数学建模 / 英语

如何在二维变量中绘制线性不等式图像——基础介绍，代数

The Organic Chemistry Tutor · YouTube · 7:05

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视频中的要点

01在 xy 平面上作不等式的图象
02x = 常数给出一条竖直边界
03y = 常数给出一条水平边界

来自学习笔记

x = c

x = 常数给出一条竖直边界

选中时刻

利用斜率描出边界线上的点

建议预备知识

不等式在数轴上的基础图像表示
熟悉 xy 坐标平面
理解严格不等号与非严格不等号的区别
对笛卡尔坐标系的基本理解
对线性方程及斜率的认识
二元一次方程
斜截式 $y=mx+b$
将斜率理解为纵坐标变化量与横坐标变化量之比
在坐标平面上描点
不等式真假的基本判断
笛卡尔坐标平面
直线的斜截式
代入不等式
实数在数轴上的顺序

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本节为时长120秒的白板课，介绍如何在xy平面上绘制简单的线性不等式图像。课程依次讲解三个例题： $x > 3$ 、 $x \leq -2$ 和 $y > -4$ 。核心要点包括：固定x得到垂直边界，固定y得到水平边界；严格不等式使用虚线，含等号的不等式使用实线；解集是一个阴影填充的半平面，而不仅限于边界线本身。本视频片段演示了一元与二元线性不等式的图像绘制方法。首先结束 $y > -4$ 的图像绘制，接着引入 $y \le 2$ ，说明非严格不等式使用实线边界，且‘小于’条件要求在边界线下方涂阴影；随后将重点转向二元不等式，以 $y > x - 2$ 为例：主讲人从斜截式中识别斜率与 y 截距，用‘纵坐标变化量比横坐标变化量’的方法描点，对严格不等式画出虚线边界，并将边界线上方区域涂阴影，以表示解集。本 120秒白板片段讲解一个代数例题：绘制二元线性不等式 $y \leq 2x - 3$ 的图像。讲解者首先从斜截式中读出边界直线的斜率和 y 截距，然后绘制坐标平面，并在 $y=2x-3$ 上利用纵坐标变化量（上升量）2 除以横坐标变化量（运行量）1 描点。由于该不等式包含等号，边界线以实心红色直线绘制。解集区域用蓝色向下的箭头标示在该直线下方。随后，该片段引入测试点法作为确定阴影区域的另一种方法，并标出 $(0,0)$ 和 $(4,-2)$ ，并将原点代入，得到 $0 \leq -3$ ，表明原点所在的一侧不属于解集。这段持续65秒的白板讲解，演示了线性不等式 $y \le 2x - 3$ 的图像绘制过程。首先读出边界直线的斜率 $m = 2$ 和 y 截距 $b = -3$ ；接着测试点 (0,0)，得到错误的不等式陈述 $0 \le -3$ ，从而排除该区域。随后测试点 (4,-2)，化简为 -2 ≤ 5，判定该陈述为真，并对包含该点的半平面进行阴影填充。最后总结两种等价方法：一是使用测试点判断，二是直接对直线下方区域着色，因为不等式已解为 $y \le 2x - 3$ 。

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章节

0:00在xy平面上绘制不等式图像的入门介绍 0:08例题1：绘制

x > 3

的图像 0:55例题2：绘制

x \leq -2

的图像 1:30例题3：绘制

y > -4

的图像 2:00前一个例子的结论 2:05绘制

y \le 2

2:34二元不等式简介 2:46斜截式与描点法 3:37绘制边界线并进行阴影填充 4:00引入不等式

y \leq 2x - 3

4:09确定斜率

m=2

和 y 轴截距

b=-3

4:13画出坐标平面 4:28利用斜率描出边界线上的点 5:00画出实线边界 5:09将直线下方的区域涂上阴影 5:18引入测试点

(0,0)

和

(4,-2)

5:46代入原点并化简得到

0 \leq -3

6:00边界直线及原点处的测试失败 6:15测试点 (4,-2)6:50选择阴影区域的两种方法

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

本课从一元不等式出发，转向二维的xy平面。讲解者指出，本课目标是在x-y坐标系中绘制不等式图像，并引出解集将表现为平面上的一个区域，而非单个点或区间。

第一个例子是 $x > 3$ 。讲解者将其与数轴上的图像进行对比，并提问：当同时存在 x 轴和 y 轴时，会发生什么？这引出了核心问题：仅对一个坐标施加的条件，在二维平面上如何呈现？

边界由将不等式替换为等式得到： $x = 3$ 。讲解者明确指出这是一条竖直线。画面上绘制了一个坐标平面，并在 $x = 3$ 处画出一条竖直边界线。

由于该不等式是严格的，边界线用虚线而非实线绘制。视频中给出的理由是：x 大于 3，但不等于 3，因此直线本身被排除在解集之外。

接着根据方向确定解区域。由于更大的 x 值位于右侧，讲解者指出应向右涂阴影。画面上，蓝色箭头从虚线竖直线向右延伸，表示半平面 $x > 3$ 。

讲解者补充了一条通用原则：由于不等式具有多个解，必须涂阴影以表示相应区域。这强调了不等式的图象不仅包含其边界，更代表整个解集。

第二个例子是 $x \leq -2$ 。同样，边界来自对应方程 $x = -2$ ，讲解者指出这是一条竖直线。坐标平面被重新绘制，并在 $x = -2$ 处画出一条竖直边界线。

此处不等式包含等号，因此边界线用实线而非虚线绘制。这种视觉区别与逻辑区别一致：满足 $x = -2$ 的点符合该不等式，因而属于图象的一部分。

由于条件是“小于”，解区域位于更小的 x 值一侧，即左侧。绿色箭头从实线竖直线向左延伸，表示半平面 $x \leq -2$ 。

第三个例子将受限制的变量从 x 改为 y： $y > -4$ 。讲解者提问如何作图、应向何处涂阴影，并解释：固定 y 会得到一条水平线，而非竖直线。

由于该不等式是严格的，水平边界 $y = -4$ 用虚线绘制。这与第一个例子的规则一致：边界值被排除时，用断续线表示。

最后，解区域位于该直线的上方，因为大于 -4 的数对应更大的 y 值。蓝色向上的箭头填充虚线水平线上方的区域，完成 $y > -4$ 的图象。

本片段以完成不等式 $y > -4$ 的图像绘制为开端。蓝色向上的箭头显示在 $y = -4$ 处的一条虚线红色水平线上方进行阴影填充，强调严格不等式排除边界线。

教师引入一个新例题：绘制 $y \le 2$ 的图像。在 $y = 2$ 处画出一条实线红色水平线。语音说明：由于该不等式包含“或等于”，边界线必须为实线，表示线上的点属于解集。

为完成 $y \le 2$ 的图像，在实线红色线下方绘制蓝色向下的箭头。教师阐明：“小于”条件决定需对边界线下方区域进行阴影填充，以表示所有小于或等于 2 的 y 值。

课程过渡到二元一次不等式，示例为 $y > x - 2$ 。教师在屏幕上写出斜截式一般形式 y = mx + b，用于分析该具体不等式。

通过将 $y > x - 2$ 与 y = mx + b 对比，教师指出斜率 $m = 1$ （因 x 前无显式系数），y 截距 $b = -2$ 。这些数值被写在屏幕上。

绘图过程从在直角坐标系中描出 y 截距点 (0, -2) 开始。一个红色圆点标记该初始点在纵轴上的位置。

教师将斜率 $m = 1$ 解释为“纵坐标变化量比横坐标变化量”，即 $1/1$ 。红色箭头演示从 y 截距出发，向上移动一个单位、再向右移动一个单位，从而定位边界线上的下一个点，该点坐标为 (1, -1)。此过程重复一次，得到点 (2, 0)。

由于不等式 $y > x - 2$ 是严格的（仅“大于”，不含“等于”），教师用虚线红色对角线连接已描出的各点。虚线样式直观表明边界线本身不属于解集。

最后确定阴影方向。由于不等式表明 y 大于表达式 x - 2，解集区域位于边界线上方。在虚线红色线上方绘制蓝色向上箭头，以阴影填充正确区域，从而完成图像绘制。

该片段以黑屏开场，随即框定自身为又一个线性不等式图像绘制的例题

左上方写出的不等式是 $y \leq 2x - 3$ 。这是一个含两个变量的线性不等式，其边界线对应的方程为 $y=2x-3$ 。

由于该表达式已处于斜截式形式，讲解者从中提取出 $m=2$ 和 $b=-3$ 。这两个值描述的是边界线，而非整个涂阴影的解集区域。

绘制了一个坐标平面。接下来的任务是先画出边界线，再决定如何表示该不等式的解集。

从y轴截距 $(0,-3)$ 出发，斜率被理解为 $\frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{2}{1}$ 。向上移动2、向右移动1得到 $(1,-1)$ ；重复此步骤得到 $(2,1)$ ，再得到 $(3,4)$ 。

这些红色点用一条实红色直线连接。实线很重要：由于不等式使用了 $\leq$ ，满足 $y=2x-3$ 的点被包含在解集中。

接着，讲解者确定涂阴影的一侧。对于已解出 $y$ 的不等式， $y \leq 2x-3$ 意味着允许的 $y$ 值位于边界线及其下方，因此画出向下的蓝色箭头。

还介绍了一种替代验证方法：在边界线两侧各选一个测试点，并代入不等式检验。视频中标出了 $(0,0)$ 和 $(4,-2)$ 作为示例点。

所陈述的规则是：若代入后的命题为真，则涂阴影于包含该测试点的区域；若为假，则不涂阴影。尽管讲解者口述时用了“方程”一词，实际代入的是不等式。

将原点代入得到 $0 \leq 2(0)-3$ ，化简后为 $0 \leq -3$ 。该命题为假，因此包含 $(0,0)$ 的一侧不是解集所在侧。

视频片段在讲解者口头验证0是否小于负3的过程中结束，虽最终语句被截断，但视觉结论已清晰明了。

白板正在处理不等式 $y \le 2x - 3$ 。其边界直线是方程 $y=2x-3$ 的图像，斜率为 $m=2$ ，y 截距为 $b=-3$ ；白板上还将斜率写作 $\frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{2}{1}$ 。

为判断原点是否属于解集区域，将 $(0,0)$ 代入不等式。得到 $0 \le 2(0)-3$ ，化简后为 $0 \le -3$ 。

用一条小数轴比较这两个数。由于 $0$ 位于 $-3$ 的右侧，因此大于 $-3$ ，故陈述 $0 \le -3$ 为假。

由于原点不满足该不等式，因此包含 $(0,0)$ 的区域不被着色。原点旁的红色叉号 $0 \le -3$ 记录了此次拒绝。

下一个测试点是 $(4,-2)$ ，以绿色点形式标在边界直线下方。将 $x=4$ 和 $y=-2$ 代入 $y \le 2x-3$ 。

所写的代入过程为 $-2 \le 2(4)-3$ 。先计算 $2(4)=8$ ，得 $-2 \le 8-3$ ；再计算 $8-3=5$ ，得 $-2 \le 5$ 。

现在比较这两个数： $-2$ 小于 $5$ 。等价地说， $5$ 大于 $-2$ 。这两种说法表达的是同一真实的大小关系。

由于代入后的陈述为真，点 $(4,-2)$ 属于解集，因此应将包含该点的半平面着色。 $-2 \le 5$ 旁的红色对勾标记记录了此次成功。

本片段最后指出解决此问题的两种等价策略：使用测试点法，或直接从解出的不等式读取结果。由于不等式为 $y \le 2x-3$ ，解集为边界直线所在位置及其下方的区域。

知识卡片

在 xy 平面上作不等式的图象

本导学卡片概括了本视频片段的核心设定：不等式在二维坐标系中表示。视频强调，其结果是平面上的一个区域，而不仅仅是一条直线或一个点。

x = 常数给出一条竖直边界

当仅 x 坐标被固定时，xy 平面上的边界是竖直的。前两个例子就利用了这一事实： $x > 3$ 和 $x \leq -2$ 都首先确定了竖直边界线 $x = 3$ 和 $x = -2$ 。

x = c

y = 常数给出一条水平边界

当仅 y 坐标被固定时，边界是水平的。第三个例子利用了这一事实：先将 $y > -4$ 转化为边界线 $y = -4$ ，再决定向哪一侧涂色。

y = c

严格不等式使用虚线边界

若不等式不包含等号，则边界线为虚线。视频以 $x > 3$ 和 $y > -4$ 为例演示了这一点，讲解者明确指出：由于端点值本身不包含在解集中，因此该直线画为虚线。

非严格不等式使用实线边界

若不等式包含等号，则边界线为实线。例题 $x \leq -2$ 直接展示了这一点：由于关系是“小于或等于”，因此该竖直边界被画为实线。

对于关于 x 的不等式，向左或向右涂色

当不等式限制的是 x 时，解集是一个左半平面或右半平面。较大的 x 值位于右侧，因此 $x > 3$ 向右涂色；较小的 x 值位于左侧，因此 $x \leq -2$ 向左涂色。

对于关于 y 的不等式，向上或向下涂色

当不等式对 y 施加限制时，解集是一个上半平面或下半平面。在示例 $y > -4$ 中，讲解者指出：大于 -4 的数位于该直线的上方，因此需将虚线水平边界上方的区域涂上阴影。

不等式的图像是一个涂有阴影的区域

该片段反复强调：不等式的解是一组取值范围，因此其图像不仅包含边界直线，还必须包含代表所有满足该不等式的有序数对的相应涂阴影区域。

实线边界线与虚线边界线

在绘制线性不等式图像时，边界线的样式取决于不等号。若不等式包含等号（≤ 或 ≥），则边界线画为实线，表示线上的点属于解集；若不等式是严格的（< 或 >），则边界线画为虚线，表示线上的点被排除在解集之外。

确定阴影区域的方向

阴影区域的方向表示解集位于边界线的哪一侧。对于仅含 y 的不等式（例如 $y \le 2$ 或 $y > -4$ ），'小于' 表示在水平边界线下方涂阴影，'大于' 表示在上方涂阴影；对于二元不等式（例如 $y > x - 2$ ），若 y 大于该表达式，则在边界线上方涂阴影；若 y 小于该表达式，则在下方涂阴影。

不等式的斜截式形式

含有两个变量的线性不等式通常可用斜截式 y = mx + b 进行分析。通过将不等式改写或与该形式比较，可快速识别出边界线的斜率 m 和 y 轴截距 b。例如，在 $y > x - 2$ 中，斜率为 1，y 轴截距为 -2。

y = mx + b

绘制二元不等式的图像

要绘制形如 $y > x - 2$ 的不等式图像，首先从斜截式中确定斜率和 y 轴截距；然后在坐标平面上标出 y 轴截距；再利用斜率（纵坐标变化量比横坐标变化量）描出边界线上的其他点；接着根据不等号类型，将边界线画为实线或虚线；最后，依据 y 是大于还是小于该表达式，决定在边界线上方或下方涂阴影。

示例不等式： $y \leq 2x - 3$

该视频绘制了一个含两个变量的线性不等式图像。其边界直线为 $y=2x-3$ ，且该不等式包含所有满足其 $y$ 坐标小于或等于该直线对应值的点。

y \leq 2x - 3

由斜截式求斜率与y轴截距

由 $y \leq 2x - 3$ 可知，边界直线的斜率为 $m=2$ ，y轴截距为 $b=-3$ 。这些数值用于先绘制直线，再对不等式区域进行涂阴影。

m=2,\quad b=-3

利用“纵坐标变化量比横坐标变化量”绘制边界直线

从 $(0,-3)$ 开始，斜率 $2$ 被视为 $\frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{2}{1}$ 。由此得到直线上的点 $(1,-1)$ 、 $(2,1)$ 和 $(3,4)$ on the line $y=2x-3$ 。

\frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{2}{1}

为何边界直线为实线

由于不等式符号为 $\leq$ ，允许取等号，因此边界直线属于解集，需画为实线而非虚线。

\leq \Rightarrow \text{solid boundary line}

对 $y \leq 2x - 3$ ，在直线下方涂阴影

当不等式解出 $y$ 时，关系式 $y \leq 2x-3$ 表示解集位于边界线所在直线及其下方。视频中用向下的蓝色箭头标出这一区域。

y \leq 2x - 3 \Rightarrow \text{shade below}

选择阴影区域的测试点法

确定正确半平面的另一种方法是将一个测试点代入不等式：若所得命题为真，则对包含该点的区域进行阴影填充；若为假，则不填充。

\text{Substitute }(x_0,y_0)\text{ into } y \leq 2x - 3

原点测试： $(0,0)$ 不满足该不等式

将原点代入得到 $0 \leq 2(0)-3$ ，化简后为 $0 \leq -3$ 。该式为假，因此包含 $(0,0)$ 的边界一侧不属于解集。

0 \leq 2(0)-3 \Rightarrow 0 \leq -3

$y \le 2x - 3$ 的边界直线

不等式 $y \le 2x - 3$ 的图像绘制方法是：先画出其边界直线 $y=2x-3$ 。由于不等号为 $\le$ ，直线上各点包含在解集中，因此边界线为实线而非虚线。

y \le 2x - 3,\quad y = 2x - 3

由公式得出斜率与截距

由 $y=2x-3$ 可知， $x$ 的系数即为斜率 $m=2$ ，常数项即为y轴截距 $b=-3$ 。黑板上还将斜率写作 $\frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{2}{1}$ 。

m=2,\quad b=-3,\quad \frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{2}{1}

测试点法

选取一个不在边界直线上的点，将其坐标代入不等式，检验所得数值命题是否成立。若成立，则包含该点的区域需涂阴影；若不成立，则不涂阴影。

(x_0,y_0):\; \text{check } y_0 \le 2x_0 - 3

为什么 $(0,0)$ 不成立

将原点代入得 $0 \le 2(0)-3$ ，从而得到 $0 \le -3$ 。在数轴上， $0$ 位于 $-3$ 右侧，因此 $0>-3$ ，不等式不成立。故包含 $(0,0)$ 的区域不涂阴影。

0 \le 2(0)-3 \iff 0 \le -3 \quad \text{false}

为什么 $(4,-2)$ 成立

将 $(4,-2)$ 代入得 $-2 \le 2(4)-3$ ，再得 $-2 \le 8-3$ ，再得 $-2 \le 5$ 。由于 $-2$ 小于 $5$ ，该命题成立，因此包含 $(4,-2)$ 的半平面即为解集区域。

-2 \le 2(4)-3 \iff -2 \le 8-3 \iff -2 \le 5 \quad \text{true}

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 22

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
不等式 $x > 3$ 写在屏幕的左上方。
声音
观察依据
讲解员说：“假设 x 大于三。”

符号

含义

xy 平面上的横坐标；本例中，该变量受不等式约束。

适用范围

实数

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
不等式 $y > -4$ 写在屏幕的左上方。
声音
观察依据
讲解员说：“现在假设 y 大于负四。”

符号

含义

xy 平面上的纵坐标；本例中，该变量受不等式约束。

适用范围

实数

$x > 3$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
x 大于3
声音
观察依据
讲解员解释道：由于 x 大于 3 但不等于它，因此使用虚线，且阴影区域向右延伸。

符号

$x > 3$

含义

严格不等式，表明横坐标必须大于 3。

适用范围

所有满足 $x > 3$ 的点 (x, y)

$x \leq -2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
x 小于或等于负2
声音
观察依据
讲解员说：“它小于或等于负二”，并解释边界是一条实线的竖直线，其左侧区域被涂色。

符号

$x \leq -2$

含义

非严格不等式，表示横坐标至多为 -2。

适用范围

所有满足 $x \le -2$ 的点 (x, y)

$y > -4$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
y 大于负4
声音
观察依据
讲解员说：“现在假设 y 大于负四”，并解释边界是一条虚线的水平线，其上方区域被涂色。

符号

$y > -4$

含义

严格不等式，表示纵坐标必须大于 -4。

适用范围

所有满足 $y > -4$ 的点 (x, y)

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
变量 y 出现在不等式 $y > -4$ 、 $y \le 2$ 和 $y > x - 2$ 中。

符号

含义

笛卡尔平面中的纵坐标变量

适用范围

实数

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
变量 x 出现在不等式 $y > x - 2$ 中，也出现在斜截式 y = mx + b 中。

符号

含义

笛卡尔平面中的横坐标变量

适用范围

实数

m

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
符号 m 出现在 y = mx + b 中，并被赋值为 1 示例 $y > x - 2$ 。
声音
观察依据
说话者说：‘x 前面的数字就是斜率。’

符号

含义

斜截式中直线的斜率

适用范围

实数

b

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
符号 b 出现在 y = mx + b 中，并被赋值为 -2 示例 $y > x - 2$ 。
声音
观察依据
说话者说：‘你看到的外部常数就是 y 轴截距，它是负二。’

符号

含义

斜截式直线的 y 轴截距

适用范围

实数

y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“假设 y 小于或等于2x 减3。”
公式
观察依据
黑板上写出的不等式是 $y \leq 2x - 3$ 。

符号

含义

线性不等式及图像中的纵坐标变量。

适用范围

实数；在图像中作为纵轴坐标绘制。

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“假设 y 小于或等于2x 减3。”
公式
观察依据
黑板上写出的不等式是 $y \leq 2x - 3$ 。

符号

含义

线性不等式及图像中的横坐标变量。

适用范围

实数；在图像中作为横轴坐标绘制。

m

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“斜率为2。”
公式
观察依据
黑板上显示 $m = 2$ 。

符号

含义

边界直线的斜率 $y=2x-3$ 。

适用范围

实数；此处为 $m=2$ 。

知识点 · 21

在 xy 平面上绘制不等式图像的入门介绍

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员指出：“在本课中，我们将讨论如何在 xy 坐标系中绘制不等式的图像。”

定义

解释

该视频将任务引入为：在二维笛卡尔坐标系中，用区域来表示不等式，而不仅限于在一维数轴上表示。

公式

适用条件

场景设定为一个 xy 坐标系。

形如 x = 常数的方程表示竖直线。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者说：“X 等于三本质上是一条竖直线。”
图示
观察依据
在坐标平面上，于 $x = 3$ 处画出一条竖直边界。

定义

解释

当仅 x 坐标被固定为某一常数值时，其在 xy 平面上对应的图像是竖直线。

公式

x = c

适用条件

c 是一个常实数。

先修条目

在 xy 平面上绘制不等式图像的入门介绍

形如 y = 常数的方程表示水平线。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说：“因此，只要 y 等于某个数，图像就是一条水平线，而非竖直线。”
图示
观察依据
在坐标平面上，于 $y = -4$ 处画出一条水平边界。

定义

解释

当仅 y 坐标被固定为某一常数值时，其在 xy 平面上对应的图像是水平线。

公式

y = c

适用条件

c 是一个常实数。

先修条目

在 xy 平面上绘制不等式图像的入门介绍

边界线的样式取决于是否包含等号。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
对于 $x > 3$ , the narrator says, "Now x being greater than three but not equal to it, instead of drawing a solid line, we're gonna draw a dashed line."
声音
观察依据
对于 $x \leq -2$ ，讲解者说：“由于这里是小于或等于，我们将画一条实线，而非虚线。”
动画
观察依据
第一个示例使用一条红色虚线竖直线；第二个示例使用一条红色实线竖直线；第三个示例使用一条红色虚线水平线。

方法

解释

严格不等式（如 > 或 <）用虚线边界表示，而非严格不等式（如 ≤ 或 ≥）则用实线边界表示。

公式

适用条件

严格不等式使用虚线。
包含等号的不等式使用实线。

先修条目

形如 x = 常数的方程表示竖直线。
形如 y = 常数的方程表示水平线。

含 x 的不等式的涂色方向。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
对于 $x > 3$ ，讲解者说：“因为 x 大于三，我们需要向右方、即向 x 值更大的方向涂色。”
声音
观察依据
对于 $x \le -2$ ，讲解者说：“而‘小于’指向左侧……你需要将这条线左侧的所有区域都涂上颜色。”
动画
观察依据
蓝色箭头从虚线 $x = 3$ 向右指；绿色箭头从实线 $x = -2$ 向左指。

方法

解释

对于限制 x 的不等式，当 x 大于边界值时向右涂色，当 x 小于边界值时向左涂色。

公式

适用条件

边界是一条竖直线 $x = c$ 。
向右涂色对应 $x > c$ 或 $x \ge c$ 。
左侧阴影区域对应 $x < c$ 或 $x \le c$ 。

先修条目

形如 x = 常数的方程表示竖直线。
边界线的样式取决于是否包含等号。

含 y 的不等式的阴影方向

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“大于负四的数位于这条线的上方，因此我们需要对这一区域进行阴影填充。”
动画
观察依据
蓝色箭头从虚线水平线 $y = -4$ 向上指出。

方法

解释

对于限制 y 的不等式，当 y 大于边界值时，对边界上方区域进行阴影填充；当 y 小于边界值时，对边界下方区域进行阴影填充。

公式

适用条件

边界是一条水平线 $y = c$ 。
向上阴影区域对应 $y > c$ 或 $y \ge c$ 。
向下阴影区域对应 $y < c$ 或 $y \le c$ 。

先修条目

形如 y = 常数的方程表示水平线。
边界线的样式取决于是否包含等号。

二元不等式表示一个区域，而不仅仅是一条直线。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“因为它是一个不等式，所以存在一系列可能的答案，因此必须对相应区域进行阴影填充。”
动画
观察依据
每个示例最终都用箭头标出整个半平面，而非单条曲线或单个点。

定义

解释

由于不等式允许许多可能的取值，而非恰好一个边界值，因此其图像为坐标平面上的一个阴影区域。

公式

适用条件

该关系是一个不等式，而非等式。

先修条目

在 xy 平面上绘制不等式图像的入门介绍

非严格不等式的实线边界

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出：‘因为是小于或等于，所以画成实线，而不是虚线。’
图示
观察依据
在 y＝2 处画出一条红色实线水平线。

定义

解释

当绘制包含等号的不等式（例如 ≤ 或 ≥）时，边界线需画为实线，以表明边界线上的点属于解集。

适用条件

该不等式必须含有‘或等于’成分（即 ≤ 或 ≥）。

严格不等式的虚线边界

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出：‘现在是大于但不等于，因此我们将通过这些点画一条虚线。’
图示
观察依据
通过所标出的点画出一条红色虚线对角线。

定义

解释

当绘制严格不等式（例如 < 或 >）时，边界线需画为虚线，以表明边界线上的点不属于解集。

适用条件

该不等式必须是严格的（即 < 或 >），且不含‘或等于’成分。

斜截式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示方程 y = mx + b。
声音
观察依据
主讲人解释道：‘这个方程是斜截式。x 前面的数字就是斜率……而最外侧的常数项就是 y 截距。’

公式

解释

线性方程的斜截式为 y = mx + b，其中 m 表示直线的斜率，b 表示 y 截距。

适用条件

该方程必须是关于 x 的线性函数。

先修条目

斜率的‘纵坐标变化量比横坐标变化量’解释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：‘如果斜率为一，那就意味着纵坐标变化量比横坐标变化量等于一比一……向上移动一格是纵坐标变化量，向右移动一格是横坐标变化量。’
动画
观察依据
红色箭头表示从 y 截距出发，向上移动一个单位、再向右移动一个单位，以确定下一个点。

方法

解释

斜率可解释为垂直变化量（上升量）与水平变化量（前进量）的比值。斜率为 1 表示每向右移动 1 个单位，就向上移动 1 个单位。

适用条件

斜率以分数或整数形式给出。

先修条目

含两个变量的线性不等式： $y \leq 2x - 3$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员引入“再举一个例子”，并说明：“设 y 小于或等于2x 减3。”
公式
观察依据
黑板先写出 $y \leq 2x - 3$ ，然后指出 $m=2$ 和 $b=-3$ 。

定义

解释

本片段处理一个含两个变量的线性不等式。边界关系通过将 $\leq$ 替换为等号得到，即直线 $y=2x-3$ 。该不等式本身描述了所有满足“ $(x,y)$ 的 $y$ 值不大于 $2x-3$ ”的有序数对。

公式

y \leq 2x - 3

适用条件

该不等式含有两个变量 $x$ 和 $y$ 。
边界直线是 $y=2x-3$ 。
关系式 $\leq$ 包含边界直线上的点。

定理与条件 · 12

x = 常数是一条竖直线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者明确指出：“X 等于三本质上是一条竖直线。”

命题

在 xy 平面上，方程 $x = c$ 的图像是竖直线。

前提

c 是一个常数。

量词

对于任意常数 c。

y = 常数是一条水平线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出：“因此，只要 y 等于某个数，它的图像就是一条水平线，而不是竖直线。”

命题

在 xy 平面上，方程 $y = c$ 的图像是水平线。

前提

c 是一个常数。

量词

对于任意常数 c。

严格不等式使用虚线边界

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者说，由于 x 大于 3 但不等于它，因此画虚线而非实线。

命题

若不等式不包含等号，则边界线画为虚线。

前提

该不等式是严格的，例如〔>〕或〔<〕。

量词

针对视频片段中展示的示例。

非严格不等式使用实线边界

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员指出，由于该关系是小于等于，因此画出实线，而非虚线。

命题

若不等式包含等号，则边界线画为实线。

前提

该不等式是非严格的，例如〔≤〕或〔≥〕。

量词

针对视频片段中展示的示例。

不等式对应于解的范围

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员说：“因为这是一个不等式，所以解是一个范围，因此必须涂阴影标出相应区域。”

命题

不等式具有多个解，因此其图像通过涂阴影表示一个区域。

前提

所绘制的关系是一个不等式。

量词

针对视频片段中展示的示例。

边界线的斜率与y轴截距

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员陈述：“斜率为2，y轴截距为负3。”
公式
观察依据
黑板上将 $m=2$ 和 $b=-3$ 写在 $y \leq 2x - 3$ 下方。

命题

对于不等式 $y \leq 2x - 3$ ，其对应的边界线 $y=2x-3$ 的斜率为 $m=2$ ，y轴截距为 $b=-3$ 。

前提

该不等式以 $y \leq mx+b$ 的形式写出。

量词

适用于本例中所示的特定边界线。

包含等号的不等式使用实线边界。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说：“因为是小于或等于，所以边界线要画成实线，而不是虚线。”
图示
观察依据
边界线被画为实线。

命题

如果一个二元线性不等式包含等号，例如 $\leq$ ，那么它的边界线应画为实线，而非虚线。

前提

该不等式关系中包含等号。
该图表示一个含有两个变量的线性不等式。

量词

本例中如此陈述，并与虚线作一般性对比。

不等式 $y \leq 2x-3$ 的解集区域位于边界线下方。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说：“因为它小于该函数，我们需要将它下方的区域涂上阴影。”
图示
观察依据
蓝色箭头从边界线向下指。

待核验内容

口述中的‘小于该函数’相对于屏幕上显示的不等式 $\leq$ 而言表述不够准确。

命题

对于 $y \leq 2x - 3$ ，其解集区域是直线 $y=2x-3$ 上及其下方的所有点构成的集合。

前提

该不等式是关于 $y$ 求解的。
比较结果为 $\leq$ 。

量词

适用于本片段中所绘制的具体不等式。

测试点涂影法则

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说：“如果该式成立，就将该区域涂上阴影；如果不成立，则不涂阴影。”

待核验内容

讲解者口述为“方程”，但实际演示的代入对象是不等式 $y \leq 2x-3$ 。

命题

将测试点代入不等式后，若所得命题为真，则对包含该测试点的区域涂上阴影；若命题为假，则不涂阴影。

前提

测试点用于判断边界直线的哪一侧满足该不等式。

量词

片段中以口头方式陈述的一般方法。

原点不满足 $y \le 2x - 3$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $0 \le 2(0)-3$ ，随后是 $0 \le -3$ ，旁边标有红色叉号。
声音
观察依据
因此该命题不成立，这意味着我们不应对此区域进行阴影填充。

命题

将 $(0,0)$ 代入 $y \le 2x - 3$ 得到 $0 \le -3$ ，该式不成立；因此包含 $(0,0)$ 的区域不涂阴影。

前提

该不等式为 $y \le 2x - 3$ 。
测试点为 $(0,0)$ 。

量词

对于特定点（0，0）。

点 $(4,-2)$ 满足 $y \le 2x - 3$ 。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示：-2 ≤ $2(4)-3$ ，接着 -2 ≤ 8-3，再接着 -2 ≤ 5，并标有红色对勾。
声音
观察依据
无论从哪个方向读，这都是一个真命题，意味着我们应该将包含该点的区域涂上阴影。

命题

将 $(4,-2)$ 代入 $y \le 2x - 3$ 得到 $-2 \le 5$ ，该式成立；因此包含 $(4,-2)$ 的区域涂上阴影。

前提

该不等式为 $y \le 2x - 3$ 。
测试点为 $(4,-2)$ 。

量词

对于特定点（4，-2）。

确定阴影区域的两种等价方法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
因此，现在你有两种方法来确定应涂阴影的合适区域：可以使用测试点，也可以利用方程所表达的含义——y 小于或等于2x 减3，这意味着你应该在线的下方涂阴影。

命题

对于该不等式，可通过测试一个点或通过观察已解形式 $y \le 2x - 3$ 并对其边界线以下区域进行阴影标注，来确定正确的半平面。

前提

该不等式以已解形式写出，其中 $y$ 被单独分离出来。
边界线将平面划分为两个候选区域。

量词

针对所展示形式的线性不等式。

推导与证明 · 9

分步绘制 $x > 3$ 的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者引入 $x > 3$ ，指出 $x = 3$ 是一条竖直线，因不包含等号而选择虚线边界，并向右方涂色。
动画
观察依据
先绘制一个坐标平面，再在 $x = 3$ 处画一条红色虚线竖直线，最后添加指向右侧的蓝色箭头。

视觉说明

步骤

公式
$x > 3$
解释
从待绘制的不等式开始。
步骤依据
视频中已给出。
视频直接表达
公式
$x = 3$
解释
将不等式替换为等式，从而确定边界线。
步骤依据
讲解者指出 $x = 3$ 是一条竖直线。
视频直接表达
公式
$dashed vertical line at x = 3$
解释
由于该不等式是严格不等式，因此将边界线画为虚线。
步骤依据
讲解者说明：由于 x 大于 3 而不等于它，故使用虚线。
视频直接表达
公式shade to the right
解释
对包含更大 x 值的半平面进行涂色。
步骤依据
讲解者指出应向右方，即 x 值较大的方向涂色。
视频直接表达

结论

$x > 3$ 的图像是位于虚线竖直线 $x = 3$ 右侧的区域。

逐步绘制 $x \leq -2$ 的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者引入 $x \leq -2$ ，指出其边界是一条竖直线，因包含等号而选用实线，并向左方涂色。
动画
观察依据
先绘制一个坐标平面，再在 $x = -2$ 处画一条红色实线竖直线，最后添加指向左侧的绿色箭头。

视觉说明

步骤

公式
$x \leq -2$
解释
从待绘制的不等式开始。
步骤依据
视频中已给出。
视频直接表达
公式
$x = -2$
解释
将不等式替换为等式，从而确定边界线。
步骤依据
讲解者指出，只要 x 等于某个数，其图像就是一条竖直线。
视频直接表达
公式
$solid vertical line at x = -2$
解释
由于该不等式包含等号，因此将边界线画为实线。
步骤依据
讲解者指出，因为是“小于或等于”，所以画实线。
视频直接表达
公式shade to the left
解释
对包含较小 x 值的半平面进行涂色。
步骤依据
讲解员说，“小于”表示朝向左侧，需将该直线左侧的所有区域涂阴影。
视频直接表达

结论

$x \le -2$ 的图像为实线 $x = -2$ 左侧的区域。

分步绘制 $y > -4$ 的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解员引入 $y > -4$ ，指出其边界是一条水平线；因不包含等号，故选用虚线，并在上方涂阴影。
动画
观察依据
先绘制一个坐标平面，再画一条位于 $y = -4$ 的红色虚线水平线，最后添加指向正上方的蓝色箭头。

视觉说明

步骤

公式
$y > -4$
解释
从待绘制的不等式开始。
步骤依据
视频中已给出。
视频直接表达
公式
$y = -4$
解释
将不等式替换为等式，从而确定边界线。
步骤依据
讲解员指出，只要 y 等于某个数，其图像就是一条水平线。
视频直接表达
公式
$dashed horizontal line at y = -4$
解释
因该不等式是严格不等式，故将边界线画为虚线。
步骤依据
讲解员说明，由于是“大于”而非“大于或等于”，因此边界线为虚线。
视频直接表达
公式shade above
解释
对包含更大 y 值的半平面进行涂阴影。
步骤依据
讲解员指出，大于负四的数位于该直线的上方。
视频直接表达

结论

$y > -4$ 的图像是虚线水平直线 $y = -4$ 上方的区域。

绘制不等式 $y \le 2$ 的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人讲解了绘制 $y \le 2$ 的步骤：在 $y = 2$ 处画一条水平线；因含‘或等于’，该线为实线；又因是‘小于’，需对下方区域进行阴影填充。
图示
观察依据
在 $y = 2$ 处画出一条实心红色水平线，随后用蓝色向下的箭头表示阴影区域。

视觉说明

步骤

公式
解释
将边界线识别为一条位于 $y = 2$ 的水平直线。
步骤依据
该不等式仅含变量 y，意味着 x 可取任意实数值，而 y 受约束。
视频直接表达
公式
解释
将边界线画为实线。
步骤依据
该不等式为“小于或等于”（≤），因此解集包含边界线。
视频直接表达
公式
解释
对边界线下方的区域进行阴影填充。
步骤依据
该不等式为“小于或等于”（≤），即所有 y 值必须小于或等于 2。
视频直接表达

结论

$y \le 2$ 的图像是位于 $y = 2$ 的一条实水平直线，且其下方区域被阴影填充。

绘制不等式 $y > x - 2$ 的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者通过确定斜率和 y 截距、描点、画虚线及在上方阴影填充的方式，说明如何绘制不等式 $y > x - 2$ 的图像。
图示
观察依据
写出方程 y = mx + b，指出 $m = 1$ 且 $b = -2$ ，接着描点、画虚线，并用蓝色向上的箭头表示对直线上方区域进行阴影填充。

视觉说明

步骤

公式
$y > x - 2$
解释
识别该不等式为斜截式。
步骤依据
该表达式符合 y > mx + b 的结构。
视频直接表达
公式
$m = 1, b = -2$
解释
确定斜率和 y 轴截距。
步骤依据
x 的系数是1（隐含），常数项是 -2。
视频直接表达
公式
解释
在点 (0, -2) 处标出 y 轴截距。
步骤依据
y 轴截距 b 是直线与 y 轴相交的点（此时 $x = 0$ ）。
视频直接表达
公式
解释
利用斜率（纵坐标变化量 / 横坐标变化量 = $1/1$ ）标出后续点，例如 (1, -1) 和 (2, 0)。
步骤依据
斜率为1表示：每向右移动1个单位，直线就向上移动1个单位。
视频直接表达
公式
解释
用虚线连接所标出的点。
步骤依据
该不等式是严格的（>），因此边界线不包含在解集中。
视频直接表达
公式
解释
将虚线上方的区域涂上阴影。
步骤依据
不等式为 y > …，意味着解集由那些在给定 x 值下、y 值大于直线上对应 y 值的所有点构成。
视频直接表达

结论

$y > x - 2$ 的图像是一条斜率为1、y 轴截距为 -2的虚线，且虚线上方区域被涂上阴影。

利用斜率在边界直线 $y=2x-3$ 上描点。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者从点负3出发，解释纵坐标变化量2与横坐标变化量1，并标出点 $(1,-1)$ 、 $(2,1)$ 和 $(3,4)$ 。
图示
观察依据
红色点依次绘制在坐标平面上，随后用一条实心红线连接。

视觉说明

步骤

公式
$b=-3 \Rightarrow (0,-3)$
解释
从边界线的 y 轴截距出发。
步骤依据
视频从 $b=-3$ 中识别出 $y=2x-3$ ，并指出应从负的 3 开始。
视频直接表达
公式
$\frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{2}{1}$
解释
将斜率表示为垂直方向的变化量 2 每一次水平方向变化 1。
步骤依据
讲解者指出，由于斜率为2，因此纵坐标变化量（上升量）为2，横坐标变化量（前进量）为1。
视频直接表达
公式
$(0,-3)+(1,2)=(1,-1)$
解释
从截距点向上移动2个单位、向右移动1个单位，得到下一个点。
步骤依据
这直接源于斜率的“上升量/前进量”解释。
依据视频推导
公式
$(1,-1)+(1,2)=(2,1)$
解释
重复相同的上升量和前进量，以得到下一个点。
步骤依据
讲解者称，再次向上2、向右1，便到达 $(2,1)$ 。
视频直接表达
公式
$(2,1)+(1,2)=(3,4)$
解释
再重复一次，以得到下一个点。
步骤依据
讲解者延续该规律至 $(3,4)$ ，并说“以此类推”。
视频直接表达

结论

所绘制的红色点位于边界线 $y=2x-3$ 上，将它们连起来即得到不等式图像中所用的实线边界。

将原点 $(0,0)$ 代入 $y \leq 2x - 3$ 进行检验。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说，将 $y$ 替换为0，将 $x$ 替换为0，然后提问：0是否小于负3？
公式
观察依据
黑板上写出 $0 \leq 2(0)-3$ ，并化简为 $0 \leq -3$ 。

待核验内容

最终的口头结论在提问后被截断，但屏幕上显示的不等式 $0 \leq -3$ 是错误的。

数值验证

步骤

公式
$(x,y)=(0,0)$
解释
选择原点作为检验点。
步骤依据
讲解者明确选择原点 $(0,0)$ 作为第一个检验点。
视频直接表达
公式
$0 \leq 2(0)-3$
解释
将 $x=0$ 和 $y=0$ 代入该不等式。
步骤依据
这是直接代入 $y \leq 2x-3$ 。
视频直接表达
公式
$0 \leq -3$
解释
化简右边。
步骤依据
由于 $2(0)-3=-3$ ，该不等式简化为 $0 \leq -3$ 。
视频直接表达

结论

原点不满足 $y \leq 2x-3$ ，因为 $0 \leq -3$ 不成立；因此包含 $(0,0)$ 的一侧不是解集所在区域。

用原点代入不等式进行检验

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所展示的推导链为 $0 \le 2(0)$ －3，然后得到0 ≤ －3。
声音
观察依据
讲解者指出0位于－3右侧，因此更大，故该命题不成立。

数值验证

步骤

公式
$0 \le 2(0)-3$
解释
将 $x=0$ 和 $y=0$ 代入 $y \le 2x-3$ 。
步骤依据
将检验点的坐标直接代入不等式。
视频直接表达
公式
$0 \le -3$
解释
计算 $2(0)-3$ ，得到 $-3$ 。
步骤依据
算术化简。
视频直接表达
公式
$0>-3$
解释
在数轴上，0位于-3的右侧，因此0大于-3。
步骤依据
实数在常规数轴上的序性质。
视频直接表达
公式
$0 \le -3 \text{ is false}$
解释
由于 $0>-3$ ，命题 $0\le -3$ 不可能成立。
步骤依据
对前一步比较中提出的不等式的否定。
依据视频推导

结论

原点不满足该不等式，因此包含 $(0,0)$ 的区域不属于阴影解集。

将点 $(4,-2)$ 代入不等式进行检验。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所显示的链式关系为：-2 ≤ $2(4)-3$ ，接着是-2 ≤ 8-3，最后是-2 ≤ 5。
声音
观察依据
四乘二等于八，八减三等于五……负二小于五；若反向读取，则五大于负二。

待核验内容

音频短语“四乘二等于八”颠倒了书写顺序 $2(4)$ ，但黑板上展示的算术结果保持一致。

数值验证

步骤

公式
$-2 \le 2(4)-3$
解释
将 $x=4$ 和 $y=-2$ 代入 $y \le 2x-3$ 。
步骤依据
将检验点的坐标直接代入不等式。
视频直接表达
公式
$-2 \le 8-3$
解释
计算 $2(4)$ 得到 $8$ 。
步骤依据
乘法。
视频直接表达
公式
$-2 \le 5$
解释
计算 $8-3$ ，得到 $5$ 。
步骤依据
减法。
视频直接表达
公式
$-2<5$
解释
负二小于五；等价地说，五大于负二。
步骤依据
实数的大小比较。
视频直接表达

结论

点 $(4,-2)$ 满足该不等式，因此包含 $(4,-2)$ 的区域被涂阴影。

例题详解 · 7

例题：画出 $x > 3$ 的图像。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示 $x > 3$ 。
声音
观察依据
讲解员解释了边界线（虚线样式）以及向右的阴影区域。
动画
观察依据
在 $x = 3$ 处画出一条红色虚线竖直线，随后画出指向右侧的蓝色箭头。

题目

在 xy 坐标系中画出不等式 $x > 3$ 的图像。

已知条件

该不等式为 $x > 3$ 。
坐标系包含 x 轴和 y 轴。

目标

用图像表示所有满足 $x > 3$ 的点。

步骤

公式
$x = 3$
解释
通过令 x 等于 3 来确定边界线。
步骤依据
讲解员指出， $x = 3$ 是一条竖直线。
视频直接表达
公式dashed line
解释
使用虚线边界，因为该不等式是严格不等式。
步骤依据
讲述者说，由于 x 大于 3 但不等于它，因此画虚线。
视频直接表达
公式shade right
解释
将 x 值较大的一侧涂上阴影。
步骤依据
讲解员说要向右涂色，即朝向 x 值较大的方向。
视频直接表达

结果

解集是虚线竖直线 $x = 3$ 右侧的半平面。

检验

图中箭头从边界向外指向 x 值更大的区域，与 $x > 3$ 一致。

例题：画出 $x \leq -2$ 的图像。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示 $x \leq -2$ 。
声音
观察依据
讲解员说明：边界为竖直线、实线，且阴影在左侧。
动画
观察依据
在 $x = -2$ 处画出一条红色实线竖直线，随后画出指向左侧的绿色箭头。

题目

在 xy 坐标系中画出不等式 $x \leq -2$ 的图像。

已知条件

该不等式为 $x \leq -2$ 。
坐标系有x轴和y轴。

目标

将所有满足 $x \le -2$ 的点表示为图像。

步骤

公式
$x = -2$
解释
通过令x等于-2来求出边界线。
步骤依据
讲解者指出，只要x等于某个数，其图像就是一条竖直线。
视频直接表达
公式solid line
解释
由于包含等号，因此使用实线作为边界。
步骤依据
讲解者指出，因为是小于或等于，所以画一条实线。
视频直接表达
公式shade left
解释
对x值更小的一侧进行阴影填充。
步骤依据
讲解者指出，小于的方向是左侧，需将该直线左侧的所有区域都涂上阴影。
视频直接表达

结果

解集是位于实竖直线 $x = -2$ 左侧的半平面。

检验

图中箭头指向x值更小的区域，与 $x \le -2$ 一致。

示例：绘制不等式 $y > -4$ 的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示 $y > -4$ 。
声音
观察依据
讲解者解释：边界是一条水平的虚线，且其上方区域被涂上阴影。
动画
观察依据
一条红色虚线水平直线绘制在 $y = -4$ 处，随后画出指向上的蓝色箭头。

题目

在 xy 坐标系中绘制不等式 $y > -4$ 的图像。

已知条件

该不等式为 $y > -4$ 。
坐标系包含 x 轴和 y 轴。

目标

用图像表示所有满足 $y > -4$ 的点。

步骤

公式
$y = -4$
解释
通过令 y 等于 -4 来确定边界线。
步骤依据
讲解者指出，只要 y 等于某个数，其图像就是一条水平直线。
视频直接表达
公式dashed line
解释
由于该不等式是严格不等式，因此使用虚线作为边界。
步骤依据
讲解者指出，因为是‘大于’而非‘大于或等于’，所以画成虚线。
视频直接表达
公式shade above
解释
对 y 值较大的一侧进行阴影填充。
步骤依据
讲解者指出，大于负四的数位于该直线的上方。
视频直接表达

结果

解集是虚线水平直线 $y = -4$ 上方的半平面。

检验

图示箭头向上指向 y 值更大的区域，对应不等式 $y > -4$ 。

绘制 $y \le 2$ 的图像。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人引入示例：“假设 y 小于或等于二。”
公式
观察依据
不等式 $y \le 2$ 显示在屏幕上。

题目

绘制线性不等式 $y \le 2$ 的图像。

已知条件

该不等式为 $y \le 2$ 。

目标

在笛卡尔平面上正确画出解集的图形表示。

步骤

公式
解释
在 $y = 2$ 处画一条水平线。
步骤依据
由于该不等式仅对 y 作出限制，边界是一条水平线。
视频直接表达
公式
解释
将这条线画成实线。
步骤依据
‘小于或等于’这一条件意味着边界被包含在解集中。
视频直接表达
公式
解释
将该直线以下的区域涂上阴影。
步骤依据
‘小于’这一条件意味着 y 值必须小于 2。
视频直接表达

结果

一条位于 $y = 2$ 的实心水平直线，其下方区域被涂阴影。

检验

实线与向下涂阴影的视觉呈现，符合该不等式的条件。

绘制不等式 $y > x - 2$ 的图像。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人引入示例：‘假设 y 大于 x 减去二。’
公式
观察依据
屏幕上写出不等式 $y > x - 2$ 。

题目

在直角坐标系中绘制线性不等式 $y > x - 2$ 。

已知条件

该不等式为 $y > x - 2$ 。

目标

在笛卡尔平面上准确画出解集的图形表示。

步骤

公式
$m = 1, b = -2$
解释
从斜截式中识别斜率和 y 轴截距。
步骤依据
将 $y > x - 2$ 与 y > mx + b 比较，可得 $m = 1$ ， $b = -2$ 。
视频直接表达
公式
解释
在点 (0, -2) 处描出 y 轴截距。
步骤依据
这是绘制边界线的起始点。
视频直接表达
公式
解释
利用1的斜率描出其他点，例如（1, -1）和（2, 0）。
步骤依据
纵坐标变化量比横坐标变化量为 $1/1$ ，即从上一个点向上移动1、向右移动1。
视频直接表达
公式
解释
用虚线连接这些点。
步骤依据
严格不等式“>”表示边界线不包含在解集中。
视频直接表达
公式
解释
将直线以上的区域涂阴影。
步骤依据
不等式 y > … 表明解点的 y 值高于边界线。
视频直接表达

结果

一条虚线经过点 (0, -2)，斜率为 1，且其上方区域被涂阴影。

检验

虚线与向上涂阴影的视觉呈现，符合该不等式的条件。

绘制线性不等式 $y \leq 2x - 3$ 的图像。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说‘我们再试一个例子’，然后逐步画出 $y \leq 2x - 3$ 的图像。
公式
观察依据
黑板上展示了 $y \leq 2x - 3$ 、 $m=2$ 、 $b=-3$ 、 $\frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{2}{1}$ ，检验点 $(0,0)$ 和 $(4,-2)$ ，以及代入式 $0 \leq 2(0)-3$ 。
图示
观察依据
绘制了一个坐标平面，红色点标在直线上，画出一条实线红色边界线，蓝色箭头表示对边界线下方区域进行阴影填充，并标出了绿色测试点。

待核验内容

视频片段在测试点解释过程中结束，因此第二个测试点的完整口头结论未被听到。

题目

在坐标平面上画出不等式 $y \leq 2x - 3$ 的解集。

已知条件

该不等式为 $y \leq 2x - 3$ 。
由该不等式可得，边界线为 $y=2x-3$ 。
斜率为 $m=2$ ，y轴截距为 $b=-3$ 。
选取两个测试点： $(0,0)$ 和 $(4,-2)$ 。

目标

确定边界线，判断其为实线还是虚线，并确定应阴影填充的区域。

步骤

公式
$y \leq 2x - 3$
解释
写出给定的不等式。
步骤依据
这是在视频片段开头通过口头讲解与视觉演示共同引入的例题。
视频直接表达
公式
$m=2,\quad b=-3$
解释
从斜截式中读取斜率和y轴截距。
步骤依据
讲解者明确指出斜率为2，y轴截距为负3。
视频直接表达
公式
$(0,-3),(1,-1),(2,1),(3,4)$
解释
利用y轴截距和斜率 $2/1$ 在边界线上描出点。
步骤依据
从 $(0,-3)$ 出发，每一步均按讲解者所述，使用纵坐标变化量2和横坐标变化量1。
视频直接表达
公式
$y = 2x - 3 \text{ drawn solid}$
解释
用所描出的点画出一条实线作为边界线。
步骤依据
由于不等式为 $\leq$ ，其中包含等号，因此边界线不是虚线。
视频直接表达
公式
$\text{shade below } y=2x-3$
解释
将边界线下方的区域标示为解集区域。
步骤依据
讲解者指出，由于 $y$ 小于或等于边界表达式，因此阴影区域位于该直线之下；蓝色箭头直观地展示了这一点。
视频直接表达
公式
$(0,0):\; 0 \leq 2(0)-3 \Rightarrow 0 \leq -3$
解释
通过代入法检验原点。
步骤依据
讲解者选取 $(0,0)$ 作为测试点，并将其代入不等式中。
视频直接表达
公式
$(4,-2) \text{ is another test point}$
解释
在边界线另一侧标记第二个测试点。
步骤依据
讲解者选取 $(4,-2)$ 并说明：若代入结果为真，则对该区域进行阴影填充；若为假，则不填充。
视频直接表达

结果

该图像由实线 $y=2x-3$ 构成，且该直线及其下方区域被涂上阴影，共同组成解集。

检验

原点检验得到 $0 \leq -3$ ，该结果为假，从而确认包含 $(0,0)$ 的一侧不涂阴影。视觉涂影箭头从边界线向下指向，符合 $y \leq 2x-3$ 的规则。

通过测试点和不等式方向绘制 $y \le 2x - 3$ 的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所解的不等式为 $y \le 2x - 3$ 。
图示
观察依据
图中显示一条实心红色边界线、向下的蓝色箭头，以及测试点（0,0）和（4,-2）。
声音
观察依据
讲解者同时利用两个测试点和不等式的方向来确定应涂阴影的区域。

题目

确定线性不等式 $y \le 2x - 3$ 的解集区域，并指出边界直线的哪一侧应被涂阴影。

已知条件

不等式： $y \le 2x - 3$ 。
边界线的斜率： $m=2$ 。
y 轴截距： $b=-3$ 。
标出的候选测试点为： $(0,0)$ 和 $(4,-2)$ 。

目标

找出不等式 $y \le 2x - 3$ 对应的正确半平面解区域。

步骤

公式
$y = 2x - 3$
解释
将 $\le$ 替换为等号，画出边界线。
步骤依据
二元一次不等式的边界是其对应的方程。
视频直接表达
公式
$\text{solid line}$
解释
使用实线，因为该不等式包含等号。
步骤依据
符号 $\le$ 表示直线上的点满足该不等式。
依据视频推导
公式
$0 \le 2(0)-3 \iff 0 \le -3$
解释
通过代入 $(0,0)$ 来测试原点。
步骤依据
测试点法。
视频直接表达
公式
$0 \le -3 \text{ is false}$
解释
由于在数轴上 $0$ 位于 $-3$ 右侧，因此 $0>-3$ 。
步骤依据
实数在数轴上的顺序。
视频直接表达
公式
$-2 \le 2(4)-3 \iff -2 \le 8-3 \iff -2 \le 5$
解释
将点 $(4,-2)$ 代入，令 x = $x=4$ 且 y = $y=-2$ ，进行检验。
步骤依据
测试点法。
视频直接表达
公式
$-2 \le 5 \text{ is true}$
解释
负二小于五，因此该不等式成立。
步骤依据
实数的大小比较。
视频直接表达
公式
$\text{shade the region containing }(4,-2)$
解释
由于 $(4,-2)$ 满足该不等式，对其所在半平面进行阴影填充。
步骤依据
一个成立的测试点可确定解集区域，该区域包含该测试点。
视频直接表达
公式
$y \le 2x - 3 \implies \text{shade below the line}$
解释
或者，直接从已解出的不等式中读出： $y$ 小于或等于直线上的对应值。
步骤依据
对于已解出 $y$ 的不等式， $\le$ 对应边界直线上方或该直线上的区域。
视频直接表达

结果

解集为闭合半平面，即直线 $y=2x-3$ 上及其下方的区域；原点不包含在内，而 $(4,-2)$ 包含在内。

检验

两次检验结果一致： $(0,0)$ 给出假命题 $0\le -3$ ， $(4,-2)$ 给出真命题 $-2\le 5$ ；由 $y\le 2x-3$ 得出的直接法则也指出应将直线下方区域涂阴影。

图示与动画 · 18

为第一个例子构建坐标轴。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
先画一条水平线，再画一条与之相交的垂直线，构成 x-y 坐标系。

图中对象

水平轴
垂直轴
原点交点

变化过程

一块空白黑屏变为一个坐标平面。

不变量

坐标轴始终保持互相垂直，并居中显示在屏幕上。

数学含义

这确立了绘制关于 x 和 y 的不等式所需的二维环境。

$x = 3$ 的虚线垂直边界

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
在 $x = 3$ 处画出一条红色虚线垂直线，并带有向上和向下的箭头，表示该线向上、向下无限延伸。

图中对象

红色虚线竖直线
箭头

变化过程

边界出现在 y 轴右侧，位于标记的 x 值 3 处。

不变量

该直线保持竖直，放置后不发生水平移动。

数学含义

虚线样式直观地表示 $x = 3$ 上的点不包含在 $x > 3$ 中。

表示 $x > 3$ 的向右阴影箭头

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
从虚线出发、指向右侧的多条蓝色水平箭头被画出。

图中对象

蓝色箭头
虚线竖直边界

变化过程

箭头在多个高度上累积，全部从边界向右发出。

不变量

所有箭头方向一致，均远离边界、指向更大的 x 值方向。

数学含义

这些箭头表示不等式 $x = 3$ 右侧的解半平面。

$x = -2$ 的实心竖直边界

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
一条红色的实心竖直线绘制在 $x = -2$ 处，两端带有箭头，表示该线向上和向下无限延伸。

图中对象

红色实心竖直线
箭头

变化过程

该边界位于 y 轴左侧，对应标记的 x 值 -2 处。

不变量

该直线保持竖直且连续。

数学含义

实心样式直观地表示 $x = -2$ 上的点被包含在 $x \leq -2$ 中。

表示 $x \leq -2$ 的向左阴影箭头

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
多条绿色水平箭头从实心竖直线出发，均指向左侧。

图中对象

绿色箭头
实心竖直边界

变化过程

箭头在多个不同高度上密集排列，全部从边界向左指向。

不变量

所有箭头方向一致，均指向边界外侧、x 值更小的一侧。

数学含义

箭头指示解所在的半平面，即直线 $x = -2$ 左侧的区域。

$y = -4$ 对应的虚线水平边界

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
在 $y = -4$ 处画出一条红色虚线水平线，并在左右两端添加箭头，表示该线向左右无限延伸。

图中对象

红色虚线水平线
箭头

变化过程

该边界位于 x 轴下方，对应标记的 y 值 -4。

不变量

该直线保持水平且为虚线。

数学含义

虚线样式直观地表示： $y = -4$ 上的点不包含在 $y > -4$ 中。

表示 $y > -4$ 的向上阴影箭头

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
从虚线上出发、多条蓝色竖直箭头向上延伸。

图中对象

蓝色箭头
虚线水平边界

变化过程

箭头在多个水平位置上聚集，全部从边界向上指向。

不变量

所有箭头方向一致，均远离边界、朝向更大的 y 值。

数学含义

这些箭头指示解所在的半平面，即 $y = -4$ 上方的区域。

在边界线下方涂阴影

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
从位于 $y = 2$ 的实心红线向下画出蓝色箭头。
声音
观察依据
说话人说：“因为它表示‘小于’，所以我们需要将其下方区域涂阴影，而不是上方。”

图中对象

位于 $y = 2$ 的实心红色水平线
蓝色向下的箭头

变化过程

蓝色箭头依次出现在红色直线的下方，用以表示阴影区域。

不变量

红色边界线保持实线且水平。

数学含义

向下的箭头直观地表示“小于”关系，表明所有 y 值小于2的点都属于解集。

在边界线上方进行阴影填充

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
蓝色箭头从虚线红色斜线向上画出。
声音
观察依据
讲解者说：‘注意，y 大于该函数值。因此我们将在线的上方而非下方进行阴影填充。’

图中对象

虚线红色斜线
蓝色向上的箭头

变化过程

蓝色箭头依次出现在红色虚线的上方，用以表示阴影区域。

不变量

红色边界线保持虚线且呈斜线。

数学含义

向上的箭头直观地表示“大于”关系，表明对于给定的 x，所有 y 值大于该直线对应 y 值的点都属于解集。

写出不等式并提取斜率与截距

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
屏幕初始为黑色，随后左上方出现白色手写内容： $y \leq 2x - 3$ ，接着是 $m=2$ 和 $b=-3$ 。
声音
观察依据
讲解者引入例题，并指出斜率为2，y轴截距为负3。

图中对象

黑色背景
白色手写不等式 $y \leq 2x - 3$
白色手写 $m=2$
白色手写 $b=-3$

变化过程

先写出不等式。
在不等式下方添加斜率数值。
在斜率下方添加y轴截距数值。

不变量

本区间内例题始终使用同一不等式。
所有文字均为白色，显示在黑色背景上。

数学含义

视觉布局先确立代数形式，再进行作图，从而在后续步骤中明确呈现斜率与截距。

绘制坐标平面

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
先画一条水平线，再画一条垂直线以构成坐标轴，随后在两条轴上标出刻度线。
声音
观察依据
讲解者说：“我们来着手绘制这个函数的图像。”

图中对象

横轴
纵轴
刻度线

变化过程

画出一条横轴。
添加一条纵轴，形成十字形的坐标系。
在两条轴上均标出刻度线。

不变量

不等式及其提取出的数值持续显示在左上方。
坐标轴和刻度线的绘图颜色保持为白色。

数学含义

坐标平面为绘制不等式的边界线提供了框架。

利用斜率描点

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一个红点出现在 $(0,-3)$ ，随后在 $(1,-1)$ 、 $(2,1)$ 和 $(3,4)$ 处依次出现额外的红点，同时红色箭头示意向上和向右的移动。
声音
观察依据
讲解者说明从负3出发，利用纵坐标变化量2和横坐标变化量1到达所列出的各点。

图中对象

红点位于 $(0,-3)$
红点位于 $(1,-1)$
红点位于 $(2,1)$
红点位于 $(3,4)$
红色方向箭头

变化过程

第一个红点置于y轴截距处。
红色箭头表示向上和向右移动。
依次沿相同的线性规律添加红色点。

不变量

所表示的底层直线为 $y=2x-3$ 。
每一步的斜率规律均为纵坐标变化量2比横坐标变化量1。

数学含义

动画将代数意义上的斜率直观地转化为坐标平面上的几何运动。

易错点 · 8

误将不等式的图像理解为仅有一条边界线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者强调：由于这是一个不等式，其解是一组取值范围，因此必须将对应的区域涂上阴影。

误区

有人可能认为不等式的图象就只是那条边界线本身。

说明

边界线仅用于区分哪些点被包含、哪些点被排除；真正的解是一个整片被涂上阴影的区域。

混淆严格不等式与非严格不等式的边界样式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者根据是否包含等号，对比了虚线与实线两种边界样式。

误区

有人可能不管是否允许取等号，都画出同一种样式的边界线。

说明

严格不等式使用虚线边界，而包含等号的不等式则使用实线边界。

混淆边界线的实线与虚线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人明确依据是否含有“或等于”来区分实线与虚线。

误区

学生可能对非严格不等式（≤ 或 ≥）画出虚线，或对严格不等式（< 或 >）画出实线。

说明

若不等式包含等号（≤ 或 ≥），则边界线必须为实线；若为严格不等式（< 或 >），则边界线应为虚线。

混淆包含边界与不包含边界的边界线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者明确依据“小于或等于”将“实线”与“虚线”进行对比。

误区

学习者可能在不等式包含等号时，仍将边界线画为虚线。

说明

对于 $\leq$ 或 $\geq$ ，边界线属于解集，应画为实线；虚线用于严格不等式，例如 $<$ 或 $>$ 。

在检验过程中将不等式称为“方程”

时间近似

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者在演示将数值代入不等式 $y \leq 2x-3$ 时说：“如果该方程成立……”

待核验内容

措辞可以听清，但尚不清楚这是口误还是非正式用法。

误区

在描述测试点步骤时使用了“方程”一词，这可能使学习者误以为需将数值代入 $y=2x-3$ 而非不等式本身。

说明

实际展示的代入对象是不等式 $y \leq 2x-3$ ；决定阴影区域的是该不等式的真假值，而非边界方程的真假值。

阴影区域画在了边界线错误的一侧

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说应向下侧阴影填充，因为该不等式表示“小于该函数”。
图示
观察依据
蓝色箭头从边界线向下指。

误区

学习者可能将边界线上方区域涂成阴影，尽管该不等式将 $y$ 与一个小于或等于的表达式进行比较。

说明

当不等式被解出关于 $y$ 的形式，且其右侧为 $\leq$ 或 $<$ 时，解集区域位于边界线下方；此处用向下的蓝色箭头表示。

切勿仅仅因为某个区域已被测试过就为其涂阴影。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
因此这是不成立的，意味着我们不应给该区域涂阴影。
公式
观察依据
在 $0\le -3$ 旁标记一个红色叉号。

误区

一个使不等式不成立的测试点，可能被误认为仍需对其所在区域进行阴影填充的依据。

说明

如果代入后得到的陈述为假，则该测试点所在的区域不是解集区域。

不等式的等价读法

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
负二小于五；若反向读作五大于负二，两种读法都是真命题。

误区

学习者可能认为改变不等式的阅读方向会改变其真假值。

说明

陈述 $-2\le 5$ 和 $5\ge -2$ 表达了相同的序关系，且二者均为真。

概念关系 · 16

在 xy 平面上绘制不等式图像的入门介绍 → 形如 x = 常数的方程表示竖直线。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在介绍x-y坐标系中的图像绘制后，讲解者立即说明 $x = 3$ 是一条竖直线。

先修

解释

必须先理解xy坐标系，才能认识到固定x会形成一条竖直边界。

在 xy 平面上绘制不等式图像的入门介绍 → 形如 y = 常数的方程表示水平线。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在第三个例子中，讲解者从坐标系设定过渡到说明y等于某个数时会得到一条水平线。

先修

解释

识别水平边界依赖于开头所引入的同一坐标平面框架。

边界线的样式取决于是否包含等号。 → 含 x 的不等式的涂色方向。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
在每个例子中，讲解者都先确定边界是虚线还是实线，之后才解释应阴影化哪一侧。

先修

解释

先确定边界类型，再通过阴影方向选择解集区域。

形如 x = 常数的方程表示竖直线。 → 含 x 的不等式的涂色方向。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
前两个例子均使用由x值决定的竖直边界。

应用

解释

向左或向右阴影化的规则，仅适用于边界为由x不等式导出的竖直线的情形。

形如 y = 常数的方程表示水平线。 → 含 y 的不等式的阴影方向

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
第三个例子使用由y值决定的水平边界，并在其上方进行阴影化。

应用

解释

在上方或下方阴影化的规则，仅适用于边界为由y不等式导出的水平线的情形。

形如 x = 常数的方程表示竖直线。 → 形如 y = 常数的方程表示水平线。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者明确对比了x = 常数给出竖直线，而y = 常数给出水平线。

对比

解释

固定x得到竖直边界，而固定y得到水平边界。

斜截式 → 绘制不等式 $y > x - 2$ 的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人利用斜截式来确定作图所需的斜率和 y 轴截距。

应用

解释

斜截式被用于提取绘制不等式边界线所需的参数（斜率与 y 轴截距）。

斜率的‘纵坐标变化量比横坐标变化量’解释 → 绘制不等式 $y > x - 2$ 的图像

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人运用“纵坐标变化量比横坐标变化量”的理解方式，在直线上找出后续点。

应用

解释

在确定 y 轴截距后，运用“纵坐标变化量比横坐标变化量”的方法在边界线上描出更多点。

含两个变量的线性不等式： $y \leq 2x - 3$ → 从 $y \leq 2x - 3$ 中读取斜率和y轴截距

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板书内容从 $y \leq 2x - 3$ 过渡到 $m=2$ 和 $b=-3$ 。
声音
观察依据
讲解者直接从所写的不等式中识别出斜率和y轴截距。

应用

解释

读取斜率与截距的方法被应用于具体不等式 $y \leq 2x-3$ ，为绘制其边界线做准备。

含两个变量的线性不等式： $y \leq 2x - 3$ → $\leq$ 的边界线样式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者将“小于或等于”与实线关联起来。
图示
观察依据
在确定不等式符号后，边界线被绘制成实线。

应用

解释

示例中的不等式符号 $\leq$ 决定了边界线必须是实线而非虚线。

$\leq$ 的边界线样式 → $y \leq 2x - 3$ 的阴影填充方向

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
绘制完红色实线边界后，在其下方添加蓝色箭头。
声音
观察依据
讲解者先解释实线含义，再解释为何要将下方区域涂成阴影。

先修

解释

必须先画出边界线，才能在其相对位置上标出解集区域。

$y \leq 2x - 3$ 的阴影填充方向 → 利用测试点确定需阴影填充的半平面

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说：“判断阴影区域的另一种方法是使用测试点。”
图示
观察依据
绿色测试点是在蓝色阴影箭头已标出区域之后添加的。

对比

解释

该片段展示了确定阴影区域的两种方法：一种是直接根据不等式的方向判断，另一种是通过测试边界两侧的点来判断。

问题定位 · 19

为什么 $x > 3$ 的边界线是虚线？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲述者解释道，由于 x 大于 3 但不等于它，因此使用虚线。

涉及知识点

边界线的样式取决于是否包含等号。
分步绘制 $x > 3$ 的图像

为什么 $x \leq -2$ 的边界线是实线？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说明，由于该不等式为“小于或等于”，因此使用实线。

涉及知识点

边界线的样式取决于是否包含等号。
逐步绘制 $x \leq -2$ 的图像

不等式在什么情况下产生竖直边界，又在什么情况下产生水平边界？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，x 等于某个数时得到一条竖直线，y 等于某个数时得到一条水平线。

涉及知识点

形如 x = 常数的方程表示竖直线。
形如 y = 常数的方程表示水平线。

如何判断 x 不等式的涂色方向是向左还是向右？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，对于更大的 x 值向右涂色，对于更小的 x 值向左涂色。

涉及知识点

含 x 的不等式的涂色方向。
分步绘制 $x > 3$ 的图像
逐步绘制 $x \leq -2$ 的图像

为什么 $y = -4$ 上方的区域被涂阴影以表示 $y > -4$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，大于负四的数位于该直线的上方，因此将该区域涂色。

涉及知识点

含 y 的不等式的阴影方向
分步绘制 $y > -4$ 的图像

为什么我们要涂色表示一个区域，而不仅仅画出边界线？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，不等式具有一个解的范围，因此必须涂色表示相应的区域。

涉及知识点

二元不等式表示一个区域，而不仅仅是一条直线。
误将不等式的图像理解为仅有一条边界线

像 $y \le 2$ 这样仅含一个变量的线性不等式，我该如何作图？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人演示如何绘制 $y \le 2$ 的图像。

涉及知识点

非严格不等式的实线边界
绘制不等式 $y \le 2$ 的图像
绘制 $y \le 2$ 的图像。

对于 $y > x - 2$ 这类含两个变量的线性不等式，作图步骤是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人提问：‘如果现在我们有一个含两个变量的方程，该怎么办？’随后开始绘制 $y > x - 2$ 的图像。

涉及知识点

斜截式
严格不等式的虚线边界
绘制不等式 $y > x - 2$ 的图像
绘制不等式 $y > x - 2$ 的图像。

在绘制不等式图像时，我该何时使用实线、何时使用虚线？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人根据不等号的类型，解释了实线与虚线的区别。

涉及知识点

非严格不等式的实线边界
严格不等式的虚线边界
混淆边界线的实线与虚线

我该如何判断应在边界线上方还是下方涂阴影？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人解释了‘小于’时需在边界线下方涂阴影，‘大于’时则在上方涂阴影。

涉及知识点

在边界线下方涂阴影
在边界线上方进行阴影填充

我该如何从 $y \leq 2x - 3$ 中读取斜率和y轴截距？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $m=2$ 和 $b=-3$ 在 $y \leq 2x - 3$ 下。
声音
观察依据
讲解者指出斜率为2，y轴截距为负3。

涉及知识点

含两个变量的线性不等式： $y \leq 2x - 3$
从 $y \leq 2x - 3$ 中读取斜率和y轴截距

为什么这个不等式的边界线是实线而不是虚线？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说：“因为这是小于或等于，所以边界线应为实线，而非虚线。”
图示
观察依据
边界线被画为实线。

涉及知识点

$\leq$ 的边界线样式

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 音频介绍在x-y坐标系中绘制不等式图像。

已覆盖 · 第一个例题绘制 $x > 3$ 的图像，使用虚线垂直边界，并向右方阴影填充。

已覆盖 · 例题之间的简短过渡，除进入下一题外，不涉及新的数学内容。

已覆盖 · 第二个例题绘制 $x \leq -2$ 的图像，使用实线垂直边界，并向左方阴影填充。

已覆盖 · 例题之间的简短过渡，除进入下一题外，不涉及新的数学内容。

已覆盖 · 第三个例题绘制 $y > -4$ 的图像，使用虚线水平边界，并向上方阴影填充。

已覆盖 · 结束前一个例子 $y > -4$ ，确立本节关于不等式作图的学习背景。

已覆盖 · 引入并绘制不等式 $y \le 2$ ，解释实线边界及下方涂阴影的含义。

已覆盖 · 引入并绘制二元不等式 $y > x - 2$ ，详细说明斜截式、描点法、虚线边界以及上方涂阴影。

已覆盖 · 首段语音介绍前为黑屏；画面直接切入例题设定环节。

已覆盖 · 不等式 $y \leq 2x - 3$ 被提出，并以信息性方式重写为 $m=2$ 、 $b=-3$ 。

已覆盖 · 为绘制边界线，先画出坐标轴和刻度标记。

已覆盖 · 利用 y 轴截距和斜率 $2/1$ 在边界线上描出点。

已覆盖 · 由于该不等式包含等号，因此边界线画为实线。

已覆盖 · 蓝色箭头表示解集区域位于边界线的下方。

已覆盖 · 讲解者引入测试点，并在直线两侧分别标出 $(0,0)$ 和 $(4,-2)$ 。

已覆盖 · 将原点代入不等式，得到 $0 \leq -3$ ，该式为假。

已覆盖 · 最后不到一秒的画面中，除已完成的代入展示外，不包含任何新的数学内容。

已覆盖 · 该片段以不等式、边界线信息以及原点处失败的测试开场。

已覆盖 · 注意力转向第二个测试点（4,-2）；在写出新的代入过程前，先前的代数面板已被清空。

已覆盖 · （4,-2）的代入过程被逐步写出，并被判定为真。

已覆盖 · 讲解者总结了选择阴影区域的两种方法，并圈出了 ≤ 符号。

探索视频中的知识

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不等式应用定位 0:00
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已审核中文素材 v1：card「在 xy 平面上作不等式的图象」出现在 0:00——本导学卡片概括了本视频片段的核心设定：不等式在二维坐标系中表示。视频强调，其结果是平面上的一个区域，而不仅仅是一条直线或一个点。

如何在二维变量中绘制线性不等式图像——基础介绍，代数

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

在 xy 平面上作不等式的图象

x = 常数 给出一条竖直边界

y = 常数 给出一条水平边界

严格不等式使用虚线边界

非严格不等式使用实线边界

对于关于 x 的不等式，向左或向右涂色

对于关于 y 的不等式，向上或向下涂色

不等式的图像是一个涂有阴影的区域

实线边界线与虚线边界线

确定阴影区域的方向

不等式的斜截式形式

绘制二元不等式的图像

示例不等式：y≤2x−3y \leq 2x - 3y≤2x−3

由斜截式求斜率与y轴截距

利用“纵坐标变化量比横坐标变化量”绘制边界直线

为何边界直线为实线

对y≤2x−3y \leq 2x - 3y≤2x−3，在直线下方涂阴影

选择阴影区域的测试点法

原点测试：(0,0)(0,0)(0,0)不满足该不等式

y≤2x−3y \le 2x - 3y≤2x−3的边界直线

由公式得出斜率与截距

测试点法

为什么(0,0)(0,0)(0,0)不成立

为什么(4,−2)(4,-2)(4,−2)成立

详细学习笔记

x

y

x>3x > 3x>3

x≤−2x \leq -2x≤−2

y>−4y > -4y>−4

y

x

m

b

y

x

m

在 xy 平面上绘制不等式图像的入门介绍

形如 x = 常数 的方程表示竖直线。

形如 y = 常数 的方程表示水平线。

边界线的样式取决于是否包含等号。

含 x 的不等式的涂色方向。

含 y 的不等式的阴影方向

二元不等式表示一个区域，而不仅仅是一条直线。

非严格不等式的实线边界

严格不等式的虚线边界

斜截式

斜率的‘纵坐标变化量比横坐标变化量’解释

含两个变量的线性不等式：y≤2x−3y \leq 2x - 3y≤2x−3

x = 常数 是一条竖直线

y = 常数 是一条水平线

严格不等式使用虚线边界

非严格不等式使用实线边界

不等式对应于解的范围

边界线的斜率与y轴截距

包含等号的不等式使用实线边界。

不等式y≤2x−3y \leq 2x-3y≤2x−3的解集区域位于边界线下方。

测试点涂影法则

原点不满足y≤2x−3y \le 2x - 3y≤2x−3

点(4,−2)(4,-2)(4,−2)满足y≤2x−3y \le 2x - 3y≤2x−3。

确定阴影区域的两种等价方法

分步绘制 x>3x > 3x>3 的图像

逐步绘制 x≤−2x \leq -2x≤−2 的图像

分步绘制 y>−4y > -4y>−4 的图像

绘制不等式 y≤2y \le 2y≤2 的图像

绘制不等式 y>x−2y > x - 2y>x−2 的图像

利用斜率在边界直线y=2x−3y=2x-3y=2x−3上描点。

将原点(0,0)(0,0)(0,0)代入y≤2x−3y \leq 2x - 3y≤2x−3进行检验。

用原点代入不等式进行检验

将点(4,−2)(4,-2)(4,−2)代入不等式进行检验。

例题：画出 x>3x > 3x>3 的图像。

例题：画出 x≤−2x \leq -2x≤−2 的图像。

示例：绘制不等式 y>−4y > -4y>−4 的图像

绘制 y≤2y \le 2y≤2 的图像。

绘制不等式 y>x−2y > x - 2y>x−2 的图像。

x = 常数给出一条竖直边界

y = 常数给出一条水平边界

示例不等式： $y \leq 2x - 3$

对 $y \leq 2x - 3$ ，在直线下方涂阴影

原点测试： $(0,0)$ 不满足该不等式

$y \le 2x - 3$ 的边界直线

为什么 $(0,0)$ 不成立

为什么 $(4,-2)$ 成立

$x > 3$

$x \leq -2$

$y > -4$

形如 x = 常数的方程表示竖直线。

形如 y = 常数的方程表示水平线。

含两个变量的线性不等式： $y \leq 2x - 3$

x = 常数是一条竖直线

y = 常数是一条水平线

不等式 $y \leq 2x-3$ 的解集区域位于边界线下方。

原点不满足 $y \le 2x - 3$

点 $(4,-2)$ 满足 $y \le 2x - 3$ 。

分步绘制 $x > 3$ 的图像

逐步绘制 $x \leq -2$ 的图像

分步绘制 $y > -4$ 的图像

绘制不等式 $y \le 2$ 的图像

绘制不等式 $y > x - 2$ 的图像

利用斜率在边界直线 $y=2x-3$ 上描点。

将原点 $(0,0)$ 代入 $y \leq 2x - 3$ 进行检验。

将点 $(4,-2)$ 代入不等式进行检验。

例题：画出 $x > 3$ 的图像。

例题：画出 $x \leq -2$ 的图像。

示例：绘制不等式 $y > -4$ 的图像

绘制 $y \le 2$ 的图像。

绘制不等式 $y > x - 2$ 的图像。

绘制线性不等式 $y \leq 2x - 3$ 的图像。

通过测试点和不等式方向绘制 $y \le 2x - 3$ 的图像

$x = 3$ 的虚线垂直边界

表示 $x > 3$ 的向右阴影箭头

$x = -2$ 的实心竖直边界

表示 $x \leq -2$ 的向左阴影箭头

$y = -4$ 对应的虚线水平边界

表示 $y > -4$ 的向上阴影箭头

在 xy 平面上绘制不等式图像的入门介绍 → 形如 x = 常数的方程表示竖直线。

在 xy 平面上绘制不等式图像的入门介绍 → 形如 y = 常数的方程表示水平线。

形如 x = 常数的方程表示竖直线。 → 含 x 的不等式的涂色方向。

形如 y = 常数的方程表示水平线。 → 含 y 的不等式的阴影方向

形如 x = 常数的方程表示竖直线。 → 形如 y = 常数的方程表示水平线。

斜截式 → 绘制不等式 $y > x - 2$ 的图像

斜率的‘纵坐标变化量比横坐标变化量’解释 → 绘制不等式 $y > x - 2$ 的图像

含两个变量的线性不等式： $y \leq 2x - 3$ → 从 $y \leq 2x - 3$ 中读取斜率和y轴截距

含两个变量的线性不等式： $y \leq 2x - 3$ → $\leq$ 的边界线样式

$\leq$ 的边界线样式 → $y \leq 2x - 3$ 的阴影填充方向

$y \leq 2x - 3$ 的阴影填充方向 → 利用测试点确定需阴影填充的半平面

为什么 $x > 3$ 的边界线是虚线？

为什么 $x \leq -2$ 的边界线是实线？

为什么 $y = -4$ 上方的区域被涂阴影以表示 $y > -4$ ？

像 $y \le 2$ 这样仅含一个变量的线性不等式，我该如何作图？

对于 $y > x - 2$ 这类含两个变量的线性不等式，作图步骤是什么？

我该如何从 $y \leq 2x - 3$ 中读取斜率和y轴截距？