欧几里得算法：两个最大公因数例题

1. 图示
   观察依据

   白板上显示 "gcd(10;45)" 和 "gcd(1701;3768)"。

2. 声音
   观察依据

   演讲者说他将展示如何使用欧几里得算法来求最大公约数。

1. 口语短语是 "greatest common denominator"（最大公分母），但书面符号是 gcd，通常表示最大公约数（greatest common divisor）。

gcd(a;b)

两个整数 a 和 b 的最大公约数的函数记号。

整数；在本0–83 秒原片区间中示例使用正整数。

1. 公式
   观察依据

   板书写出 "$45 = 10 \cdot q + r$"，然后是 "$45 = 10 \cdot 4 + 5$"。

2. 声音
   观察依据

   演讲者解释 q 是 10 进入 45 的次数。

q

欧几里得算法除法步骤中的商。

在此示例中为非负整数。

1. 公式
   观察依据

   板书写出 "$45 = 10 \cdot q + r$"，然后是 "$45 = 10 \cdot 4 + 5$"。

2. 声音
   观察依据

   演讲者解释 r 是该结果的余数。

r

用较大数除以较小数后的余数。

整数余数；在此示例中为 5。

1. 图示
   观察依据

   板上的第一个示例是 gcd(10;45)。

2. 声音
   观察依据

   讲解介绍的第一组数是 10 和 45。

10, 45

第一个计算示例中使用的一对整数。

正整数。

1. 图示
   观察依据

   板上可见的第二个表达式是 gcd(1701;3768)。

1. 在此0–83 秒原片区间中，第二个示例仅显示在板上；在提供的时长内未对其进行计算。

1701, 3768

作为另一个 gcd 示例写在板上的第二对整数。

正整数。

1. 公式
   观察依据

   板书显示了 gcd(10;45) 和 gcd(1701;3768)。

2. 声音
   观察依据

   演讲者将结果称为原始两个数的最大公分母。

1. 口头短语“最大公分母”与书面符号 gcd 冲突，后者通常表示最大公约数。

gcd(a;b)

整数 a 和 b 的最大公约数，如书面符号所示。

正整数。

1. 公式
   观察依据

   板书显示 $45 = 10 \times q + r$。

q, r

欧几里得算法除法步骤中的商和余数。

在标准算法中满足 $0 \le r$ < 除数的整数。

1. 公式
   观察依据

   板书显示 $45 = 10 \times 4 + 5$ 和 $10 = 5 \times 2 + 0$。

45, 10, 4, 5, 2, 0

用于 gcd(10;45) 实例演示的具体整数。

非负整数。

1. 公式
   观察依据

   板书显示 $3768 = 1701 \times 2 + 366$，然后 $1701 = 366 \times 4 + 237$，然后 $366 = 237 \times 1$。

1. 第三行显示的最终余数在此83–166 秒原片区间内未完成。

3768, 1701, 2, 366, 4, 237, 1

用于 gcd(1701;3768) 较大实例演示的具体整数。

非负整数。

1. 公式
   观察依据

   白板上写着 gcd(10; 45) 和 gcd(1701; 3768)。

$\gcd(a, b)$

两个整数 a 和 b 的最大公约数。

本片使用正整数。

1. 公式
   观察依据

   具体数字 1701 和 3768 被用作 gcd 函数的输入。

a, b

正在计算最大公约数的两个正整数（具体为 $a=1701$, $b=3768$）。

正整数

1. 声音
   观察依据

   演讲者陈述最大公分母将是能整除 10 和 45 的最大数字。

2. 图示
   观察依据

   板上显示 gcd(10;45)。

1. 演讲者说的是 "denominator"（分母），而符号 gcd 通常意味着 "divisor"（约数/除数）。

对于 10 和 45 这一对，视频将目标量定义为能整除这两个数字的最大数字。在标准术语中，这是最大公约数。

1. 此处适用于两个正整数。

2. 公约数是标准术语。

1. 声音
   观察依据

   演讲者说他将展示如何使用欧几里得算法来求最大公分母。

2. 图示
   观察依据

   板上的标题写着 "THE EUCLIDIAN ALGORITHM"。

1. 板上的标题拼写为 "EUCLIDIAN"；标准英语拼写通常是 "Euclidean"。

该0–83 秒原片区间将欧几里得算法呈现为一种计算 gcd(10;45) 的方法，特别是当答案不能通过检查立即显而易见时。

1. 此处用于计算两个正整数的最大公约数。

1. 示例中 gcd 的定义

1. 声音
   观察依据

   演讲者说取两个数字中较大的那个，将其设为较小的数字乘以某个数 q 加上某个数 r。

2. 公式
   观察依据

   板书写出 "$45 = 10 \cdot q + r$"，然后是 "$45 = 10 \cdot 4 + 5$"。

算法首先将较大的整数表示为较小的整数乘以一个商加上一个余数。在此示例中，45 被重写为关于 10、q 和 r 的形式。

1. 左边使用较大的数字。

2. 使用较小的数字作为乘数基数。

3. q 是商，r 是余数。

1. 欧几里得算法的目的

1. 声音
   观察依据

   演讲者说 q 是 10 进入 45 的次数，r 是该结果的余数。

2. 公式
   观察依据

   完成的行是 "$45 = 10 \cdot 4 + 5$"。

在计算示例中，q 计数较小的数字能完整进入较大数字多少次，r 是该乘法后剩下的部分。

1. 此条件针对 45 除以 10 的计算，位于 0–83 秒原片区间。

1. 欧几里得算法的第一个除法方程

1. 声音
   观察依据

   演讲者说在所有剩余步骤中，取这个位置的数字并将其移到左边数字所在的位置，然后取余数并将其移到较小数字所在的位置。

2. 图示
   观察依据

   在前一行下方画了箭头，显示 10 向左移动，5 移入下一个除数位置。

3. 公式
   观察依据

   新的一行以 "10 =" 开始。

1. "10 =" 之后的下一个完整方程未在提供的0–83 秒原片区间中完成。

在一个除法步骤之后，前一个除数成为新的被除数，前一个余数成为新的除数。该过程重复直到余数达到零。

1. 继续该模式直到获得余数为 0。

1. 欧几里得算法的第一个除法方程
2. 示例中 q 和 r 的含义

1. 公式
   观察依据

   板书显示 $45 = 10 \times q + r$，然后代入 $q=4$, $r=5$。

2. 声音
   观察依据

   演讲者描述询问一个数包含另一个数多少次以及余数是多少。

重复除法使用“被除数 = 除数 × 商 + 余数”。小例题中，45 除以 10 得商 4、余数 5；再用 10 除以 5，得商 2、余数 0。

1. 应用于示例中显示的正整数。

2. 83–166 秒原片区间没有明确陈述正式界限 $0 \le r < b$，尽管计算出的值与此一致。

1. 声音
   观察依据

   讲解在新余数归零后，选择之前的非零余数作为答案。

2. 公式
   观察依据

   板书显示 $10 = 5 \times 2 + 0$，且之前的余数 5 被框出。

1. 口头术语“最大公分母”可能是口误；书面符号是 gcd。

本例中 $10=5\cdot2+0$，所以末次整除的除数 5 就是 (10,45) 的最大公约数，也等于前一个非零余数。本站补充：取末次除数的表述同样适用于第一步余数已经为零的情形。

1. 本例的两个输入都是正整数。

2. 83–166 秒原片区间通过具体示例演示该规则，而非证明它。

1. 欧几里得算法的带余除法步骤

1. 声音
   观察依据

   讲解从 3768 除以 1701 开始较大例题，再依次带入新的余数。

2. 公式
   观察依据

   板书显示 $3768 = 1701 \times 2 + 366$，然后 $1701 = 366 \times 4 + 237$，然后 $366 = 237 \times 1$。

1. 第三行在83–166 秒原片区间结束时是不完整的。

主持人在 gcd(1701;3768) 上重复相同的欧几里得算法过程，从较大的数 3768 除以较小的数 1701 开始，然后将每个余数带入下一行。83–166 秒原片区间显示了前两个完整的除法以及第三个的开始。

1. 该方法针对正整数展示。

2. 最后显示的行中的最终余数未在此83–166 秒原片区间内得出。

1. 欧几里得算法的带余除法步骤

1. 声音
   观察依据

   讲解者解释了通过反复除法和移动余数来寻找最大公约数的过程。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着一系列除法方程，最后余数为 0。

对正整数重复做 $a=bq+r$ 的带余除法，商取整数且 $0\le r<b$。余数为正时继续使用数对 (b,r)；余数为零时，答案取该次整除的除数。两道例题中它就是最后一个非零余数；若首次除法已经整除，则直接取除数，无需先产生非零余数。一般范围由本站补充说明。

1. a 和 b 是整数

2. $b > 0$

3. 0 <= $r < b$

1. 声音
   观察依据

   讲解将 5 指为第一组整数的答案。

2. 图示
   观察依据

   正在讨论的示例是 gcd(10;45)。

1. 值 5 在此0–83 秒原片区间中口头陈述；在0–83 秒原片区间结束前尚未框出或推导完成。

对于 10 和 45 这一对，最大公约数是 5。

1. 考虑的数字是 10 和 45。

针对给定对的特定数值声明。

1. 声音
   观察依据

   演讲者说遵循该模式一直向下，直到我们得到余数为 0。

1. 0–83 秒原片区间没有证明为什么停在余数 0 会产生 gcd；它只陈述了程序。

在此处呈现的欧几里得算法中，继续移位和除法模式直到余数为 0。

1. 算法应用于两个正整数。

针对算法陈述的一般程序性声明。

1. 声音
   观察依据

   讲解在末次余数为零时，选择前一个非零余数。

2. 公式
   观察依据

   板书显示 $45 = 10 \times 4 + 5$ 和 $10 = 5 \times 2 + 0$，其中 5 被框出。

1. 口头措辞说“分母”，而书面符号是 gcd。

对于数对 (10,45)，在得到 $10 = 5 \times 2 + 0$ 后，前一个余数 5 是原始两个数的最大公约数。

1. 欧几里得算法已应用于 45 和 10。

2. 一个除法步骤产生了余数 0。

对于示例中显示的具体整数 10 和 45。

1. 公式
   观察依据

   板书显示 $3768 = 1701 \times 2 + 366$ 和 $1701 = 366 \times 4 + 237$。

2. 声音
   观察依据

   讲解计算 3768 除以 1701，商 2、余数 366；再计算 1701 除以 366，商 4、余数 237。

在较大示例中，$3768 = 1701 \times 2 + 366$ 且 $1701 = 366 \times 4 + 237$。

1. 整数是 3768 和 1701。

2. 欧几里得算法通过连续除法应用。

对于示例中显示的具体整数 3768 和 1701。

1. 声音
   观察依据

   讲解根据最后的正余数，得出 1701 与 3768 的最大公约数为 3。

2. 图示
   观察依据

   讲解者从最终余数 '0' 画了一个箭头指向前一个余数 '3'，并将 '3' 框起来。

对两个正整数正确执行欧几里得算法，最终余数为零，该次整除的除数就是原数对的最大公约数；若此前出现过非零余数，它就是最后一个非零余数。原片例题得到 $\gcd(1701,3768)=3$。

1. 已正确对这两个数应用了欧几里得算法。

2. 算法以余数为 0 终止。

对于任意两个正整数。

1. 声音
   观察依据

   演讲者解释取较大的数字 45 并将其设为较小的数字 10 乘以 q 加上 r。

2. 公式
   观察依据

   板上显示 "$45 = 10 \cdot q + r$"，然后是 "$45 = 10 \cdot 4 + 5$"。

1. 公式

   $$45 = 10 \cdot q + r$$
   解释

   从较大的数字 45 开始，将其表示为较小的数字 10、未知商 q 和未知余数 r 的形式。

   步骤依据

   这是演讲者为欧几里得算法描述的带余除法设置。

   视频直接表达
2. 公式

   $$q = 4$$
   解释

   确定 10 能完整进入 45 多少次。

   步骤依据

   演讲者明确说 q 是 10 进入 45 的次数。

   视频直接表达
3. 公式

   $$r = 5$$
   解释

   计算扣除 4 个 10 后，45 还剩多少。

   步骤依据

   演讲者将 r 标识为该结果的余数。

   视频直接表达
4. 公式

   $$45 = 10 \cdot 4 + 5$$
   解释

   将找到的商和余数代回除法方程。

   步骤依据

   将 $q = 4$ 和 $r = 5$ 直接代入初始形式。

   视频直接表达

该示例的第一个欧几里得归约是 $45 = 10\cdot 4 + 5$。

1. 声音
   观察依据

   演讲者说将除数位置的数字移到左边，并将余数移到下一个较小数字的位置。

2. 图示
   观察依据

   完成的行下方的箭头指示 10 和 5 移动到下一步。

3. 公式
   观察依据

   新的一行以 "10 =" 开始。

1. 下一个完整方程未在0–83 秒原片区间内完成，因此确切的下一个商和余数未在此处显示。

1. 公式

   $$45 = 10 \cdot 4 + 5$$
   解释

   从完成的第一行除法开始。

   步骤依据

   这一行已经写在板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$10 = \ldots$$
   解释

   将前一个除数 10 移到下一个方程的左边。

   步骤依据

   演讲者将此移位描述为所有剩余步骤的规则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$10 = 5 \cdot q' + r'$$
   解释

   前一个余数 5 成为下一行中的新除数位置。

   步骤依据

   这遵循箭头模式和将余数移到较小数字位置的口头指令。

   依据视频推导

算法继续进行到以 10 开头的新行，使用 5 作为下一个除数；该行的其余部分未在0–83 秒原片区间中显示。

1. 公式
   观察依据

   板书显示 $45 = 10 \times q + r$，然后 $45 = 10 \times 4 + 5$，然后 $10 = 5 \times 2 + 0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解将前一步余数用作新的除数，得到整除后确认答案。

1. 公式

   $$45 = 10 \cdot q + r$$
   解释

   先将较大数 45 表示为较小数 10 的倍数加余数。

   步骤依据

   板上显示的带余除法步骤的设置。

   视频直接表达
2. 公式

   $$45 = 10 \cdot 4 + 5$$
   解释

   计算 45 除以 10 的商和余数。

   步骤依据

   除法步骤的算术评估。

   视频直接表达
3. 公式

   $$10 = 5 \cdot 2 + 0$$
   解释

   将前一个余数 5 移到除数位置，并用前一个除数 10 除以它。

   步骤依据

   讲解先将前一步余数移到除数位置，再进行下一次除法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\gcd(10,45)=5$$
   解释

   因为新余数是 0，取前一个非零余数 5 作为最大公约数。

   步骤依据

   口头陈述的终止规则，并通过框出 5 进行视觉强调。

   视频直接表达

欧几里得算法得出 gcd(10;45)=5。

1. 公式
   观察依据

   板书显示 $3768 = 1701 \times 2 + 366$，然后 $1701 = 366 \times 4 + 237$，然后 $366 = 237 \times 1$。

2. 声音
   观察依据

   讲解完成较大例题的前两次除法，并开始第三次除法。

1. 83–166 秒原片区间在第三行的余数写出或算法终止之前结束。

1. 公式

   $$3768 = 1701 \cdot 2 + 366$$
   解释

   较大示例从计算 3768 除以 1701 开始。

   步骤依据

   明确写在板上并在音频中陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1701 = 366 \cdot 4 + 237$$
   解释

   将除数替换为前一个余数 366，并用它除 1701。

   步骤依据

   讲解将原除数和余数带入新的一行。

   视频直接表达
3. 公式

   $$366 = 237 \cdot 1 + \cdots$$
   解释

   将除数替换为前一个余数 237，并开始用它除 366。

   步骤依据

   当前原片区间展示下一次除法的开头，余数在全片后续写完。

   视频直接表达

在此83–166 秒原片区间内，较大示例完成了两个完整的欧几里得步骤和第三个步骤的开始；屏幕上未达到最终的最大公约数。

1. 公式
   观察依据

   逐步的除法方程写在白板上。

2. 声音
   观察依据

   讲解者叙述计算的每一步。

1. 公式

   $$3768 = 1701 \cdot 2 + 366$$
   解释

   用 3768 除以 1701。商是 2，余数是 366。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1701 = 366 \cdot 4 + 237$$
   解释

   将 1701 移到左边，366 移到右边。用 1701 除以 366。商是 4，余数是 237。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$366 = 237 \cdot 1 + 129$$
   解释

   将 366 移到左边，237 移到右边。用 366 除以 237。商是 1，余数是 129。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$237 = 129 \cdot 1 + 108$$
   解释

   将 237 移到左边，129 移到右边。用 237 除以 129。商是 1，余数是 108。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
5. 公式

   $$129 = 108 \cdot 1 + 21$$
   解释

   将 129 移到左边，108 移到右边。用 129 除以 108。商是 1，余数是 21。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
6. 公式

   $$108 = 21 \cdot 5 + 3$$
   解释

   将 108 移到左边，21 移到右边。用 108 除以 21。商是 5，余数是 3。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
7. 公式

   $$21 = 3 \cdot 7 + 0$$
   解释

   将 21 移到左边，3 移到右边。用 21 除以 3。商是 7，余数是 0。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达

由于余数为 0，过程终止。最后一个非零余数是 3。

1. 图示
   观察依据

   板上显示 gcd(10;45) 以及计算行 $45 = 10 \cdot q + r$, $45 = 10 \cdot 4 + 5$，以及 10 = 的开始。

2. 声音
   观察依据

   演讲者介绍 10 和 45 作为第一个示例，并叙述欧几里得步骤。

1. 在此0–83 秒原片区间中只完成了第一个归约和第二行的设置。

使用欧几里得算法求 gcd(10;45)。

1. 两个整数是 10 和 45。

2. 要使用的方法是欧几里得算法。

逐步归约这对数字，直到余数变为 0，从而识别出 gcd。

1. 公式

   $$45 = 10 \cdot q + r$$
   解释

   将较大的数字写为较小的数字乘以一个未知商加上一个未知余数。

   步骤依据

   这是0–83 秒原片区间中解释的欧几里得算法的第一步。

   视频直接表达
2. 公式

   $$45 = 10 \cdot 4 + 5$$
   解释

   评估 45 除以 10 的除法，得到商 4 和余数 5。

   步骤依据

   演讲者明确将 q 标识为 10 进入 45 的次数，将 r 标识为余数。

   视频直接表达
3. 公式

   $$10 = \ldots$$
   解释

   通过将旧除数 10 移到左边并准备使用旧余数 5 作为新除数，开始下一行。

   步骤依据

   箭头和叙述描述了算法的递归移位模式。

   视频直接表达

0–83 秒原片区间建立了第一个归约 $45 = 10\cdot 4 + 5$，并以 10 = 开始下一行；最终 gcd 值 5 早前已口头陈述，但完整算法在此段屏幕内未完成。

在此0–83 秒原片区间内，验证是部分的：演讲者陈述答案是 5，且第一个除法步骤与 $45 = 10\cdot 4 + 5$ 一致。

1. 公式
   观察依据

   板书显示 gcd(10;45), $45 = 10 \times q + r$, $45 = 10 \times 4 + 5$, 和 $10 = 5 \times 2 + 0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解在最终余数归零后，将之前的非零余数指为答案。

1. 口头术语“分母”与书面 gcd 符号冲突。

使用欧几里得算法求 gcd(10;45)。

1. 数对是 10 和 45。

2. 较大的数放在除法语句的左侧。

确定 10 和 45 的最大公约数。

1. 公式

   $$45 = 10 \cdot 4 + 5$$
   解释

   计算 45 除以 10，得到商 4 和余数 5。

   步骤依据

   板上显示的直接算术步骤。

   视频直接表达
2. 公式

   $$10 = 5 \cdot 2 + 0$$
   解释

   将余数 5 用作新的除数，计算 10 除以 5。

   步骤依据

   演讲者明确将 5 移到之前由 10 占据的位置。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\gcd(10,45)=5$$
   解释

   因为余数现在是 0，使用前一个非零余数 5 作为答案。

   步骤依据

   口头陈述的终止规则，并通过框出 5 加以强化。

   视频直接表达

5

结果与 gcd(10,45) 的标准值匹配，且板面视觉上标记 5 为最终选择的余数。

1. 公式
   观察依据

   板书显示 gcd(1701;3768), $3768 = 1701 \times 2 + 366$, $1701 = 366 \times 4 + 237$, 和 $366 = 237 \times 1$。

2. 声音
   观察依据

   讲解计算较大例题的前两次除法，随后开始第三次除法。

1. 示例在此83–166 秒原片区间中未完成；最后的余数和最终的最大公约数未显示。

对 gcd(1701;3768) 应用欧几里得算法。

1. 数对是 1701 和 3768。

2. 较大的数 3768 首先用在左侧。

执行连续除法步骤以找到最大公约数。

1. 公式

   $$3768 = 1701 \cdot 2 + 366$$
   解释

   计算 3768 除以 1701，得到商 2 和余数 366。

   步骤依据

   写在板上并在音频中陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1701 = 366 \cdot 4 + 237$$
   解释

   使用 366 作为新除数，并用它除 1701 得到商 4 和余数 237。

   步骤依据

   写在板上并在音频中陈述。

   视频直接表达
3. 公式

   $$366 = 237 \cdot 1 + \cdots$$
   解释

   使用 237 作为新除数，并开始用它除 366。

   步骤依据

   板书显示 $366 = 237 \times 1$，但余数在83–166 秒原片区间结束前未完成。

   视频直接表达

未在此83–166 秒原片区间内完成。

前两个显示的方程在算术上是正确的：$1701\times 2+366=3768$ 且 $366\times 4+237=1701$。

1. 公式
   观察依据

   板上写着 gcd(1701; 3768)。

2. 声音
   观察依据

   讲解者陈述问题并逐步求解。

使用欧几里得算法求 1701 和 3768 的最大公约数。

1. $a = 1701$

2. $b = 3768$

计算 gcd(1701, 3768)。

1. 公式

   $$3768 = 1701 \cdot 2 + 366$$
   解释

   第一步除法。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1701 = 366 \cdot 4 + 237$$
   解释

   第二步除法。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$366 = 237 \cdot 1 + 129$$
   解释

   第三步除法。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$237 = 129 \cdot 1 + 108$$
   解释

   第四步除法。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
5. 公式

   $$129 = 108 \cdot 1 + 21$$
   解释

   第五步除法。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
6. 公式

   $$108 = 21 \cdot 5 + 3$$
   解释

   第六步除法。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
7. 公式

   $$21 = 3 \cdot 7 + 0$$
   解释

   第七步除法，余数为 0。

   步骤依据

   除法算法。

   视频直接表达
8. 公式

   $$\gcd(1701, 3768) = 3$$
   解释

   最后一个非零余数即为 GCD。

   步骤依据

   欧几里得算法的性质。

   视频直接表达

3

视频未显示验证步骤，例如检查 3 是否能整除 1701 和 3768 且无余数。

1. 图示
   观察依据

   开始时，白板显示标题 "THE EUCLIDIAN ALGORITHM" 和两个表达式：gcd(10;45) 和 gcd(1701;3768)。

1. 标题文本 "THE EUCLIDIAN ALGORITHM"

2. 表达式 gcd(10;45)

3. 表达式 gcd(1701;3768)

1. 尚无书写变化；板子展示了主题和两个示例对。

1. 0–83 秒原片区间围绕 gcd 计算展开。

2. 第一个示例是 10 和 45。

视觉开场确立了课程是关于使用欧几里得算法计算最大公约数，提前写好了一个小示例和一个大示例。

1. 动画
   观察依据

   一只手写下 $45 = 10 \cdot q + r$，然后填入 4 和 5 使其成为 $45 = 10 \cdot 4 + 5$。

2. 声音
   观察依据

   演讲者在书写时解释 q 和 r 的含义。

1. 方程 $45 = 10 \cdot q + r$

2. 完成的方程 $45 = 10 \cdot 4 + 5$

1. 符号行从未知的 q 和 r 进展到明确的值 4 和 5。

1. 左边保持为 45。

2. 除数在这一行中保持为 10。

动画显示了为对 (10,45) 启动欧几里得算法的具体除法步骤。

1. 图示
   观察依据

   在完成的行下方画了箭头，指示将 10 向左移动并将 5 移入下一个除数位置。

2. 声音
   观察依据

   演讲者描述取一个位置的数字并将其移到左边，然后将余数移到较小数字的位置。

3. 公式
   观察依据

   新的一行以 10 = 开始。

1. 下一个方程在0–83 秒原片区间结束前未完成。

1. $45 = 10 \cdot 4 + 5$ 下方的下划线/箭头

2. 以 10 = 开始的新行

1. 前一个除数 10 被提升为新的左边。

2. 前一个余数 5 被准备成为下一个除数。

1. 模式是迭代的：每一步使用前一个除数和余数。

2. 过程持续到余数 0。

视觉箭头比单独的代数更清晰地编码了欧几里得算法的递归关系。

1. 图示
   观察依据

   画面框出的 5 来自等式 $45 = 10 \times 4 + 5$，箭头将零余数的那一行与它连接。

1. 框出的 5，出现在 $45 = 10 \times 4 + 5$ 中。

2. 行 $10 = 5 \times 2 + 0$

3. 行之间的箭头

1. 出现余数 0 后，注意力转回到前一个余数 5。

2. 5 被框起来以标记其为答案。

1. 原始数对 gcd(10;45) 仍写在顶部。

2. 选择答案时，早期的除法方程仍然可见。

框出和向后箭头视觉上编码了停止规则：当余数变为 0 时，前一个非零余数即为最大公约数。

1. 动画
   观察依据

   小例子的下方工作被擦除，留下标题 gcd(10;45) 和 gcd(1701;3768)，并在较大例子下方开始新的书写。

1. 白板擦/布

2. 两个 gcd 标题

3. gcd(1701;3768) 下方的新书写区域

1. 完成的小例子计算被移除。

2. 主持人开始为较大数对编写一系列新的除法行。

1. 两个问题标题留在板上。

2. 尽管数字改变，方法保持不变。

视觉重置表明相同的算法正在更难的数值实例上复用。

1. 动画
   观察依据

   讲解者从最终的 '0' 余数向上画了一个箭头指向前一个 '3' 余数，然后在 '3' 周围画了一个框。

1. 余数 0

2. 余数 3

3. 箭头

4. 方框

1. 从 0 到 3 画了一个箭头。

2. 在 3 周围画了一个方框。

1. 方程序列保持不变。

这一视觉动作强调最后一个非零余数（3）是算法的结果，即最大公约数。

1. 声音
   观察依据

   演讲者反复说 "greatest common denominator"（最大公分母）。

2. 图示
   观察依据

   板上写着 gcd(10;45) 和 gcd(1701;3768)。

口语短语 "greatest common denominator" 可能暗示分数相关的概念，而不是预期的最大公约数。

符号 gcd 和计算的除法步骤表明主题是最大公约数，而不是分数的公分母。

1. 图示
   观察依据

   板上的标题写着 "THE EUCLIDIAN ALGORITHM"。

板上的拼写 "EUCLIDIAN" 不同于标准拼写 "Euclidean"。

数学内容仍然对应于用于 gcd 计算的欧几里得算法。

1. 声音
   观察依据

   讲解者将 gcd 程序计算的量称作分母，存在术语混用。

2. 公式
   观察依据

   板书写着 gcd(10;45) 和 gcd(1701;3768)。

演讲者说“最大公分母”，而板书使用 gcd 符号。

在此上下文中，gcd 表示最大公约数。书面符号和程序符合除数解释，因此口头词语似乎是口误。

1. 声音
   观察依据

   演讲者说欧几里得算法将用于查找最大公分母/约数。

2. 图示
   观察依据

   板上的标题和 gcd 符号一起出现。

gcd 的定义激发了将欧几里得算法作为计算方法的需求。

1. 公式
   观察依据

   引入了方程 $45 = 10 \cdot q + r$，然后实例化为 $45 = 10 \cdot 4 + 5$。

2. 声音
   观察依据

   演讲者在写方程时定义了 q 和 r。

一般除法步骤包含示例中使用的商和余数的具体含义。

1. 声音
   观察依据

   在解释 q 和 r 之后，演讲者说将除数和余数移到下一行。

2. 图示
   观察依据

   箭头显示 10 和 5 移位到下一步。

理解除数和余数是什么是应用欧几里得算法递归移位规则的先决条件。

1. 公式
   观察依据

   板书首先显示除法步骤，然后在出现 0 后框出前一个余数。

2. 声音
   观察依据

   讲解在余数为零时停止，并选取之前的非零值。

在重复的带余除法步骤产生零余数后，应用终止规则。

1. 声音
   观察依据

   讲解将同一计算步骤用于较大整数对。

2. 公式
   观察依据

   相同的行格式 $a = b \times q + r$ 被复用于 3768 和 1701。

较大示例是在更大的整数上直接复用相同的欧几里得算法方法。

1. 公式
   观察依据

   标题 gcd(10;45) 和 gcd(1701;3768) 构成了两个实例演示的框架。

书面 gcd 符号标识了除法算法用于计算的目标量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者在执行具体示例的同时解释了一般方法。

该示例演示了欧几里得算法方法的应用。

1. 声音
   观察依据

   演讲者解释取较大的数字并将其写为较小的数字乘以 q 加上 r。

2. 公式
   观察依据

   板上显示 $45 = 10 \cdot q + r$，然后是 $45 = 10 \cdot 4 + 5$。

1. 欧几里得算法的第一个除法方程
2. 示例中 q 和 r 的含义

1. 声音
   观察依据

   演讲者说 q 是 10 进入 45 的次数，r 是余数。

1. 示例中 q 和 r 的含义

1. 声音
   观察依据

   演讲者描述将除数移到左边，将余数移到较小数字的位置。

2. 图示
   观察依据

   箭头说明移入下一行。

1. 欧几里得算法的递归移位模式

1. 声音
   观察依据

   演讲者说最大公分母/约数是能整除 10 和 45 的最大数字。

1. 口语术语是分母，但数学语境是约数。

1. 示例中 gcd 的定义

1. 图示
   观察依据

   画面框出 5，同时出现等式 $10 = 5 \times 2 + 0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解在末次整除后，选取之前的非零余数。

1. 欧几里得算法的终止规则
2. 通过欧几里得算法推导 gcd(10;45)
3. 最终余数的视觉强调

1. 声音
   观察依据

   讲解将 3768 写为 1701 乘以一个整数商再加余数。

2. 公式
   观察依据

   $3768 = 1701 \times 2 + 366$

1. 将相同方法应用于更大的一对整数
2. gcd(1701;3768) 的部分推导
3. 实例演示：gcd(1701;3768)，部分

1. 声音
   观察依据

   讲解说明将每一步的除数与余数带入下一次除法。

2. 公式
   观察依据

   连续的行用前一个余数替换旧除数。

1. 欧几里得算法的带余除法步骤
2. 通过欧几里得算法推导 gcd(10;45)
3. gcd(1701;3768) 的部分推导

1. 声音
   观察依据

   讲解在讨论 gcd 时使用了分母一词。

2. 公式
   观察依据

   gcd(10;45)

1. 口头的“分母”与书面的 gcd
2. gcd(a;b)

1. 声音
   观察依据

   整个视频都是对该过程的演示。

1. 欧几里得算法
2. 求 gcd(1701, 3768)

1. 声音
   观察依据

   讲解在计算结束时选择前一个正余数。

1. 欧几里得算法的结果