隐函数求导

1. 公式
   观察依据

   x appears in $x^2+y^2=1$, in the explicit branches, 且 in $\frac{d}{dx}$

2. 声音
   观察依据

   演讲者提到满足该关系的点 x 和 y，并提到对 x 求导

x

水平轴上的自变量坐标；也是 $\frac{d}{dx}$ 中的微分变量

考虑所示圆关系时的实数值；在显式分支公式中，$-1\le x\le 1$

1. 公式
   观察依据

   y appears in $x^2+y^2=1$ 且 in $y=\sqrt{1-x^2}$, $y=-\sqrt{1-x^2}$

2. 声音
   观察依据

   演讲者说该圆并未被明确定义为 x 的函数，且每个 x 可能有两个可能的 y 值

y

垂直轴上的因变量坐标；在隐函数求导过程中被视为依赖于 x

满足所示关系的实数值；在显式分支公式中，正分支为 $0\le y\le 1$，负分支为 $-1\le y\le 0$

1. 公式
   观察依据

   $\frac{d}{dx}$ 写在方程两边以及各项之前

2. 声音
   观察依据

   演讲者说要对两边应用微分算子，并反复说对 x 求导

$\frac{d}{dx}$

关于变量 x 的微分算子

应用于含 x 的表达式以及被视为 x 函数的 y

1. 公式
   观察依据

   标题“Implicit Differentiation”写在示例上方

2. 声音
   观察依据

   演讲者将该方法命名为隐函数求导

Implicit Differentiation

正在介绍的方法名称：在不首先将 y 显式解为 x 的函数的情况下对关系式求导

概念标签而非代数符号

1. 公式
   观察依据

   $x^2+y^2=1$ 显示在左上角，并在图形旁再次出现

2. 声音
   观察依据

   演讲者陈述了该方程，并说其图像是单位圆

$x^2+y^2=1$

笛卡尔平面上以原点为中心的单位圆方程

满足该方程的有序对 $(x,y)$ 的集合

1. 公式
   观察依据

   $y=\sqrt{1-x^2}$ 写在黑板右侧

2. 声音
   观察依据

   演讲者说可以将该关系拆分为两个单独的 x 函数

$y=\sqrt{1-x^2}$

表示单位圆上半圆的显式正平方根分支

定义域为 $-1\le x\le 1$ 且 $y\ge 0$ 的 x 的函数

1. 公式
   观察依据

   $y=-\sqrt{1-x^2}$ 写在正分支下方

2. 声音
   观察依据

   演讲者说另一个分支是 $1-x^2$ 的负平方根

$y=-\sqrt{1-x^2}$

表示单位圆下半圆的显式负平方根分支

定义域为 $-1\le x\le 1$ 且 $y\le 0$ 的 x 的函数

1. 公式
   观察依据

   The differentiated equation ends with $=0$ after $\frac{d}{dx}[1]$

2. 声音
   观察依据

   演讲者说常数的导数为零，因为它不随 x 变化

0

常数右边项 1 关于 x 的导数值

对常数求导得到的实数结果

1. 声音
   观察依据

   演讲者开始讨论第一项，并说幂法则适用于 $\frac{d}{dx}(x^2)$

2. 公式
   观察依据

   可见项 $\frac{d}{dx}[x^2]$，但在片段结束前未显示完成的导数值

1. The final evaluated form of $\frac{d}{dx}[x^2]$ is not reached within this 180-second excerpt.

$\frac{d}{dx}[x^2]$

求导后圆方程中显式 x 项的导数

关于 x 的普通单变量微分

1. 公式
   观察依据

   x 出现在 $x^2+y^2=1$、$d/dx[x^2]$、2x 以及 $dy/dx$ 记号中。

2. 图示
   观察依据

   圆图的横轴标记为 x。

x

自变量 / 水平坐标。

隐式方程及关于 x 的导数中的实变量。

1. 公式
   观察依据

   y 出现在 $x^2+y^2=1$、$d/dx[y^2]$、2y 以及 $dy/dx$ 记号中。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说 y 不是常数，而是随 x 变化。

y

在隐函数求导中被视为 x 的函数的因变量。

由 $x^2+y^2=1$ 隐式定义的函数 $y(x)$。

1. 公式
   观察依据

   $dy/dx$ 明确写在链式法则展开式和最终微分方程中。

2. 声音
   观察依据

   讲解者称其为 y 对 x 的导数，以及任意点处切线的斜率。

$\frac{dy}{dx}$

因变量 y 关于自变量 x 的导数。

通过隐函数求导得到的斜率函数。

1. 公式
   观察依据

   $x^2+y^2=1$ 显示了两次，一次作为文本，一次在图形旁边

2. 图示
   观察依据

   在白色 x 轴和 y 轴上绘制了一个以原点为中心的蓝绿色圆

3. 声音
   观察依据

   演讲者说绘制所有满足该关系的点 x 和 y 会得到一个单位圆

视频引入方程 $x^2+y^2=1$ 作为坐标之间的关系，并将其图像识别为以原点为中心的单位圆。重点在于圆是满足该方程的所有点 $(x,y)$ 的集合。

1. 图像取自在笛卡尔平面上，横轴为 x，纵轴为 y。

2. 显示的圆半径为 1，中心在原点。

1. 声音
   观察依据

   演讲者说这样定义的圆不是一个函数，也不是 y 被明确定义为 x 的函数

2. 声音
   观察依据

   演讲者补充说，对于任何 x 值，实际上有两个可能的 y 满足该关系

3. 图示
   观察依据

   当演讲者讨论给定 x 对应多个 y 值时，完整的圆仍然可见

1. 口头表述“对于任何 x 值”较为宽泛；视觉上，双 y 情况适用于圆的内部 x 值，而非每一个实数 x。

关系式 $x^2+y^2=1$ 并没有在整个圆上将 y 显式定义为 x 的单值函数。在其意图意义上，大多数允许的 x 值对应两个 y 值，一个在上半圆，一个在下半圆。

1. 该关系被视为 xy 平面上的曲线，而不是单个显式公式 $y=f(x)$。

2. 讨论涉及整个圆，而不仅仅是一个半圆。

1. 作为关系式图像的单位圆

1. 公式
   观察依据

   $y=\sqrt{1-x^2}$ 写在右侧

2. 公式
   观察依据

   $y=-\sqrt{1-x^2}$ 写在其下方

3. 声音
   观察依据

   演讲者说你可能会想把它拆分成两个单独的 x 函数，并分别对它们求导

求切线斜率的一种可能途径是解出圆方程中的 y，并将上半部分和下半部分视为 x 的单独函数。视频将此呈现为一种有效但不如隐函数求导方便的替代方案。

1. 每个分支在 $1-x^2\ge 0$ 的区间上被视为 x 的函数。

2. 正分支对应上半圆，负分支对应下半圆。

1. 作为关系式图像的单位圆
2. 为什么圆不是 x 的显式函数

1. 声音
   观察依据

   演讲者说他想利用链式法则来隐式求导，这样他就不必显式地将 y 定义为 x 的函数

2. 公式
   观察依据

   标题“Implicit Differentiation”写在示例上方

3. 声音
   观察依据

   演讲者说这实际上只是链式法则的应用

隐函数求导被介绍为直接对关联 x 和 y 的方程求导的过程，而不必先解出 y。视频强调该方法不是一个无关的新规则，而是当 y 被视为依赖于 x 时链式法则的应用。

1. 起点是涉及 x 和 y 的方程或关系式。

2. 目标是对 x 求导，同时允许 y 保持隐式状态。

1. 为什么圆不是 x 的显式函数
2. 将圆拆分为两个显式函数

1. 声音
   观察依据

   演讲者说做法就是字面上将微分算子应用到这个方程的两边

2. 公式
   观察依据

   $\frac{d}{dx}[x^2+y^2]=\frac{d}{dx}[1]$ 写在原始方程下方

解题设置始于对圆方程两边应用 $\frac{d}{dx}$。这保持了等式成立，并将原始关系转化为求导后的关系，然后可以逐项简化。

1. 原始方程的两边都关于同一个变量 x 求导。

2. 该方程被视为曲线上各点之间的恒等式。

1. 隐函数求导作为基于链式法则的关系式求导
2. 作为关系式图像的单位圆

1. 声音
   观察依据

   演讲者说如果我取两项之和的导数，那就等同于取导数之和

2. 公式
   观察依据

   $\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=$ 写在下一行

左边使用求导的和法则展开，分离 x 项和 y 项，以便分别处理。

1. 被求导的表达式是有限的项之和。

2. 求导是关于 x 进行的。

1. 第一步：对两边关于 x 求导

1. 公式
   观察依据

   求导后的方程完成为 $\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=0$

2. 声音
   观察依据

   演讲者说这将等于常数关于 x 的导数，因为它不随 x 变化，所以我们只得到零

因为原始方程的右边是常数 1，所以它关于 x 的导数是 0。这在评估各个项之前得到了中间的求导方程。

1. 右边关于 x 是常数。

2. 求导是关于 x 的普通微分。

1. 第一步：对两边关于 x 求导

1. 公式
   观察依据

   板书显示 $\frac{d}{dx}[x^2+y^2]=\frac{d}{dx}[1]$，然后是 $\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者解释对圆方程两边关于 x 求导。

要对隐式定义 y 关于 x 的方程求导，需对两边应用 $d/dx$，并将 y 视为 x 的函数而非常数。

1. 关系式为 $x^2+y^2=1$。

2. 求导是关于 x 进行的。

3. 允许 y 依赖于 x。

1. x
2. y
3. $\frac{d}{dx}$
4. $x^2+y^2=1$

1. 公式
   观察依据

   在 $\frac{d}{dx}[x^2]$ 下方，板书写着 2x。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说结果是 2 乘以 x 的一次方，即 2x。

由于 x 是自变量，$x^2$ 项可以直接通过幂法则求导。

1. 求导是关于 x 进行的。

1. x
2. $\frac{d}{dx}$

1. 公式
   观察依据

   板书将 $\frac{d}{dx}[y^2]$ 展开为 $\frac{d(y^2)}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者反复强调这只是链式法则，并将 $y^2$ 重写为 ($y(x)$)^2。

因为 y 依赖于 x，平方项是一个复合函数：首先对 $y^2$ 关于 y 求导，然后乘以 $dy/dx$。

1. y 是 x 的可微函数。

2. 表达式 $y^2$ 被视为 ($y(x)$)^2。

1. y
2. $\frac{dy}{dx}$
3. $\frac{d}{dx}$

1. 公式
   观察依据

   底行变为 $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说所有这些都将等于零。

在对 $x^2+y^2=1$ 两边关于 x 求导后，结果是一个关于 $dy/dx$ 的线性方程。

1. 从 $x^2+y^2=1$ 开始。

2. 对 $y^2$ 项使用链式法则。

1. $x^2+y^2=1$ 的隐函数求导设置
2. $x^2$ 关于 x 的导数
3. $d/dx[y^2]$ 的链式法则处理

1. 声音
   观察依据

   讲解者说现在我们有一个包含 $dy/dx$ 的方程，这就是我们本质上要求解的目标。

2. 公式
   观察依据

   最终显示的方程仅在宣布重排后才隔离未知数，在截止前未完全写出。

1. 代数隔离步骤已宣布但未在提供的 180 秒片段内完成。

一旦微分方程包含 $dy/dx$，下一步就是代数求解 $dy/dx$；讲解者指出 $dy/dx$ 是任意点处切线的斜率。

1. 微分方程必须包含 $dy/dx$。

2. 求解 $dy/dx$ 以获得斜率函数。

1. 单位圆方程的微分形式
2. $\frac{dy}{dx}$

1. 声音
   观察依据

   演讲者说绘制所有满足该关系的点 x 和 y 会得到一个单位圆

2. 图示
   观察依据

   在坐标轴上绘制了一个居中的圆

The set of points $(x,y)$ satisfying $x^2+y^2=1$ graphs as a unit circle centered at the origin.

1. 该方程在笛卡尔平面中被解释。

2. 坐标轴标记为 x 和 y。

对于满足该方程的所有有序对 $(x,y)$。

1. 声音
   观察依据

   演讲者说这样定义的圆不是一个函数，也不是 y 被明确定义为 x 的函数

2. 声音
   观察依据

   演讲者说对于任何 x 值，你实际上有两个可能的 y 满足该关系

1. 口头短语“任何 x 值”比该关系的数学精确定义域更宽泛；视觉上下文表明是圆上的 x 值，特别是内部的 x 值。

关系式 $x^2+y^2=1$ 并没有在整个圆上将 y 呈现为 x 的单一显式函数；相反，允许的 x 值通常对应两个 y 值。

1. 该关系被视为整个圆，而不是选定的一个分支。

对于对应于圆上点的 x 值，特别是那些 $|x|<1$ 的值，有两个相关的 y 值。

1. 声音
   观察依据

   演讲者说他将利用链式法则来隐式求导

2. 声音
   观察依据

   演讲者说隐函数求导实际上只是链式法则的应用

隐函数求导被呈现为不是一个独立的神秘规则，而是当对涉及 y 的表达式关于 x 求导时直接使用链式法则。

1. y 被视为隐式依赖于 x。

2. 求导是关于 x 进行的。

对于其中 y 被视为 x 的隐函数的关系式。

1. 公式
   观察依据

   求导后方程的右边写为 0

2. 声音
   观察依据

   演讲者说常数的导数为零，因为它不随 x 变化

在这个例子中，$\frac{d}{dx}[1]=0$。

1. 原始方程的右边是常数 1。

2. 求导是关于 x 进行的。

对于常数函数 1。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我们假设 y 随 x 变化。Y 不是某种常数。”

当对 $x^2+y^2=1$ 关于 x 求导时，y 必须被视为函数 $y(x)$，而不是常数。

1. 方程是关于 x 进行求导的。

2. y 通过方程与 x 隐式相关。

对于所讨论的隐式关系，y 随 x 变化。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“这是任意点处切线的斜率。”

通过隐函数求导得到的量 $dy/dx$ 给出了曲线上任意点处切线的斜率。

1. 曲线在所考虑的点处是可微的。

2. $dy/dx$ 是关于 x 计算得出的。

在导数存在的任意点。

1. 公式
   观察依据

   黑板推导出 $2x+2y(dy/dx)=0$，然后写出 $dy/dx=-x/y$。

2. 声音
   观察依据

   演讲者叙述减去 2x 并除以 2y 以隔离 $dy/dx$。

对于 $x^2+y^2=1$，将 y 视为 x 的函数，$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$。

1. $x^2+y^2=1$。

2. y 对 x 可微。

3. 使用商形式时 $y\neq 0$。

在隐式关系定义 $y(x)$ 的可微分支的点处。

1. 公式
   观察依据

   黑板将 $x=\sqrt{2}/2$ 和 $y=\sqrt{2}/2$ 代入 -x/y 并化简为 -1。

2. 声音
   观察依据

   演讲者指出那里的切线斜率为负一。

At the point $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ on $x^2+y^2=1$, the tangent slope is -1.

1. 该点位于单位圆上。

2. 使用 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$。

对于这个特定的点。

1. 公式
   观察依据

   黑板显示了从 $x^2+y^2=1$ 到 $\frac{d}{dx}[x^2+y^2]=\frac{d}{dx}[1]$ 再到 $\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=0$ 的进程

2. 声音
   观察依据

   演讲者叙述了对两边应用微分算子，将左边拆分为两个导数，并将右边评估为零

1. 在此摘录中，推导在评估 $\frac{d}{dx}[x^2]$ 和 $\frac{d}{dx}[y^2]$ 之前停止。

1. 公式

   $$x^2+y^2=1$$
   解释

   从定义单位圆的给定关系开始。

   步骤依据

   这是片段开始时陈述并显示的方程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2+y^2]=\frac{d}{dx}[1]$$
   解释

   对方程两边应用关于 x 的微分算子。

   步骤依据

   演讲者明确说要对方程两边应用微分算子。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d}{dx}[1]$$
   解释

   将左边和的导数分离为两个导数之和。

   步骤依据

   演讲者陈述了两项之和的导数等于导数之和。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=0$$
   解释

   用 0 替换右边的导数，因为常数 1 的导数为零。

   步骤依据

   演讲者说右边是常数的导数，因此等于零。

   视频直接表达

到摘录结束时，圆方程已转化为求导后的关系式 $\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=0$，为下一步评估每一项做好了准备。

1. 公式
   观察依据

   $y=\sqrt{1-x^2}$ 和 $y=-\sqrt{1-x^2}$ 写在黑板上

2. 声音
   观察依据

   演讲者说可以将该关系拆分为两个 x 的函数并分别求导

1. 在此摘录中未显示任一分支的实际导数计算。

1. 公式

   $$x^2+y^2=1$$
   解释

   从相同的圆关系开始。

   步骤依据

   这是正在讨论的原始方程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$y=\sqrt{1-x^2}\quad\text{or}\quad y=-\sqrt{1-x^2}$$
   解释

   解出 y 以获得作为 x 的单独函数的上半圆和下半圆。

   步骤依据

   演讲者明确提议将该关系拆分为两个单独的 x 函数。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{dy}{dx}\text{ for each \text{分支}}$$
   解释

   如果想通过这种方式获得切线斜率，则分别对每个分支求导。

   步骤依据

   演讲者说分别对每个分支求导将允许找到任意点处切线的斜率。

   视频直接表达

视频承认了一种有效的显式函数途径，但仅将其作为引入隐函数求导的动机，而没有在此进一步展开。

1. 公式
   观察依据

   板书序列：$x^2+y^2=1$ -> $d/dx[x^2+y^2]=d/dx[1]$ -> $d/dx[x^2]+d/dx[y^2]=0$ -> $2x + d(y^2)/dy * dy/dx = 0$ -> $2x+2y dy/dx=0$。

2. 声音
   观察依据

   旁白遵循相同的顺序，并强调对 $y^2$ 项使用链式法则。

1. 隔离 $dy/dx$ 的最终重排已宣布但在片段结束前未展示。

1. 公式

   $$x^2+y^2=1$$
   解释

   从给定的单位圆隐式方程开始。

   步骤依据

   板上显示的给定方程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2+y^2]=\frac{d}{dx}[1]$$
   解释

   对两边关于 x 求导。

   步骤依据

   对两边应用相同算子保持等式成立。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=0$$
   解释

   将导数拆分到和中，并利用常数的导数为 0。

   步骤依据

   微分的线性性质和常数的导数。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2]=2x$$
   解释

   直接对 $x^2$ 项求导。

   步骤依据

   关于 x 的幂法则。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{d}{dx}[y^2]=\frac{d(y^2)}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}$$
   解释

   因为 y 依赖于 x，使用链式法则重写 $y^2$ 项。

   步骤依据

   对 ($y(x)$)^2 应用链式法则。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\frac{d(y^2)}{dy}=2y$$
   解释

   对外层函数 $y^2$ 关于 y 求导。

   步骤依据

   中间变量 y 的幂法则。

   视频直接表达
7. 公式

   $$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$
   解释

   将两个求导部分代回方程。

   步骤依据

   代数代入拆分后的导数方程。

   视频直接表达

隐式方程 $x^2+y^2=1$ 求导得到 $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$，使得 $dy/dx$ 准备好被求解。

1. 公式
   观察依据

   可见序列：$2x+2y(dy/dx)=0$，然后 $2y(dy/dx)=-2x$，然后 $dy/dx=(-2x)/(2y)$，然后 $dy/dx=-x/y$。

2. 声音
   观察依据

   演讲者解释从两边减去 2x 并将两边除以 2y。

1. 公式

   $$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$
   解释

   从黑板上已有的求导后的隐式方程开始。

   步骤依据

   之前对 $x^2+y^2=1$ 进行的隐函数求导。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2y\frac{dy}{dx}=-2x$$
   解释

   将 2x 项移到右边。

   步骤依据

   两边减去 2x。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2y}$$
   解释

   除以系数 2y 以隔离 $dy/dx$。

   步骤依据

   两边除以 2y，假设 $y\neq 0$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$
   解释

   消去公因子 2。

   步骤依据

   分数的代数化简。

   视频直接表达

单位圆的隐式导数为 $dy/dx=-x/y$。

1. 公式
   观察依据

   黑板在标记点旁边写下 $m=-(\sqrt{2}/2)/(\sqrt{2}/2)=-1$。

2. 声音
   观察依据

   演讲者将坐标代入 -x/y 并得出斜率为 -1。

1. 公式

   $$m=\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$
   解释

   使用之前推导的隐式导数作为斜率公式。

   步骤依据

   来自 dv-solve-dydx。

   视频直接表达
2. 公式

   $$m=-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
   解释

   代入 $x=\sqrt{2}/2$ 和 $y=\sqrt{2}/2$。

   步骤依据

   所选点在单位圆上有标记。

   视频直接表达
3. 公式

   $$m=-1$$
   解释

   分子和分母相等，因此它们的商为 1，保留前面的负号。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达

$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 处的切线斜率为 -1。

1. 公式
   观察依据

   解题示例围绕 $x^2+y^2=1$ 及其求导形式构建

2. 图示
   观察依据

   绘制了一个单位圆，并在圆的右下部分的一个点上添加了一条黄色切线段

3. 声音
   观察依据

   演讲者将问题框架为找出单位圆上任意一点切线的斜率

1. 在此摘录中仅设置了示例；在 180 秒之前未达到切线斜率的最终公式。

给定单位圆关系式 $x^2+y^2=1$，确定如何找到圆上任意一点的切线斜率。

1. 关系式为 $x^2+y^2=1$。

2. 图像是以原点为中心的单位圆。

3. 所需的几何量是圆上某点切线的斜率。

设置隐函数求导，以便在不先将圆解为 x 的显式函数的情况下找到切线斜率。

1. 公式

   $$x^2+y^2=1$$
   解释

   识别需要求切线斜率的关系式。

   步骤依据

   演讲者以陈述此方程并展示其单位圆图像开场。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Not } y=f(x) \text{ globally}$$
   解释

   注意整个圆不是一个 x 的显式函数，因为典型的 x 对应两个 y 值。

   步骤依据

   演讲者明确将圆与 y 关于 x 的显式函数定义进行对比。

   视频直接表达
3. 公式

   $$y=\sqrt{1-x^2},\; y=-\sqrt{1-x^2}$$
   解释

   提及拆分为上下分支的可能变通方法。

   步骤依据

   演讲者写下这两个公式作为诱人的显式方法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2+y^2]=\frac{d}{dx}[1]$$
   解释

   与其解出 y，不如对原始关系式两边关于 x 求导。

   步骤依据

   演讲者说这是隐式利用链式法则的方法。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=0$$
   解释

   使用和法则展开左边，并将右边简化为常数的导数。

   步骤依据

   演讲者口头陈述和法则并在黑板上写出结果方程。

   视频直接表达

在这 180 秒的摘录中，示例达到了求导设置 $\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=0$，但尚未显示最终的斜率公式。

设置可以与黑板内容核对：原始方程、两个显式分支、标题“Implicit Differentiation”以及求导行在片段结束时都清晰可见。

1. 公式
   观察依据

   示例工作是单位圆 $x^2+y^2=1$，右侧也显示了显式分支。

2. 声音
   观察依据

   讲解者逐步推导这个确切方程的求导过程。

1. 此片段中未代入数值点；示例保持符号化。

找到单位圆 $x^2+y^2=1$ 的微分关系，并准备求解 $dy/dx$。

1. $x^2+y^2=1$

2. y 被视为 x 的函数

3. 关于 x 求导

获得一个包含 $dy/dx$ 的方程，可用于求解切线斜率。

1. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2+y^2]=\frac{d}{dx}[1]$$
   解释

   对圆方程两边应用 $d/dx$。

   步骤依据

   讲解者陈述的隐函数求导程序。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=0$$
   解释

   分离左边导数并评估右边导数。

   步骤依据

   求和法则和常数的导数。

   视频直接表达
3. 公式

   $$2x+\frac{d(y^2)}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=0$$
   解释

   评估 x 项并通过链式法则展开 y 项。

   步骤依据

   幂法则加上 $y(x)$ 的链式法则。

   视频直接表达
4. 公式

   $$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$
   解释

   用 2y 替换 $\frac{d(y^2)}{dy}$。

   步骤依据

   对 $y^2$ 关于 y 应用幂法则。

   视频直接表达

$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

讲解者在概念上检查结果方程包含 $dy/dx$，并说下一步是求解它。

1. 公式
   观察依据

   例题使用 $x^2+y^2=1$ 并在 ($\sqrt{2}/2$,$\sqrt{2}/2$) 处求值 $dy/dx$。

2. 声音
   观察依据

   演讲者将任务框架为求导数，然后求单位圆上某点的斜率。

给定 $x^2+y^2=1$，隐式求 $dy/dx$ 并确定 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 处的切线斜率。

1. 曲线方程：$x^2+y^2=1$。

2. 曲线上的点：$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

3. y 被视为 x 的函数。

获得 $dy/dx$ 关于 x 和 y 的显式公式。在给定点处对该公式求值。

1. 公式

   $$\frac{d}{dx}[x^2+y^2]=\frac{d}{dx}[1]$$
   解释

   对圆方程两边关于 x 求导。

   步骤依据

   隐函数求导对等式两边应用 $d/dx$。

   视频直接表达
2. 公式

   $$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$
   解释

   将 $x^2$ 求导为 2x，将 $y^2$ 求导为 $2y(dy/dx)$；1 的导数为 0。

   步骤依据

   幂法则加上 $y^2$ 的链式法则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$
   解释

   解线性方程求 $dy/dx$。

   步骤依据

   减去 2x 并除以 2y。

   视频直接表达
4. 公式

   $$m=-\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$$
   解释

   将点坐标代入导数公式。

   步骤依据

   $dy/dx$ 给出曲线上某点的切线斜率。

   视频直接表达