几何概率：长度比、面积比与相见问题

1. 公式
   观察依据

   原片用 m(A) 表示事件 A 的几何度量。

2. 声音
   观察依据

   原片用 m(A) 表示事件 A 的几何度量。

m(A)

事件或区域 A 的几何度量；在一维情形可理解为长度，在二维情形可理解为面积，在三维情形可理解为体积。

A 为样本空间 Ω 内的某个区域或事件。

1. 公式
   观察依据

   定义以 Ω 表示几何样本空间，并说明概率与区域度量成正比。

2. 声音
   观察依据

   定义以 Ω 表示几何样本空间，并说明概率与区域度量成正比。

\Omega

随机试验的样本空间，在本节中被设定为某个几何区域。

可测的几何样本空间，满足 0<m(Ω)<∞；正性是这里补充的归一化条件。

1. 公式
   观察依据

   概率符号 P(A) 与事件度量除以样本空间度量的比值对应。

2. 声音
   观察依据

   概率符号 P(A) 与事件度量除以样本空间度量的比值对应。

P(A)

事件 A 发生的概率，在几何概率模型中用事件区域度量与样本空间度量之比表示。

A 为 Ω 内的事件或区域。

1. 公式
   观察依据

   分母测量整个样本空间 Ω。

2. 声音
   观察依据

   分母测量整个样本空间 Ω。

m(\Omega)

样本空间 Ω 的几何度量；在一维为长度，在二维为面积，在三维为体积。

Ω 为几何概率模型的样本空间。

1. 公式
   观察依据

   第一例使用区间 [0,3]，数轴标有 0、1、2、3。

2. 图示
   观察依据

   第一例使用区间 [0,3]，数轴标有 0、1、2、3。

[0,3]

一维几何概率例题中的样本空间，即从 0 到 3 的闭区间。

实数轴上的区间。

1. 公式
   观察依据

   第一例的事件选择区间内坐标小于 1 的点。

2. 声音
   观察依据

   第一例的事件选择区间内坐标小于 1 的点。

A

例题中的事件：随机投点的坐标小于 1，对应区间 [0,1)。

A ⊆ [0,3]。

1. 公式
   观察依据

   到达时刻的说明用 x 表示其中一人。

2. 声音
   观察依据

   到达时刻的说明用 x 表示其中一人。

x

甲到达指定地点的时刻，以 4 点为 0 时刻、单位为小时。

0 ≤ x ≤ 1

1. 公式
   观察依据

   到达时刻的说明用 y 表示另一人。

2. 声音
   观察依据

   到达时刻的说明用 y 表示另一人。

y

乙到达指定地点的时刻，以 4 点为 0 时刻、单位为小时。

0 ≤ y ≤ 1

1. 公式
   观察依据

   样本空间的集合式将两个归一化到达坐标都限制在 0 与 1 之间。

2. 声音
   观察依据

   样本空间的集合式将两个归一化到达坐标都限制在 0 与 1 之间。

\Omega

样本空间，即所有可能的到达时刻对 (x,y) 构成的正方形区域。

二维平面区域

1. 公式
   观察依据

   事件 A 对应相见条件 |x−y|≤1/4。

2. 声音
   观察依据

   事件 A 对应相见条件 |x−y|≤1/4。

A

事件“两人相见”，即满足 |x-y| ≤ 1/4 的点集。

Ω 的子集

1. 公式
   观察依据

   本题的计算将 m 解释为平面面积。

2. 声音
   观察依据

   本题的计算将 m 解释为平面面积。

m(\cdot)

几何度量；在本题二维情形下取面积。

平面区域

1. 公式
   观察依据

   P(A) 表示正在求解的相见事件概率。

2. 声音
   观察依据

   P(A) 表示正在求解的相见事件概率。

P(A)

事件 A 发生的概率。

[0,1]

1. 公式
   观察依据

   原定义介绍几何区域、有限的事件度量，以及概率与几何度量成正比；原片未分别列出完整归一化条件。

2. 声音
   观察依据

   原定义介绍几何区域、有限的事件度量，以及概率与几何度量成正比；原片未分别列出完整归一化条件。

几何概率模型适用于随机试验的样本空间不是离散样本点集合，而是一个几何区域的情形。该区域可以是一维线段、二维平面区域或三维立体区域。事件 A 的几何度量记作 m(A)，其具体含义随维度变化：一维为长度，二维为面积，三维为体积。模型还要求 m(A) 有限，并且试验结果落入 Ω 中任一区域的可能性只与该区域的几何度量成正比。 补充条件：事件须可测，样本空间的几何度量须正且有限，并假设结果相对于该几何度量均匀分布。

1. 样本空间 Ω 是某个几何区域。

2. 区域可以是一维、二维、三维等。

3. m(A) 表示区域 A 的几何度量。

4. m(A) 有限。

5. 试验结果出现在 Ω 中任何区域的可能性只与该区域几何度量成正比。

6. 补充条件：事件须可测，样本空间的几何度量须正且有限，并假设结果相对于该几何度量均匀分布。

1. 公式
   观察依据

   画面比值用事件度量除以整个空间度量，并列出长度、面积、体积这些维度选择。

2. 声音
   观察依据

   画面比值用事件度量除以整个空间度量，并列出长度、面积、体积这些维度选择。

在几何概率模型中，事件 A 的概率等于事件区域 A 的几何度量除以整个样本空间 Ω 的几何度量。若样本空间是一维区间，则用长度比；若是二维区域，则用面积比；若是三维区域，则用体积比。 补充条件：事件须可测，样本空间的几何度量须正且有限，并假设结果相对于该几何度量均匀分布。

1. 样本空间 Ω 为几何区域。

2. A 是 Ω 内的事件或区域。

3. m(Ω) 非零且有限。

4. 概率只由相应几何度量比例决定。

5. 补充条件：事件须可测，样本空间的几何度量须正且有限，并假设结果相对于该几何度量均匀分布。

1. 几何概率模型的定义

1. 声音
   观察依据

   维度说明将一维对应长度、二维对应面积、三维对应体积。

2. 公式
   观察依据

   维度说明将一维对应长度、二维对应面积、三维对应体积。

使用几何概率公式时，需要先判断样本空间的维度，再把 m(A) 和 m(Ω) 替换为对应的几何量：一维用长度，二维用面积，三维用体积。该步骤把抽象的 m(A) 落到具体可计算的几何量上。 这里以 ℓ 表示长度、S 表示面积、V 表示体积；这是对原片维度选择所作的简写记号。

1. 样本空间维度已确定。

2. 事件 A 与样本空间 Ω 使用同一种几何度量。

1. 几何概率计算公式

1. 声音
   观察依据

   讲解以四点为时间原点，将随后的一小时表示为单位区间。

2. 公式
   观察依据

   讲解以四点为时间原点，将随后的一小时表示为单位区间。

为便于建立二维样本空间，视频把 4 点记为 0 时刻，把 5 点记为 1 时刻，因此 4:00–5:00 对应区间 [0,1]。这样时间差 15 分钟可统一换算为 1/4 小时。

1. 约定以 4 点为时间原点

2. 时间单位取小时

1. 公式
   观察依据

   时刻对的集合式用两个介于 0 与 1 的到达时刻描述单位正方形。

2. 声音
   观察依据

   时刻对的集合式用两个介于 0 与 1 的到达时刻描述单位正方形。

视频把两人到达时刻组成有序对 (x,y)，并因两人都在 4:00–5:00 内到达，得到样本空间为单位正方形区域。

1. x 表示一人到达时刻

2. y 表示另一人到达时刻

3. 时间已归一化到 [0,1]

1. 把下午 4:00–5:00 归一化为 [0,1]

1. 公式
   观察依据

   相见事件以时间差的绝对值不超过四分之一小时表示，兼顾两种先后到达顺序。

2. 声音
   观察依据

   相见事件以时间差的绝对值不超过四分之一小时表示，兼顾两种先后到达顺序。

视频将“两人相见”转化为到达时间差不超过 15 分钟，再因先到者可能是甲也可能是乙，使用绝对值 |x-y| 表示时间差，并把 15 分钟换算为 1/4 小时。

1. 相见条件是一人最多等另一人 15 分钟

2. 时间单位为小时

3. A 是 Ω 的子集

1. 把下午 4:00–5:00 归一化为 [0,1]
2. 样本空间 Ω 的定义

1. 公式
   观察依据

   原片将几何面积比用于相见事件，但题干没有分别写出独立与均匀到达假设。

2. 声音
   观察依据

   原片将几何面积比用于相见事件，但题干没有分别写出独立与均匀到达假设。

视频明确指出本题属于几何概型，并用事件区域与样本空间区域的几何度量之比求概率；在二维情形下，这个几何度量就是面积。 补充建模假设：两人的到达时刻相互独立，且各自在 [0,1] 上均匀分布，因此联合分布在单位正方形上均匀。仅有到达时间窗口，或仅有两个边际均匀分布，都不足以推出这一联合模型。

1. 样本空间可用平面区域表示

2. 事件对应其中可测子区域

3. 本题中 m(·) 取面积

4. 补充建模假设：两人的到达时刻相互独立，且各自在 [0,1] 上均匀分布，因此联合分布在单位正方形上均匀。仅有到达时间窗口，或仅有两个边际均匀分布，都不足以推出这一联合模型。

1. 样本空间 Ω 的定义
2. 事件 A 的代数刻画

1. 公式
   观察依据

   红色带位于正方形内两条边界线 y−x=1/4 与 x−y=1/4 之间。

2. 声音
   观察依据

   红色带位于正方形内两条边界线 y−x=1/4 与 x−y=1/4 之间。

视频把绝对值不等式拆成两条平行直线之间的带状区域：上边界为 y-x=1/4，下边界为 x-y=1/4，落在单位正方形内的部分即为事件 A 的区域。

1. 在 Ω 内作图

2. 坐标轴分别表示 x 与 y

1. 事件 A 的代数刻画

1. 公式
   观察依据

   定义将概率与几何度量成正比作为模型前提。

2. 声音
   观察依据

   定义将概率与几何度量成正比作为模型前提。

1. 视频未进一步证明该正比假设为何成立，也未讨论它与均匀分布之间的严格关系。

在几何概率模型中，试验结果出现在样本空间 Ω 中任何区域的可能性只与该区域的几何度量成正比。

1. 试验的样本空间是某个几何区域 Ω。

2. m(A) 表示区域 A 的几何度量。

3. m(A) 有限。

4. 补充条件：事件须可测，样本空间的几何度量须正且有限，并假设结果相对于该几何度量均匀分布。

在几何度量均匀模型下，对 Ω 内每个可测事件 A 成立。

1. 公式
   观察依据

   原片将相见计算称为几何概型，并继续用面积比求解。

2. 声音
   观察依据

   原片将相见计算称为几何概型，并继续用面积比求解。

在单位正方形上的联合均匀分布模型下，事件 A 的概率等于其面积除以正方形面积。

1. 到达时刻被归一化为 [0,1]

2. 样本空间为 Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}

3. 事件 A 为 Ω 中满足 |x-y|≤1/4 的区域

4. 补充建模假设：两人的到达时刻相互独立，且各自在 [0,1] 上均匀分布，因此联合分布在单位正方形上均匀。仅有到达时间窗口，或仅有两个边际均匀分布，都不足以推出这一联合模型。

对本题所给随机试验成立。

1. 公式
   观察依据

   [0,3] 例题比较事件长度 1 与总长度 3，并显示 P(A)=1/3。

2. 图示
   观察依据

   [0,3] 例题比较事件长度 1 与总长度 3，并显示 P(A)=1/3。

3. 公式
   观察依据

   [0,3] 例题比较事件长度 1 与总长度 3，并显示 P(A)=1/3。

4. 声音
   观察依据

   [0,3] 例题比较事件长度 1 与总长度 3，并显示 P(A)=1/3。

1. 公式

   $$\Omega=[0,3]$$
   解释

   确定样本空间为区间 [0,3]。

   步骤依据

   这一步依据画面中的区间及事件条件。

   视频直接表达
2. 公式

   $$m(\Omega)=3$$
   解释

   计算样本空间的几何度量。由于这是一维区间，几何度量取长度，因此 m(Ω)=3-0=3。

   步骤依据

   根据一维几何概率中 m 表示长度的规则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$A=\{x:x<1\}\cap[0,3]=[0,1)$$
   解释

   确定事件 A 对应的区域。投点坐标小于 1，且点又必须落在 [0,3] 内，所以事件区域为 [0,1)。

   步骤依据

   这一步依据画面中的区间及事件条件。

   依据视频推导
4. 公式

   $$m(A)=1$$
   解释

   计算事件 A 的长度。区间 [0,1) 的长度为 1-0=1。

   步骤依据

   一维情形下几何度量为长度。

   视频直接表达
5. 公式

   $$P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)}=\frac{1}{3}$$
   解释

   代入几何概率公式得到答案。

   步骤依据

   使用 P(A)=m(A)/m(Ω)。 这里假设点在区间上均匀分布。

   补充解释

该点坐标小于 1 的概率为 P(A)=1/3。

1. 公式
   观察依据

   解答构建单位正方形与相见带状区域，再代入面积得到 7/16。

2. 声音
   观察依据

   解答构建单位正方形与相见带状区域，再代入面积得到 7/16。

1. 原片直接采用几何模型，未分别写出独立及均匀到达分布假设；这里明确补充这些前提。

1. 公式

   $$4\mapsto0,\quad5\mapsto1$$
   解释

   先把题目中的下午 4:00–5:00 归一化为时间区间 [0,1]。

   步骤依据

   讲解以四点为零时刻，将随后的一小时表示为单位区间。

   补充解释
2. 公式

   $$\Omega=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\}$$
   解释

   令 x,y 分别为两人到达时刻，则所有可能结果构成单位正方形。

   步骤依据

   由 x,y 的定义和两人均在 [0,1] 内到达直接得到样本空间。

   视频直接表达
3. 公式

   $$A=\{(x,y)\in\Omega\mid |x-y|\le \tfrac14\}$$
   解释

   “能相见”等价于两人到达时间差不超过 15 分钟，即不超过 1/4 小时。

   步骤依据

   视频说明谁先到不确定，所以用绝对值表示时间差，并把 15 分钟换算为 1/4。

   视频直接表达
4. 公式

   $$P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)}$$
   解释

   本题转为几何概型，用事件区域面积除以样本空间面积。 补充建模假设：两人的到达时刻相互独立，且各自在 [0,1] 上均匀分布，因此联合分布在单位正方形上均匀。仅有到达时间窗口，或仅有两个边际均匀分布，都不足以推出这一联合模型。

   步骤依据

   在明确补充的独立均匀到达假设下，使用原片的面积比。

   补充解释
5. 公式

   $$m(\Omega)=1\times 1$$
   解释

   分母是单位正方形的面积。

   步骤依据

   由 Ω 的定义可知其为边长 1 的正方形。

   视频直接表达
6. 公式

   $$m(A)=1-\frac34\times\frac34$$
   解释

   分子用正方形总面积减去两个空白直角三角形的面积和；视频中把这两个空白三角形面积和写成 (3/4)(3/4)。 每个三角形的直角边均为 1−1/4=3/4，两者合计面积为 2·(1/2)(3/4)²=9/16。

   步骤依据

   原片从正方形中减去两个补集三角形。

   补充解释
7. 公式

   $$P(A)=\frac{1-\frac34\times\frac34}{1\times1}=\frac{7}{16}$$
   解释

   代入面积并化简，得到最终概率 7/16。

   步骤依据

   画面最后直接写出该等式和结果。

   视频直接表达

在独立均匀到达模型下，相见概率为 7/16。

1. 公式
   观察依据

   第一道应用题求 [0,3] 中坐标小于 1 的概率，并用数轴上的长度比回答。

2. 图示
   观察依据

   第一道应用题求 [0,3] 中坐标小于 1 的概率，并用数轴上的长度比回答。

3. 公式
   观察依据

   第一道应用题求 [0,3] 中坐标小于 1 的概率，并用数轴上的长度比回答。

4. 声音
   观察依据

   第一道应用题求 [0,3] 中坐标小于 1 的概率，并用数轴上的长度比回答。

在区间 [0,3] 上任投一点，求该点的坐标小于 1 的概率。

1. 样本空间为区间 [0,3]。

2. 随机试验是在该区间上任投一点。

3. 目标事件是投点坐标小于 1。

4. 点在 [0,3] 上均匀分布，这是几何模型所需的假设。

求目标事件的概率 P(A)。

1. 公式

   $$\Omega=[0,3],\quad m(\Omega)=3$$
   解释

   样本空间是一维区间，其几何度量为长度，等于 3。

   步骤依据

   一维几何概率中用长度作为 m。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A=[0,1),\quad m(A)=1$$
   解释

   坐标小于 1 且落在 [0,3] 内的点构成区间 [0,1)，其长度为 1。

   步骤依据

   这一步依据画面中的区间及事件条件。

   依据视频推导
3. 公式

   $$P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)}=\frac{1}{3}$$
   解释

   将事件长度与样本空间长度相除，得到概率。

   步骤依据

   几何概率公式 P(A)=m(A)/m(Ω)。

   视频直接表达

P(A)=\frac{1}{3}

可用直观比例检验：总区间长度为 3，满足条件的子区间长度为 1，因此所占比例为 1/3。

1. 字幕依据
   观察依据

   可见题干写出下午 4–5 点到达及等待 15 分钟；后续解答显示正方形、相见带及最终 7/16。

2. 公式
   观察依据

   可见题干写出下午 4–5 点到达及等待 15 分钟；后续解答显示正方形、相见带及最终 7/16。

甲乙两人约定在下午 4:00–5:00 间内在某地相见；其中一人先到后要等另一人 15 分钟，若另一人仍不到则可离去。求两人能相见的概率，结果用分数表示。

1. 两人到达时刻都在 4:00–5:00 内

2. 先到者最多等待 15 分钟

3. 以 4 点为 0 时刻、5 点为 1 时刻

4. x,y 分别表示两人到达时刻

5. 补充建模假设：两人的到达时刻相互独立，且各自在 [0,1] 上均匀分布，因此联合分布在单位正方形上均匀。仅有到达时间窗口，或仅有两个边际均匀分布，都不足以推出这一联合模型。

求事件“两人相见”的概率，并以分数表示。

1. 公式

   $$\Omega=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\}$$
   解释

   把到达时刻对 (x,y) 放入单位正方形样本空间。

   步骤依据

   由题设时间区间和变量定义得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A=\{(x,y)\in\Omega\mid |x-y|\le \tfrac14\}$$
   解释

   相见条件化为时间差不超过 1/4 小时。

   步骤依据

   15 分钟=1/4 小时，且先到者不确定，所以用绝对值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)}$$
   解释

   改用几何概型求概率。 补充建模假设：两人的到达时刻相互独立，且各自在 [0,1] 上均匀分布，因此联合分布在单位正方形上均匀。仅有到达时间窗口，或仅有两个边际均匀分布，都不足以推出这一联合模型。

   步骤依据

   在明确补充的独立均匀到达假设下，使用原片的面积比。

   补充解释
4. 公式

   $$m(\Omega)=1\times1$$
   解释

   样本空间面积为 1。

   步骤依据

   Ω 是边长为 1 的正方形。

   视频直接表达
5. 公式

   $$m(A)=1-\frac34\times\frac34$$
   解释

   事件区域面积用正方形面积减去两个空白三角形面积和。 每个三角形的直角边均为 1−1/4=3/4，两者合计面积为 2·(1/2)(3/4)²=9/16。

   步骤依据

   讲解者说明红色区域面积等于整体正方形面积减去两个空白三角形面积。

   补充解释
6. 公式

   $$P(A)=\frac{1-\frac34\times\frac34}{1\times1}=\frac{7}{16}$$
   解释

   代入并化简得最终答案。

   步骤依据

   画面最后写出完整算式与结果。

   视频直接表达

\frac{7}{16}

在独立均匀到达前提下，补集面积为 2·(1/2)·(3/4)²=9/16，所以相见概率为 1−9/16=7/16。仅有边际均匀分布不足以支持这一步。

1. 图示
   观察依据

   几何概率标题下的浅红框显示定义，红色指示点沿关键短语移动。

2. 动画
   观察依据

   几何概率标题下的浅红框显示定义，红色指示点沿关键短语移动。

1. 标题“几何概率模型”

2. 浅红色定义框

3. 文字中的 m(A)、Ω、几何度量、长度、面积、体积

4. 红色指示点

1. 指示点在不同定义要素之间移动，帮助观众定位“样本空间是某区域”“m(A) 表示几何度量”“可能性只与该区域几何度量成正比”等关键句。

1. 幻灯片主体文字保持不变。

2. 定义框颜色和版式保持不变。

该视觉呈现用于先建立几何概率模型的适用前提和核心符号，再引出后续概率公式。

1. 公式
   观察依据

   度量比公式出现在定义下方，指示点强调分子与分母。

2. 动画
   观察依据

   度量比公式出现在定义下方，指示点强调分子与分母。

1. 公式 P(A)=m(A)/m(Ω)

2. 右侧文字化解释

3. 红色指示点

1. 公式从无到有出现在定义框下方。

2. 指示点强调分子 m(A) 与分母 m(Ω) 的对应关系。

1. 上方定义文字仍保留。

2. 公式结构保持为事件度量除以样本空间度量。

该画面把前面的正比性假设具体化为可计算的概率公式，并说明不同维度下几何度量的含义。

1. 图示
   观察依据

   例题增加区间数轴，随后显示结果 P(A)=1/3。

2. 公式
   观察依据

   例题增加区间数轴，随后显示结果 P(A)=1/3。

3. 动画
   观察依据

   例题增加区间数轴，随后显示结果 P(A)=1/3。

1. 数轴

2. 刻度 0、1、2、3

3. 例题文字

4. 结果公式 P(A)=1/3

5. 红色指示点

1. 先出现例题文字，再出现数轴，最后出现结果公式。

2. 指示点从题意转到数轴，再转到结果，形成“题意—几何表示—计算结果”的顺序。

1. 样本空间始终是 [0,3]。

2. 事件条件始终是坐标小于 1。

数轴把抽象的一维几何概率转化为可见的长度比较：总长度 3，满足条件的长度 1，因此概率为 1/3。

1. 图示
   观察依据

   画面切换到第 16 题，题目要求以分数回答下午 4–5 点到达、等待 15 分钟的相见概率。

2. 公式
   观察依据

   画面切换到第 16 题，题目要求以分数回答下午 4–5 点到达、等待 15 分钟的相见概率。

3. 图示
   观察依据

   画面切换到第 16 题，题目要求以分数回答下午 4–5 点到达、等待 15 分钟的相见概率。

1. 104–129 秒引入题目，具体解答从 129 秒之后继续。

1. 填空题界面

2. 题号 16

3. 题目文本

4. [填空1] 输入位

5. “结果分数表示”提示

6. 作答按钮

7. 红色汽车图标

1. 画面从课件幻灯片切换为在线题目页面。

2. 讲解者开始朗读新题，但尚未进入求解。

1. 题目核心条件保持不变：4:00-5:00 到达、先到者等待 15 分钟、求相见概率。

视频从区间例题过渡到相见题的审题，随后章节继续求解。

1. 字幕依据
   观察依据

   确定时间原点时，同一道相见题仍显示在画面上。

1. 题干文本

2. 填空位 [填空1]

3. 红色星标

4. 按钮“作答”

1. 画面停留在题目页

2. 讲解者开始说明把 4 点定义为 0 时刻

1. 题目条件始终为 4:00–5:00 内到达且最多等 15 分钟

这一页给出原始应用题条件，为后续把时间归一化和建立样本空间提供题设。

1. 公式
   观察依据

   解答相对于四点定义 x、y，再写出正方形的时刻对集合。

1. 文字“记4点为0时刻”

2. 变量 x,y

3. 集合式 Ω

1. 先给出变量定义

2. 再写出 Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}

1. x,y 的含义保持不变

画面把应用题条件翻译成二维坐标语言，确定基本事件空间为单位正方形。

1. 图示
   观察依据

   正方形内的红色带标有 |x−y|≤1/4，并由图中的两条直线界定。

2. 声音
   观察依据

   正方形内的红色带标有 |x−y|≤1/4，并由图中的两条直线界定。

1. x 轴

2. y 轴

3. 单位正方形

4. 红色带状区域

5. 两条边界直线

6. 标注 |x-y|≤1/4

1. 先出现坐标与正方形

2. 再出现红色区域和边界方程标注

1. 正方形边界仍对应 0≤x≤1,0≤y≤1

2. 红色区域始终表示 A

该图把抽象不等式 |x-y|≤1/4 可视化为单位正方形内两条平行直线之间的区域。

1. 公式
   观察依据

   最终公式从 1 中减去两个三角形合计 (3/4)(3/4) 的面积，再除以 1，得到 7/16。

1. 图中标出四分之一小时的边界偏移，3/4 出现在最后面积算式中。这里把剩余直角边 1−1/4=3/4 的关系补写为明确步骤。

1. 概率公式

2. 分子面积表达式

3. 分母面积表达式

4. 最终分数 7/16

1. 先写出几何概型公式

2. 再代入面积表达式

3. 最后化简为 7/16

1. 分母始终是正方形面积 1×1

2. 分子始终表示红色区域面积

画面展示了几何概型的核心计算：用事件区域面积除以样本空间面积得到概率。

1. 声音
   观察依据

   讲解根据样本空间的维度改变所用几何度量。

2. 公式
   观察依据

   讲解根据样本空间的维度改变所用几何度量。

看到 m(A) 时误以为它总是面积或总是某种单一几何量。

m(A) 的具体含义取决于样本空间的维度：一维是长度，二维是面积，三维是体积。

1. 公式
   观察依据

   定义把公式与区域模型及概率正比于度量的前提联系起来。

2. 声音
   观察依据

   定义把公式与区域模型及概率正比于度量的前提联系起来。

忽略几何概率模型的前提，直接把任何事件概率都写成长度、面积或体积之比。

只有当样本空间本身是几何区域，且结果落入区域的可能性只与该区域几何度量成正比时，才适用本节公式。 补充条件：事件须可测，样本空间的几何度量须正且有限，并假设结果相对于该几何度量均匀分布。 补充建模假设：两人的到达时刻相互独立，且各自在 [0,1] 上均匀分布，因此联合分布在单位正方形上均匀。仅有到达时间窗口，或仅有两个边际均匀分布，都不足以推出这一联合模型。

1. 声音
   观察依据

   讲解同时考虑两种到达先后顺序，并使用绝对值。

若误以为一定是甲等乙或一定是乙等甲，就可能只写 x-y≤1/4 或 y-x≤1/4 这类单向条件。

视频强调先到者不确定，因此必须用 |x-y|≤1/4 同时涵盖两种情形。

1. 声音
   观察依据

   讲解将等待的分钟数换成到达时刻所用的小时单位。

若把 15 分钟直接当作 15 或与其他以小时计的量混用，会导致区域边界错误。

因为 x,y 以小时计，所以 15 分钟必须换算为 1/4 小时。

1. 公式
   观察依据

   定义之后，在 34 秒开始给出度量比公式。

2. 声音
   观察依据

   定义之后，在 34 秒开始给出度量比公式。

几何概率公式是定义中正比性条件的直接量化表达：既然可能性只与几何度量成正比，就可把事件概率写成事件度量与样本空间度量之比。

1. 公式
   观察依据

   公式旁的说明按维度选择长度、面积或体积。

2. 声音
   观察依据

   公式旁的说明按维度选择长度、面积或体积。

通用公式 P(A)=m(A)/m(Ω) 包含按维度选择具体几何度量的方法：一维取长度，二维取面积，三维取体积。

1. 公式
   观察依据

   随后数轴例题应用长度比，得到 1/3。

2. 声音
   观察依据

   随后数轴例题应用长度比，得到 1/3。

例题把抽象公式落实到一维区间场景，通过长度比演示几何概率计算。

1. 图示
   观察依据

   区间例题之后，画面引入相见问题。

2. 声音
   观察依据

   区间例题之后，画面引入相见问题。

1. 104–129 秒引入题目，具体解答从 129 秒之后继续。

第一个长度比例题引出相见问题，后续用单位正方形的几何模型求解。

1. 声音
   观察依据

   时间原点的选择先于构建单位正方形的坐标范围。

2. 公式
   观察依据

   时间原点的选择先于构建单位正方形的坐标范围。

以下午 4 点为原点、用小时计时，这一小时到达区间变成 [0,1]，时刻对空间随之变成单位正方形。

1. 公式
   观察依据

   解答先定义正方形，再确定绝对值时间差条件对应的相见子集。

事件 A 是样本空间 Ω 中满足相见条件的子集。

1. 图示
   观察依据

   相见带状区域先于面积比计算绘出。

2. 公式
   观察依据

   相见带状区域先于面积比计算绘出。

画出的相见带提供事件几何形状；只有在联合均匀分布前提下，它的面积才成为概率。补充建模假设：两人的到达时刻相互独立，且各自在 [0,1] 上均匀分布，因此联合分布在单位正方形上均匀。仅有到达时间窗口，或仅有两个边际均匀分布，都不足以推出这一联合模型。

1. 公式
   观察依据

   例题解答将两个区域面积代入通用度量比公式。

画出的相见带提供事件几何形状；只有在联合均匀分布前提下，它的面积才成为概率。补充建模假设：两人的到达时刻相互独立，且各自在 [0,1] 上均匀分布，因此联合分布在单位正方形上均匀。仅有到达时间窗口，或仅有两个边际均匀分布，都不足以推出这一联合模型。

1. 公式
   观察依据

   开头定义介绍几何概率及概率与度量成正比的前提。

2. 声音
   观察依据

   开头定义介绍几何概率及概率与度量成正比的前提。

1. 几何概率模型的定义
2. 几何概率模型的正比性假设

1. 公式
   观察依据

   公式将分子解释为事件度量，分母解释为样本空间度量。

2. 声音
   观察依据

   公式将分子解释为事件度量，分母解释为样本空间度量。

1. 几何概率计算公式
2. 几何概率模型的正比性假设

1. 声音
   观察依据

   维度说明明确比较长度、面积与体积。

2. 公式
   观察依据

   维度说明明确比较长度、面积与体积。

1. 不同维度下几何度量的对应关系
2. 几何概率计算公式

1. 公式
   观察依据

   幻灯片呈现 [0,3] 例题及其结果 1/3。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片呈现 [0,3] 例题及其结果 1/3。

1. 在区间 [0,3] 上任投一点求坐标小于 1 的概率
2. 一维几何概率例题的计算过程
3. 几何概率计算公式

1. 图示
   观察依据

   第 16 题在区间例题之后引入两人等待的相见问题。

2. 声音
   观察依据

   第 16 题在区间例题之后引入两人等待的相见问题。

1. 104–129 秒引入题目，具体解答从 129 秒之后继续。

1. 下一道几何概率填空题界面

1. 声音
   观察依据

   讲解通过绝对值兼顾不能预先确定的先后到达顺序。

1. 事件 A 的代数刻画
2. 不能只写单向不等式而忽略谁先到不确定

1. 公式
   观察依据

   时刻对表达式将 x、y 限制在单位区间。

1. 样本空间 Ω 的定义

1. 公式
   观察依据

   原片将几何概率比值用于平面的相见区域。

2. 声音
   观察依据

   原片将几何概率比值用于平面的相见区域。

1. 几何概型的概率公式
2. 本题可按几何概型求解

1. 公式
   观察依据

   最后显示的相见概率为 7/16。

1. 甲乙 4:00–5:00 相见问题
2. 求两人能相见的概率

1. 图示
   观察依据

   带状区域边界标为 y−x=1/4 与 x−y=1/4。

1. |x-y|≤1/4 的区域解释
2. 事件 A 的几何图示