介绍马尔可夫链

1. 字幕依据
   观察依据

   多项选择题界面将选项 A 标注为“Averagemont”。

2. 声音
   观察依据

   讲述者依次说出五座城市，并包含 Averagemont。

A

路线图与选项中 Averagemont 的城市标签。

示例中五座州/城市之一。

1. 字幕依据
   观察依据

   多项选择题界面将选项 B 标注为“Bayesville”。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将 Bayesville 列为五座城市之一。

B

路线图与选项中 Bayesville 的城市标签。

示例中五座州/城市之一。

1. 字幕依据
   观察依据

   多项选择题界面将选项 C 标注为“Continuopolis”。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将 Continuopolis 列为五座城市之一。

C

路线图与选项中 Continuopolis 的城市标签。

示例中五座州/城市之一。

1. 字幕依据
   观察依据

   多项选择题界面将选项 D 标注为“离散镇”。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将离散镇列为五座城市之一。

D

路线图与选项中离散镇的城市标签。

示例中五座州/城市之一。

1. 字幕依据
   观察依据

   多项选择题界面将选项 E 标注为“东范德蒙德”。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将东范德蒙德列为五座城市之一。

E

路线图与选项中东范德蒙德的城市标签。

示例中五座州/城市之一。

1. 字幕依据
   观察依据

   多项选择题界面将选项 F 显示为“大致相等”。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将选项 F 读作“五座城市之间长期时间大致相等”。

F

该选项指出，五座城市之间的长期时间大致相等。

多项选择题中的一个选项，而非一座州或城市。

1. 字幕依据
   观察依据

   多项选择题界面显示选项G为“视情况而定”。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将选项G读作“取决于她从哪座城市出发”。

G

该选项指出结果取决于出发城市。

这是多项选择题中的一个选项，并非指某个州属的城市。

1. 图示
   观察依据

   字母 A 标注绿色转盘扇形区域，随后也标注城市频数图中的绿色柱状条。

2. 图示
   观察依据

   在01:52.000处，地图用与 A 相同的绿色标注平均镇。

A

平均镇的城市标签；同时也是转盘与柱状图中显示的状态索引。

马尔可夫链示例中的状态标签。

1. 图示
   观察依据

   字母 B 标注蓝色转盘扇形区域，随后也标注城市频数图中的蓝色柱状条。

2. 图示
   观察依据

   在01:52.000处，地图用与 B 相同的蓝色标注贝叶斯维尔。

B

贝叶斯维尔的城市标签；同时也是转盘与柱状图中显示的状态索引。

马尔可夫链示例中的状态标签。

1. 图示
   观察依据

   字母 C 标注品红色转盘扇形区域，随后也标注城市频数图中的品红色柱状条。

2. 图示
   观察依据

   在01:52.000处，地图用与 C 相同的品红色标注连续城。

C

连续城的城市标签；同时也是转盘与柱状图中显示的状态索引。

马尔可夫链示例中的状态标签。

1. 图示
   观察依据

   字母 D 标注橙色转盘扇形区域，随后也在城市频数图中标注橙色条形。

2. 图示
   观察依据

   在01:52.000处，地图用与 D 相同的橙色标注离散镇（Discretown）。

D

离散镇的城市标签；同时也是转盘和条形图中显示的状态索引。

马尔可夫链示例中的状态标签。

1. 图示
   观察依据

   字母 E 标注紫色转盘扇形区域，随后也在城市频数图中标注紫色条形。

2. 图示
   观察依据

   在01:52.000处，地图用与 E 相同的紫色标注东范德蒙德（East Vandermonde）。

E

东范德蒙德的城市标签；同时也是转盘和条形图中显示的状态索引。

马尔可夫链示例中的状态标签。

1. 声音
   观察依据

   本视频标题为《马尔可夫链简介》。

2. 声音
   观察依据

   讲述者描述安娜在城市间移动的过程：她随机选择当前城市所有可直达的航班，且每条直达航线被选中的概率相等。

3. 图示
   观察依据

   一张包含五座城市的地图，城市之间用连线表示直达航班。

本片段通过描述一位旅行者在有限座城市之间反复移动，来引入一种类似马尔可夫链的过程：在每一步中，下一城市仅从当前城市所有可直达的城市中选取，且每条可用的直达连接被选中的概率均等；该示例将长期行为问题表述为：旅行者在哪个城市停留的时间最长。

1. 有限个状态，此处即五座城市。

2. 转移仅允许沿已有的直达连接进行。

3. 从当前状态出发，所有可能的下一状态出现的概率均等。

4. 该问题关注的是长期行为，而非单次行程。

1. 声音
   观察依据

   讲述者列出了五座城市：平均镇（Averagemont）、贝叶斯维尔（Bayesville）、连续城（Continuopolis）、离散镇（Discretetown）和东范德蒙德（East Vandermonde）。

2. 图示
   观察依据

   地图上恰好显示这五个标有名称的城市图标。

状态空间是该公司航线网络中的五座城市构成的集合：平均镇（Averagemont）、贝叶斯维尔（Bayesville）、连续城（Continuopolis）、离散镇（Discretetown）和东范德蒙德（East Vandermonde）。每座城市在此讨论的随机过程中都作为一个状态。

1. 该过程在离散的停靠点处被观测。

2. 每个停靠点都是上述五座命名城市之一。

1. 通过一个随机旅行过程引出马尔可夫链。

1. 声音
   观察依据

   讲述者称，她从当前城市所有可直达的航班中等概率地随机选择下一座城市。

2. 动画
   观察依据

   使用转盘在可选目的地之间进行选择。

所展示的转移方法是：从当前城市出发，先找出所有与其直接相连的城市，再从中等概率地随机选取一个。这一机制将地图转化为图上的随机游走。

1. 仅有从当前城市出发的直接连接才可入选。

2. 所有符合条件的目的地具有相同的概率。

3. 一旦确定当前城市，每次停靠时的选择都是相互独立的。

1. 本例的状态空间

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，并非所有城市之间都存在直达航班。

2. 声音
   观察依据

   讲述者举例说明：阿弗里奇蒙特与贝叶斯维尔之间有直达航班，但阿弗里奇蒙特与东范德蒙德之间没有直达航班。

3. 图示
   观察依据

   某些城市对之间有连线，而另一些城市对之间则没有。

该例子强调，转移结构受限于一张由直达航线构成的网络：某些城市对彼此邻接，而另一些则不邻接，因此该过程是在特定图上进行的随机游走，而非在所有状态间无限制地移动。

1. 邻接意味着存在直达航班。

2. 非邻接的城市对无法在一步之内到达。

1. 在可用邻接城市间采用均匀转移规则

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，贝叶斯维尔是一个主要枢纽，与其他所有城市均有直达连接。

2. 图示
   观察依据

   地图中以贝叶斯维尔为中心，向其余四座城市引出连线加以突出显示。

贝叶斯维尔被单独挑出作为该网络的中心枢纽，因为它与其余每座城市都有直接连接。用图论术语来说，它在此例中具有最大的可见度数，因此在长期行为问题中具有结构性重要性。

1. 贝叶斯维尔与平均镇、连续城、离散镇和东范德蒙德市相邻。

1. 允许的转移构成一张图，而非完全图。

1. 声音
   观察依据

   旁白：“安娜所遵循的过程是马尔可夫链的一个重要实例。”

2. 动画
   观察依据

   一架黄色飞机沿地图上标有名称的城市之间的路线飞行。

视频将安娜反复进行的随机旅行过程识别为马尔可夫链的一个实例。具体设定是一位旅行者在不同城市使用转盘来选择下一个目的地。

1. 该过程在时间上是顺序进行的。

2. 每一步都是一次从一个城市到另一个城市的移动。

3. 下一个目的地是随机选择的。

1. 声音
   观察依据

   旁白：“马尔可夫性质意味着，在每个时间点，确定安娜接下来要去哪个城市，仅取决于她当前所在的位置以及她所用转盘的随机性。”

2. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字：“马尔可夫性质：在已知现在状态的前提下，未来状态与过去状态相互独立。”

3. 动画
   观察依据

   多个转盘同时显示，每个当前城市对应一个转盘，强调下一步移动是从当前状态对应的转盘中选出的。

马尔可夫性质指出，下一状态仅依赖于当前状态，而与更早的历史无关。本片段中，讲述者将其表述为‘无记忆性’：一旦已知当前位置，过去所经路线对预测下一城市便不再相关。

1. 存在‘当前状态’或‘当前位置’的概念。

2. 人们会问：下一状态是如何确定的？

3. 该主张关注的是依赖结构，而非各结果概率是否相等。

1. 用马尔可夫链建模安娜的旅行过程

1. 声音
   观察依据

   讲述者：“这是一种无记忆性的体现。在已知她当前所在位置的前提下，她过去的行程历史对于预测她下一步将前往何处毫无影响。”

2. 动画
   观察依据

   旅行者出现在B航站楼，此前已有若干次抵达画面，视觉上将当前停靠点与先前行程区分开来。

视频将马尔可夫性质重新表述为无记忆性。这意味着：预测下一城市所依据的规则，仅使用当前位置及该位置本地的随机机制，而不依赖此前所有停靠点的序列。

1. 适用于所建模过程中的下一步预测。

1. 马尔可夫性质

1. 声音
   观察依据

   讲述者：“为回答安娜的问题，我们来考虑如下问题：当安娜持续进行这一随机过程时，从长远来看，她在每一座城市所花费的时间占比分别是多少？”

2. 字幕依据
   观察依据

   此前对话框文字：“我最终会在贝叶斯维尔花费多少比例的时间？”

3. 图示
   观察依据

   一本护照页面上记录了多次在不同城市的有日期的到访。

视频并未追问旅行者在某一次特定行程后将身处何地，而是将问题重构为一个长期频率问题：经过大量步数之后，旅行者在各个状态中所花费的时间占比各是多少？这是讨论平稳分布的经验路径。

1. 该过程持续进行许多步。

2. 通过城市来测量相对时间或访问频次。

1. 用马尔可夫链建模安娜的旅行过程

1. 声音
   观察依据

   旁白：“我们来绘制经过不同行程次数后的结果图。每个城市对应一根柱子，每根柱子的高度表示安娜到目前为止在该城市所花费的时间百分比。”

2. 图示
   观察依据

   出现一幅五柱条形图，柱子分别标为 A、B、C、D、E，纵轴标记为10%、20%、30%、40%。

该片段引入了一幅条形图，其柱子对应城市 A 至 E；每根柱子的高度表示在给定行程次数后，旅行者在该城市累计花费的时间百分比；因此，该图表随着模拟推进而追踪状态上的经验分布。

1. 每个状态对应一根柱子。

2. 柱子高度表示截至当前行程次数为止，总时间或总访问次数的百分比。

1. 马尔可夫链的长期驻留率问题

1. 声音
   观察依据

   旁白：“起初图像波动很大，但现在似乎已趋于稳定。它最终稳定的分布被称为马尔可夫链的平稳分布。”

2. 字幕依据
   观察依据

   屏幕标题：“平稳分布”

3. 动画
   观察依据

   柱状图高度在模拟过程中不断变化，随后在1000次行程附近稳定为一种固定模式。

平稳分布被呈现为：在多次行程之后，经验城市频率的极限分布。直观来看，它是模拟在初始波动平息后所趋近的那组稳定的柱状图高度。

1. 该过程运行了许多步。

2. 经验分布被观察到趋于稳定。

1. 按行程次数绘制的经验分布
2. 用马尔可夫链建模安娜的旅行过程

1. 声音
   观察依据

   旁白：“我们展示的是模拟的一次特定运行，但安娜的过程总会收敛到同一个平稳分布。”

2. 动画
   观察依据

   柱状图稳定后，地图重新出现，并显示全部五座城市之间的路线。

1. 该片段指出收敛性，但并未证明它，也未列出其成立所需满足的条件。

视频指出，尽管所展示的动画仅是一次模拟运行，但底层过程总会收敛到同一个平稳分布。这将平稳分布刻画为马尔可夫链本身的性质，而非某一条特定轨迹的性质。

1. 指同一马尔可夫链在长期重复运行中表现出的稳定行为。

1. 平稳分布

1. 声音
   观察依据

   讲述者提问：从长远来看，你认为她会在哪座城市停留的时间最长？

2. 字幕依据
   观察依据

   屏幕显示相同的问题及七个选项。

对于安娜在五城网络上的随机旅行过程，该片段提出了一个问题：从长远来看，她将在哪座城市停留的时间最长？

1. 安娜仅通过直接连接，在城市之间反复移动。

2. 在每一步，她都在所有可选的下一城市中均匀随机地选择一个。

3. 这一比较着眼于长期。

从长远来看，在该网络的五座城市之中。

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，并非所有这些城市彼此之间都有直达航班连接。

2. 声音
   观察依据

   讲述者明确举例说明：平均镇与贝叶斯维尔有直达连接，但与东范德蒙德市没有直达连接。

这个五城网络中，并非每对城市之间都存在直飞航班；例如，阿弗里奇蒙特与贝叶斯维尔之间有直飞航班，但与东范德蒙德之间没有。

1. 城市是航线网络中的顶点。

2. 两座城市之间的连线表示一条直飞航线。

至少存在一对城市之间没有直连航线。

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，贝叶斯维尔是一个主要枢纽，与其他所有城市均有直飞航线连接。

2. 图示
   观察依据

   地图显示贝叶斯维尔与其余四座城市相连。

在本例所示的网络中，贝叶斯维尔与其他所有城市均有直飞航线连接。

1. 该网络由这五座命名的城市构成。

2. 直连航线在地图上用连线表示。

对于这五座城市中的每一座其他城市，均存在一条通往贝叶斯维尔的直连航线。

1. 声音
   观察依据

   旁白说：下一个城市仅取决于安娜当前所在的城市，以及她转盘的随机性。

2. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字：“已知现在，则未来与过去相互独立。”

对安娜的旅行过程而言，下一个城市仅取决于当前城市及本地随机选择机制，而与此前访问过的城市无关。

1. 该过程是一个马尔可夫链。

2. 当前状态已知。

在每个时间点上，在给定当前状态的条件下，未来下一步的分布与过去无关。

1. 声音
   观察依据

   旁白：“它所稳定下来的分布称为该马尔可夫链的平稳分布。”

2. 字幕依据
   观察依据

   标题卡：“平稳分布”

1. 该片段通过经验条形图的稳定化来操作性地定义平稳分布，而非借助代数方程。

长期经验性城市频率所趋近的分布称为该马尔可夫链的平稳分布。

1. 该随机过程持续进行多次行程。

2. 经验分布随时间被持续追踪。

在长期中，经过多次行程之后。

1. 声音
   观察依据

   旁白：“我们展示的是模拟的一次特定运行，但安娜的过程总会收敛到同一个平稳分布。”

1. 本片段未给出任何证明或明确的正则性假设。

尽管动画仅展示了一次特定的模拟运行，该过程仍会收敛到同一个平稳分布，而与所采样的具体轨迹无关。

1. 所考虑的是同一个马尔可夫链。

2. 该过程运行了足够长的时间。

对于所示过程，在长期的多次运行中。

1. 声音
   观察依据

   讲述者说：“无论她从哪座城市出发”，随后陈述了安娜在某座城市所花时间的百分比。

1. 该片段既未证明这一说法，也未说明其成立所依赖的马尔可夫链形式化条件。

在本视频所呈现的马尔可夫链行程中，安娜在每座城市所花时间的长期百分比，不依赖于她出发的城市。

1. 安娜遵循视频中所描绘的随机游走过程。

2. 讨论聚焦于长期行为。

3. 视频未明确指出不可约性或非周期性。

对于网络中任意一座起始城市，长期的时间占比分布均相同。

1. 声音
   观察依据

   讲述者称，安娜在某座城市所花时间的百分比，正比于该城市的连接数。

2. 声音
   观察依据

   讲解者以贝叶斯维尔（含四条连接）和东范德蒙德（含一条连接）为例。

1. 视频提到了正比关系，但未展示归一化计算过程。

对于网络中的每一座城市，其稳态停留时间百分比与该城市的连接数成正比。

1. 该过程即视频中展示的网络随机游走。

2. “连接数”指图中所示网络的节点度数。

3. 这些概率是在长期运行意义下进行解释的。

对于图中所示网络中的每个城市/节点 i，$π_i$ 与 deg(i) 成正比。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出贝叶斯维尔有四条连接，而东范德蒙德只有一条连接。

2. 声音
   观察依据

   讲解者得出结论：在长期运行中，安娜访问贝叶斯维尔的频率是访问东范德蒙德的四倍。

3. 公式
   观察依据

   柱状图显示贝叶斯维尔约为33%，东范德蒙德约为8%。

1. 图中显示的百分比经过四舍五入，因此仅凭该柱状图无法精确看出实际比值。

因为贝叶斯维尔有四条连接边，而东范德蒙德只有一条，所以安娜在贝叶斯维尔的长期访问频次（即停留时间占比）是东范德蒙德的四倍。

1. 度数成比例的平稳性规则适用。

2. 贝叶斯维尔的度数为4。

3. 东范德蒙德的度数为1。

针对图示网络中所标注的两座城市：贝叶斯维尔和东范德蒙德。

1. 声音
   观察依据

   讲述者说：“网络结构是确定平稳分布的关键。”

2. 动画
   观察依据

   图结构与平稳分布柱状图在视觉上并列呈现。

1. 该片段未对“网络结构”一词作额外定义，仅指图中所示的连接关系与各节点度数。

平稳分布由连接网络的结构决定。

1. 该网络即视频中展示的五城图。

2. 平稳分布即前文讨论过的长期百分比分布。

针对视频片段中展示的马尔可夫链网络示例。

1. 声音
   观察依据

   旁白说：“今天安娜在贝叶斯维尔。”

2. 动画
   观察依据

   一个转盘显示四个面积相等的扇形区域，分别标有 A、C、D、E。

3. 声音
   观察依据

   旁白说：“转盘停在平均镇，因此那是她的下一站。”

4. 声音
   观察依据

   旁白接着说：“等她完成检查后，就该选择第三站了。”

1. 扇形区域的具体几何形状在视觉上做了简化；该片段将其呈现为在所有可选目的地之间进行等概率选择。

1. 公式

   $$$$
   解释

   从贝叶斯维尔开始这一过程。

   步骤依据

   旁白明确指出：“今天安娜在贝叶斯维尔。”

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   列出从贝叶斯维尔出发可到达的下一座城市。

   步骤依据

   旁白说明：“贝叶斯维尔与其他所有城市均有直达连接”，且转盘上显示四个目的地扇形区域：A、C、D、E。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   从这四个选项中均匀随机地选择下一座城市。

   步骤依据

   旁白说：“她使用转盘，以相等的概率从所有可选城市中随机选取。”

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   实际结果是Averagemont，因此第二站是Averagemont。

   步骤依据

   叙述者指出转盘停在Averagemont，并将其确认为她的下一站。

   视频直接表达
5. 公式

   $$$$
   解释

   在Averagemont完成停留后，该过程准备选择第三站。

   步骤依据

   叙述者表示，在完成本次检查后，是时候选择第三站了。

   视频直接表达

该片段展示随机过程的一次具体实现：Bayesville → Averagemont，而本次片段内尚未确定下一次转移。

1. 动画
   观察依据

   本片段首先展示一个四扇区转盘，接着是一个五扇区转盘，然后是一个单扇区转盘，最后是按城市排列的多个转盘。

2. 声音
   观察依据

   旁白解释道，安娜的旅行过程是一个马尔可夫链，下一步前往的城市仅取决于当前所在城市以及转盘的随机性。

1. 公式

   $$$$
   解释

   旅行者抵达某座城市后，使用该城市的专属转盘来选择下一个目的地。

   步骤依据

   这一过程在机场、地图和转盘动画中均有呈现。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   不同城市配有不同转盘，其中东范德蒙德市的转盘仅有一个选项，强制旅行者返回贝叶斯维尔。

   步骤依据

   转盘布局的视觉呈现及旁白关于东范德蒙德市的说明均体现了这一点。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   由于下一步移动仅由当前城市所附带的转盘生成，此前的路线历史并不影响下一步的转移规则。

   步骤依据

   这是旁白对马尔可夫性质的明确解释。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   因此，整个旅行过程被呈现为一个具有无记忆转移特性的马尔可夫链。

   步骤依据

   旁白直接得出的结论。

   视频直接表达

城市专属的随机选择机制引出了马尔可夫性质：未来步骤仅依赖于当前状态。

1. 动画
   观察依据

   柱状图随行程计数器的增加，从10次行程更新至1000次行程。

2. 声音
   观察依据

   旁白指出，图表起初波动，随后趋于稳定，并将这种稳定的分布称为平稳分布。

1. 公式

   $$$$
   解释

   为每座城市绘制一个条形，每个条形的高度设为截至目前在该城市所花费时间占总时间的百分比。

   步骤依据

   由旁白明确说明，并在屏幕上同步显示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   随着行程次数增加，各条形高度在不同运行之间、以及在不同步之间均发生变化。

   步骤依据

   在动画图表中，从10次行程起即可观察到。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   接近1000次行程时，波动变得微小，条形看起来已趋于稳定。

   步骤依据

   旁白：“起初图表波动很大，但现在似乎已趋于稳定。”

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   条形高度所呈现的稳定形态被称为平稳分布。

   步骤依据

   旁白定义配合屏幕标题“平稳分布”。

   视频直接表达

平稳分布被引入为经验访问频率图表在长期运行下的极限形状。

1. 声音
   观察依据

   讲解员指出，贝叶斯维尔有四个连接，而东范德蒙德只有一个连接。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出，在长期运行中，安娜访问贝叶斯维尔的频率是访问东范德蒙德的四倍。

3. 公式
   观察依据

   条形图显示贝叶斯维尔为33%，东范德蒙德为8%。

1. 视频未在屏幕上写出中间归一化计算过程。

1. 公式

   $$\pi_i \propto \deg(i)$$
   解释

   使用讲解员明确提出的规则：平稳概率与连接数成正比。

   步骤依据

   由讲解员直接陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\deg(\text{Bayesville}) = 4,\quad \deg(\text{East Vandermonde}) = 1$$
   解释

   根据讲解员所述示例及地图，识别相关节点的度数。

   步骤依据

   讲解员明确给出了这些连接数。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\frac{\pi_{\text{Bayesville}}}{\pi_{\text{East Vandermonde}}} = \frac{4}{1}$$
   解释

   取成比例的平稳概率之比。

   步骤依据

   若两个量分别与4和1成正比，则它们的比为4比1。

   依据视频推导
4. 公式

   $$\pi_{\text{Bayesville}} \approx 33\%,\quad \pi_{\text{East Vandermonde}} \approx 8\%$$
   解释

   将结论与图中显示的平稳分布柱状图进行比较。

   步骤依据

   柱状图标注贝叶斯维尔占33%，东范德蒙德占8%。

   视频直接表达

贝叶斯维尔的长期占比约为东范德蒙德的四倍，因为它的连接数是后者的四倍。

1. 公式
   观察依据

   柱状图显示A、B、C、D和E对应的百分比分别为25%、33%、17%、17%和8%。

2. 声音
   观察依据

   讲解员指出，这些百分比与连接数成正比。

3. 图示
   观察依据

   地图显示贝叶斯维尔连接到其他四个城市，而东范德蒙德仅连接到贝叶斯维尔。

1. 本片段中未明确说出A、C和D各自的度数。

2. 图中显示的百分比经过四舍五入，因此确切的度数分配需根据柱状图及可见图结构推断。

1. 公式

   $$\pi_i = \frac{\deg(i)}{\sum_j \deg(j)}$$
   解释

   对按度数比例分配的权重进行归一化，使得平稳概率之和为1。

   步骤依据

   概率分布的标准归一化；视频中提到了比例关系，但未写出该公式。

   补充解释
2. 公式

   $$\sum_j \deg(j) = 3+4+2+2+1 = 12$$
   解释

   使用与所显示图表及百分比一致的度数：Averagemont 3，Bayesville 4，Continuopolis 2，Discretown 2，East Vandermonde 1。

   步骤依据

   音频明确给出了 Bayesville 4 和 East Vandermonde 1；其余度数由可见图表推断得出，并与所显示的百分比一致。

   依据视频推导
3. 公式

   $$\left(\frac{3}{12},\frac{4}{12},\frac{2}{12},\frac{2}{12},\frac{1}{12}\right)=\left(25\%,33\%,17\%,17\%,8\%\right)$$
   解释

   计算归一化概率，并将其与条形图上的标签进行比较。

   步骤依据

   $3/12=25$%，$4/12$≈33%，$2/12$≈17%，且$1/12$≈8%，与所显示的四舍五入值一致。

   依据视频推导

所显示的平稳分布与将各节点度数除以其总和所得的归一化结果一致。

1. 声音
   观察依据

   叙述者介绍安娜·马尔可夫是正态分销公司的一名质量检验员，该公司在五座城市设有工厂。

2. 声音
   观察依据

   叙述者解释道，她随机飞往拥有直飞航线的机场，并在每次检验后在日志本上盖章。

3. 图示
   观察依据

   一张地图和一个转盘直观呈现了路线选择。

给定一座包含五座城市的直飞航线网络，以及一条规则：安娜在所有可直达的下一城市中等概率地选择；请确定她在长期运行中停留时间最长的城市。

1. 五座城市：Averagemont、Bayesville、Continuopolis、Discretetown、East Vandermonde。

2. 安娜仅沿直连航线移动。

3. 在每个停靠站，她都在所有可选的下一站城市中均匀随机地选择一个。

4. 贝叶斯维尔与所有其他城市都相连。

5. 平均镇直接与贝叶斯维尔相连，但不与东范德蒙德相连。

找出长期停留时间最长的城市。

1. 公式

   $$$$
   解释

   将城市建模为状态，将直飞航班建模为允许的转移。

   步骤依据

   旁白与地图共同定义了一个由路径连接的有限地点集合。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   使用“等概率邻接点”规则来定义转移机制。

   步骤依据

   叙述者明确指出：下一城市是从所有可用的联程航班中等概率随机选取的。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   提出关于长期行为的问题，而非单步转移的问题。

   步骤依据

   叙述者提问：从长远来看，她将在哪座城市停留的时间最长？

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   展示一条已实现的路径片段：起始于Bayesville，在A、C、D、E中旋转并停在Averagemont。

   步骤依据

   该视频片段展示并口述了这一确切序列。

   视频直接表达

本片段未在此部分给出最终答案；它仅提出了这道选择题，并开始一个示例推演过程。

验证需要分析完整的状态转移图及其长期行为，而本节选中并未完成此项分析。

1. 声音
   观察依据

   旁白：“东范德蒙德位置更偏远，仅有飞回贝叶斯维尔的航班，因此她下一站必定返回贝叶斯维尔。”

2. 图示
   观察依据

   一个单扇区的蓝色转盘，标有字母 B，显示在旅行者旁边。

3. 动画
   观察依据

   路线线将东范德蒙德与贝叶斯维尔在地图上连接起来。

当安娜位于东范德蒙德并使用当地转盘时，会发生什么？

1. 东范德蒙德对应于状态 E。

2. 东范德蒙德的转盘仅有一个扇区，标有字母 B。

3. 贝叶斯维尔对应于状态 B。

根据本地转移规则，识别下一个被强制前往的城市。

1. 公式

   $$$$
   解释

   读取东范德蒙德的本地转盘。

   步骤依据

   以单扇区转盘的形式直观呈现。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   由于仅存在一个可能的扇区，下一个目的地是固定的。

   步骤依据

   叙述者明确指出，她接下来一定会返回贝叶斯维尔。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   因此，从E出发的转移是确定性地前往B。

   步骤依据

   将地图上的标签与转盘标签B结合起来。

   依据视频推导

下一座城市是贝叶斯维尔（B）。

单扇形转盘和旁白陈述均表明：从东范德蒙德出发没有其他可选目的地。

1. 字幕依据
   观察依据

   对话框文字：“我最终会在贝叶斯维尔花费时间的占比是多少？”

2. 声音
   观察依据

   安娜问道：“如果我一直这样旅行下去，我想知道，我最终会在贝叶斯维尔花费时间的占比是多少？”

安娜想知道：若持续按转盘规则旅行，她将在贝叶斯维尔花费的时间占比是多少？

1. 安娜反复使用各城市专属的转盘进行旅行。

2. 贝叶斯维尔是该网络中的城市之一。

表述引出平稳分布讨论的问题。

1. 公式

   $$$$
   解释

   认识到该问题关注的并非单次行程，而是多次旅行所累积的时间占比。

   步骤依据

   “我时间中的几分之几”这一表述指的是长期比例。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   讲述者随后将这一概念推广为长期中在每座城市所花费时间的百分比。

   步骤依据

   讲述者明确地将安娜的问题重新表述为一个长期问题。

   视频直接表达

核心问题是长期中在贝叶斯维尔所花时间的比例，之后推广至所有城市。

后续的条形图直接按城市测量了时间百分比，与所提出的问题完全对应。

1. 图示
   观察依据

   一页护照上标有“检查员：安娜·马尔可夫”，其上盖有贝叶斯维尔印章，印文为“P(A|B) = P(B|A)”。

2. 图示
   观察依据

   其他印章显示了诸如离散镇、平均山、连续城和东范德蒙德等城市名称。

1. 该短片并未解释印章上的公式；它仅作为与城市名“贝叶斯维尔”相呼应的视觉双关语。

视频在引入长期频率图表之前，如何可视化安娜的旅行历史？

1. 展示了一张护照页，上面盖有多个带日期的地点印章。

2. 部分印章包含城市名称及符号。

展示各城市累计访问历史。

1. 公式

   $$$$
   解释

   护照上列出了多个城市的带日期记录。

   步骤依据

   屏幕上可见带日期的条目，例如$01/27/16$、$01/29/16$、$02/02/16$等。

   视频直接表达
2. 公式

   $$$$
   解释

   贝叶斯维尔多次出现，印证了在此过程中重访十分常见。

   步骤依据

   多枚印章标注为贝叶斯维尔。

   视频直接表达
3. 公式

   $$$$
   解释

   这份历史记录促使我们按城市统计时间，而非追踪单一路径。

   步骤依据

   下一幕将旅行记录转化为百分比柱状图。

   依据视频推导

护照页面在经验分布图绘制之前，作为重复访问城市的可视化日志。

后续图表所汇总的，正是该页面所记录的城市访问信息。

1. 字幕依据
   观察依据

   测验幻灯片提问：“你认为她将在哪座城市停留最久？”

2. 字幕依据
   观察依据

   选项列表为：A）Averagemont，B）Bayesville，C）Continuopolis，D）Discretown，E）East Vandermonde，F）大致相等，G）视情况而定。

3. 动画
   观察依据

   正确答案 B）Bayesville 保持高亮，其余选项逐渐淡出。

4. 声音
   观察依据

   叙述者指出 Bayesville 有四条连接边，而 East Vandermonde 只有一条，接着说明 Ana 在长期中访问 Bayesville 的频率是 East Vandermonde 的四倍。

Ana 将在哪个城市停留最久？

1. 平稳分布条形图显示：$A=25$%，$B=33$%，$C=17$%，$D=17$%，$E=8$%。

2. 贝叶斯维尔有四条连接。

3. 东范德蒙德有一条连接。

4. 叙述者指出，停留时间占比与连接数成正比。

找出长期停留时间占比最高的城市。

1. 公式

   $$\pi_B = 33\%$$
   解释

   从柱状图中读取贝叶斯维尔的稳态占比。

   步骤依据

   标有 B 的柱子标记为33%。

   视频直接表达
2. 公式

   $$33\% > 25\% > 17\% = 17\% > 8\%$$
   解释

   比较五个城市的显示稳态占比。

   步骤依据

   柱状图上的标签给出了数值大小顺序。

   依据视频推导
3. 公式

   $$\text{Answer: B) Bayesville}$$
   解释

   选择稳态占比最大的城市。

   步骤依据

   贝叶斯维尔的显示占比最高，且其声明的连接数也最多。

   视频直接表达

B）贝叶斯维尔

当选项 B 保持高亮而其他选项逐渐淡出时，答案在视觉上得到确认；该结论也符合度数成比例规则，因为贝叶斯维尔的连接数最多。

1. 动画
   观察依据

   出现哈佛大学HarvardX品牌标识，随后是钟形曲线动画及STAT110x课程标题。

1. HarvardX标志

2. 钟形曲线

3. STAT110x课程标题

1. 标志渐显。

2. 一个角色沿钟形曲线下滑。

3. 课程标题出现在曲线下方。

1. 此开场环节除视觉品牌展示外，未陈述任何数学命题。

此处仅起课程标识作用，而非承载数学内容。

1. 图示
   观察依据

   一张地图上标有五个城市图标，以及表示直接连接关系的连线。

2. 动画
   观察依据

   一个带有标注扇形区域的转盘用于选择目的地。

1. 每个非贝叶斯维尔节点的确切度数在音频中并未完全列出；仅明确说明了部分邻接关系。

1. 五个城市图标

2. 连接线

3. 转盘扇形区域标注为 A、C、D、E

4. 箭头指针

1. 城市名称标注在地图上。

2. 连接线绘制于某些城市对之间。

3. 转盘旋转后指向其中一个扇形区域。

1. 该地图表示允许的直接转移关系。

2. 转盘表示在所有可选目的地中进行等概率选择。

图示编码了一个图上的随机游走：顶点代表城市，边代表直飞航班，而转盘实现了对邻接城市的均匀选择。

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕上显示：你认为她将在哪座城市停留的时间最长？

2. 字幕依据
   观察依据

   选项 A 至 G 被列出，其中包括“大致相等”和“视情况而定”。

1. 题目正文

2. 答案选项 A–G

1. 题目正文出现。

2. 答案选项依次揭晓。

1. 该问题关注的是长期时间分配，而非单次行程。

本画面将本节的概念目标形式化：即该随机过程的平稳态或长期行为。

1. 图示
   观察依据

   贝叶斯维尔被高亮标出，并有连线延伸至其余四座城市。

2. 声音
   观察依据

   讲述者称贝叶斯维尔是一个主要枢纽，与其他所有城市均有直达连接。

1. 贝叶斯维尔图标

2. 四条向外延伸的连接线

3. 其他城市图标

1. 贝叶斯维尔在视觉上被突出强调。

2. 图中展示了从贝叶斯维尔到所有其他城市的连接。

1. 在此例的这一部分中，贝叶斯维尔仍为当前状态。

2. 高亮显示的边代表允许的单步转移。

对贝叶斯维尔的视觉强调预示着节点度会影响长期访问频率。

1. 动画
   观察依据

   首先展示一个三扇区转盘，扇区标签分别为 C、D、B；接着是一个四扇区转盘，标签为 A、C、D、E；最后是一个单扇区转盘，标签为 B。

2. 图示
   观察依据

   扇区颜色与后续城市颜色保持一致：A 为绿色，B 为蓝色，C 为品红色，D 为橙色，E 为紫色。

1. 开场的三扇区转盘清晰可见，但本片段中未通过语音说明其所代表的城市。

1. 三扇区转盘，标有字母 C、D、B

2. 四扇区转盘，标有字母 A、C、D、E

3. 单扇区转盘，标有字母 B

4. 旅行者安娜

1. 转盘布局从多扇区选择变为单一强制结果。

2. 随着可选目的地的变化，旅行者的反应也相应不同。

1. 字母用于标记目的地扇区。

2. 颜色对应地图上后续显示的特定城市。

动画对比了概率性选择与确定性转移，为状态依赖的随机规则做铺垫。

1. 动画
   观察依据

   地图上标出了若干城市，包括贝叶斯维尔、东范德蒙德、离散镇，以及后续出现的平均蒙特和连续城。

2. 图示
   观察依据

   路线线连接各城市；东范德蒙德有一条路线回连至贝叶斯维尔。

1. 贝叶斯维尔

2. 东范德蒙德

3. 离散镇

4. 平均山

5. 连续城

6. 路线线

7. 河流

1. 随着飞机飞行，镜头逐渐展现出更多网络结构。

2. 路线线强调城市之间可能的转移路径。

1. 城市名称与颜色在各场景中保持一致。

该地图将抽象的转盘状态具象化为一个城市交通网络。

1. 动画
   观察依据

   五个转盘同时以菱形排列方式呈现，每个转盘分别对应一个不同的城市或州。

2. 字幕依据
   观察依据

   马尔可夫性质的文字随即出现。

1. 每个外围转盘与具体城市之间的精确对应关系，需通过颜色和标签推断得出，而非逐一口头说明。

1. 中央五扇区转盘

2. 外围转盘分别采用二扇区、三扇区和一扇区布局

3. 标签为 A、B、C、D、E

1. 所有转盘同步旋转，展现彼此独立的局部随机机制。

2. 该构图强调并行的转移规则，而非单一路径。

1. 所有转盘对目的地采用相同的颜色编码。

2. 中央转盘始终作为五状态参考视图。

这一视觉设计浓缩表达了如下思想：每个当前状态都自带其专属的下一步分布。

1. 图示
   观察依据

   一页护照页面标题为“检查员：安娜·马尔科夫”，页面上印有十个盖章框，其中多个已盖上城市印章和日期。

1. 并非每个印章上的日期在动态画面中都同样清晰可辨。

1. 护照页面

2. 城市印章

3. 日期栏

4. 公式印章 P(A|B)=P(B|A)

1. 已盖章与未盖章的印章框共同呈现了过往旅行的记录以及未来访问的预留空间。

1. 页面页眉始终为“检查员：安娜·马尔科夫”。

2. 城市名称在多个印章中重复出现。

该页面可视化地呈现了累积的路径历史，随后视频切换至展示汇总频次。

1. 动画
   观察依据

   一幅柱状图，其柱体标记为 A、B、C、D、E，随着行程计数器从10次行程上升至1000次行程而动态更新。

2. 图示
   观察依据

   y 轴标注为10%、20%、30%、40%。

1. 各行程次数对应的精确中间百分比并非全部可读。

1. 条形图 A、B、C、D、E

2. 行程计数器

3. 百分比轴

1. 在较小的行程次数下，条形高度会出现波动。

2. 约经过1000次行程后，条形高度显得稳定得多。

3. 稳定后，标题变为“平稳分布”。

1. 每个条形始终代表一个城市或州。

2. 颜色编码与之前地图和转盘中的保持一致。

该动画演示了样本频率向稳定分布收敛的过程。

1. 动画
   观察依据

   在‘稳态分布’标题之后，完整地图重新呈现，包含全部五个城市的名称及相互连接的路线。

1. 平均镇

2. 贝叶斯维尔

3. 连续城

4. 离散镇

5. 东范德蒙德

6. 路线线段

7. 飞机图标

1. 画面从抽象的条形图切换回地理网络图。

1. 相同的五城市结构与颜色编码保持不变。

结尾将抽象的稳态分布与网络上的原始旅行过程重新关联起来。

1. 动画
   观察依据

   一张风格化的地图，显示五个标有名称的城市，由黑色连线连接。

2. 动画
   观察依据

   一个黄色飞机图标沿从离散镇通往贝叶斯维尔的连线移动。

3. 声音
   观察依据

   旁白说道：“无论她从哪个城市出发。”

1. 平均镇

2. 连续城

3. 贝叶斯维尔

4. 离散镇

5. 东范德蒙德

6. 黑色连线

7. 黄色飞机图标

8. 浅蓝色河流

1. 飞机沿着网络的一条边，从离散镇飞向贝叶斯维尔。

2. 地图先展示五座城市的网络结构，随后出现平稳分布图表。

1. 五座城市节点及其连接线在飞机移动过程中保持位置固定。

2. 城市名称在地图上始终可见。

动画将安娜的移动引入为在固定城市网络上进行的随机游走。

1. 图示
   观察依据

   标题显示为“平稳分布”。

2. 公式
   观察依据

   标有 A 至 E 的柱状图分别显示25%、33%、17%、17% 和8%。

3. 动画
   观察依据

   最高的蓝色柱状图 B 内部出现水平分隔线。

1. 标题“平稳分布”

2. 五根分别标有 A、B、C、D、E 的彩色柱状图

3. 百分比标签25%、33%、17%、17%、8%

4. 条形图B中的水平分隔线

1. 画面从地图切换为条形图。

2. 百分比标签出现在各条形图上方。

3. 分隔线将最高的贝叶斯维尔条形图进一步细分。

1. 条形图的顺序A、B、C、D、E保持固定。

2. 各色块颜色与视频其他部分所用的城市颜色相对应。

该图表展示了长期来看在各城市所占时间的百分比，并通过视觉方式强调贝叶斯维尔所占份额最大。

1. 声音
   观察依据

   讲述者明确指出，并非所有城市之间都存在直达航班连接。

2. 声音
   观察依据

   讲述者举出反例：平均镇与贝叶斯维尔相连，但与东范德蒙德不相连。

人们可能认为旅行者可以在任意两座城市之间直接移动。

视频片段指出，直达连接是有限的；某些城市对无法一步到达。

1. 声音
   观察依据

   讲述者特别询问了长期情况。

2. 动画
   观察依据

   之后以一个具体实现的转移为例进行了展示。

观众可能仅根据一次观察到的移动（例如从贝叶斯维尔到平均镇）就推断出答案。

所提出的问题关注的是在每座城市中长期停留的时间比例，而非某一次随机移动的结果。

1. 声音
   观察依据

   旁白通过“仅依赖当前状态，而非概率相等”来定义马尔可夫性质。

2. 图示
   观察依据

   视频中展示的转盘扇区大小不等，甚至存在仅有一个扇区的情形。

可能误以为马尔可夫链要求所有下一状态的转移概率都相等。

视频中的转盘展示了不等概率甚至确定性的转移结构；马尔可夫性质关注的是对当前状态的依赖性，而非概率的均匀性。

1. 声音
   观察依据

   旁白从安娜“下一站去哪”的问题，转向“长期来看……她在每个城市停留的时间占比是多少？”。

2. 动画
   观察依据

   平稳分布仅在展示多次行程后的柱状图之后才被引入。

可能误将平稳分布当作旅行者下一次出行将前往哪个城市的答案。

本视频中，平稳分布是通过多次行程的长期时间占比来定义的，而非通过单次下一状态的预测。

1. 声音
   观察依据

   讲述者首先说：“无论她从哪座城市出发”，随后给出长期比例结果。

1. 视频并未用语言明确指出这一误解；而是通过强调长期时间占比与起始城市无关，暗示了该误解。

有人可能认为安娜从哪个城市出发，就决定了她在长期中停留时间最多的城市。

视频指出，长期时间占比与起始城市无关，而正比于每个城市的连接数。

1. 公式
   观察依据

   邮票上明确印有 P(A|B) ≠ P(B|A)。

1. 该片段未对这一不等式提供口头解释或示例。

有人可能认为，交换条件事件的顺序不会改变条件概率的值。

所展示的不等式表明：P(A|B) 通常不等于 P(B|A)。

1. 公式
   观察依据

   平稳分布柱状图高度不等：25%、33%、17%、17% 和 8%。

2. 字幕依据
   观察依据

   测验选项中包含 F）大致相等，但当正确答案 B）贝叶斯维尔揭晓时，该选项随即淡出。

1. 视频并未明确说明“大致相等”是错误的；而是通过视觉上的答案揭晓方式暗示了这一点。

人们可能预期，安娜在长期内会在所有城市花费大致相等的时间。

条形图显示了不相等的稳态百分比，而答案揭晓环节选择的是‘贝叶斯维尔’，而非‘大致相等’。

1. 声音
   观察依据

   整体设定描述了在各城市之间反复进行的随机移动。

2. 图示
   观察依据

   地图标出了可作为位置的所有城市名称。

一般性的马尔可夫链介绍中包含了该示例所使用的、由五座城市构成的具体有限状态空间。

1. 声音
   观察依据

   下一城市从当前可用的连通航班中等概率地选出。

2. 图示
   观察依据

   地图上的线条表示哪些状态转移是可行的。

转移规则通过指定过程如何从一个城市状态转移到另一个城市状态，作用于状态空间。

1. 图示
   观察依据

   该地图展示了一组城市及其之间的直达路线所构成的网络。

2. 声音
   观察依据

   讲述者讨论了哪些城市彼此直接相连。

要理解在可用邻居中进行均匀选择的含义，首先需明确决定哪些邻居可用的图连通性。

1. 声音
   观察依据

   贝叶斯维尔被描述为与所有其他城市均有直达连接。

2. 图示
   观察依据

   地图突出了贝叶斯维尔与网络其余部分之间的连接关系。

贝叶斯维尔在连通结构中是一个特殊节点，因为在本例中它与每个其他城市均相邻。

1. 声音
   观察依据

   在枢纽性质被充分展示之前，就已提出了关于长期行为的问题。

2. 声音
   观察依据

   讲述者随后强调了贝叶斯维尔的枢纽地位。

1. 本片段未完成对‘为何枢纽地位会影响长期停留时间’这一问题的因果解释。

回答‘长期访问次数最多的城市是哪一个’这一问题，取决于对结构性特征的理解，例如贝叶斯维尔的枢纽度。

1. 声音
   观察依据

   旁白先称安娜的行程过程为马尔可夫链，再解释支配该过程的马尔可夫性质。

马尔可夫性质是用于解释为何安娜的行程过程属于马尔可夫链的核心特征。

1. 声音
   观察依据

   讲述者在陈述马尔可夫性质后立即说道：“这是一种无记忆性。”

在此片段中，无记忆性被呈现为对马尔可夫性质的口头重述。

1. 声音
   观察依据

   讲述者通过绘制多次行程后的百分比，来回答安娜关于时间占比的问题。

经验条形图是用于探究长期时间占比问题的方法。

1. 动画
   观察依据

   条形图趋于稳定，随后被标注为“平稳分布”。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将这一稳定下来的分布命名为平稳分布。

平稳分布被引入为经验分布在多次行程中逐步趋近并最终稳定的极限形式。

1. 声音
   观察依据

   讲述者称该过程总会收敛到同一个平稳分布。

这一收敛性主张，将平稳分布的概念应用于该链的重复长期行为。

1. 声音
   观察依据

   讲述者将稳态百分比定义为与连接数成正比。

2. 图示
   观察依据

   条形高度对应于讲述中所讨论的网络度数。

度数成正比规则被用于计算或解释稳态分布的长时期百分比。

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，网络结构是决定稳态分布的关键。

2. 动画
   观察依据

   抽象图与稳态分布条形图对齐。

关于网络结构的陈述，给出了此前所展示的具体稳态分布数值背后的更普遍原理。

1. 声音
   观察依据

   讲述者描述了在城市之间通过直达线路进行的重复随机旅行。

2. 图示
   观察依据

   展示了一张包含五个城市的地图，城市之间用连线表示连接关系。

1. 通过一个随机旅行过程引出马尔可夫链。
2. 本例的状态空间
3. 在可用邻接城市间采用均匀转移规则

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，并非所有城市都彼此直达，并以阿弗里奇蒙特市到东范德蒙德市为例说明这种不可直达的情况。

1. 允许的转移构成一张图，而非完全图。
2. 直飞航线网络并非两两完全连通

1. 声音
   观察依据

   讲述者提问：从长远来看，她将在哪座城市停留的时间最长？

2. 字幕依据
   观察依据

   同一表述出现在多选题屏幕上。

1. 长期访问最多的城市问题
2. 将一次实际发生的行程与长期频率混淆

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，贝叶斯维尔是一座主要枢纽城市，与其余所有城市均有直达连接。

2. 图示
   观察依据

   地图凸显了贝叶斯维尔与网络其余部分之间的连接线路。

1. 贝叶斯维尔作为一个高连通度的枢纽。
2. s0-cr-hub-to-question

1. 声音
   观察依据

   讲述者称，下一座城市将从所有可用的直达航班中等概率随机选取。

2. 动画
   观察依据

   使用转盘来选择目的地。

1. 在可用邻接城市间采用均匀转移规则
2. 图示化呈现与随机选择装置

1. 字幕依据
   观察依据

   屏幕文字明确标出“马尔可夫性质”。

1. 马尔可夫性质
2. 马尔可夫性质的无记忆性解释

1. 声音
   观察依据

   讲述者先指出安娜的过程是一个马尔可夫链，再解释其依赖规则。

1. 用马尔可夫链建模安娜的旅行过程
2. 马尔可夫性质

1. 字幕依据
   观察依据

   标题卡片显示“平稳分布”。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将其定义为图表最终稳定下来的分布。

1. 平稳分布

1. 声音
   观察依据

   讲述者从“下一站”话题转向“长期来看……她有多少时间……”

1. 马尔可夫链的长期驻留率问题
2. 按行程次数绘制的经验分布
3. 平稳分布

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，东范德蒙德只有飞回贝叶斯维尔的航班。

2. 图示
   观察依据

   出现一个仅标有 B 的单扇形转盘。

1. 用马尔可夫链建模安娜的旅行过程
2. 马尔可夫性质

1. 声音
   观察依据

   讲述者解释说，每根柱子的高度表示安娜到目前为止在该城市所花费时间的百分比。

1. 按行程次数绘制的经验分布

1. 声音
   观察依据

   讲述者指出，虽然只展示了一次运行，但该过程总会收敛到同一个平稳分布。

1. 收敛到同一个平稳分布
2. 平稳分布