 8y_2$；右侧为原始问题目标函数的系数 35。

1. 此处用于已明确给出标准正确形式的原始最大化问题。

2. 每个原始变量对应生成一个对偶约束。

1. 构造对偶问题的正确形式
2. 对偶问题目标函数的系数来源于原始问题约束条件的右端项

1. 声音
   观察依据

   教师指出，由于对偶问题是极小化问题，因此所有约束都应为大于等于形式。

2. 公式
   观察依据

   对偶约束以 ≥ 符号写出：$2y_1 + 4y_2 \ge 40$ 和 $3y_1 + 8y_2 \ge 35$。

在此例题中，当原始最大化问题转化为对偶极小化问题后，对偶的功能约束均采用 ≥ 形式书写。教师将此视为从给定原始形式构造对偶问题的标准步骤之一。

1. 该说法适用于当前所构造的对偶问题——其原始问题为带 ≤ 约束的最大化问题。

1. 构造对偶问题的正确形式

1. 声音
   观察依据

   教师指出，最后 $y_1$、$y_2$ 大于等于 0，这是默认要求。

2. 公式
   观察依据

   他在对偶问题底部写下 $y_1$、$y_2 \ge 0$。

在构造出对偶目标函数和约束条件后，教师补充写上 $y_1$、$y_2 \ge 0$，并说明这是本设定下对偶变量的默认条件。

1. 本例中针对对偶变量所作的陈述。

1. 对偶问题目标函数的系数来源于原始问题约束条件的右端项
2. 对偶约束来源于原始变量的列。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，约束条件的右端常数用于构造目标函数，而系数则用于写出约束条件。

2. 图示
   观察依据

   黑板上展示了一个完整的原始问题到对偶问题的转换示例，其中对偶目标函数的系数与原始问题右端值一致，对偶约束条件的系数与原始问题各列系数一致。

本讲中，对偶问题的构建方式是：将原始问题各约束条件的右端常数作为对偶目标函数的系数，并用原始问题约束条件的系数来构造对偶约束条件。

1. 在应用该规则前，原始问题必须首先化为所要求的标准形式。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，若原始问题是极小化问题，则所有约束条件均应为大于等于形式。

2. 图示
   观察依据

   黑板上的问题2是一个极小化问题，其第三个约束条件写为 $\le$ 形式。

本视频中，仅当极小化原始问题的每个约束条件都写成 $\ge$ 形式时，才视为已准备好进行对偶转换。

1. 适用于问题2中所示的极小化原始问题。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，第三个约束需要乘以负号，并转化为大于等于形式。

2. 公式
   观察依据

   黑板上将$2x_1 - x_2 \le 6$改为-2x_1 + $x_2 \ge -6$。

为使≤约束符合最小化标准型要求，需将整个不等式乘以-1，此举会反转不等号方向，并改变等式两边各项的符号。

1. 当原问题是最小化问题，且某约束以≤形式给出时使用。

1. 极小化原始问题的标准形式条件

1. 声音
   观察依据

   教师说：“对偶性与对偶单纯形法是两种不同的概念”，随后再次强调：构造对偶问题与对偶单纯形法是不同的。

在本讲片段中，教师指出：对偶性（原问题与对偶问题）这一主题不同于对偶单纯形法。

1. 题目要求求出给定问题的对偶问题。

2. 教师是在辨析术语，而非证明定理。

就本课当前的教学情境而言。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，求对偶问题的第一步是检查原问题是否已处于正确的形式。

在构造对偶问题之前，必须首先检查所给的原问题是否已满足所需的标准化形式。

1. 任务是为给定的原线性规划问题构造其对偶问题。

就本视频片段所讲授的步骤而言。

1. 声音
   观察依据

   教师说：原问题是最大化，则其对偶问题变为最小化；原问题是最小化，则其对偶问题变为最大化。

2. 公式
   观察依据

   黑板上的提示框写着“Max → ≤”和“Min → ≥”，直观地强化了原问题与对偶问题优化方向相反的对应关系。

本片段所采用的规则体系中，最大化问题的对偶问题是极小化问题，极小化问题的对偶问题是极大化问题。

1. 该问题正依据黑板上展示的原-对偶规则进行转换。

本例所讨论的原-对偶问题对。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，该问题是最大化问题，且所有约束均为小于等于形式，因此原问题已处于标准形式。

2. 公式
   观察依据

   所展示的原问题为：最大化 $Z = 40x_1 + 35x_2$，满足约束 $2x_1 + 3x_2 \le 60$，$4x_1 + 8x_2 \le 96$，$x_1$, $x_2 \ge 0$。

所给的原始问题已处于直接构造对偶问题所需的正确形式，因为它是一个目标为最大化、约束为≤且变量非负的问题。

1. 黑板左侧展示的问题即为当前考虑的原始问题。

针对所展示的具体原始问题。

1. 声音
   观察依据

   教师明确说明了原问题在最小化情形下成立所需的条件。

若原问题是最小化问题，则在构造对偶问题之前，其所有约束均应为大于等于形式。

1. 该问题是一个最小化线性规划问题。

针对最小化原问题中的所有约束。

1. 声音
   观察依据

   教师解释道：第一步是检查原问题是否处于正确形式；随后一边指着黑板，一边重述极大化/极小化问题中的不等式规则。

2. 公式
   观察依据

   黑板上的问题1是最大值问题，含$\le$个约束；问题2是最小值问题，含$\ge$个约束。

1. 公式

   $$\text{Given primal problem}$$
   解释

   从黑板上所列、由教师指明为原问题的问题出发。

   步骤依据

   教师提问：“原问题指的是什么？”并指向所列的问题。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Check objective direction: Max or Min}$$
   解释

   判断原问题是最大化问题还是最小化问题。

   步骤依据

   黑板明确将问题1标注为最大值问题，将问题2标注为最小值问题。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{If Max, require all constraints } \le$$
   解释

   对于最大化原问题，需检查每个约束是否均使用$\le$。

   步骤依据

   该规则写作“Max → ≤”，并由教师口述。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{If Min, require all constraints } \ge$$
   解释

   对于最小化原问题，需检查每个约束是否均使用$\ge$。

   步骤依据

   该规则写作“Min → ≥”，并由教师口述。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{Then proceed to form the dual}$$
   解释

   只有在确认原问题符合正确形式后，课程才进入对偶问题的构造环节。

   步骤依据

   教师明确指出这是求对偶问题的第一步。

   视频直接表达

本片段建立了对偶问题构建的初步检查清单：确定原问题、验证目标函数的优化方向，并确认约束不等式符合所需的标准形式。

1. 声音
   观察依据

   教师边书写边口述每一步：将最大值改为最小值，将右侧常数60和96用作对偶目标函数的系数，用$x_1$和$x_2$的系数构造约束，然后添加$y_1$,$y_2 \ge 0$。

2. 公式
   观察依据

   黑板上最终写出的对偶问题是：Min $W = 60y_1 + 96y_2$，约束条件为$2y_1 + 4y_2 \ge 40$，$3y_1 + 8y_2 \ge 35$，$y_1$,$y_2 \ge 0$。

1. 公式

   $$\text{Primal: Max } Z = 40x_1 + 35x_2 \text{ s.t. } 2x_1 + 3x_2 \le 60,\; 4x_1 + 8x_2 \le 96,\; x_1,x_2 \ge 0$$
   解释

   从黑板上给出的原始问题出发。

   步骤依据

   直接可见的公式依据。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Dual objective sense: Min } W$$
   解释

   由于原始问题是最大化问题，其对偶问题变为最小化问题。

   步骤依据

   教师陈述的原始问题转对偶问题的规则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$W = 60y_1 + 96y_2$$
   解释

   将两个原始约束的右端项用作两个对偶变量的目标函数系数。

   步骤依据

   教师明确指出，目标函数由约束条件的右端项构成。

   视频直接表达
4. 公式

   $$2y_1 + 4y_2 \ge 40$$
   解释

   取原始约束中x_的系数列1，即2和4，并将它们的线性组合与原始目标函数中x_的系数进行比较40。

   步骤依据

   教师指出，约束条件是依据 $x_1$ 的系数构建的，并使用了目标函数中的 40。

   视频直接表达
5. 公式

   $$3y_1 + 8y_2 \ge 35$$
   解释

   取原始约束中x_的系数列2，即3和8，并将它们的线性组合与原始目标函数中x_的系数进行比较35。

   步骤依据

   教师对 $x_2$ 重复应用同一规则，并使用目标函数中的 35。

   视频直接表达
6. 公式

   $$y_1, y_2 \ge 0$$
   解释

   为对偶变量添加非负性约束。

   步骤依据

   教师称此为默认条件，并明确写出该条件。

   视频直接表达

所展示原始问题的对偶问题是：最小化 $W = 60y_1 + 96y_2$，满足约束 $2y_1 + 4y_2 \ge 40$，$3y_1 + 8y_2 \ge 35$，且 $y_1$, $y_2 \ge 0$。

1. 声音
   观察依据

   教师解释说，第三个约束存在问题，因为原问题是求最小值，因此必须进行转化。

2. 公式
   观察依据

   黑板上重写的式子为-2x_1 + $x_2 \ge -6$。

1. 公式

   $$2x_1 - x_2 \le 6$$
   解释

   从问题2中最初写出的第三个约束条件出发。

   步骤依据

   直接在黑板上观察得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$-2x_1 + x_2 \ge -6$$
   解释

   将整个不等式乘以-1，并反转不等号方向。

   步骤依据

   由教师口头陈述，并在黑板上展示。

   视频直接表达

第三个约束条件被转化为所需的最小化标准形式。

1. 声音
   观察依据

   教师口述：‘是18、8和负6。所以18y1加8y2减6y3。’

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示原始约束右侧值18、8、-6被用于构造对偶目标函数：Max $W = 18y_1 + 8y_2 - 6y_3$。

1. 公式

   $$\text{Primal RHS constants: } 18, 8, -6$$
   解释

   识别原始约束条件右侧的常数。

   步骤依据

   直接从黑板上给出的原始问题表述中观察得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\max W = 18y_1 + 8y_2 - 6y_3$$
   解释

   通过对每个原始约束右侧常数乘以其对应的对偶变量，并将所有乘积相加，同时将优化方向改为最大化，从而构造出对偶目标函数。

   步骤依据

   由原始最小化问题构造对偶目标函数的标准规则。

   视频直接表达

对偶目标函数已正确表述为：Max $W = 18y_1 + 8y_2 - 6y_3$。

1. 声音
   观察依据

   教师讲解：'在满足 x1 的条件下，我们得到 3，此处为 1，此处为负 2。因此结果为 3 y1，接着我们有 1，即 y2……这些是第一个约束条件的系数，即负 2 y3；又因原问题是求最大值，故该约束将转化为小于等于形式，即小于等于 10。'

2. 公式
   观察依据

   白板显示原始问题约束矩阵的第一列（3, 1, -2）被用于构造第一个对偶约束：$3y_1 + y_2 - 2y_3 \le 10$。

1. 公式

   $$\text{Primal coefficients for } x_1: 3, 1, -2$$
   解释

   识别原始问题中所有三个约束条件下第一原始变量 $x_1$ 的系数。

   步骤依据

   直接从白板上原始问题的表述中观察得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Primal objective coefficient for } x_1: 10$$
   解释

   识别原始目标函数中 $x_1$ 的系数。

   步骤依据

   直接从原始目标函数“最小化 $Z = 10x_1 + 20x_2$”中观察得出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3y_1 + y_2 - 2y_3 \leq 10$$
   解释

   通过将原始变量 $x_1$ 在各约束中的系数与对偶变量作点积，并令其小于等于原始目标函数中 $x_1$ 对应的系数，从而构造第一个对偶约束。

   步骤依据

   由原始最小化问题构造对偶最大化问题时，形成对偶约束的标准规则。

   视频直接表达

第一个对偶约束正确地表示为 $3y_1 + y_2 - 2y_3 \le 10$。

1. 声音
   观察依据

   教师讲解：'接下来，对于 x2，我们有 2、3 和 1。因此 2、3 和 1 小于等于；而 x2 在目标函数中的系数为 20。'

2. 公式
   观察依据

   白板显示原始问题约束矩阵的第二列（2, 3, 1）被用于构造第二个对偶约束：$2y_1 + 3y_2 + y_3 \le 20$。

1. 公式

   $$\text{Primal coefficients for } x_2: 2, 3, 1$$
   解释

   找出第二原始变量 $x_2$ 在全部三个原始约束中的系数。

   步骤依据

   直接从白板上的原始问题陈述中观察得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Primal objective coefficient for } x_2: 20$$
   解释

   找出原始目标函数中 $x_2$ 的系数。

   步骤依据

   直接从原始目标函数 Min $Z = 10x_1 + 20x_2$ 中观察得出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$2y_1 + 3y_2 + y_3 \leq 20$$
   解释

   将原始变量 $x_2$ 在各约束中的系数与对偶变量作点积，并令其小于或等于原始目标函数中 $x_2$ 的系数，从而构造第二个对偶约束。

   步骤依据

   将原始最小化问题转化为对偶最大化问题时，构造对偶约束的标准规则。

   视频直接表达

第二个对偶约束正确地表示为 $2y_1 + 3y_2 + y_3 \leq 20$。

1. 公式
   观察依据

   黑板左侧显示：最大化 $Z = 40x_1 + 35x_2$；约束条件为 $2x_1 + 3x_2$ <= 60；$4x_1 + 3x_2$ <= 96；$x_1$, $x_2$ >= 0。

2. 声音
   观察依据

   教师指出我们面前给出的两个问题，并要求求出下列问题的对偶问题。

求下列问题的对偶问题：最大化 $Z = 40x_1 + 35x_2$ 满足 $2x_1 + 3x_2 \le 60$， $4x_1 + 3x_2 \le 96$，且 $x_1, x_2 \ge 0$。

1. 目标函数为最大化。

2. 两个决策变量$x_1,x_2$。

3. 两个资源型约束，其右端项分别为60和96。

4. 非负性条件$x_1,x_2\ge 0$。

将此作为对偶问题构建讨论中的原问题。

1. 公式

   $$\text{Max } Z = 40x_1 + 35x_2$$
   解释

   从黑板上读取目标函数。

   步骤依据

   在左栏示例中可直接看到。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2x_1 + 3x_2 \le 60,\quad 4x_1 + 3x_2 \le 96$$
   解释

   阅读这两个约束条件。

   步骤依据

   直接显示在黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_1, x_2 \ge 0$$
   解释

   阅读变量的限制条件。

   步骤依据

   直接显示在黑板上。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{This is a Max problem with all } \le \text{ constraints}$$
   解释

   将该例题与规则框进行分类比对。

   步骤依据

   与口述及板书规则“最大化 → ≤”相吻合。

   依据视频推导

该片段已将此问题呈现为一个原始最大化问题，且已处于所陈述的标准不等式形式。

该分类依据黑板上的规则“最大化 → ≤”进行核验，且所有展示的约束条件确实均为$\le$。

1. 公式
   观察依据

   黑板右侧显示：最小化 $Z = 10x_1 + 20x_2$；约束条件为：$3x_1 + 2x_2 \ge 18$；$x_1 + 3x_2 \ge 8$；$2x_1 - x_2 \le 6$；$x_1$, $x_2 \ge 0$。

2. 声音
   观察依据

   教师再次提及所列问题，并强调需检查原始问题是否符合正确形式。

求下列问题的对偶问题：最小化$Z = 10x_1 + 20x_2$，约束条件为$3x_1 + 2x_2 \ge 18$、$x_1 + 3x_2 \ge 8$、$2x_1 - x_2 \le 6$和$x_1, x_2 \ge 0$。

1. 目标是极小化。

2. 两个决策变量$x_1,x_2$。

3. 三个约束条件，其中两个为$\ge$型，一个为$\le$型。

4. 非负性条件$x_1,x_2\ge 0$。

将此作为视频片段中讨论的标准型检验的第二个原始问题示例。

1. 公式

   $$\text{Min } Z = 10x_1 + 20x_2$$
   解释

   从黑板上读取目标函数。

   步骤依据

   在右栏示例中可直接看到。

   视频直接表达
2. 公式

   $$3x_1 + 2x_2 \ge 18,\quad x_1 + 3x_2 \ge 8,\quad 2x_1 - x_2 \le 6$$
   解释

   读取三个约束条件。

   步骤依据

   在黑板上可直接看到。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_1, x_2 \ge 0$$
   解释

   读取变量限制条件。

   步骤依据

   在黑板上可直接看到。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{This Min problem is not uniformly } \ge$$
   解释

   将所展示的约束条件与极小化问题的规则进行比对。

   步骤依据

   教师的规则指出，最小化问题的所有约束条件都应为$\ge$，但第三个展示出的约束条件却是$\le$。

   依据视频推导

该片段展示了一个原始最小化问题示例，但其展示出的约束条件并非全部符合所陈述的最小化标准形式。

对照黑板上的规则“最小化 → ≥”进行核验：其中两个约束条件满足该规则，但$2x_1 - x_2 \le 6$不满足。

1. 公式
   观察依据

   黑板标题为“求下列问题的对偶问题”，其中问题 1 在左侧已完整求解。

2. 声音
   观察依据

   教师总结道：“因此，这就是上述原始问题的对偶问题。”

求下列问题的对偶问题：最大化 $Z = 40x_1 + 35x_2$，满足约束 $2x_1 + 3x_2 \le 60$，$4x_1 + 8x_2 \le 96$，且 $x_1$, $x_2 \ge 0$。

1. 原始目标函数：最大化 $Z = 40x_1 + 35x_2$。

2. 第一个原始约束条件：$2x_1 + 3x_2 \le 60$。

3. 第二个原始约束条件：$4x_1 + 8x_2 \le 96$。

4. 非负性约束：$x_1$, $x_2 \ge 0$。

写出对应的对偶线性规划问题。

1. 公式

   $$\text{Check form: Max with } \le \text{ constraints \text{且} } x_1,x_2 \ge 0$$
   解释

   在构造对偶问题前，请确认原始问题已处于所需的标准形式。

   步骤依据

   由教师明确指出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Min } W = 60y_1 + 96y_2$$
   解释

   将原始的最大化问题替换为对偶的最小化问题，并将原始问题右侧常数项60和96用作对偶目标函数的系数。

   步骤依据

   该规则在音频讲解中已说明，并写在黑板上。

   视频直接表达
3. 公式

   $$2y_1 + 4y_2 \ge 40$$
   解释

   根据原始问题中 $x_1$ 列和原始目标函数系数40，构造第一个对偶约束条件。

   步骤依据

   教师指出，这些约束条件是基于 $x_1$ 的系数。

   视频直接表达
4. 公式

   $$3y_1 + 8y_2 \ge 35$$
   解释

   根据原始问题中 $x_2$ 列和原始目标函数系数35，构造第二个对偶约束条件。

   步骤依据

   教师对变量 $x_2$ 重复了相同的规则。

   视频直接表达
5. 公式

   $$y_1, y_2 \ge 0$$
   解释

   为对偶变量添加默认的非负性约束。

   步骤依据

   由教师以书面形式和口头方式明确标识为默认规则。

   视频直接表达

最小化 $W = 60y_1 + 96y_2$，满足约束条件：$2y_1 + 4y_2 \ge 40$，$3y_1 + 8y_2 \ge 35$，且 $y_1$, $y_2 \ge 0$。

答案与黑板上最终手写的对偶问题一致，并遵循教师口头陈述的规则顺序。

1. 声音
   观察依据

   教师引入第二个问题，并检查原问题是否处于正确形式。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示：Min $Z = 10x_1 + 20x_2$，约束条件为$3x_1 + 2x_2 \ge 18$，$x_1 + 3x_2 \ge 8$，$2x_1 - x_2 \le 6$，$x_1$, $x_2 \ge 0$。

3. 公式
   观察依据

   黑板上重写的原问题变为：Min $Z = 10x_1 + 20x_2$，约束条件为$3x_1 + 2x_2 \ge 18$，$x_1 + 3x_2 \ge 8$，-2x_1 + $x_2 \ge -6$，$x_1$, $x_2 \ge 0$。

给定最小化问题：Min $Z = 10x_1 + 20x_2$，约束条件为$3x_1 + 2x_2 \ge 18$，$x_1 + 3x_2 \ge 8$，$2x_1 - x_2 \le 6$，$x_1$, $x_2 \ge 0$，请将该原问题改写为求对偶前所要求的标准形式。

1. 目标函数：Min $Z = 10x_1 + 20x_2$

2. 约束条件1：$3x_1 + 2x_2 \ge 18$

3. 约束条件2：$x_1 + 3x_2 \ge 8$

4. 约束条件3：$2x_1 - x_2 \le 6$

5. 非负性约束：$x_1$, $x_2 \ge 0$

将原问题转化为对偶性所需的标准形式。

1. 公式

   $$3x_1 + 2x_2 \ge 18$$
   解释

   第一个约束条件保持不变，因为它已满足最小化问题的标准形式。

   步骤依据

   教师明确指出该式完全正确，维持原样。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x_1 + 3x_2 \ge 8$$
   解释

   第二个约束条件保持不变，因为它也满足最小化问题的标准形式。

   步骤依据

   教师明确指示维持原样。

   视频直接表达
3. 公式

   $$-2x_1 + x_2 \ge -6$$
   解释

   将第三个约束条件两边同乘以−1，使不等号变为≥。

   步骤依据

   在黑板上明确讲解并写出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x_1, x_2 \ge 0$$
   解释

   保留非负性约束。

   步骤依据

   写在黑板上的重写后的原始问题。

   视频直接表达

准备好的原始问题是：最小化 $Z = 10x_1 + 20x_2$，约束条件为 $3x_1 + 2x_2 \ge 18$，$x_1 + 3x_2 \ge 8$，-2x_1 + $x_2 \ge -6$，$x_1$, $x_2 \ge 0$。

所有约束现在均为 ≥ 形式，符合教师所陈述的最小化原始问题的条件。

1. 公式
   观察依据

   黑板左侧显示：最大化 $Z = 40x_1 + 35x_2$，约束条件为 $2x_1 + 3x_2 \le 60$，$4x_1 + 3x_2 \le 90$，$x_1$, $x_2 \ge 0$。

2. 公式
   观察依据

   其下方黑板显示：对偶问题为：最小化 $W = 60y_1 + 90y_2$，约束条件为 $2y_1 + 4y_2 \ge 40$，$3y_1 + 3y_2 \ge 35$，$y_1$, $y_2 \ge 0$。

3. 声音
   观察依据

   教师总结了如何根据原始问题的数据写出对偶问题。

利用黑板上展示的原始最大化例题，识别对偶问题的构建方式。

1. 原始问题：最大化 $Z = 40x_1 + 35x_2$

2. 约束条件：$2x_1 + 3x_2 \le 60$，$4x_1 + 3x_2 \le 90$

3. 非负性约束：$x_1$, $x_2 \ge 0$

从已完成的例题中读出对偶问题的构建模式。

1. 公式

   $$Min W = 60y_1 + 90y_2$$
   解释

   对偶问题的目标函数系数60和90来源于原始问题约束条件的右端项。

   步骤依据

   在黑板上可见，并由教师口头总结。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2y_1 + 4y_2 \ge 40$$
   解释

   第一个对偶约束使用两个原始约束中变量$x_1$的系数，以及原始目标函数中变量$x_1$的系数作为右端项。

   步骤依据

   在黑板上可见，且与教师的讲解一致。

   视频直接表达
3. 公式

   $$3y_1 + 3y_2 \ge 35$$
   解释

   第二个对偶约束使用两个原始约束中变量$x_2$的系数，以及原始目标函数中变量$x_2$的系数作为右端项。

   步骤依据

   在黑板上可见，且与教师的讲解一致。

   视频直接表达

所展示的对偶问题是：最小化$W = 60y_1 + 90y_2$，满足约束条件：$2y_1 + 4y_2 \ge 40$，$3y_1 + 3y_2 \ge 35$，$y_1$, $y_2 \ge 0$。

黑板本身将此呈现为第一个例题的完整对偶问题。

1. 公式
   观察依据

   本段内容全程聚焦于在白板上将某一特定原始最小化问题转化为其对偶最大化问题。

已知原始线性规划问题：Min $Z = 10x_1 + 20x_2$，约束条件为 $3x_1 + 2x_2 \geq 18$，$x_1 + 3x_2 \geq 8$，-2x_1 + $x_2 \geq -6$，且 $x_1$, $x_2 \geq 0$。求其对偶问题。

1. 原始目标函数：Min $Z = 10x_1 + 20x_2$

2. 原始约束条件：$3x_1 + 2x_2 \ge 18$，$x_1 + 3x_2 \ge 8$，-2x_1 + $x_2 \ge -6$

3. 原始变量限制：$x_1$, $x_2 \ge 0$