跳到内容 mathvideo

菜单

代数 / 中文

恢复未知矩阵，再交换两条竖列

均一教育平台 Junyi Academy · YouTube · 1:06

打开原视频

YouTube · 均一教育平台 Junyi Academy原视频

视频中的要点

01矩阵
02由 M[1 0; 0 0] 讀出第一竖列
03由 M[0 0; 0 1] 讀出第二竖列

来自学习笔记

M \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\quad M \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix},\quad M \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}

矩阵

选中时刻

題目呈現

建议预备知识

矩阵乘法与维数匹配
横行、竖列及竖列向量

阅读与收藏

把讲解展开来看。

已审核学习内容 · 视频分析 · 中文

阅读完整概览

从两个投影矩阵的乘积结果读出未知 $3\times 2$ 矩阵的两条竖列，再用右乘交换矩阵得到答案。原创说明用“横行、竖列”明确方向：原片台湾地区的“行运算”在这里对应竖列操作，属于术语差异；右乘组合竖列、左乘组合横行。

在学习检查器中查看要点和时刻，或切换阅读标签查看完整笔记。

章节

0:00題目呈現 0:08把右側矩陣看成竖列操作 0:26由第一條件求出 M 的第一竖列 0:35由第二條件求出 M 的第二竖列 0:46計算 M[0 1; 1 0] 並總結方法

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

把未知矩阵想成并排的两条竖列。题目给出两个乘积，我们先从它们恢复M。

右乘第一个投影矩阵，保留第一竖列，把第二竖列置零。于是第一列读作三、二、一。

第二个投影矩阵保留第二竖列，得到一、二、三。现在两条竖列都已确定，可以重建整个矩阵。

把交换矩阵放在M右边，会交换两条竖列，横行位置保持不变。结果与原片最终板书一致。

原片地区用语把这个过程称为行运算。这里采用横行、竖列，帮助读者辨认实际操作方向。两个投影矩阵是奇异的，不属于可逆的初等矩阵。

知识卡片

01

矩阵

對 $3\times 2$ 矩陣 M 右乘 $2\times 2$ 矩陣時，改變的是 M 的竖列。本題中，[1 0; 0 0] 保留第一竖列、[0 0; 0 1] 保留第二竖列、[0 1; 1 0] 交換两竖列。

M \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix},\quad M \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix},\quad M \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}

02

由 M[1 0; 0 0] 讀出第一竖列

因為右乘 [1 0; 0 0] 只保留 M 的第一竖列，所以結果矩陣的第一竖列就是 M 的第一竖列。題目給出結果第一竖列為 3,2,1，故 M 的第一竖列是 (3,2,1)。

M\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&0\\2&0\\1&0\end{bmatrix}\Rightarrow M_{:,1}=(3,2,1)^T

03

由 M[0 0; 0 1] 讀出第二竖列

右乘 [0 0; 0 1] 只保留 M 的第二竖列，所以結果矩陣的第二竖列就是 M 的第二竖列。題目給出結果第二竖列為 1,2,3，故 M 的第二竖列是 (1,2,3)。

M\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\0&2\\0&3\end{bmatrix}\Rightarrow M_{:,2}=(1,2,3)^T

04

重建矩陣 M

把求出的两竖列放回原位，即可得到完整 M。第一竖列是 (3,2,1)，第二竖列是 (1,2,3)，所以 M=[3 1; 2 2; 1 3]。

M=\begin{bmatrix}3&1\\2&2\\1&3\end{bmatrix}

05

M[0 1; 1 0] 的效果是交換两竖列

右乘 [0 1; 1 0] 會把 M 的第一竖列與第二竖列互換。因此若 M=[3 1; 2 2; 1 3]，則 M[0 1; 1 0]=[1 3; 2 2; 3 1]。

M\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&3\\2&2\\3&1\end{bmatrix}

06

右乘作用方向与地区术语

原片实际计算正确：右乘 $2\times 2$ 矩阵组合M的两条竖列，左乘合适维数的矩阵则组合横行。原片“行、列”称呼与内地不同，本站用明确方向，不把术语差异认定为作者错误。

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 6

M

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
畫面題目文字寫出「設 M 為一 $3 \times 2$ 的矩陣」，後續手寫又寫出 M = [3 1; 2 2; 1 3]。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

符号

M

含义

未知的 $3\times 2$ 矩陣，是題目要求推導與應用的主體。

适用范围

$3\times 2$ 矩陣

[1 0; 0 0]

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
第一個條件右乘矩陣為 [1 0; 0 0]。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

符号

[1 0; 0 0]

含义

作用於 M 右側的 $2\times 2$ 矩陣；在本題語境中等同於把 M 的第一竖列保留、第二竖列置零的操作。

适用范围

$2\times 2$ 矩陣

[0 0; 0 1]

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
第二個條件右乘矩陣為 [0 0; 0 1]。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

符号

[0 0; 0 1]

含义

作用於 M 右側的 $2\times 2$ 矩陣；在本題語境中等同於把 M 的第二竖列保留、第一竖列置零的操作。

适用范围

$2\times 2$ 矩陣

[0 1; 1 0]

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
題目最後要求計算 M[0 1; 1 0]。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

符号

[0 1; 1 0]

含义

作用於 M 右側的 $2\times 2$ 矩陣；在本題語境中對應把 M 的两竖列交換。

适用范围

$2\times 2$ 矩陣

(3,2,1)^T

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
第一個條件結果矩陣第一竖列為 3,2,1。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

符号

(3,2,1)^T

含义

由 M[1 0; 0 0] 得到的結果矩陣第一竖列，等於 M 的第一竖列。

适用范围

$R^3$ 中的列向量

(1,2,3)^T

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
第二個條件結果矩陣第二竖列為 1,2,3。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

符号

(1,2,3)^T

含义

由 M[0 0; 0 1] 得到的結果矩陣第二竖列，等於 M 的第二竖列。

适用范围

$R^3$ 中的列向量

知识点 · 3

右乘 $2\times 2$ 矩陣對應竖列运算

依据清楚

补充解释

来源依据

声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。
公式
观察依据
三個條件都是 M 右乘 $2\times 2$ 矩陣，結果分別顯示取第一竖列、取第二竖列、交換两竖列。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

方法

解释

本題的核心方法是把 M 右側的 $2\times 2$ 矩陣視為對 M 的竖列做線性組合。右乘 [1 0; 0 0] 會保留第一竖列並把第二竖列置零；右乘 [0 0; 0 1] 會保留第二竖列並把第一竖列置零；右乘 [0 1; 1 0] 會把两竖列交換。

适用条件

M 為 $3\times 2$ 矩陣
右乘的矩陣為 $2\times 2$
結果仍為 $3\times 2$ 矩陣

由兩個條件重建 M

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
畫面先寫出 M = [3 1; 2 2; 1 3]。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

方法

解释

由 M[1 0; 0 0] 的結果可知 M 的第一竖列是 (3,2,1)，由 M[0 0; 0 1] 的結果可知 M 的第二竖列是 (1,2,3)。把這两竖列放回原位置，就得到 M = [3 1; 2 2; 1 3]。

适用条件

已知 M[1 0; 0 0] 與 M[0 0; 0 1] 的結果
M 為 $3\times 2$ 矩陣

先修条目

右乘 $2\times 2$ 矩陣對應竖列运算

右乘 [0 1; 1 0] 表示交換两竖列

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
題目要求 M[0 1; 1 0]。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

方法

解释

一旦知道 M 的两竖列分別為 (3,2,1) 與 (1,2,3)，右乘 [0 1; 1 0] 就是把第一竖列與第二竖列互換，因此結果第一竖列變成 (1,2,3)，第二竖列變成 (3,2,1)。

适用条件

已求出 M 的两竖列
右乘矩陣為 [0 1; 1 0]

先修条目

由兩個條件重建 M

定理与条件 · 1

右乘 $2\times 2$ 矩陣是在做竖列运算

依据清楚

补充解释

来源依据

声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。
公式
观察依据
三個例子都顯示右側 $2\times 2$ 矩陣改變的是 M 的竖列排列或保留方式。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

命题

命题

本题M为 $3\times 2$ 矩阵，右乘 $2\times 2$ 矩阵后，结果的每条竖列都是M两条竖列的线性组合。本片三个具体矩阵分别保留第一列、保留第二列与交换两列；一般乘法公式是本站补充。

前提

M 為 $3\times 2$ 矩陣
右乘矩陣為 $2\times 2$

量词

對本題出現的三個右乘矩陣均成立。

推导与证明 · 1

由條件矩陣推得 M 再求目標矩陣

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
畫面依次標出 [1 0; 0 0]、[0 0; 0 1]、[0 1; 1 0] 對應的竖列操作。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

严格证明

步骤

公式
$M[1 0; 0 0] = [3 0; 2 0; 1 0]$
解释
第一個條件告訴我們，右乘 [1 0; 0 0] 後得到的第一竖列就是 M 的第一竖列。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释
公式
$M_{:,1}=(3,2,1)^T$
解释
比較結果矩陣第一竖列與 M 的竖列結構，可得 M 第一竖列為 3,2,1。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释
公式
$M[0 0; 0 1] = [0 1; 0 2; 0 3]$
解释
第二個條件告訴我們，右乘 [0 0; 0 1] 後得到的第二竖列就是 M 的第二竖列。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释
公式
$M_{:,2}=(1,2,3)^T$
解释
比較結果矩陣第二竖列與 M 的竖列結構，可得 M 第二竖列為 1,2,3。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释
公式
$M = [3 1; 2 2; 1 3]$
解释
把剛求出的两竖列放回原位，重建完整的 $3\times 2$ 矩陣 M。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释
公式
$M[0 1; 1 0] = [1 3; 2 2; 3 1]$
解释
右乘 [0 1; 1 0] 會交換 M 的两竖列，所以第一竖列變為 (1,2,3)，第二竖列變為 (3,2,1)。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释

结论

最終答案為 [1 3; 2 2; 3 1]。

例题详解 · 1

090 填充 6： $3\times 2$ 矩陣的乘法竖列运算

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
畫面完整呈現題目：設 M 為 $3\times 2$ 矩陣，且 M[1 0; 0 0]=[3 0; 2 0; 1 0]，M[0 0; 0 1]=[0 1; 0 2; 0 3]，求 M[0 1; 1 0]。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

题目

設 M 為一 $3\times 2$ 的矩陣，而且 M[1 0; 0 0]=[3 0; 2 0; 1 0]，M[0 0; 0 1]=[0 1; 0 2; 0 3]，則 M[0 1; 1 0]=______。

已知条件

M 是 $3\times 2$ 矩陣
M[1 0; 0 0]=[3 0; 2 0; 1 0]
M[0 0; 0 1]=[0 1; 0 2; 0 3]

目标

求 M[0 1; 1 0] 的值。

步骤

公式
$M[1 0; 0 0]=[3 0; 2 0; 1 0]$
解释
先讀懂第一個條件：右乘 [1 0; 0 0] 會取出 M 的第一竖列。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释
公式
$M_{:,1}=(3,2,1)^T$
解释
因此 M 的第一竖列就是結果矩陣的第一竖列。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释
公式
$M[0 0; 0 1]=[0 1; 0 2; 0 3]$
解释
再讀懂第二個條件：右乘 [0 0; 0 1] 會取出 M 的第二竖列。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释
公式
$M_{:,2}=(1,2,3)^T$
解释
因此 M 的第二竖列就是結果矩陣的第二竖列。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释
公式
$M=[3 1; 2 2; 1 3]$
解释
把两竖列合併，重建 M。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释
公式
$M[0 1; 1 0]=[1 3; 2 2; 3 1]$
解释
右乘 [0 1; 1 0] 交換 M 的两竖列，得到最終答案。
步骤依据
由题目实际矩阵等式按竖列比较；右乘矩阵的每条竖列给出对应组合系数。
补充解释

结果

[1 3; 2 2; 3 1]

检验

將求得的 M 代回兩個已知條件，確實分別得到 [3 0; 2 0; 1 0] 與 [0 1; 0 2; 0 3]，再交換两竖列即得 [1 3; 2 2; 3 1]。

图示与动画 · 4

標示第一個條件對應取第一竖列

依据清楚

补充解释

来源依据

动画
观察依据
畫面用綠色圈出 [1 0; 0 0] 的第一竖列，並圈出結果矩陣第一竖列 3,2,1。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

图中对象

右乘矩陣 [1 0; 0 0]
結果矩陣 [3 0; 2 0; 1 0]
M 的第一竖列

变化过程

綠色圈選從右乘矩陣移到結果矩陣第一竖列
手寫標註 C1 指向第一竖列

不变量

M 仍是 $3\times 2$ 矩陣
結果矩陣第二竖列保持為 0

数学含义

視覺上強調右乘 [1 0; 0 0] 只保留 M 的第一竖列，第二竖列被置零。

標示第二個條件對應取第二竖列

依据清楚

补充解释

来源依据

动画
观察依据
畫面用綠色圈出 [0 0; 0 1] 的第二竖列，並圈出結果矩陣第二竖列 1,2,3。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

图中对象

右乘矩陣 [0 0; 0 1]
結果矩陣 [0 1; 0 2; 0 3]
M 的第二竖列

变化过程

綠色圈選轉到第二個條件
手寫標註 C2 指向第二竖列

不变量

結果矩陣第一竖列保持為 0

数学含义

視覺上強調右乘 [0 0; 0 1] 只保留 M 的第二竖列，第一竖列被置零。

手寫重建矩陣 M

依据清楚

补充解释

来源依据

动画
观察依据
畫面左下逐步手寫出 M = [3 1; 2 2; 1 3]。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

图中对象

M 的書寫過程
第一竖列 (3,2,1)
第二竖列 (1,2,3)

变化过程

先寫出第一竖列 3,2,1
再補上第二竖列 1,2,3

不变量

M 的維度始終是 $3\times 2$

数学含义

把兩個條件分別給出的竖列資訊合併成完整矩陣。

寫出交換两竖列後的最終答案

依据清楚

补充解释

来源依据

动画
观察依据
畫面在題目右側寫出最終矩陣 [1 3; 2 2; 3 1]，並以綠色框標示。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

图中对象

目標乘積 M[0 1; 1 0]
最終矩陣 [1 3; 2 2; 3 1]

变化过程

第一竖列由 (3,2,1) 換成 (1,2,3)
第二竖列由 (1,2,3) 換成 (3,2,1)

不变量

矩陣維度仍為 $3\times 2$
两竖列內容集合不變，只是順序交換

数学含义

視覺上直接展示右乘 [0 1; 1 0] 的效果就是交換 M 的两竖列。

易错点 · 1

右乘作用方向与地区术语

依据清楚

补充解释

来源依据

声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。
公式
观察依据
畫面把右側 $2\times 2$ 矩陣的列與 M 的竖列一一對應圈選。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

误区

把原片“行运算”误解为水平横行操作。

说明

原片实际计算正确：右乘 $2\times 2$ 矩阵组合M的两条竖列，左乘合适维数的矩阵则组合横行。原片“行、列”称呼与内地不同，本站用明确方向，不把术语差异认定为作者错误。

概念关系 · 2

右乘 $2\times 2$ 矩陣對應竖列运算 → 090 填充 6： $3\times 2$ 矩陣的乘法竖列运算

依据清楚

补充解释

来源依据

声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。
公式
观察依据
例題中的三個右乘矩陣正好對應三種竖列操作。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

应用

解释

本例題是「右乘 $2\times 2$ 矩陣對應竖列运算」這一方法的直接應用。

由兩個條件重建 M → 右乘 [0 1; 1 0] 表示交換两竖列

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
先由兩個條件求出 M，再計算 M[0 1; 1 0]。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

先修

解释

必須先重建 M 的两竖列，才能進一步判斷右乘 [0 1; 1 0] 後的交換結果。

问题定位 · 3

為什麼對矩陣右乘一個 $2\times 2$ 矩陣會是在做竖列运算？

依据清楚

补充解释

来源依据

声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

涉及知识点

右乘 $2\times 2$ 矩陣對應竖列运算
右乘 $2\times 2$ 矩陣是在做竖列运算

已知 M[1 0; 0 0] 和 M[0 0; 0 1]，怎麼還原 M？

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
畫面由兩個條件推出 M=[3 1; 2 2; 1 3]。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

涉及知识点

由兩個條件重建 M
由條件矩陣推得 M 再求目標矩陣

為什麼 M[0 1; 1 0] 的答案是把 M 的两竖列交換？

依据清楚

补充解释

来源依据

公式
观察依据
最終答案為 [1 3; 2 2; 3 1]。
声音
观察依据
原声结合当前矩阵等式，说明对应竖列的提取、重建或交换步骤；本站采用方向明确的转述。

待核验内容

本站用横行、竖列澄清地区用语；保留原画数值、顺序及时间。

涉及知识点

右乘 [0 1; 1 0] 表示交換两竖列
090 填充 6： $3\times 2$ 矩陣的乘法竖列运算

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 畫面顯示完整題目，音訊開始說明這是聯考自然組題目，主題是矩陣乘法特性。

已覆盖 · 講者把右側矩陣解釋為操作，開始說明右乘 [1 0; 0 0] 會取出第一竖列。

已覆盖 · 由第一個條件得出 M 的第一竖列為 (3,2,1)，並開始手寫 M。

已覆盖 · 由第二個條件得出 M 的第二竖列為 (1,2,3)，完成 M=[3 1; 2 2; 1 3]。

已覆盖 · 計算 M[0 1; 1 0]，說明其效果是交換两竖列，寫出最終答案 [1 3; 2 2; 3 1]，並總結右乘即竖列运算。本站时间核对：实际媒体65.974秒，网站统一取66秒，已提供完整音画；尾部沿用完成后的最终矩阵板书，不增加新数学结论。

探索视频中的知识

打开视频知识图谱 →

矩阵讲解定位 0:08
查看关联依据
對 $3\times 2$ 矩陣 M 右乘 $2\times 2$ 矩陣時，改變的是 M 的竖列。本題中，[1 0; 0 0] 保留第一竖列、[0 0; 0 1] 保留第二竖列、[0 1; 1 0] 交換两竖列。