正弦定理

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，该定律适用于一个斜三角形，其三个角分别为角A、角B和角C，均用大写字母表示。

2. 公式
   观察依据

   所显示的公式在分母中使用了 $\sin A$、$\sin B$ 和 $\sin C$。

3. 图示
   观察依据

   三角形示意图的三个顶点分别标记为A、B和C。

A

三角形顶点A处的角；在例题中，该角由三角形内角和关系求得。

三角形的一个内角，在例题中以度为单位进行度量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将三个角命名为角A、角B和角C。

2. 公式
   观察依据

   所显示的公式包含 $\sin B$。

3. 图示
   观察依据

   三角形上标有顶点B。

B

三角形顶点B处的角；在例题中，该角给定为50°。

三角形的一个内角，在例题中以度为单位进行度量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将三个角命名为角A、角B和角C。

2. 公式
   观察依据

   所显示的公式包含 $\sin C$。

3. 图示
   观察依据

   顶点 C 在三角形上标出。

C

三角形在顶点 C 处的角；在例题中给出为85°。

三角形的一个内角，在例题中以度为单位测量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，边 a、b、c 均为小写字母，且分别严格对准其对应的角。

2. 公式
   观察依据

   所显示的公式使用边 a 除以 sin A。

3. 图示
   观察依据

   边 a 被画在顶点 A 的对边位置。

a

角 A 的对边长度。

正实数长度。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，边 a、b、c 均为小写字母，且分别严格对准其对应的角。

2. 公式
   观察依据

   所显示的公式使用边 b 除以 sin B。

3. 图示
   观察依据

   边 b 被画在顶点 B 的对边位置。

b

角 B 的对边长度；在例题中其值为7。

正实数长度。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，边 a、b 和 c 均为小写字母，且分别精确地对向其对应的角。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的正弦定理公式为〔c〕除以〔sin C〕。

3. 图示
   观察依据

   边 c 被画在顶点 C 的对边位置。

c

对向角 C 的边长。

正实数长度。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的正弦定理公式中写有〔sin A〕、〔sin B〕和〔sin C〕。

2. 声音
   观察依据

   讲解者将该关系读作：〔a〕比〔sine A〕等于〔b〕比〔sine B〕等于〔c〕比〔sine C〕。

$\sin$

对三角形每个内角应用正弦函数。

本课中，角度以度数为单位标示。

1. 图示
   观察依据

   在SAA示例中，边a标注在45°角的对边。

2. 公式
   观察依据

   所显示的比例式为 $a / \sin 45$°。

a

SAA示例中45°角的对边边长

正实数

1. 图示
   观察依据

   在SAA示例中，边c标注在85°角的对边。

2. 公式
   观察依据

   所显示的比例式为 $c / \sin 85$°。

c

SAA示例中85°角的对边边长

正实数

1. 图示
   观察依据

   SAA三角形中已知的边标注为7。

2. 公式
   观察依据

   中间的分式为$7 / \sin 50$°。

7

SAA示例中50°角的对边已知边长

正实数

1. 图示
   观察依据

   ASA三角形最初将未知的右角标记为B。

2. 公式
   观察依据

   所显示的比例式中，在计算B之前为$12/\sin B$。

B

ASA例题中的未知角，后续求得为50°

角度的度数

1. 图示
   观察依据

   边a被标记为对向35°角的边。

2. 公式
   观察依据

   所显示的比例式中使用$a/\sin 35$°。

a

ASA例题中对向35°角的边长

正实数

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“斜三角形是指不含直角的三角形。”

2. 图示
   观察依据

   一个标注为“斜三角形”的三角形出现，括号内附注文字“（无直角）”。

斜三角形是指不含直角的三角形。视频将其与直角三角形作对比，而此前学习的三角函数关系（如SOHCAHTOA）正是针对直角三角形的。

1. 适用于平面几何中的三角形。

2. 其定义性限制是：该三角形不含90°的角。

1. 声音
   观察依据

   主讲人陈述了斜三角形的正弦定理：设三角形的三个角为A、B、C，其对边分别为a、b、c。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。

3. 图示
   观察依据

   三角形示意图中标注了顶点A、B、C及其对边a、b、c。

对于斜三角形，每条边的长度与其对角的正弦值之比，在全部三组边角对中均相等。视频指出，这一关系可用于在已知足够多信息时求解未知的边长或角度。

1. 该三角形是一个斜三角形。

2. 角A、B、C是该三角形的内角。

3. 边a、b、c分别对角A、B、C。

4. 分母中的正弦值必须非零，所显示的比值才有意义。

1. 斜三角形
2. $\sin$

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们只需记住其中几个值，就能求出其余的值。”

2. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字显示：“如果我们知道其中一些值，就能求出其他值。”

视频解释道，正弦定理之所以有用，是因为只要知道部分边角量，便可借助这些相等的比值解出其余未知量。

1. 必须至少掌握足够信息，才能列出一个可用的方程。

2. 应通过代数运算，从比值相等式中将未知量单独分离出来。

1. 正弦定理

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“我们来看这个边角角三角形，即已知一条边和两个角。”

2. 字幕依据
   观察依据

   章节标题为：“用正弦定理解边角角（SAA）三角形”

3. 图示
   观察依据

   例题三角形展示了一条已知边和两个已知角。

边角角（SAA）三角形是指已知一条边和两个角的三角形。在本视频的例子中，已知边与其中一个已知角配对，前提是第三个角已先算出。

1. 已知一条边的长度。

2. 已知两个内角。

1. 斜三角形

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“首先，已知两个角，我们总能求出第三个角。只需用180减去这两个角。”

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 $A = 180 - (85 + 50)$，然后 $A = 45$。

当三角形的两个角已知时，第三个角可通过从180中减去这两个角的和得到。在示例中，已知角85°和50°，得出缺失角 $A = 45$°。

1. 该图形是一个三角形。

2. 已有两个内角已知。

3. 屏幕上显示的计算中，角度单位为度。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，一旦存在一组角与对边的对应关系，便可利用其比值求出另外两条边，并描述了将角度代入并计算的过程。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 $a = 7(\sin 45^\circ / \sin 50^\circ)$ 和 $c = 7(\sin 85^\circ / \sin 50^\circ)$。

3. 图示
   观察依据

   已知的对应关系被高亮标出：边7对角50°。

1. 本片段中未显示 a 和 c 的最终数值。

在构成一个已知的角-边对后，正弦定理被重新整理，使得未知边等于已知边乘以‘未知边所对角的正弦’与‘已知角的正弦’之比。在示例中，边 7 的对角为 50°，用于表示 a 和 c。

1. 必须已知一组完整的角边对。

2. 目标边必须对向一个已知角。

3. 分母中的已知角的正弦值必须不为零。

1. 正弦定理
2. 由两个已知角求第三个角

1. 公式
   观察依据

   屏幕显示：$a/\sin 45$° = $7/\sin 50$° = $c/\sin 85$°，适用于已知两角及其中一角对边（SAA）的三角形。

2. 声音
   观察依据

   讲解员提示将数值代入正弦定理，并使用计算器求得边长的近似值。

视频通过将每条边长与其对角的正弦值相等来应用正弦定理。在 SAA 示例中，已知的一组是边 7 与其对角 50°，因此其余未知边长由同一公共比值解出。

1. 本节中，角度以度为单位进行度量。

2. 每条边必须与其对角配对。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“当我们使用这种方法时，通常以度为单位度量角度，并直接将数值代入计算器，从而得到边长的近似值。”

2. 公式
   观察依据

   底部公式行首先显示 $a = 7$(sin 45°/sin 50°) 和 $c = 7$(sin 85°/sin 50°)，随后更新为 $a = 6.46$ 和 $c = 9.10$。

对于边-角-角型三角形，视频首先识别已知的边-角对应关系，然后通过将已知边乘以正弦比值，分别解出各未知边。所得结果为小数近似值，而非精确表达式。

1. 已知两个角和一条边。

2. 已知边无需位于两个已知角之间。

1. 正弦定理的比例式构建

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“此处我们所知道的边，恰好是夹在两个已知角之间的那条边。”

2. 图示
   观察依据

   ASA 页面标题为“利用正弦定理求解 ASA 型三角形”，且已知边 12 位于 35° 角与 95° 角之间。

视频将角-边-角定义为：已知边恰好是夹在两个已知角之间的那条边。这一定义将 ASA 与先前的 SAA 情形区分开来。

1. 已知两个角。

2. 已知的边是这两个角之间的边。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：‘我们将再次用180减去已知的两个角，从而得到第三个角。’

2. 公式
   观察依据

   ASA幻灯片显示 $B = 180 - (95 + 35)$，然后 $B = 50$。

在ASA示例中应用正弦定理之前，视频先通过用180°减去两个已知角的和来计算缺失的角。一旦求得该第三个角，即可将全部三个边角对一一对应，用于建立比例关系。

1. 该图形是一个欧几里得三角形。

2. 已有两个角的度数已知。

1. ASA 型三角形情形的定义

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：‘此处我们需要先求出这条边长所对的角。’

2. 公式
   观察依据

   SSA幻灯片显示 $A = \sin ^{-1}$(4 sin 52° / 9) = 20.5°。

在边边角示例中，视频首先利用正弦定理求出某条已知边所对的角。屏幕上显示的运算是对(4 sin 52°)/9取反正弦，并得出结果为20.5°。

1. 已知两条边和一个角。

2. 所选的角与其中一条已知边相对。

1. 正弦定理的比例式构建

1. 声音
   观察依据

   讲解员说：‘一旦得到该角，我们便可从180中减去这两个角，从而求出第三个角；若需要，还可进一步求出第三条边的长度。’

2. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 $C = 180 - (52 + 20.5)$，接着是 $B = 107.5$，最后的比例式中分母为 sin 107.5°，对应边长 c。

1. 屏幕上显示的文本在等式行将计算所得的第三个角标记为 C，但在下一行却写作 $B = 107.5$；其本意是指剩余的那个角，但字母标注在画面上不一致。

在 SSA 情形中，视频先求出一个未知角，再通过从180°中减去两个已知角来求出最后一个角；随后回到正弦定理比例式，必要时求解剩余的边。

1. 一个未知角已经求出。

2. 三角形内角和为180°。

1. SSA步骤1：求解已知边所对的角
2. 从180°中求出第三个角

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出：对于一个内角为 A、B、C，对边分别为 a、b、c 的斜三角形，其关系为 a 除以 sin A 等于 b 除以 sin B 等于 c 除以 sin C。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的等式是 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。

在一个内角为 A、B、C，对边长分别为 a、b、c 的斜三角形中，比值 $\frac{a}{\sin A}$、$\frac{b}{\sin B}$ 和 $\frac{c}{\sin C}$ 相等。

1. 该图形是一个斜三角形。

2. A、B、C 是该三角形的内角。

3. a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边长。

对于每一个满足标号约定的斜三角形，三条边与其对角正弦值的比相等。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“已知两个角，我们总能求出第三个角。只需将这两个角从180中减去。”

2. 公式
   观察依据

   屏幕计算 $A = 180 - (85 + 50) = 45$。

若三角形的两个内角已知，则第三个内角可通过将这两个已知角之和从180度中减去而得到。

1. 该图形是一个三角形。

2. 已知两个内角的度数。

3. 角度以度为单位进行度量。

对于任意三角形，若已知其中两个内角，则剩余内角可由三角形内角和关系唯一确定。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，若在求解另一个角的正弦值时得到的结果超过1，则该三角形不存在，因为“正弦函数不可能取到该值”。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片文字显示：“若 $\sin (A/B/C) > 1$，则会出现这种情况。”

在 SSA 条件下，若正弦定理导致待求角的正弦值满足 $\sin (A) > 1$、$\sin (B) > 1$ 或 $\sin (C) > 1$，则这样的三角形不存在。

1. 在 SSA 构型中，已知两条边和一个角。

2. 利用正弦定理求解另一个角。

针对 SSA 情形中待求的角

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“SSA 条件下的三角形也可能出现两个解，前提是所求得的正弦值对应两个不同的角。”

2. 公式
   观察依据

   幻灯片文字显示：“有时我们能得到两个解。”

当通过正弦定理求得的未知角的正弦值对应两个可能的不同角度时，SSA 三角形可能存在两个解。

1. 该问题属于边-边-角形式。

2. 使用正弦定理求解时，所得正弦值与多个角度相容。

有时，对于 SSA 三角形

1. 声音
   观察依据

   说话人引入一个角-角-边型三角形，并指出其余的边和角均可利用正弦定理求得。

2. 公式
   观察依据

   屏幕将已知数值代入 $\frac{a}{\sin A} = \frac{7}{\sin 50^\circ} = \frac{c}{\sin 85^\circ}$。

3. 图示
   观察依据

   该三角形显示已知角 85°、已知角 50° 和已知边 7 的对角为 50°。

1. 视频片段在最终边长的数值计算完成前停止。

1. 公式

   $$\text{Known: } B = 50^\circ,\ C = 85^\circ,\ b = 7$$
   解释

   该例题以两个已知角和一条已知边开始，与主讲人所述的SAA情形一致。

   步骤依据

   三角形图示中展示并由音频陈述的已知数据。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A = 180 - (85 + 50)$$
   解释

   未知角A通过两个已知角计算得出。

   步骤依据

   主讲人口述的三角形内角和关系。

   视频直接表达
3. 公式

   $$A = 45$$
   解释

   算术运算化简为第三个角的度数。

   步骤依据

   直接计算180减135。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{a}{\sin A} = \frac{7}{\sin 50^\circ} = \frac{c}{\sin 85^\circ}$$
   解释

   正弦定理写成已知边7对已知角50°的形式。

   步骤依据

   代入通式 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{7}{\sin 50^\circ} = \frac{c}{\sin 85^\circ}$$
   解释

   将计算所得值$A = 45$代入第一个分母。

   步骤依据

   将 A 替换为其计算所得的度量值。

   视频直接表达
6. 公式

   $$a = 7\left(\frac{\sin 45^\circ}{\sin 50^\circ}\right)$$
   解释

   对方程进行变形，以解出边 a。

   步骤依据

   方程两边同时代数乘以 $\sin 45^\circ$。

   视频直接表达
7. 公式

   $$c = 7\left(\frac{\sin 85^\circ}{\sin 50^\circ}\right)$$
   解释

   采用相同的变形方法，以解出边 c。

   步骤依据

   方程两边同时代数乘以 $\sin 85^\circ$。

   视频直接表达

该片段推导出了两个未知边关于已知边及三个角的正弦值的显式表达式，但未展示最终的小数值结果。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示比例式 $a/\sin 45$° = $7/\sin 50$° = $c/\sin 85$°，随后分别给出 a 和 c 的独立表达式。

2. 动画
   观察依据

   约在5秒处，符号表达式被替换为小数答案：$a = 6.46$，$c = 9.10$，且三角形的标注随之更新。

1. 公式

   $$\frac{a}{\sin 45^\circ}=\frac{7}{\sin 50^\circ}=\frac{c}{\sin 85^\circ}$$
   解释

   利用已知边7（其对角为50°）以及另两个未知边（其对角分别为45°和85°），建立正弦定理方程。

   步骤依据

   正弦定理将每条边与其对角的正弦值配对。

   视频直接表达
2. 公式

   $$a=7\left(\frac{\sin 45^\circ}{\sin 50^\circ}\right)$$
   解释

   将第一个等式的两边同时乘以 sin45°，从而解出 a。

   步骤依据

   对所显示比例式进行代数变形。

   视频直接表达
3. 公式

   $$c=7\left(\frac{\sin 85^\circ}{\sin 50^\circ}\right)$$
   解释

   将第二个等式的两边同时乘以 sin 85°，从而解出 c。

   步骤依据

   对所显示比例式进行代数变形。

   视频直接表达
4. 公式

   $$a=6.46,\quad c=9.10$$
   解释

   数值计算这两个表达式，得到边长的近似值。

   步骤依据

   按旁白说明，在计算器的角度模式下进行计算。

   视频直接表达

SAA 示例得出边长的近似值：$a = 6.46$，$c = 9.10$。

1. 公式
   观察依据

   ASA 幻灯片显示：$B = 180 - (95 + 35)$，然后 $B = 50$。

2. 声音
   观察依据

   旁白解释：在 ASA 情形中，我们用 180 减去两个已知角，从而求得第三个角。

1. 公式

   $$B=180-(95+35)$$
   解释

   从两个已知角 95° 和 35° 出发，将其和从 180° 中减去，得到第三个角。

   步骤依据

   欧几里得三角形的内角和为 180°。

   视频直接表达
2. 公式

   $$B=50$$
   解释

   计算算术结果。

   步骤依据

   直接相减。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{a}{\sin 35^\circ}=\frac{12}{\sin 50^\circ}=\frac{c}{\sin 95^\circ}$$
   解释

   将 $B = 50$ 代入正弦定理比例式，使已知边 12 与 sin 50° 配对。

   步骤依据

   第三角已知后的正弦定理。

   视频直接表达

一旦求得 $B = 50$°，ASA 三角形即可直接代入正弦定理求解。

1. 公式
   观察依据

   SSA 演示页显示：$A = \sin ^{-1}$(4 sin 52° / 9) = 20.5°，接着 $C = 180 - (52 + 20.5)$，$B = 107.5$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员提示：先求已知边所对的角，再用 180 减去这两个角，得到第三个角。

1. 屏幕上的字母在公式行中为 C，下一行却变为 $B = 107.5$，尽管其数值含义均为余下的角。

1. 公式

   $$\frac{4}{\sin A}=\frac{9}{\sin 52^\circ}$$
   解释

   利用已知的边角对：边 9 对角 52°，以及已知边 4 对未知角 A。

   步骤依据

   正弦定理。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A=\sin^{-1}\left(\frac{4\sin 52^\circ}{9}\right)=20.5^\circ$$
   解释

   通过对变形后的比例式取反正弦，解出角 A。

   步骤依据

   代数分离后进行反正弦运算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$180-(52+20.5)=107.5$$
   解释

   从180°中减去两个已知角，以求出剩余的角。

   步骤依据

   欧几里得三角形的内角和为180°。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{4}{\sin 20.5^\circ}=\frac{9}{\sin 52^\circ}=\frac{c}{\sin 107.5^\circ}$$
   解释

   现在三个角均已知，更新正弦定理的比例式，以便在需要时解出剩余边c。

   步骤依据

   确定第三个角后的正弦定理表达式。

   视频直接表达

SSA情形示例首先得出角$A = 20.5$°，再得出剩余角107.5°，随后即可利用同一比例式求出最后一条边。

1. 声音
   观察依据

   讲解者从‘底乘高除以二’过渡到一个使用两边及其夹角正弦值的面积公式，适用于高未知的情形。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片内容由 $A = 1/2(b)(h)$ 变更为 面积 = $1/2$ bc $\sin A = 1/2$ ab $\sin C = 1/2$ ac sin B。

1. 本片段未展示中间推导过程 $h = b \sin A$ 或其等价的几何证明。

1. 公式

   $$A=\frac{1}{2}bh$$
   解释

   从任意三角形的标准面积公式出发，该公式使用一条底边及其对应的垂直高。

   步骤依据

   讲解中陈述了已知的三角形面积公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{if } h \text{ is unknown, use two sides \text{且} the included angle}$$
   解释

   讲解通过边角信息，用三角表达式替代不可获知的高，从而引出这一替换的必要性。

   步骤依据

   视频片段中的口述讲解。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Area}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ac\sin B$$
   解释

   呈现基于正弦函数的面积公式，适用于三组可能的边及其夹角。

   步骤依据

   最终幻灯片上显示的公式。

   视频直接表达

该片段将基于正弦函数的斜三角形面积公式作为“底乘高”公式的替代方案，适用于未知高的情形。

1. 声音
   观察依据

   讲解者以一个已知一边及其对角、再加上另一角（SAA）的三角形为例，指出其余两边可利用正弦定理求得。

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示：$A = 180 - (85 + 50)$，$A = 45$，接着 $a = 7(\sin 45^\circ / \sin 50^\circ)$ 和 $c = 7(\sin 85^\circ / \sin 50^\circ)$。

3. 图示
   观察依据

   三角形标注了 85°、50°、边 7，以及未知边 a 和 c。

1. 在片段结束前，未出现 a 和 c 的最终数值近似值。

已知一个三角形的两个角分别为 85° 和 50°，且 50° 角所对的边长为 7，求其余两边 a 和 c 的表达式。

1. 一个角为85°。

2. 另一个角为50°。

3. 对50°角的边长为7。

4. 未知边标记为a和c。

先求出第三个角，再用正弦定理求解其余边长。

1. 公式

   $$A = 180 - (85 + 50)$$
   解释

   由已知的两个角求出缺失的角。

   步骤依据

   视频中陈述的三角形内角和性质。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A = 45$$
   解释

   进行减法运算，得到第三个角。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{7}{\sin 50^\circ} = \frac{c}{\sin 85^\circ}$$
   解释

   将已知的角与对边组合，以及已知的角度值代入正弦定理。

   步骤依据

   直接代入公式 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$a = 7\left(\frac{\sin 45^\circ}{\sin 50^\circ}\right)$$
   解释

   从第一个等式中解出边a。

   步骤依据

   两边同时乘以 45° 的正弦值。

   视频直接表达
5. 公式

   $$c = 7\left(\frac{\sin 85^\circ}{\sin 50^\circ}\right)$$
   解释

   从第二个等式中解出边 c。

   步骤依据

   两边同时乘以 85° 的正弦值。

   视频直接表达

未知边表示为 $a = 7$(sin 45° / sin 50°) 和 $c = 7$(sin 85° / sin 50°)。

该例题与所展示的正弦定理设定内部一致；但片段未呈现数值验证或最终的小数结果。

1. 图示
   观察依据

   图中展示了一个三角形，其三个角分别为45°、50°、85°，且已知长度为7的边对角为50°

2. 公式
   观察依据

   幻灯片上写出 $a/\sin 45$° = $7/\sin 50$° = $c/\sin 85$°，然后得出 $a = 6.46$，$c = 9.10$。

已知一个三角形的三个角分别为45°、50°和85°，且角50°的对边长为7，求其余两条边的长度。

1. 三个角：45°、50°、85°

2. 已知边：长度为7的边对角为50°

计算边长 a 和 c。

1. 公式

   $$\frac{a}{\sin 45^\circ}=\frac{7}{\sin 50^\circ}=\frac{c}{\sin 85^\circ}$$
   解释

   将每条未知边与其对角配对，并令所有比值都等于已知比值。

   步骤依据

   正弦定理。

   视频直接表达
2. 公式

   $$a=7\left(\frac{\sin 45^\circ}{\sin 50^\circ}\right)$$
   解释

   由第一个等式解出 a。

   步骤依据

   代数变形。

   视频直接表达
3. 公式

   $$c=7\left(\frac{\sin 85^\circ}{\sin 50^\circ}\right)$$
   解释

   由第二个等式解出 c。

   步骤依据

   代数变形。

   视频直接表达
4. 公式

   $$a=6.46,\quad c=9.10$$
   解释

   以角度制进行数值计算。

   步骤依据

   按旁白描述使用计算器进行近似计算。

   视频直接表达

$a = 6.46$ 且 $c = 9.10$（近似值）。

展示的最终幻灯片将符号表达式替换为这些小数值，并据此标注三角形。

1. 图示
   观察依据

   图中显示一个三角形，其两个角分别为 95° 和 35°，夹边为 12，第三个顶点处的未知角为 B。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片计算得 $B = 180 - (95 + 35) = 50$，然后显示 $a/\sin 35$° = $12/\sin 50$° = $c/\sin 95$°。

已知一个三角形的两个角分别为95°和35°，且它们的夹边为12，求第三个角，并列出其余两边所对应的正弦定理比例式。

1. 两个角：95° 和 35°

2. 夹边：12

求缺失的角 B，并写出正弦定理的比例式。

1. 公式

   $$B=180-(95+35)$$
   解释

   用180°减去已知的两个角，得到第三个角。

   步骤依据

   三角形内角和。

   视频直接表达
2. 公式

   $$B=50$$
   解释

   计算缺失的角。

   步骤依据

   算术运算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{a}{\sin 35^\circ}=\frac{12}{\sin 50^\circ}=\frac{c}{\sin 95^\circ}$$
   解释

   将已知边12与其对角50°配对，并将另外两边分别与其对角配对。

   步骤依据

   正弦定理。

   视频直接表达

$B = 50$°，且比例式为 $a/\sin 35$° = $12/\sin 50$° = $c/\sin 95$°。

幻灯片文字指出，该比例式可用于求解另外两条边。

1. 图示
   观察依据

   图中展示了一个三角形，其两条边长分别为9和4，角52°对边为9

2. 公式
   观察依据

   幻灯片计算得 $A = \sin ^{-1}$(4 sin 52° / 9) = 20.5°，接着计算 $180 - (52 + 20.5) = 107.5$，并更新比例式，加入 sin 107.5°。

1. 屏幕上最终计算出的角度标签在 C 和 B 之间不一致，但数值 107.5是明确的。

已知一个三角形，其中两条边长分别为9和4，角52°对边长为9，求对边长为4的角A，再求剩余角

1. 边9对角52°。

2. 边4对角为未知角 A。

先计算角 A 和第三个角，再建立关于边 c 的比例式。

1. 公式

   $$\frac{4}{\sin A}=\frac{9}{\sin 52^\circ}$$
   解释

   利用已知的边-角对应关系，将未知角 A 与边4关联起来。

   步骤依据

   正弦定理。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A=\sin^{-1}\left(\frac{4\sin 52^\circ}{9}\right)=20.5^\circ$$
   解释

   使用反正弦函数求解角 A。

   步骤依据

   代数分离与计算器求值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$180-(52+20.5)=107.5$$
   解释

   从180°中减去两个已知角，得到剩余角。

   步骤依据

   三角形内角和定理。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\frac{4}{\sin 20.5^\circ}=\frac{9}{\sin 52^\circ}=\frac{c}{\sin 107.5^\circ}$$
   解释

   现在三个角均已知，因此如有需要，可利用同一比例关系求出第三条边 c。

   步骤依据

   正弦定理。

   视频直接表达

$A = 20.5$°，剩余角 = 107.5°，c 由更新后的正弦定理比例关系得出。

幻灯片在最终比例式中明确展示了这些数值代入。

1. 字幕依据
   观察依据

   题目条件：$a = 7$，$A = 32$°，$B = 61$°

2. 字幕依据
   观察依据

   解得：$b = 11.6$，$c = 13.2$，$C = 87$°

对于边长为 $a/b/c$、对应角为 $A/B/C$ 的三角形，请利用所给信息补全缺失数据：$a = 7$，$A = 32$°，$B = 61$°

1. a 等于7

2. A 等于32度

3. B 等于61度

求边 b、边 c 和角 C

1. 公式

   $$C = 180^\circ - 32^\circ - 61^\circ = 87^\circ$$
   解释

   利用三角形内角和定理求第三个角。

   步骤依据

   三角形内角和为 180 度。

   依据视频推导
2. 公式

   $$\frac{7}{\sin 32^\circ} = \frac{b}{\sin 61^\circ} = \frac{c}{\sin 87^\circ}$$
   解释

   列出正弦定理方程。

   步骤依据

   正弦定理指出：任意一边的长度与其对角的正弦值之比，在三角形的三条边中均为同一常数。

   依据视频推导
3. 公式

   $$b = \frac{7 \sin 61^\circ}{\sin 32^\circ} \approx 11.6$$
   解释

   求解边 b。

   步骤依据

   对正弦定理方程进行代数变形。

   依据视频推导
4. 公式

   $$c = \frac{7 \sin 87^\circ}{\sin 32^\circ} \approx 13.2$$
   解释

   求边 c 的长度。

   步骤依据

   对正弦定理方程进行代数变形。

   依据视频推导

b 等于11.6，c 等于13.2，C 等于87度

数值与屏幕上显示的解一致。

1. 字幕依据
   观察依据

   题目条件：$a = 8.4$, $B = 55$°, $C = 79$°

2. 字幕依据
   观察依据

   解得：$b = 9.6$, $c = 11.5$, $A = 46$°

对于边长为 $a/b/c$、对应角为 $A/B/C$ 的三角形，请利用所给信息补全缺失数据：$a = 8.4$, $B = 55$°, $C = 79$°

1. a 等于8.4

2. B 等于55度

3. C 等于79度

求 b、c 和角 A

1. 公式

   $$A = 180^\circ - 55^\circ - 79^\circ = 46^\circ$$
   解释

   利用三角形内角和定理求出第一个角。

   步骤依据

   三角形内角和为180度。

   依据视频推导
2. 公式

   $$\frac{8.4}{\sin 46^\circ} = \frac{b}{\sin 55^\circ} = \frac{c}{\sin 79^\circ}$$
   解释

   列出正弦定理方程。

   步骤依据

   正弦定理指出：任意一边的长度与其对角的正弦值之比，在三角形的三条边中恒为常数。

   依据视频推导
3. 公式

   $$b = \frac{8.4 \sin 55^\circ}{\sin 46^\circ} \approx 9.6$$
   解释

   解出边 b。

   步骤依据

   对正弦定理方程进行代数变形。

   依据视频推导
4. 公式

   $$c = \frac{8.4 \sin 79^\circ}{\sin 46^\circ} \approx 11.5$$
   解释

   解出边 c。

   步骤依据

   对正弦定理方程进行代数变形。

   依据视频推导

b 等于9.6，c 等于11.5，A 等于46度

所得数值与屏幕上显示的答案一致。

1. 字幕依据
   观察依据

   题目条件：$a = 10.2$，$b = 4.8$，$A = 82$°

2. 字幕依据
   观察依据

   解为：$c = 9.7$，$B = 27.8$°，$C = 70.2$°

对于边长分别为 $a/b/c$、对应角分别为 $A/B/C$ 的三角形，请利用所给信息补全缺失数据：$a = 10.2$，$b = 4.8$，$A = 82$°

1. a 等于10.2

2. b 等于4.8

3. A 等于82度

求 c、B 和 C

1. 公式

   $$\frac{10.2}{\sin 82^\circ} = \frac{4.8}{\sin B}$$
   解释

   列出正弦定理方程以求解角 B。

   步骤依据

   正弦定理指出：任意一边的长度与其对角的正弦值之比，在三角形三边中恒为常数。

   依据视频推导
2. 公式

   $$\sin B = \frac{4.8 \sin 82^\circ}{10.2} \approx 0.466$$
   解释

   求 sin B。

   步骤依据

   对正弦定理方程进行代数变形。

   依据视频推导
3. 公式

   $$B = \arcsin(0.466) \approx 27.8^\circ$$
   解释

   求角 B。

   步骤依据

   反正弦函数。

   依据视频推导
4. 公式

   $$C = 180^\circ - 82^\circ - 27.8^\circ = 70.2^\circ$$
   解释

   利用三角形内角和定理求出第三个角。

   步骤依据

   三角形内角和为180度。

   依据视频推导
5. 公式

   $$\frac{10.2}{\sin 82^\circ} = \frac{c}{\sin 70.2^\circ}$$
   解释

   列出正弦定理方程，求解边c。

   步骤依据

   正弦定理指出：任意一边的长度与其对角的正弦值之比，在三角形的三条边中恒为常数。

   依据视频推导
6. 公式

   $$c = \frac{10.2 \sin 70.2^\circ}{\sin 82^\circ} \approx 9.7$$
   解释

   求解边c。

   步骤依据

   对正弦定理方程进行代数变形。

   依据视频推导

c 等于9.7，B 等于27.8度，C 等于70.2度

所得数值与屏幕上显示的解答一致。

1. 图示
   观察依据

   首先出现一个标有“直角三角形”且含 90° 标记的直角三角形。

2. 图示
   观察依据

   它被替换为一个标有“斜三角形”并附有文字“（无直角）”的三角形。

3. 声音
   观察依据

   主讲人将直角三角形中学到的内容与适用于其他类型三角形的方法进行对比。

1. 含 90° 标记的直角三角形

2. 顶点为 A、B、C，对边分别为 a、b、c 的斜三角形

1. 视觉焦点从直角三角形转移到斜三角形。

2. 标签从“直角三角形”变为“斜三角形（无直角）”。

1. 两幅图均为三角形示意图，用于引出三角函数关系。

该序列表明，接下来要介绍的定律适用于不含直角的三角形，而此前讨论的直角三角形三角学在此类情形下不再直接适用。

1. 动画
   观察依据

   紫色圆圈依次高亮顶点 A、B、C，再高亮边 a、b、c。

2. 动画
   观察依据

   粉色箭头从每个顶点指向其对边。

3. 声音
   观察依据

   讲解者指出，各边恰好与其对应的角相对。

1. 三角形的顶点 A、B、C

2. 三角形的边 a、b、c

3. 高亮圆圈

4. 方向性箭头

1. 先高亮顶点，再高亮边。

2. 箭头表示每个角与其对边之间的对应关系。

1. 在高亮显示过程中，底层三角形保持不变。

该动画以视觉方式编码了正弦定理所要求的匹配规则：每个位于分子中的边，必须对应其对角的正弦值。

1. 图示
   观察依据

   已解出的三角形标有85°、50°、边7，以及未知边a和c。

2. 公式
   观察依据

   下方方程从一般形式逐步更新为代入具体数值的形式，再进一步化为关于a和c的孤立表达式。

3. 动画
   观察依据

   蓝色框高亮显示已知比值$\frac{7}{\sin 50^\circ}$。

1. 标有角度和边长的三角形

2. 正弦定理方程

3. 高亮显示的已知比值框

4. 推导出的a和c的表达式

1. 通用公式被替换为包含具体数值85°、50°和7的公式。

2. 缺失的角 A 被计算得出，并填入为45°。

3. 先强调已知比值，再将方程重新整理，分别解出 a 和 c。

1. 整个例题中均使用同一个三角形及相同的正弦定理关系式。

视觉上的逐步推演展示了求解方法：先找出一组完整的角与对边对应关系，代入已知数值，再通过代数运算逐一求出各未知边长。

1. 动画
   观察依据

   SAA 幻灯片首先显示边 a 和 c 的符号表达式，随后约在5秒处将其替换为小数值，并更新三角形的标注。

1. 三角形的三个角分别为45°、50°、85°。

2. 边长标注为 a、c 和已知边7。

3. 正弦定理比例式行。

4. 求解 a 和 c 的底部解答行。

1. 底行公式由 $a = 7$(sin 45°/sin 50°)、$c = 7$(sin 85°/sin 50°) 变为 $a = 6.46$、$c = 9.10$。

2. 三角形上的边标签由变量 a 和 c 变为数值 6.46 和 9.10。

1. 角度 45°、50° 和 85° 保持不变。

2. 已知边 7 保持不变。

3. 正弦定理的整体比值结构保持不变。

动画直观地将代数形式的正弦定理列式与其未知边的数值解关联起来。

1. 动画
   观察依据

   一个红色圆圈高亮显示未知角 B，随后计算出的值 50° 出现，分母 sin B 随即变为 sin 50°。

1. 三角形的三个角分别为 95°、35° 和未知角 B

2. 边标签 12

3. 含 sin B 的正弦定理比值

1. 未知角 B 被高亮显示。

2. 文本显示 $B = 180 - (95 + 35)$ 和 $B = 50$。

3. 比值从 $12/\sin B$ 更新为 $12/\sin 50$°。

1. 已知角 95° 和 35° 保持不变。

2. 已知边 12 保持不变。

直观序列表明：ASA 类问题需先求出第三个角，然后才能完整代入正弦定理的比值。

1. 动画
   观察依据

   SSA 页面首先圈出角 A 并显示 $A = 20.5$°，接着圈出顶点并显示其余角 107.5°，最后圈出边 c，同时比值更新为 sin 107.5°。

1. 屏幕上表示其余角所用的字母在 C 和 B 之间不一致，但高亮的目标及数值清晰明确。

1. 三角形的两边分别为 9 和 4，夹角为 52°

2. 未知角 A

3. 顶点处的其余角

4. 未知边 c

5. 正弦定理比值

1. 角 A 被高亮显示，并标为20.5°。

2. 其余角被计算为107.5°，并代入该比值中。

3. 边 c 被高亮显示为下一个待求量。

1. 已知的边长9和4保持不变。

2. 已知的角度52°保持不变。

动画编码了 SSA 解法的步骤顺序：先求出对角，再利用三角形内角和，最后回到边长比值。

1. 动画
   观察依据

   幻灯片从一个底为 b、虚线高为 h、面积公式为 $A = 1/2(b)(h)$ 的三角形，切换为一般三角形 ABC 及其基于正弦的面积公式。

1. 斜三角形，底为 b，高为 h

2. 一般三角形 ABC

3. 面积公式

1. 高度 h 被替换为问号，表示它可能是未知的。

2. 公式从 $A = 1/2(b)(h)$ 变为 面积 = $1/2$ bc $\sin A = 1/2$ ab $\sin C = 1/2$ ac sin B。

1. 主题仍是三角形面积。

2. 该三角形仍被视为斜三角形。

视觉上的变化促使我们用一个由两条边及其夹角构成的公式，来替代无法获得的高。

1. 图示
   观察依据

   画面一侧展示一个顶点为A、B、C，对应边为a、b、c的静态三角形示意图，另一侧并列显示三角形面积公式。

1. 三角形ABC

2. 边 a、b、c

3. 角 A、B、C

4. 面积公式文字

1. 该图示在整个片段中保持静止。

该图示以视觉方式定义了面积公式及后续问题中所用的变量。

1. 图示
   观察依据

   一张标题为‘检查理解程度’的幻灯片出现，包含三个问题；稍作停顿后，每个问题下方以红色文字显示其解答。

1. 标题文字

2. 三个问题陈述

3. 三组解答

1. 解答在延迟后以红色文字显示。

1. 问题陈述始终保持可见。

本视觉环节为观众提供利用正弦定理求解的练习题，随后给出答案供自我检验。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“对于这类三角形，我们之前学过的所有 SOHCAHTOA 方法都不再适用了。但还有其他可用的关系式，其中一种就叫正弦定理。”

2. 图示
   观察依据

   斜三角形被明确标注为不含直角。

人们可能会误以为，为直角三角形所学的 SOHCAHTOA 关系式可不加改变地用于任意三角形。

视频指出，对于斜三角形，SOHCAHTOA 方法不再适用，并引入正弦定理作为替代的可用关系式。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，若正弦值超过1，则该三角形不可能存在，因为正弦函数无法取到该值

2. 公式
   观察依据

   幻灯片上写着“当 $\sin (A/B/C) > 1$ 时，就会出现这种情况”。

即使解出的正弦值大于 1，人们仍可能继续将 SSA 计算视为有效。

视频指出，$\sin (A/B/C) > 1$ 对正弦函数而言是不可能的，因此对应的三角形不成立，无法存在。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，SSA 类型的三角形在某个正弦值对应两个不同角度时，可能产生两个解。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片文字为：“有时我们会得到两个解”。

人们可能认为，已知两条边及其中一边的对角，就能唯一确定一个三角形。

视频明确指出，当求得的正弦值对应两个可能的不同角度时，SSA情形可能产生两个解。

1. 声音
   观察依据

   讲解者将常用的底乘高公式与“若不知道高”这一情形作了对比。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片将 $A = 1/2(b)(h)$ 替换为 面积 = $1/2$ bc $\sin A = 1/2$ ab $\sin C = 1/2$ ac sin B。

人们可能以为，若不知道斜三角形的垂足高，则无法求出其面积。

视频引入了一种替代公式：利用两条边及其夹角的正弦值来计算面积，因此无需直接给出高。

1. 声音
   观察依据

   主讲人先定义斜三角形，随即立即引入正弦定理，作为适用于这类三角形的关系式。

2. 公式
   观察依据

   该定理在标题“理解正弦定理”下展示，并配以一个斜三角形示意图。

正弦定理被呈现为处理斜三角形（即不含直角的三角形）的工具。

1. 图示
   观察依据

   首先展示一个直角三角形，然后是一个标有“（无直角）”的斜三角形。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将此前学过的直角三角形知识，与处理其他类型三角形的需要进行对比。

视频通过对比斜三角形与直角三角形，说明为何在 SOHCAHTOA 之外还需引入新的关系式。

1. 字幕依据
   观察依据

   本节标题为“利用正弦定理求解 SAA 型三角形”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，其余的边和角可通过正弦定理求出。

SAA 构型被用作正弦定理实际应用的具体情境。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上先计算 $A = 45$，再将该值代入正弦定理方程。

2. 声音
   观察依据

   主讲人表示，先求出第三个角，再利用已知的角-边对求出其余各边。

在例题演算中，求出缺失的角是前提步骤，由此得到完整的角度信息，从而能有效运用正弦定理。

1. 公式
   观察依据

   SAA例题通过直接写出 $a/\sin 45$° = $7/\sin 50$° = $c/\sin 85$° 来求解。

SAA方法是正弦定理比例关系的直接应用，用于求出未知的边长。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，在ASA情形中，我们用180减去两个已知角，即可得到第三个角；一旦获得该角，便可将各值代入正弦定理进行计算。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片先计算出 $B = 50$，再在比例式中将 sin B 替换为 sin 50°。

在角边角（ASA）示例中，求出缺失的角是全面运用正弦定理的前提条件。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，应先求出已知边所对的角，再用180减去这两个角得到第三个角；如有需要，再求出第三条边。

2. 公式
   观察依据

   边边角（SSA）幻灯片先计算角 $A = 20.5$°，再计算其余角 107.5°，并更新边 c 的比例关系。

边边角（SSA）的第二步依赖于已求出第一个未知角。

1. 公式
   观察依据

   通用的边边角（SSA）幻灯片沿用了已解的边边角（SSA）示例，并补充了关于三角形无解及存在两解的说明。

一般性的正弦定理讨论中包含了边边角（SSA）情形的特殊行为：同一个正弦值可能对应两个不同的角。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片在“证明三角形无解”的标题下指出：“若 $\sin (A/B/C) > 1$，则会出现这种情况。”

一般性的正弦定理框架被用于检验边边角（SSA）数据的一致性，方法是检查所求得的正弦值是否超过1。

1. 声音
   观察依据

   讲解者从‘底乘高除以二’出发，接着指出：若高未知，则可采用另一个公式。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片将面积表达式由 $A = 1/2(b)(h)$ 改写为：面积 = $1/2$ bc $\sin A = 1/2$ ab $\sin C = 1/2$ ac sin B。

基于正弦的面积公式将底乘高的思想推广到斜三角形，适用于无法直接获知高的情形。

1. 声音
   观察依据

   主讲人在展示完面积公式后，随即结束正弦定理这一节的内容。

该面积公式是正弦定理相关概念的直接应用，随后这些概念被用于求解例题中的三角形。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将斜三角形定义为不含直角的三角形。

2. 图示
   观察依据

   屏幕上显示标签：“斜三角形（无直角）”。

1. 斜三角形

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示的公式是 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人将该公式朗读出来。