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余弦定理证明

Mr. Raymond · YouTube · 8:25

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视频中的要点

01余弦定理的作用
02已知条件与待求未知量
03斜三角形的作高策略

来自学习笔记

c = x + (c-x)

标注高 h、底边右段 x 和底边左段 c-x

选中时刻

动机：为何要证明余弦定理

建议预备知识

三角形的基本记号
高的定义
勾股定理
直角三角形的三角函数比值（SOHCAHTOA）
二项式展开／首尾内外法
方程的基本代数变形
直角三角形三角学：余弦等于邻边比斜边
基础代数展开与代入
直角三角形三角学（SOHCAHTOA）
展开 (c-x)^2
基础代数代入与整理

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这段150秒的片段开启余弦定理的白板证明。主讲人首先指出，余弦定理对于求解非直角三角形具有重要价值；接着展示一个已知边 c、边 b 与角 A 的三角形，并以推导边 a 的表达式为目标。主要作图步骤是从顶点向底边作一条高线，从而将原斜三角形分割为两个直角三角形。这两个直角三角形分别用蓝色和黄色醒目标出。高线标记为 h，右侧底边段标记为 x，左侧底边段因此标记为 c-x。片段结束时，主讲人解释：这种分解使得后续代数运算中可以运用勾股定理与直角三角形三角比（SOHCAHTOA），但本片段内尚未写出具体方程。这段时长为150秒的白板片段，通过在边长为a、b、c且右下顶点处夹角为A的三角形内作高h，开启余弦定理的证明。主讲人首先对左侧直角三角形应用勾股定理，得到 $a^2 = (c-x)^2 + h^2$ ；接着展开(c-x)^2，得到 $a^2 = c^2 - 2$ cx + $x^2 + h^2$ 。他指出，下一步目标是消去辅助变量x和h，从而仅用已知量表示a。为此，他对右侧直角三角形再次应用勾股定理，写出 $b^2 = h^2 + x^2$ ，并整理为 $x^2 = b^2 - h^2$ 。该片段在此处结束，尚未进行最终代入以完成余弦定理公式的推导。这段时长为150秒的白板摘录延续了余弦定理的几何推导。从已画出的、由高 h 构成的两个直角三角形出发，主讲人利用所展示的勾股关系式 $a^2=(c-x)^2+h^2$ 和 $b^2=h^2+x^2$ ，将 $x^2$ 改写为 $b^2-h^2$ ，代入展开后的第一个方程，并消去 $h^2$ 项，得到 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2$ 。接着，他在直角三角形中引入余弦比： $\cos A=x/b$ ，整理得 $x=b \cos (A)$ ，再进行最后一次代入，最终得到 $a^2=c^2-2$ cb $\cos (A)+b^2$ 。该片段强调逐步消去辅助变量，直至 $a^2$ 仅用已知量 b、c 和 A 表达。这段时长为55秒的白板片段，完成了对一个标好字母的三角形的余弦定理推导。屏幕上已绘出几何构图：高 h 将底边 c 分为 c-x 和 x 两段，从而形成两个直角三角形。可见的代数步骤使用了 $a^2=(c-x)^2+h^2$ 和 $b^2=h^2+x^2$ ，并结合 $\cos A=x/b$ ，以消去 h 和 x。在该片段中，主讲人写出最终的标准形式 $a^2=b^2+c^2-2$ bc $\cos (A)$ ，将其框出，然后回顾该方法：将三角形分割为两个直角三角形，两次应用勾股定理，代入化简，并在直角三角形中使用SOHCAHTOA。所展示的证明对应于所画的锐角构型，即高位于底边内部。

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章节

0:00动机：为何要证明余弦定理 0:21已知三角形数据及求解目标 0:41作高线以构造直角三角形 1:06勾勒出两个直角三角形 1:32标注 h、x 和 c-x 2:06为何接下来可应用勾股定理与 SOHCAHTOA 2:30建立左侧三角形的方程 2:51展开(c-x)^2并代回原式 4:01说明消去x与h的策略 4:20利用右侧三角形解出

x^2

5:00起点：黑板上已有的两个勾股关系式 5:12将

x^2 = b^2 - h^2

代入已展开的

a^2

方程 5:32消去 -h^2 和 +

h^2

，从而将辅助未知量减少为一个 6:14在直角三角形中引入余弦，以表达 x 6:54最终代入得到余弦定理的形式 7:30已有图形设置及重排步骤的开始 7:39写出最终的余弦定理公式 7:56将结果框出并总结证明过程

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

片段以标题“余弦定理证明”开始，主讲人解释：余弦定理之所以重要，在于它使非直角三角形的求解变得简便，而理解其来源则极具启发性。

画出一个标有边 a、b、c 及角 A 的三角形。屏幕文字显示：“已知 c、b 和 A；求解 a 的表达式。” 主讲人指出 c、b 和 A 是已知量，a 是待求的未知量。

由于原三角形不是直角三角形，讲解者引入标准的第一步：从顶点向底边作一条垂线段，即作高。

这条高立即将斜三角形分解为两个直角三角形。为使结构更清晰，左侧三角形用蓝色勾勒，右侧三角形用黄色勾勒。

这条高记为 h。底边 c 被分成两段：右段记为 x，因此左段必为 $c-x$ ，因为底边全长仍为 c。

现在已有两个直角三角形，讲解者指出，证明可运用勾股定理与直角三角形三角学（SOHCAHTOA），但仅限于各自的小三角形内部。该片段在任何等式实际写出之前结束。

画面起始于一个手绘三角形：底边为c，左边为a，右边为b，右下顶点处的角为A。一条高h垂直落于底边，将其分为左段c-x和右段x。当前任务是将a与其他各量关联起来。

聚焦于蓝色的左侧子三角形，主讲人应用勾股定理。因其两条直角边分别为c-x和h，斜边为a，故白板上所写方程为 $a^2 = (c-x)^2 + h^2$ 。他特别指出，这不过是人们熟知的直角三角形恒等式，只是采用了不太常见的标记方式。

为使表达式更具实用性，他对平方二项式进行展开。写下 $(c-x)(c-x)$ 并运用乘法分配律（FOIL法则），白板显示 $c^2 - cx - cx + x^2$ ，化简后得 $c^2 - 2cx + x^2$ 。

将该展开式代回先前的方程，得到 $a^2 = c^2 - 2cx + x^2 + h^2$ 。此时公式虽正确，但仍含有辅助变量x和h，因此尚不能视为仅关于a的表达式。

主讲人阐明战略性下一步：消去x和h。此举将当前方程转化为求解a的路径，因为最终关系式中应仅保留给定的边长和角度。

于是他转向右侧的黄色子三角形，再次应用勾股定理，得到 $b^2 = h^2 + x^2$ ，由此将同一高h与底边线段x同已知边b联系起来。

最后，他将该方程整理为仅含 $x^2$ 的形式，得到 $x^2 = b^2 - h^2$ 。该片段在此处结束，尚未进行后续代入——而这一步本可从 $a^2$ 的表达式中彻底消去x和h，从而完成余弦定理的推导。

黑板上已画出一个大三角形，被一条高 h 分割为左侧的蓝色直角三角形和右侧的黄色直角三角形。关键的起始公式清晰可见：左侧为 $a^2=(c-x)^2+h^2$ ，右侧为 $b^2=h^2+x^2$ 。讲解者注意到展开后的左侧方程中出现 $x^2$ 项，并准备利用右侧关系式消去该项。

由 $b^2=h^2+x^2$ 出发，推导过程将 $x^2$ 单独解出为 $b^2-h^2$ 。该表达式被代入展开后的方程 $a^2=c^2-2$ cx+ $x^2+h^2$ ，得到新式子 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2-h^2+h^2$ 。颜色被用来精确标示刚刚被替换的部分。

此时方程中同时含有 -h^2 和 + $h^2$ 。这两项相互抵消，留下 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2$ 。至此，辅助量高 h 已完全消失，构造过程中引入的唯一剩余未知量是 x。

为消去 x，讲解者转向包含已知角 A 的右侧直角三角形。根据余弦定义， $\cos A = x/b$ 。整理后得 $x = b \cos (A)$ ，从而将底边线段 x 完全用已知边 b 和已知角 A 表示出来。

最后一步将 $x = b \cos (A)$ 代入 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2$ ，得到 $a^2=c^2-2$ cb $\cos (A)+b^2$ ，即该三角形标记方式下关于边 a 的余弦定理形式。视频片段在写完这一最终表达式后立即结束。

视频片段以一块黑色数字白板开场，左上方已画好一个三角形。其三边分别标记为 a、b 和 c，右下角的内角标记为 A，一条垂直高 h 落在底边上，将底边分为左侧的 c-x 和右侧的 x。图下方的白板上已显示关键的中间方程： $a^2=(c-x)^2+h^2$ ，其展开式，用 $b^2-h^2$ 替换 $x^2$ 的代入步骤， $h^2$ 项的消去，以及余弦关系 $\cos A=x/b$ （等价于 $b \cos (A)=x$ ）

说话人表示他将把所得结果重排为标准形式。从数学上看，前述推导已将表达式化简为 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2$ ，剩余任务是将 x 替换为 b cos A 并重新排列各项顺序

他在讲话的同时，用蓝色笔在右下方写出最终公式：先写 $a^2$ =，再写 $b^2$ +，接着写 $c^2$ -，然后写 2bc，最后写 $\cos (A)$ 。由此得到标准的余弦定理表述： $a^2=b^2+c^2-2$ bc\cos(A)。该重排纯属代数层面的重新排序，即在代入 $x=b\cos A$ 后，对先前已得表达式进行整理

他在完成的公式外围画上蓝色方框，将其标为本推导的结论。该框出的等式即为本视频中所陈述的定理形式：对于所标注的三角形，边 a 的平方等于边 b 与边 c 的平方和减去它们乘积的两倍再乘以夹角 A 的余弦值

结尾旁白总结的是证明思路，而非引入新的数学内容。第一，高线将原三角形分割为两个直角三角形；第二，对左侧直角三角形应用勾股定理得 $a^2=(c-x)^2+h^2$ ，对右侧直角三角形应用勾股定理得 $b^2=h^2+x^2$ ；第三，通过代入消去 $x^2$ ，导致 $h^2$ 项相互抵消；第四，由右侧直角三角形的余弦比值得到 $x=b\cos A$ 。将该式代入 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2$ ，即得最终的余弦定理

一项重要说明是：当前所见的几何构图假设高线落在底边内部，正如所绘的锐角三角形所示。本视频并未单独处理钝角或直角三角形的情形，尽管最终所得公式正是人们熟知的一般性余弦定理

知识卡片

余弦定理的作用

视频将余弦定理定位为求解非直角三角形的关键工具，并宣布本片段旨在证明该公式的原理，而非仅仅套用它。

已知条件与待求未知量

图示呈现一个三角形，其中两边 c 与 b 及夹角 A 已知；目标是推导出第三边 a 的表达式。

斜三角形的作高策略

由于直接的直角三角形方法不适用于原非直角三角形，第一步是从顶点向底边作一条垂直的高。

分解为两个直角三角形

这条高将原三角形分割为两个较小的直角三角形，通过蓝色与黄色轮廓加以视觉区分。这一分解构成整个证明的基础。

标注高 h、底边右段 x 和底边左段 c-x

高标记为 h；底边 c 被分为右侧线段 x 和左侧线段 c-x，因此每个新形成的直角三角形的两条直角边均可由这些量表示。

c = x + (c-x)

为何此时可使用勾股定理与三角函数比值（SOHCAHTOA）

当图形被分解为两个直角三角形后，证明便可分别对每个小直角三角形应用勾股定理与三角函数比值；本片段在实际代数推导开始前即告结束。

左侧子三角形上的勾股定理

高线在左侧构成一个直角三角形，其两条直角边分别为 c-x 和 h，斜边为 a。应用勾股定理可得到该证明的起始关系式。

a^2 = (c-x)^2 + h^2

展开二项式 (c-x)^2

利用乘法分配律（或 FOIL 法），将该二项式的平方重写为多项式形式，以便代回 $a^2$ 的方程中。

(c-x)^2 = c^2 - 2cx + x^2

$a^2$ 的展开式

代入后，左侧三角形的关系式变为一个仍含有辅助变量 x 和 h 的展开表达式。

a^2 = c^2 - 2cx + x^2 + h^2

目标是消去 x 和 h

讲解者指出，当前方程仅为中间形式；为得到关于 a 的表达式，证明需借助三角形其余部分所给出的关系式，消去辅助变量 x 和 h。

右侧子三角形上的勾股定理

黄色直角三角形的两条直角边为 h 和 x，斜边为 b，由此得到第二个方程，将辅助变量与已知边 b 关联起来。

b^2 = h^2 + x^2

由右侧三角形解出 $x^2$

整理右侧三角形的方程，使 $x^2$ 单独位于等式一侧，为余弦定理证明中的下一步消元做好准备。

x^2 = b^2 - h^2

由高线分割出的两个直角三角形

证明始于一个被高 h 分割为两个直角三角形的三角形。左侧直角三角形给出 $a^2=(c-x)^2+h^2$ ，右侧直角三角形给出 $b^2=h^2+x^2$ 。这两个关系式是整个推导过程的核心。

a^2 = (c-x)^2 + h^2,\quad b^2 = h^2 + x^2

利用右侧直角三角形消去 $x^2$

对右侧直角三角形的方程进行整理，得到 $x^2=b^2-h^2$ 。将其代入展开后的左侧直角三角形方程，替换了 $x^2$ ，并生成了互为相反数的 $h^2$ 项。

b^2 - h^2 = x^2

高线相关项的抵消

代入后，方程变为 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2-h^2+h^2$ 。其中 -h^2 与 + $h^2$ 相互抵消，留下仅含一个辅助未知量 x 的更简关系式。

a^2 = c^2 - 2cx + b^2

利用余弦表示 x

在包含角 A 的直角三角形中，余弦定义为邻边比斜边，因此 $\cos A = x / b$ 。解出 x 得 $x = b \cos (A)$ ，从而将剩余的辅助长度用已知量表示出来。

\cos A = \frac{x}{b},\quad x = b\cos(A)

余弦定理的最终形式

将 $x = b \cos (A)$ 代入 $a^2 = c^2 - 2$ cx + $b^2$ ，消去最后一个辅助变量，得到 $a^2$ 的最终展示公式。

a^2 = c^2 - 2cb\cos(A) + b^2

证明所用的几何构图

一个边长为 a、b、c 且含角 A 的三角形，被高 h 分割为两个直角三角形。底边 c 被分为 c-x 和 x 两段。这一构图使得证明可两次运用勾股定理，并继而使用余弦关系

左侧直角三角形的勾股定理方程

在左侧的直角三角形中，斜边为 a，两条直角边分别为 h 和 c-x，因此黑板上写出 $a^2=(c-x)^2+h^2$ 。展开后得到 $a^2=c^2-2$ cx+ $x^2+h^2$ 。

a^2 = (c-x)^2 + h^2

直角三角形的勾股定理方程

在右侧的直角三角形中，斜边为 b，两条直角边分别为 h 和 x，因此 $b^2=h^2+x^2$ 。整理得 $x^2=b^2-h^2$ ，该式被代入已展开的左侧三角形方程中。

b^2 = h^2 + x^2

由直角三角形导出的余弦关系

因为角 A 位于邻边为 x、斜边为 b 的直角三角形中，所以余弦比值为 $\cos A = x/b$ 。两边同乘 b 得 $x = b \cos A$ ，这正是代数推导末尾所用的三角代换。

\cos A = \frac{x}{b},\quad x = b\cos A

高项的消去

将 $x^2=b^2-h^2$ 代入 $a^2=c^2-2$ cx+ $x^2+h^2$ 后，表达式变为 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2-h^2+h^2$ 。其中 -h^2 与 + $h^2$ 相互抵消，最终剩下 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2$ 。

a^2 = c^2 - 2cx + b^2

余弦定理的最终标准形式

将 $x = b \cos A$ 代入 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2$ ，得到 $a^2=c^2-2$ cb $\cos (A)+b^2$ 。重新排列各项顺序，即得熟悉的标准形式 $a^2=b^2+c^2-2$ bc $\cos (A)$ ，主讲人将其框出作为最终结论。

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)

证明方法小结

口头回顾指出该方法为：将原三角形分割为两个直角三角形，对每个直角三角形应用勾股定理，再通过代入消去 $x^2$ 和 $h^2$ ，最后在右侧直角三角形中利用 SOHCAHTOA 将 x 替换为 b cos A。最终整理即得余弦定理。

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 27

a

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
三角形左侧斜边标记为 a。
声音
观察依据
讲解者指出目标是求解边长 a。

符号

含义

角 A 的对边；待求的未知边长。

适用范围

正实数（边长）。

b

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
三角形右侧斜边标记为 b。
声音
观察依据
讲解者说明已知边长 b。

符号

含义

已知位于三角形右侧、邻接角 A 的边长。

适用范围

正实数（边长）。

c

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
三角形底边标记为 c。
声音
观察依据
讲解者说明已知边长 c，并随后指出整个底边部分为 c。

符号

含义

非直角三角形的已知底边边长。

适用范围

正实数（边长）。

A

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
右下顶点处标记为 A 的角。
声音
观察依据
讲解者说明已知角 A。

符号

含义

已知三角形右下顶点处的内角。

适用范围

三角形的一个内角。

h

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
标有 h 的垂直高线段。
声音
观察依据
讲解者说，我们暂且将这条高线称为 h，代表高度。

符号

含义

从顶点向底边 c 作垂线所得高的长度。

适用范围

正实数（高度）。

x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
底边右侧部分标为 x。
声音
观察依据
讲解者说，我们暂且将这一边长称为 x。

符号

含义

高线垂足将底边截出的右侧子线段的长度。

适用范围

正实数（线段长度）。

c-x

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
底边左侧部分标记为〔c - x〕。
声音
观察依据
说话人称，此处的这条边长必须为〔c - x〕。

符号

c-x

含义

将底边〔c〕分割为〔x〕和〔c - x〕后，底边左侧子线段的长度。

适用范围

正实数（线段长度）。

a

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
大三角形的左侧斜边用蓝色标记为 a。
声音
观察依据
说话者表示他最终要找的是 a 的表达式。

符号

含义

角 A 的对边边长；待求解的目标未知量。

适用范围

正实数长度

b

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
大三角形的右侧斜边用黄色标记为 b。
公式
观察依据
出现在 $b^2 = h^2 + x^2$ 和 $b^2 - h^2 = x^2$ 中。

符号

含义

右子三角形中邻接角 A 的边长。

适用范围

正实数长度

c

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
大三角形的整个底边标记为 c。
公式
观察依据
出现在 (c-x)^2 和 $c^2 - 2$ cx + $x^2$ 中。

符号

含义

大三角形的整个底边长度，被垂足分为 c-x 和 x 两段。

适用范围

正实数长度

A

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
右下角顶点标记为 A。
字幕依据
观察依据
顶部文字显示：已知 C、b 和 A。

待核验内容

顶部手写文字使用大写字母 C，而图中底边用小写字母 c 表示；口述推导过程始终将 c 视为底边长度。

符号

含义

大三角形右下角顶点处的角。

适用范围

三角形的角

h

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
从顶点向底边所作的垂直高线标记为 h。
公式
观察依据
出现在 $a^2 = (c-x)^2 + h^2$ 和 $b^2 = h^2 + x^2$ 中。

符号

含义

从顶点向底边所作垂线的高。

适用范围

正实数长度

知识点 · 26

余弦定理的作用

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人指出，余弦定理之所以重要，是因为它让求解非直角三角形变得更容易，并促使我们证明该公式为何成立。
图示
观察依据
片头标题显示：余弦定理的证明。

定义

解释

本视频将余弦定理介绍为求解非直角三角形的工具，并将本片段定位为对这一公式来源的证明。

适用条件

适用于非直角三角形。
在此设定下，当已知两条边及其夹角时使用。

已知条件与证明目标

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
屏幕文字：已知 c、b 和角 A，求解边 a 的表达式。
声音
观察依据
讲解者指出，已知边长 c、边长 b 和角 A，最终目标是求出边长 a。

定义

解释

证明从一个已知两边c和b以及它们夹角A的三角形出发，寻求第三边a的表达式。

适用条件

已知量为c、b和A。
待求未知量为a。

先修条目

余弦定理的作用

作高线以构造直角三角形

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出处理非直角三角形较为困难，因此第一步是从顶点向底边作一条垂线，形成垂直关系。
图示
观察依据
从顶点向底边作一条竖直的线段，并在垂足处标出直角符号。

方法

解释

该方法通过从顶点向底边作一条垂直的高线，将一个非直角三角形转化为两个直角三角形。

适用条件

从一个非直角三角形开始。
从顶点向底边作一条垂线。

先修条目

已知条件与证明目标

由一条高线得到的两个直角三角形

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，现在我们已将一个非直角三角形分成了两个直角三角形，并用粗线勾勒出这两个三角形。
图示
观察依据
左侧三角形用蓝色粗线勾勒，右侧三角形用黄色粗线勾勒。

定义

解释

画出高线后，原三角形被分解为一个左侧直角三角形和一个右侧直角三角形，视觉上分别用蓝色和黄色轮廓加以区分。

适用条件

高线必须垂直于底边。
这种分解用于应用直角三角形的相关工具。

先修条目

作高线以构造直角三角形

对高线及被分割的底边线段进行命名

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者将高线命名为 h，将右侧底边段命名为 x，并指出另一段必为 c 减 x，因为整条底边长度为 c。
图示
观察依据
标注 h、x 和 c-x 分别出现在高线及两条底边线段上。

定义

解释

高线命名为 h；底边 c 被分为右侧线段 x 和左侧线段 c-x，从而使两个新形成的直角三角形的直角边均可表示为 h、x 和 c-x 的表达式。

适用条件

整条底边长度为 c。
右侧子线段为 x。
左侧子线段为 c-x。

先修条目

由一条高线得到的两个直角三角形

为何此时可运用勾股定理与三角函数比值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出：由于我们得到了两个直角三角形，因此可以分别对每个直角三角形使用勾股定理和三角函数（即 SOHCAHTOA）。
图示
观察依据
蓝色和黄色的直角三角形仍然可见，其直角边与斜边均已标注。

方法

解释

一旦图形被分解为若干直角三角形，证明便可分别在每个小直角三角形上独立应用勾股定理与直角三角形的三角函数比值。

适用条件

必须在每个直角三角形内分别进行推导。
这条高线构造出了所需的直角。

先修条目

对高线及被分割的底边线段进行命名

左子三角形的勾股关系

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
我知道斜边的平方等于三角形两条直角边的平方之和，即〔c minus x〕的平方与〔h〕的平方相加。
公式
观察依据
〔 $a^2 = (c-x)^2 + h^2$ 〕写在蓝色左子三角形下方。

公式

解释

对蓝色右三角形应用勾股定理，得到其斜边〔a〕的平方等于其两条直角边〔c-x〕与〔h〕的平方之和。

公式

a^2 = (c-x)^2 + h^2

适用条件

从顶点向底边所作的高与底边成直角。
〔a〕是左子三角形的斜边。

先修条目

以勾股定理作类比

以勾股定理作类比

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
这本质上就是〔a〕的平方加〔b〕的平方等于〔c〕的平方，只是形式上稍显复杂一些。

定义

解释

讲话者指出前述方程是标准直角三角形恒等式的具体实例，其中各边的角色因该几何构图而被重新命名。

公式

a^2 + b^2 = c^2

适用条件

适用于直角三角形。

用FOIL法展开（c－x）^2

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
我们来展开这个式子：我将把〔c minus x〕乘以〔c minus x〕。
公式
观察依据
（c－x）（c－x）＝ $c^2$ －cx－cx＋ $x^2$ ＝ $c^2$ －2cx＋ $x^2$ 写在右侧。

方法

解释

二项式的平方通过逐项分配展开，得到两个中间项，合并后为－2cx。

公式

(c-x)^2 = c^2 - 2cx + x^2

适用条件

实数范围内的标准代数运算。

将展开式代回左侧三角形的方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
而我们仍把加上的h的平方单独放在一旁。
公式
观察依据
$a^2$ ＝ $c^2$ －2cx＋ $x^2$ ＋ $h^2$ 写在第一个方程下方。

公式

解释

在勾股定理方程中用（c－x）^2的展开式替换，得到 $a^2$ 的展开表达式，其中仍含有辅助变量x和h。

公式

a^2 = c^2 - 2cx + x^2 + h^2

适用条件

直接由 $a^2$ ＝（c－x）^2＋ $h^2$ 与（c－x）^2＝ $c^2$ －2cx＋ $x^2$ 推出。

先修条目

左子三角形的勾股关系
用FOIL法展开（c－x）^2

直角子三角形的勾股关系

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
接下来我将先观察这里这个黄色三角形，并同样对它应用勾股定理。
公式
观察依据
$b^2$ ＝ $h^2$ ＋ $x^2$ 写在黄色直角子三角形下方。

公式

解释

对黄色直角三角形应用同一结论，可将其斜边 b 与高 h 及底边线段 x 关联起来。

公式

b^2 = h^2 + x^2

适用条件

从顶点向底边所作的高与底边垂直相交。
b 是该直角子三角形的斜边。

先修条目

以勾股定理作类比

从直角三角形方程中解出 $x^2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
若解出 x 的平方，则可知 x 的平方等于 b 的平方减去 h 的平方。
公式
观察依据
$b^2 - h^2 = x^2$ 写在 $b^2 = h^2 + x^2$ 的下方。

方法

解释

将 $b^2 = h^2 + x^2$ 重新整理，即可用 b 和 h 表示 $x^2$ ，为从 $a^2$ 的方程中消去辅助变量做好准备。

公式

x^2 = b^2 - h^2

适用条件

对 $b^2 = h^2 + x^2$ 所做的等价代数变形。

先修条目

直角子三角形的勾股关系

定理与条件 · 7

余弦定理简化了非直角三角形的求解过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，余弦定理极为重要，因为它使求解非直角三角形变得容易得多。

命题

余弦定理很有用，因为它使求解非直角三角形更加简便。

前提

处理非直角三角形

量词

关于余弦定理实用性的总体说明。

高线分解命题

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，从顶点向底边作一条垂线（即作高），可将一个非直角三角形分割成两个直角三角形。
图示
观察依据
从顶点向底边作一条垂直线段，并标出直角符号。

命题

从非直角三角形的顶点向底边作垂线，可将原三角形分解为两个直角三角形。

前提

从一个非直角三角形出发。
从顶点向底边作一条垂线。

量词

针对证明设定中所示的三角形。

底边上的线段相加关系

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出：若底边总长为〔c〕，其中一段为〔x〕，则另一段必为〔c〕减〔x〕。
图示
观察依据
底边整体标为〔c〕，其两段子线段分别标为〔x〕和〔c-x〕。

命题

若底边总长为〔c〕，其中一段子线段为〔x〕，则另一段子线段为〔c-x〕。

前提

高线的垂足将底边分为两段。
底边总长为〔c〕。
其中一段记为〔x〕。

量词

针对图中底边的两个子线段。

勾股定理与SOHCAHTOA的适用性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出：由于我们有两个直角三角形，因此可以分别对每个直角三角形使用勾股定理和三角函数（SOHCAHTOA）。

命题

作高之后，可分别对所形成的两个较小直角三角形应用勾股定理及直角三角形的三角函数比值。

前提

原三角形被一条高线分割为两个直角三角形。

量词

针对作图过程中所生成的两个直角三角形中的每一个。

策略主张：消去 x 和 h，从而获得 a 的表达式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
我之所以知道要这样做，部分原因在于我最终目标是求出 a 的表达式。现在我已得到 a 的平方等于此处某个量。因此，只要能找到消去这些 x 和 h 的方法，就能得到关于 a 的方程。

命题

一旦 $a^2$ 被重写为 c、x 和 h 的函数，消去辅助变量 x 和 h，便能得到仅含目标边 a 及已知量的方程。

前提

目标是解出 a。
当前方程为 $a^2 = c^2 - 2$ cx + $x^2 + h^2$ 。

量词

对于图中所示的三角形构型，若能将 x 和 h 从方程中消去，则剩余的关系式即可确定 a。

代入法将方程中辅助未知数的个数从三个减少到一个。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲话者明确指出，他将方程中的未知数从三个减少到了一个。
公式
观察依据
屏幕上展示的推导过程从 $a^2 = c^2 - 2$ cx + $x^2 + h^2$ 过渡到 $a^2 = c^2 - 2$ cx + $b^2$ 。

命题

利用 $x^2 = b^2 - h^2$ 替换展开后的左三角形方程中的 $x^2$ ，从而消去了 h，仅留下 x 作为剩余的辅助未知数。

前提

两个直角三角形的勾股关系均成立。
允许进行代数代入与消去运算。

量词

针对黑板上所画的三角形构型。

关于边 a 的余弦定理

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将这一结果称为余弦定理的推导或证明。
公式
观察依据
最终框出的方程为 $a^2 = b^2 + c^2 - 2$ bc $\cos (A)$ 。

待核验内容

此处展示的证明是针对所画锐角情形（即高落在底边内部）所写的；本片段未单独讨论钝角或直角情形。

定理

命题

对于图中所示的三角形，角 A 的对边满足 $a^2 = b^2 + c^2 - 2$ bc\cos(A)。

前提

一个三角形的三边长度分别为 a、b、c，角 A 如图中标注。
向底边作高 h，将底边分为长度为 x 和 c-x 的两段。

量词

针对视频片段中所示的已标注三角形构型。

推导与证明 · 6

余弦定理证明的几何设定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说明策略：作一条高线，构造出两个直角三角形；将该高线记为 h，并将底边分为 x 和 $c-x$ 两段。
图示
观察依据
作图过程逐步呈现：先作高线，再标出直角符号，接着用蓝色与黄色轮廓线突出显示，最后标注 h、x、 $c-x$ 。

视觉说明

步骤

公式
解释
从一个非直角三角形出发，已知两边 c 与 b 及其夹角 A，待求第三边 a。
步骤依据
这是题目所给条件及本证明的目标。
视频直接表达
公式
解释
从顶点向底边 c 作一条垂直高线。
步骤依据
主讲人指出，这是处理非直角三角形时通常的第一步。
视频直接表达
公式
解释
这条高线在原三角形内部构造出两个直角三角形。
步骤依据
作底边的垂线，垂足处形成直角。
视频直接表达
公式
$h$
解释
将这条高线记为 h。
步骤依据
主讲人明确赋予该符号，以便后续推导使用。
视频直接表达
公式
$x$
解释
将右侧底边的子线段记为 x。
步骤依据
主讲人引入 x 作为证明中一个半任意的标记。
视频直接表达
公式
$c-x$
解释
那么左侧底边的子线段即为 c-x。
步骤依据
由于整个底边长为 c，其中一部分为 x，剩余部分必为 c-x。
视频直接表达

结论

原非直角三角形已被重写为两个直角三角形：右侧直角三角形的两条直角边为 h 和 x，左侧直角三角形的两条直角边为 h 和 c-x，从而为应用勾股定理与三角学做好准备。

选择接下来使用哪个直角三角形工具

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出：由于我们拥有两个直角三角形，因此可以分别对每个直角三角形使用勾股定理和三角函数（SOHCAHTOA）。
图示
观察依据
左侧的蓝色三角形与右侧的黄色三角形仍保持高亮状态。

直观解释

步骤

公式
解释
意识到该作图构造出了两个直角三角形，而非一个斜三角形。
步骤依据
高线垂直于底边，因此每个较小的三角形都含有一个直角。
依据视频推导
公式
解释
因此，勾股定理现在可分别应用于每个较小的三角形。
步骤依据
勾股定理适用于直角三角形。
视频直接表达
公式
解释
此外，直角三角形的三角函数比值（如 SOHCAHTOA）也适用于每个较小的三角形。
步骤依据
主讲人明确指出：一旦分出了独立的直角三角形，三角函数便可放心使用。
视频直接表达

结论

证明已准备好通过分别对蓝色三角形和黄色三角形应用直角三角形关系来继续推进。

由左侧子三角形推导 $a^2$ 的展开式。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $a^2 = (c-x)^2 + h^2$ ，接着写为 (c-x)(c-x)，再展开为 $c^2$ - cx - cx + $x^2$ ，然后化简为 $c^2 - 2$ cx + $x^2$ ，最后得到 $a^2 = c^2 - 2$ cx + $x^2 + h^2$ 。
声音
观察依据
讲解者叙述了应用勾股定理、利用分配律或 FOIL 法展开，并将 + $h^2$ 单独保留。

严格证明

步骤

公式
$a^2 = (c-x)^2 + h^2$
解释
对蓝色直角三角形应用勾股定理，其两条直角边分别为 c-x 和 h，斜边为 a。
步骤依据
直角三角形上的勾股定理。
视频直接表达
公式
$(c-x)^2 = (c-x)(c-x)$
解释
将二项式的平方改写为两个相同因式的乘积，以便应用分配律。
步骤依据
二项式平方的定义。
视频直接表达
公式
$(c-x)(c-x) = c^2 - cx - cx + x^2$
解释
使用 FOIL 法／分配律逐项相乘。
步骤依据
乘法对加法／减法的分配律。
视频直接表达
公式
$c^2 - cx - cx + x^2 = c^2 - 2cx + x^2$
解释
合并两个相同的中间项。
步骤依据
合并同类项。
视频直接表达
公式
$a^2 = c^2 - 2cx + x^2 + h^2$
解释
将展开式代回原始的勾股定理方程。
步骤依据
等量代换。
视频直接表达

结论

左侧关系变为 $a^2 = c^2 - 2$ cx + $x^2 + h^2$ 。

由右侧子三角形推导出 $x^2 = b^2 - h^2$ 。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示 $b^2 = h^2 + x^2$ ，然后 $b^2 - h^2 = x^2$ 。
声音
观察依据
说话者表示他将对黄色三角形应用勾股定理，然后解出 x 的平方。

严格证明

步骤

公式
$b^2 = h^2 + x^2$
解释
对直角边为 h 和 x、斜边为 b 的黄色直角三角形应用勾股定理。
步骤依据
对直角三角形应用勾股定理。
视频直接表达
公式
$b^2 - h^2 = x^2$
解释
将 $h^2$ 移至等号另一边，以分离出 $x^2$ 。
步骤依据
在等式两边同时减去 $h^2$ 。
视频直接表达

结论

辅助量 $x^2$ 表示为 $b^2 - h^2$ 。

从两个直角三角形及余弦代换出发，推导余弦定理。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
连续的口头推导过程，从代入 $x^2$ 开始，直至通过余弦关系消去 x。
公式
观察依据
展示的方程序列： $a^2=(c-x)^2+h^2$ ， $b^2=h^2+x^2$ ， $b^2-h^2=x^2$ ， $a^2=c^2-2$ cx+ $x^2+h^2$ ， $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2-h^2+h^2$ ， $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2$ ， $\cos A=x/b$ ， $b \cos (A)=x$ ， $a^2=c^2-2$ cb $\cos (A)+b^2$ 。

待核验内容

该片段始于部分前期推导已书写完成之后，因此本片段中未完整呈现作高的初始构造过程。

严格证明

步骤

公式
$a^2 = (c-x)^2 + h^2$
解释
从由高所构成的左侧直角三角形开始。
步骤依据
对斜边为 a、直角边为 c-x 和 h 的三角形应用勾股定理。
视频直接表达
公式
$b^2 = h^2 + x^2$
解释
写出右侧直角三角形所对应的等式关系。
步骤依据
对斜边为 b、直角边为 h 和 x 的三角形应用勾股定理。
视频直接表达
公式
$b^2 - h^2 = x^2$
解释
重新整理第二个关系式，以解出 $x^2$ 。
步骤依据
在等式两边同时减去 $h^2$ 。
视频直接表达
公式
$a^2 = c^2 - 2cx + x^2 + h^2$
解释
展开第一个关系式中的平方项。
步骤依据
(c-x)^2 的二项式展开。
视频直接表达
公式
$a^2 = c^2 - 2cx + b^2 - h^2 + h^2$
解释
在展开后的等式中，将 $x^2$ 替换为 $b^2-h^2$ 。
步骤依据
使用解出的 $x^2$ 表达式进行代入。
视频直接表达
公式
$a^2 = c^2 - 2cx + b^2$
解释
消去互为相反数的 $h^2$ 项。
步骤依据
加法逆元相消：-h^ $2 + h^2 = 0$ 。
视频直接表达
公式
$\cos A = \frac{x}{b}$
解释
在含角 A 的直角三角形中，用三角函数表示 x。
步骤依据
余弦定义为邻边比斜边。
视频直接表达
公式
$b\cos(A) = x$
解释
解关于 x 的余弦方程。
步骤依据
等式两边同乘以 b。
视频直接表达
公式
$a^2 = c^2 - 2cb\cos(A) + b^2$
解释
将 $x = b \cos (A)$ 代入化简后的方程。
步骤依据
直接代入 -2cx 这一项。
视频直接表达

结论

所展示的推导过程，得到了所示三角形的余弦定理形式： $a^2 = c^2 - 2$ cb\cos(A) + $b^2$ 。

从两个直角三角形出发推导余弦定理。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
黑板上显示序列 $a^2=(c-x)^2+h^2$ ，接着展开，将 $b^2-h^2$ 代入 $x^2$ ，消去 $h^2$ ，化简得 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2$ ，并代入 $x=b \cos (A)$ 。
声音
观察依据
讲解者叙述将其整理为标准形式的过程，并总结证明步骤。

待核验内容

此前的代数推导行在视频片段起始时已全部呈现，因此本片段中无法看出各前行最初书写的确切时刻。

严格证明

步骤

公式
$a^2 = (c-x)^2 + h^2$
解释
对左侧直角三角形应用勾股定理，其两条直角边为 h 和 c-x，斜边为 a。
步骤依据
对左侧三角形应用勾股定理。
视频直接表达
公式
$a^2 = c^2 - 2cx + x^2 + h^2$
解释
展开 (c-x)^2，并保留 $h^2$ 项。
步骤依据
平方的代数展开。
视频直接表达
公式
$a^2 = c^2 - 2cx + (b^2 - h^2) + h^2$
解释
用 $x^2$ 代入直角三角形关系式 $b^2 = h^2 + x^2$ ，得到 $x^2 = b^2 - h^2$ 。
步骤依据
由右侧三角形的勾股定理所得的代入。
视频直接表达
公式
$a^2 = c^2 - 2cx + b^2$
解释
消去 + $h^2$ 和 -h^2。
步骤依据
代数化简。
视频直接表达
公式
$x = b\cos A$
解释
在包含角 A 的直角三角形中，利用余弦比： $\cos A = x/b$ 。
步骤依据
余弦在直角三角形中的定义（SOHCAHTOA）。
视频直接表达
公式
$a^2 = c^2 - 2cb\cos(A) + b^2$
解释
将 $x = b \cos A$ 代入上一行。
步骤依据
直接代入。
视频直接表达
公式
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)$
解释
重新排列各项，整理为余弦定理的标准形式。
步骤依据
加法的交换律重排。
视频直接表达

结论

本片段推导出余弦定理的形式： $a^2 = b^2 + c^2 - 2$ bc\cos(A)。

图示与动画 · 12

标题卡

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
黑色背景，手写白色标题：余弦定理证明。

图中对象

手写标题文字

变化过程

静态标题在屏幕上保持不动，同时主讲人介绍本课主题。

不变量

尚未出现三角形图示。

数学含义

该片段以余弦定理的证明为框架，而非仅展示公式的应用。

初始三角形及问题陈述

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
出现一个不等边三角形，边长标记为 a、b、c，角标记为 A；文字说明为：已知 c、b 和 A，求解 a 的表达式。

图中对象

三角形
标记 a、b、c、A
提示文字

变化过程

三角形及其已知条件一次性全部呈现。

不变量

待求的未知量是边 a。
已知数据为 c、b 和角 A。

数学含义

这确立了用于推导余弦定理的“两边及其夹角”（SAS）型构型。

作高线

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
从顶点向底边作一条垂线段，并在垂足处标出一个小正方形直角标记。

图中对象

原三角形
高线段
直角标记

变化过程

从顶点向底边作一条垂线段。
直角符号标出高线的垂足。

不变量

外三角形的边 a、b、c 及角 A 保持不变。

数学含义

该作图将斜三角形问题转化为两个直角三角形问题。

突出显示这两个直角三角形

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
左侧内三角形用蓝色勾勒，右侧内三角形用黄色勾勒。

图中对象

蓝色勾勒的左侧直角三角形
黄色勾勒的右侧直角三角形

变化过程

颜色强调区分了新形成的两个直角三角形。

不变量

它们共享同一条高，即共用的垂直边。

数学含义

颜色编码明确了哪些部分属于哪个直角三角形，为后续代数运算做准备。

标注高与被分割的底边

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
在高和两条底边线段上分别标注了 h、x 和 c-x。

图中对象

高的标注为 h
右侧底边的标注为 x
左侧底边的标注为 c-x

变化过程

在几何构图中新增了符号化标注。

不变量

底边总长仍为 $c = x + (c-x)$ 。

数学含义

该图示现在完全用 h、x、c-x、a 和 b 表达了两个直角三角形。

用于证明的静态几何构型

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
画出一个大三角形，底边为〔c〕，左侧边为〔a〕，右侧边为〔b〕，顶点向底边作高〔h〕，底边被高分为左侧〔c-x〕和右侧〔x〕两段；高的垂足处标有直角标记。
字幕依据
观察依据
顶部文字说明：已知 C、b 和 A，求解 a 的表达式。

待核验内容

顶部文字写的是 C，而图中标注的底边为 c。

图中对象

大三角形
左侧小三角形
右侧小三角形
高〔h〕
底边线段〔c-x〕和〔x〕
直角标记
标注了 a、b、c、A、h、x。

变化过程

推导过程中，方程依次写在图形下方及旁边。

不变量

高线在整个过程中始终垂直于底边。
分解式 $c = (c-x) + x$ 在图中保持不变。

数学含义

该图示编码了两个共享同一高线 h 的直角三角形，从而可通过分别对每个子三角形应用勾股定理，来推进余弦定理的推导过程。

二项式展开的 FOIL 法可视化

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
弯曲箭头连接 (c-x)(c-x) 中的各项，以标示首项、外项、内项和末项的乘积。

图中对象

〔c〕减〔x〕的差的平方。
弯曲的乘法箭头

变化过程

箭头表示在写出展开后的多项式之前，各项之间的两两相乘关系。

不变量

正在展开的乘积始终为 (c-x)(c-x)。

数学含义

箭头图明确指出，中间项源自外项乘积与内项乘积，二者均等于 -cx。

指针强调那些不希望出现的辅助变量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
光标指向方程 $a^2 = c^2 - 2$ cx + $x^2 + h^2$ 中涉及 x 和 h 的各项，此时讲解者正讨论如何消去这些 x 和 h。

图中对象

方程 $a^2 = c^2 - 2$ cx + $x^2 + h^2$
光标

变化过程

接下来的代数目标聚焦于 x 项和 h 项。

不变量

在此过程中，方程本身并不发生变化。

数学含义

这一视觉提示标志着从推导展开式转向规划变量消去。

静态白板几何图示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
画出一个大三角形，并作一条竖直高线，将其分割为左侧的蓝色直角三角形和右侧的黄色直角三角形。
图示
观察依据
标签 a、b、c、h、x、c-x 和 A 在整个片段中始终可见。

图中对象

大三角形
高 h
左侧直角三角形
右侧直角三角形
标注 a、b、c、h、x、 $c-x$ 、A

变化过程

随着证明推进，新的代数式逐行添加在图示下方。
余弦关系式在视频片段后期添加于白板右侧。

不变量

将原三角形按高分解为两个直角三角形的几何结构保持不变。
三角形上的标注在本片段中不发生变化。

数学含义

视觉布局体现了证明策略：作高构造两个直角三角形，利用勾股定理关联其边长，再借助已知角 A 消去辅助长度。

对代入项的颜色高亮显示

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人表示将用颜色帮助观众理解代入过程，并随后说道‘颜色错了，该用绿色’。
图示
观察依据
代入的项在新行中用对比鲜明的颜色书写。

待核验内容

每个符号的确切颜色分配在各帧之间并非完全稳定，但说话人明确使用颜色来标记被代入的部分。

图中对象

$x^2$ 项
$b^2-h^2$ 代入
$b \cos (A)$ 代入

变化过程

$x^2$ 项在视觉上被 $b^2-h^2$ 所替换。
随后，-2cx中的x被替换为 $b \cos (A)$ 。

不变量

底层的代数等式保持不变，仅按指示进行了代入。

数学含义

说话人教学性地使用颜色来追踪推导每一步中正在被替换的子表达式。

整体白板布局

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一块黑色数字白板，左上方绘有一个大三角形，一条竖直高线 h，底边被分为 c-x 和 x 两段，下方及右侧有多行手写公式。

图中对象

标有 a、b、c 的大三角形
高 h
底边线段 c-x 和 x
右下方的角 A
三角形下方的手写公式
右上方的绿色余弦关系式
右下方的蓝色框出的最终公式

变化过程

本片段中新写的主要内容是蓝色最终公式 $a^2 = b^2 + c^2 - 2$ bc $\cos (A)$ 。
在片段接近结尾时，用蓝色方框将最终公式框出。

不变量

三角形图示及此前的推导步骤在整个片段中始终可见。

数学含义

视觉布局将几何设定、中间代数运算、三角代换以及最终的标准形式结果清晰区分开来。

突出显示最终结果

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
最终公式书写完毕后，为其添加一个蓝色矩形外框。

图中对象

最终公式为 $a^2 = b^2 + c^2 - 2$ bc $\cos (A)$
蓝色矩形框

变化过程

完成后的公式被框入一个方框中。

不变量

加框后，公式的实际内容并未改变。

数学含义

加框标志着该公式是本次证明的最终结论。

易错点 · 6

切勿将原始的斜三角形当作直角三角形来处理

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，处理非直角三角形相当困难，因此通常第一步是对此非直角三角形作一条高。

误区

有人可能期望直接将直角三角形公式应用于原始的非直角三角形。

说明

视频中则先通过作一条高，将图形转化为两个直角三角形。

仅在每个较小的三角形内部使用直角三角形工具

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，我们现在可以使用勾股定理以及那些三角函数——即SOHCAHTOA——只要将它们分别用于各个独立的直角三角形即可。

误区

在引入三角比与勾股定理之后，有人可能会在整个原始三角形范围内混用各种关系式。

说明

主讲人明确限定：这些工具只能用于由高所分割出的两个独立直角三角形。

误将重命名后的勾股定理方程当作一个新定理

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
这本质上就是 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方，只是看起来稍微花哨了一点。

误区

由于该方程写作 $a^2 = (c-x)^2 + h^2$ ，人们可能认为它已不再是勾股定理。

说明

这恰恰是勾股定理在直角三角形中的应用：该三角形的两条直角边分别为 c-x 和 h，斜边为 a。

跳过二项式展开步骤

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
我知道这非常违反直觉，但让我们继续展开这个式子。

误区

有人可能会尝试直接对 $a^2 = (c-x)^2 + h^2$ 进行变形，而不先展开 (c-x)^2。

说明

视频明确将 (c-x)^2 展开为 $c^2 - 2$ cx + $x^2$ ，以便后续观察消项与代入过程。

混淆辅助变量与目标未知量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话人将含有x、 $x^2$ 和 $h^2$ 的情形，与最终只剩下一个未知量的情形进行对比。

误区

人们可能会认为，展开后该方程仍含有若干个相互独立的未知量。

说明

视频强调，代入法完全消去了 $h^2$ ，随后又消去了 x，最终得到用已知量 b、c 和 A 表示的 $a^2$ 的表达式。

默认所展示的证明自动涵盖所有三角形形状，且未加说明。

依据清楚

补充解释

来源依据

图示
观察依据
所作的高线落在底边上，与锐角三角形图示相符。
声音
观察依据
讲解者在总结证明时，并未讨论其他构型。

误区

人们或许会认为本片段中呈现的论证明确处理了所有可能的三角形形状。

说明

本片段直观地证明了具有内部高线的该特定构型下的公式；本节 excerpt 中并未单独讨论钝角三角形或直角三角形的情形。

概念关系 · 18

余弦定理的作用 → 已知条件与证明目标

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
讲解者从说明余弦定理适用于非直角三角形，过渡到明确给出已知量 c、b、A 及待求量 a。

应用

解释

余弦定理的一般实用性，通过屏幕上展示的具体解三角形目标得以具体化。

已知条件与证明目标 → 作高线以构造直角三角形

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
在陈述已知条件后，主讲人指出：求解非直角三角形时通常的第一步是作一条高。

应用

解释

给定的斜三角形问题推动了作高的构造。

作高线以构造直角三角形 → 由一条高线得到的两个直角三角形

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出：作高可将一个非直角三角形划分为两个直角三角形。
图示
观察依据
蓝色和黄色的轮廓线显示了所得到的两个直角三角形。

包含

解释

作高法直接产生的几何结果就是这一对直角三角形。

由一条高线得到的两个直角三角形 → 对高线及被分割的底边线段进行命名

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人在识别出两个直角三角形后，为 h、x 和 c-x 命名。
图示
观察依据
为高线和底边上的线段添加了标签。

包含

解释

描述这两个直角三角形，需要命名它们共用的高以及被分割的底边线段。

对高线及被分割的底边线段进行命名 → 为何此时可运用勾股定理与三角函数比值

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人说：因为我们有两个直角三角形，所以可以使用勾股定理和三角函数。

先修

解释

只有当图形被表示为两条直角边已标注的直角三角形后，才能在证明中应用勾股定理和 SOHCAHTOA。

作高线以构造直角三角形 → 为何此时可运用勾股定理与三角函数比值

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
引入高线，正是为了使非直角三角形也能借助直角三角形的工具来处理。

证明依赖

解释

证明中能否使用勾股定理，取决于是否首先作出了高线。

以勾股定理作类比 → 左子三角形的勾股关系

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲话者指出该方程本质上就是勾股定理：a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。
公式
观察依据
由蓝色子三角形写出等式 $a^2 = (c-x)^2 + h^2$ 。

应用

解释

在由高线构成的左侧直角三角形上，应用了广义勾股定理。

以勾股定理作类比 → 直角子三角形的勾股关系

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
我接下来也将对该三角形应用勾股定理。
公式
观察依据
由黄色子三角形写出等式 $b^2 = h^2 + x^2$ 。

应用

解释

同一勾股定理再次应用于高线所形成的第二个直角三角形。

用FOIL法展开（c－x）^2 → 将展开式代回左侧三角形的方程

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
黑板上首先推导出 $c^2 - 2$ cx + $x^2$ ，然后写出 $a^2 = c^2 - 2$ cx + $x^2 + h^2$ 。

证明依赖

解释

代入后得到的 $a^2$ 表达式，直接依赖于先前对 (c-x)^2 的展开。

策略主张：消去 x 和 h，从而获得 a 的表达式 → 从直角三角形方程中解出 $x^2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
如果我能找到一种方法消去这些 x 和 h，那么我就得到了关于 a 的方程。
公式
观察依据
在写出 $a^2 = c^2 - 2$ cx + $x^2 + h^2$ 后，讲话者推导出 $b^2 - h^2 = x^2$ 。

证明依赖

解释

从右侧子三角形解出 $x^2$ ，被呈现为消除 $a^2$ 方程中辅助变量的下一步。

直角三角形的勾股关系 → 从直角三角形方程中解出 $x^2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
板书从 $b^2=h^2+x^2$ 推出 $b^2-h^2=x^2$ ，再将该式代入 $a^2$ 的展开式中。

证明依赖

解释

$x^2$ 的分离直接依赖于直角三角形的勾股关系。

用 $b^2-h^2$ 替换 $x^2 \to h^2$ 项的抵消

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
在写出 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2-h^2+h^2$ 后，下一行化简为 $a^2=c^2-2$ cx+ $b^2$ 。

证明依赖

解释

消去步骤仅在用 $b^2-h^2$ 替换 $x^2$ 后才可进行。

问题定位 · 19

视频为何称余弦定理很重要？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
主讲人解释了余弦定理对非直角三角形的重要性。

涉及知识点

余弦定理的作用

该证明设定中，已知量和目标未知量分别是什么？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

图示
观察依据
屏幕提示语为：已知 c、b 和 A；求解 a 的表达式。

涉及知识点

已知条件与证明目标

处理非直角三角形时所采用的第一个几何步骤是什么？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，常规的第一步是从非直角三角形的顶点向对边作一条高。

涉及知识点

作高线以构造直角三角形

这条高如何将原三角形转化为两个可利用的图形？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

图示
观察依据
蓝色与黄色轮廓线用于区分这两个直角三角形。

涉及知识点

由一条高线得到的两个直角三角形

图中 h、x 和 c-x 分别代表什么？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

图示
观察依据
在构图中添加了标记 h、x 和 c-x。

涉及知识点

对高线及被分割的底边线段进行命名

为何在此证明阶段可以使用勾股定理与三角函数比值？

依据清楚

依据视频推导

来源依据

声音
观察依据
讲解者指出，由于现在出现了两个直角三角形，勾股定理与三角函数定义（SOHCAHTOA）均可使用。

涉及知识点

为何此时可运用勾股定理与三角函数比值

为什么在余弦定理的这个证明中，可以对左侧的子三角形应用勾股定理？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
我知道斜边的平方等于三角形两条直角边的平方和。

涉及知识点

左子三角形的勾股关系
以勾股定理作类比

在推导过程中，（ $c-x$ ）^2是如何一步步展开的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
（ $c-x$ ）（ $c-x$ ）＝ $c^2-2$ cx＋ $x^2$ ，并用FOIL法则的箭头图示展示。

涉及知识点

用FOIL法展开（c－x）^2

在得到 $a^2$ ＝ $c^2-2$ cx＋ $x^2$ ＋ $h^2$ 之后，消除x和h的策略是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
如果我能找到一种方法消去这些x和h，那么我就得到了关于a的一个方程。

涉及知识点

策略主张：消去 x 和 h，从而获得 a 的表达式
从直角三角形方程中解出 $x^2$

该证明如何利用黄色直角三角形来表示 $x^2$ ？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上写着： $b^2$ ＝ $h^2$ ＋ $x^2$ ，以及 $b^2-h^2$ ＝ $x^2$ 。

涉及知识点

直角子三角形的勾股关系
从直角三角形方程中解出 $x^2$

该证明是如何消去高 h 的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲解者说明，将 $x^2$ 替换为 $b^2-h^2$ ，从而使 -h^2 与 + $h^2$ 相互抵消。

涉及知识点

从直角三角形方程中解出 $x^2$
用 $b^2-h^2$ 替换 $x^2$
$h^2$ 项的抵消

剩余的 x 是如何被消去从而得到余弦定理的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
说话者表示需要一种方法消去 x，随后使用了角 A 的余弦值。

涉及知识点

在直角黄色三角形中的余弦比
从余弦关系式中解出x
屏幕上推导出的余弦定理最终表达式

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 余弦定理证明的引入性动机。

已覆盖 · 已知三角形数据，目标是求解边长 a。

已覆盖 · 作高并构造出两个直角三角形。

已覆盖 · 用颜色对两个直角三角形进行视觉区分。

已覆盖 · 在高线及被分割的底边上标出 h、x 和 c-x。

已覆盖 · 说明此时可对这两个独立的直角三角形分别应用勾股定理与三角函数定义（SOHCAHTOA）。

已覆盖 · 左侧子三角形的勾股定理设定，及其与 $a^2$ ＋ $b^2$ ＝ $c^2$ 的类比。

已覆盖 · （ $c-x$ ）^2的展开，以及将其代回 $a^2$ 的方程中。

已覆盖 · 讲话者解释了消去x和h以获得a的表达式的最终目标。

已覆盖 · 右侧子三角形的勾股关系，及其变形为 $x^2$ ＝ $b^2-h^2$ 。

已覆盖 · 整段摘录是一段连续的白板推导，从所展示的三角形构型出发，严格推导余弦定理，其间不含任何独立的非数学内容段落。

已覆盖 · 黑板上已呈现几何构图与中间代数步骤，此时主讲人引入“整理为标准形式”的操作。

已覆盖 · 主讲人逐项写出最终公式 $a^2 = b^2 + c^2 - 2$ bc $\cos (A)$ 。

已覆盖 · 最终公式被框出，主讲人用语言概括了证明策略及其在当前构型下的局限性。

探索视频中的知识

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余弦定理证明定位 0:00
查看关联依据
已审核中文素材 v1：card「已知条件与待求未知量」出现在 0:21——图示呈现一个三角形，其中两边 c 与 b 及夹角 A 已知；目标是推导出第三边 a 的表达式。

余弦定理证明

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

余弦定理的作用

已知条件与待求未知量

斜三角形的作高策略

分解为两个直角三角形

标注高 h、底边右段 x 和底边左段 c-x

为何此时可使用勾股定理与三角函数比值（SOHCAHTOA）

左侧子三角形上的勾股定理

展开二项式 (c-x)^2

a2a^2a2 的展开式

目标是消去 x 和 h

右侧子三角形上的勾股定理

由右侧三角形解出 x2x^2x2

由高线分割出的两个直角三角形

利用右侧直角三角形消去 x2x^2x2

高线相关项的抵消

利用余弦表示 x

余弦定理的最终形式

证明所用的几何构图

左侧直角三角形的勾股定理方程

直角三角形的勾股定理方程

由直角三角形导出的余弦关系

高项的消去

余弦定理的最终标准形式

证明方法小结

详细学习笔记

a

b

c

A

h

x

c-x

a

b

c

A

h

余弦定理的作用

已知条件与证明目标

作高线以构造直角三角形

由一条高线得到的两个直角三角形

对高线及被分割的底边线段进行命名

为何此时可运用勾股定理与三角函数比值

左子三角形的勾股关系

以勾股定理作类比

用FOIL法展开（c－x）^2

将展开式代回左侧三角形的方程

直角子三角形的勾股关系

从直角三角形方程中解出 x2x^2x2

余弦定理简化了非直角三角形的求解过程

高线分解命题

底边上的线段相加关系

勾股定理与SOHCAHTOA的适用性

策略主张：消去 x 和 h，从而获得 a 的表达式

代入法将方程中辅助未知数的个数从三个减少到一个。

关于边 a 的余弦定理

余弦定理证明的几何设定

选择接下来使用哪个直角三角形工具

由左侧子三角形推导 a2a^2a2 的展开式。

由右侧子三角形推导出 x2=b2−h2x^2 = b^2 - h^2x2=b2−h2。

从两个直角三角形及余弦代换出发，推导余弦定理。

从两个直角三角形出发推导余弦定理。

标题卡

初始三角形及问题陈述

作高线

突出显示这两个直角三角形

标注高与被分割的底边

用于证明的静态几何构型

二项式展开的 FOIL 法可视化

指针强调那些不希望出现的辅助变量

静态白板几何图示

对代入项的颜色高亮显示

整体白板布局

突出显示最终结果

切勿将原始的斜三角形当作直角三角形来处理

$a^2$ 的展开式

由右侧三角形解出 $x^2$

利用右侧直角三角形消去 $x^2$

从直角三角形方程中解出 $x^2$

由左侧子三角形推导 $a^2$ 的展开式。

由右侧子三角形推导出 $x^2 = b^2 - h^2$ 。

策略主张：消去 x 和 h，从而获得 a 的表达式 → 从直角三角形方程中解出 $x^2$

直角三角形的勾股关系 → 从直角三角形方程中解出 $x^2$

用 $b^2-h^2$ 替换 $x^2 \to h^2$ 项的抵消

在推导过程中，（ $c-x$ ）^2是如何一步步展开的？

在得到 $a^2$ ＝ $c^2-2$ cx＋ $x^2$ ＋ $h^2$ 之后，消除x和h的策略是什么？

该证明如何利用黄色直角三角形来表示 $x^2$ ？