这个矩阵为什么没有逆矩阵：零列反证法

1. 公式
   观察依据

   畫面題目框內寫出 $A=\begin{bmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{bmatrix}$

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

A

给定3×3矩阵，三个横行分别为1,4,0；2,5,0；3,6,0。

3×3 矩陣

1. 公式
   观察依据

   解題區寫出「假設 AB=BA=I，令 B=$\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}$ 是任意 3×3 矩陣」

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

B

假設存在的反矩陣候選，為任意 3×3 矩陣

3×3 矩陣

1. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

2. 公式
   观察依据

   解題區以 I 表示 AB=BA=I 中的單位矩陣

I

單位矩陣，作為反矩陣定義中的目標乘積

與 A、B 同階的 3×3 單位矩陣

1. 公式
   观察依据

   B 的九個元素以 b_{11},b_{12},b_{13},b_{21},b_{22},b_{23},b_{31},b_{32},b_{33} 標示

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

b_{ij}

B第i横行、第j竖列的元素。

矩陣 B 的元素

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 $A = \begin{bmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{bmatrix}$

A

題目給定的 3×3 矩陣，其第三竖列全為 0

3×3 矩陣

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 B = $\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}$

B

假設存在的任意 3×3 矩陣，用作 A 的反矩陣候選

3×3 矩陣

1. 公式
   观察依据

   B的元素$b_{ij}$位于第i横行、第j竖列。

b_{ij}

B第i横行、第j竖列的元素。

實數或所屬數域中的標量

1. 公式
   观察依据

   畫面與音訊皆使用 I，並寫出 $I = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

I

3×3 單位矩陣

3×3 矩陣

1. 公式
   观察依据

   画面与讲解按A的竖列计算BA，即由B左乘每一个对应竖列。本站统一方向用语。

BA

矩陣 B 左乘矩陣 A 所得的 3×3 乘積矩陣

3×3 矩陣

1. 公式
   观察依据

   乘積矩陣第三竖列顯示為 $\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

1. 原片地区术语指竖列，本站用方向明确的列记号；原模型的横行切片与横向向量维数已纠正。

(BA)_{:,3}

BA 乘積結果的第三竖列，三個元素皆為 0

3×1零竖列向量

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 I 的第三竖列為 $\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

1. 原片地区术语指竖列，本站用方向明确的列记号；原模型的横行切片与横向向量维数已纠正。

I_{:,3}

3×3 單位矩陣 I 的第三竖列

3×1竖列向量

1. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

2. 公式
   观察依据

   後續解題區把此條件寫成 AB=BA=I

影片以兩矩陣 A、B 滿足 AB=BA=I 來描述 B 是 A 的反矩陣。此處重點是反矩陣必須同時滿足左乘與右乘都得到單位矩陣。

1. A 與 B 需可相乘且結果同階

2. 影片例子中 A、B 為 3×3 矩陣

3. I 為單位矩陣

1. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

2. 公式
   观察依据

   題目文字為「證明矩陣 A=… 是奇異矩陣」

影片將「反矩陣不存在」的矩陣稱為奇異矩陣。本例要證明的就是所給 3×3 矩陣 A 屬於此類。

1. 討論對象為方矩陣

2. 以反矩陣是否存在作為判定

1. 反矩陣的定義條件

1. 公式
   观察依据

   題目框顯示 $A=\begin{bmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{bmatrix}$

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

例題給定一個具體 3×3 矩陣 A，其第三竖列全為 0。影片要求證明此 A 為奇異矩陣，即證明不存在 B 使 AB=BA=I。

1. A 為 3×3 矩陣

1. 奇異矩陣

1. 公式
   观察依据

   標題寫「例題：【反矩陣不存在】」，題目寫「證明矩陣 A = ... 是奇異矩陣。」

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

本例把「A 是奇異矩陣」與「A 的反矩陣不存在」作為同一結論使用。視頻沒有另行給出奇異矩陣的抽象定義，而是透過證明不存在 B 使 AB=BA=I 來支持此結論。

1. A 為 3×3 矩陣

2. 結論針對 A 的反矩陣是否存在

1. 反矩陣存在的假設條件
2. 3×3 單位矩陣

1. 公式
   观察依据

   解題開頭寫「假設 AB = BA = I，令 B = ... 是任意 3×3 矩陣」

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

若要證明 A 沒有反矩陣，視頻採用反證思路：先假設存在某個 3×3 矩陣 B 同時滿足 AB=I 與 BA=I，再檢查這個假設是否會導致矛盾。

1. B 必須是與 A 同階的 3×3 矩陣

2. 需同時滿足左乘與右乘都等於單位矩陣

1. 3×3 單位矩陣

1. 公式
   观察依据

   畫面寫出 $I = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

視頻明確展示 3×3 單位矩陣 I 的三個竖列向量分別為 (1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，並用它作為反矩陣乘積應達到的目標矩陣。

1. 此處為 3×3 情形

1. 公式
   观察依据

   本站按原片竖列展开整理：$BA=B\left[\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\ \begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}\ \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\right]=\left[\begin{array}{ccc}B\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}&B\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}&B\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\end{array}\right]$

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

1. 原片地区术语对应实际竖列，按画面方向澄清。

視頻計算 BA 時，把 A 寫成三個竖列向量的拼接，然後讓 B 分別左乘這三個竖列向量，得到 BA 的三個列。這是矩陣乘法按竖列展開的方法。

1. A 為 3×3 矩陣

2. B 為 3×3 矩陣

1. 反矩陣存在的假設條件

1. 公式
   观察依据

   A 的第三竖列為 $\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$，BA 展開後第三竖列為 B$\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$

2. 公式
   观察依据

   最終乘積矩陣第三竖列顯示為 $\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$

因為 A 的第三竖列是零向量，所以無論 B 的元素為何，B 乘以這個零竖列都會得到零竖列。視頻利用這一點直接看出 BA 的第三竖列必為 (0,0,0)。

1. B 為 3×3 矩陣

2. 被乘竖列向量為 3×1 零向量

1. 以 A 的竖列向量展開 BA

1. 公式
   观察依据

   畫面比較 BA 的第三竖列 (0,0,0) 與 I 的第三竖列 (0,0,1)

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

視頻通過找出一個位置不同就判定 $BA\neq I$：BA 的第三竖列是 (0,0,0)，而 I 的第三竖列是 (0,0,1)，因此兩矩陣不相等。這隱含使用了矩陣相等必須所有對應元素相同的判準。

1. 比較同階矩陣

2. 只要有一個對應元素不同即可判定不相等

1. 3×3 單位矩陣

1. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

并非每个实方阵都有逆矩阵；不可逆的方阵称为奇异矩阵。

1. 討論對象為方矩陣

存在某些矩陣沒有反矩陣

1. 公式
   观察依据

   畫面顯示 BA 的計算結果第三竖列為 (0,0,0)，而 I 的第三竖列為 (0,0,1)

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

對任意 3×3 矩陣 B，若 $A=\begin{bmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{bmatrix}$，則 $BA\neq I$。

1. A 如題所示

2. B 為任意 3×3 矩陣

3. I 為 3×3 單位矩陣

∀ 3×3 矩陣 B，BA≠I

1. 公式
   观察依据

   結論文字寫「也就是矩陣 A ... 是奇異矩陣。」

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

矩陣 $A=\begin{bmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{bmatrix}$ 是奇異矩陣，亦即 A 的反矩陣不存在。

1. A 如題所示

2. 反矩陣定義採用 AB=BA=I

對該具體矩陣 A 成立

1. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

2. 公式
   观察依据

   解題區逐步顯示「假設 AB=BA=I，令 B=… 是任意 3×3 矩陣，考慮」

1. 仅当前0–84秒段未完成；后续原片给出完整矛盾与结论。

1. 公式

   $$AB=BA=I$$
   解释

   先假設存在某個矩陣 B 同時滿足左乘與右乘都得到單位矩陣。

   步骤依据

   這是反矩陣定義條件，影片在 10–20 秒已先複習。

   补充解释
2. 公式

   $$B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}$$
   解释

   把假設存在的 B 寫成一般 3×3 矩陣，以便後續比較元素。

   步骤依据

   影片明確說 B 是任意 3×3 矩陣，並在畫面上列出九個未知元素。

   补充解释
3. 公式

   $$BA$$
   解释

   接著進入對 BA 的計算與比較。

   步骤依据

   仅当前分析段到此；完整原片后续继续计算并证明矛盾。

   补充解释

当前0–84秒段建立反证假设和一般B；后续原片完成BA与单位矩阵的比较。

1. 公式
   观察依据

   從「假設 AB=BA=I」開始，展開 BA，比較第三竖列，最後得出 $BA\neq I$ 與 A 為奇異矩陣

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

1. 本片地区用语指竖列，本站统一位置记号，不认定原作者错误。

1. 公式

   $$A=\begin{bmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}$$
   解释

   先寫出題目矩陣 A，並假設存在一個任意 3×3 矩陣 B 作為可能的反矩陣。

   步骤依据

   來自畫面題設與「假設 AB=BA=I」的開頭設定。

   视频直接表达
2. 公式

   $$AB=BA=I$$
   解释

   把反矩陣存在的條件寫成同時滿足左逆與右逆等於單位矩陣。

   步骤依据

   視頻明確寫出此假設。

   视频直接表达
3. 公式

   $$BA=\left[\begin{array}{ccc}B\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}&B\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}&B\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\end{array}\right]$$
   解释

   將 A 按竖列拆成三個竖列向量，再把 B 分別左乘這三個竖列向量，得到 BA 的三列。

   步骤依据

   矩陣乘法可按右矩陣的列展開；此步驟在畫面中直接展示。

   视频直接表达
4. 公式

   $$BA=\begin{bmatrix}b_{11}+2b_{12}+3b_{13}&4b_{11}+5b_{12}+6b_{13}&0\\b_{21}+2b_{22}+3b_{23}&4b_{21}+5b_{22}+6b_{23}&0\\b_{31}+2b_{32}+3b_{33}&4b_{31}+5b_{32}+6b_{33}&0\end{bmatrix}$$
   解释

   完成三列的線性組合計算後，第三竖列三個元素都為 0。

   步骤依据

   由上一步逐竖列展開計算得到；畫面完整顯示結果。

   视频直接表达
5. 公式

   $$(BA)_{:,3}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix},\quad I_{:,3}=\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$$
   解释

   比較 BA 與 I 的第三竖列，發現對應位置 (3,3) 一個是 0，一個是 1。

   步骤依据

   畫面同時顯示 BA 的第三竖列與 I 的第三竖列，音訊也指出 000 與 001 不同。

   补充解释
6. 公式

   $$BA\neq I$$
   解释

   由於存在至少一個對應元素不同，BA 不可能等於單位矩陣 I。

   步骤依据

   矩陣相等要求所有對應元素相同；此處第三竖列已不同。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\nexists B\in\mathbb R^{3\times3}:\ AB=BA=I$$
   解释

   既然任意 B 都不能使 BA=I，原先假設的反矩陣存在性不成立。

   步骤依据

   由 $BA\neq I$ 對任意 B 成立，推翻 AB=BA=I 的假設。

   补充解释
8. 公式

   $$\nexists A^{-1}$$
   解释

   最終結論回到題目：A 為奇異矩陣，亦即沒有反矩陣。

   步骤依据

   視頻結尾文字與口述皆如此總結。

   补充解释

矩陣 $A=\begin{bmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{bmatrix}$ 不存在反矩陣，因此是奇異矩陣。

1. 公式
   观察依据

   題目框：「例題：【反矩陣不存在】 證明矩陣 $A=\begin{bmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{bmatrix}$ 是奇異矩陣。」

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

1. 当前分析段为前半部分；全片后续完整证明。

證明矩陣 $A=\begin{bmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{bmatrix}$ 是奇異矩陣。

1. A 為 3×3 矩陣

2. A 的第三竖列全為 0

3. 奇異矩陣在此被定義為反矩陣不存在

證明不存在矩陣 B 使 AB=BA=I。

1. 公式

   $$AB=BA=I$$
   解释

   以反證法先假設 A 有反矩陣 B。

   步骤依据

   影片 57–73 秒明確以此作為證明起手。

   补充解释
2. 公式

   $$B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}$$
   解释

   將 B 設為一般 3×3 矩陣，元素以 b_{ij} 表示。

   步骤依据

   影片 74–84 秒在畫面與口述中都列出這些元素。

   补充解释
3. 公式

   $$BA$$
   解释

   接下來要計算 BA 並與 I 比較。

   步骤依据

   仅当前分析段到此；完整原片后续继续计算并证明矛盾。

   补充解释

仅当前0–84秒分析段尚未完成；全片后续证明BA的第三竖列为零，否定全部候选B并得到奇异结论。

完整后续证明通过第三竖列与单位矩阵对比验证，未缺失整片结论。

1. 公式
   观察依据

   畫面標題為「例題：【反矩陣不存在】」，題目為「證明矩陣 A=... 是奇異矩陣。」

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

證明矩陣 $A=\begin{bmatrix}1&4&0\\2&5&0\\3&6&0\end{bmatrix}$ 是奇異矩陣。

1. A 為 3×3 矩陣

2. A 的第三竖列全為 0

3. 反矩陣若存在需满足 AB=BA=I

證明 A 沒有反矩陣，從而定義上為奇異矩陣。

1. 公式

   $$B\in\mathbb R^{3\times3},\quad AB=BA=I$$
   解释

   先以反證法假設 A 有反矩陣 B。

   步骤依据

   視頻開頭明確寫出此假設。

   补充解释
2. 公式

   $$BA=\left[\begin{array}{ccc}B\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}&B\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}&B\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\end{array}\right]$$
   解释

   把 A 按竖列展開，計算 BA 的三列。

   步骤依据

   矩陣乘法按右矩陣竖列向量展開。

   视频直接表达
3. 公式

   $$BA=\begin{bmatrix}b_{11}+2b_{12}+3b_{13}&4b_{11}+5b_{12}+6b_{13}&0\\b_{21}+2b_{22}+3b_{23}&4b_{21}+5b_{22}+6b_{23}&0\\b_{31}+2b_{32}+3b_{33}&4b_{31}+5b_{32}+6b_{33}&0\end{bmatrix}$$
   解释

   算出 BA 後可見第三竖列恆為 (0,0,0)。

   步骤依据

   第三竖列來自 B 乘以零竖列，結果必為零竖列。

   视频直接表达
4. 公式

   $$I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$
   解释

   寫出目標單位矩陣，便於逐竖列比較。

   步骤依据

   視頻畫面與口述都明確給出 I。

   视频直接表达
5. 公式

   $$(BA)_{:,3}=(0,0,0)\neq(0,0,1)=I_{:,3}$$
   解释

   比較第三竖列，發現 BA 與 I 至少有一個元素不同。

   步骤依据

   矩陣相等需逐元素相同。

   补充解释
6. 公式

   $$BA\neq I$$
   解释

   因此不存在任何 B 能使 BA=I。

   步骤依据

   由上一步直接推出。

   依据视频推导
7. 公式

   $$\nexists A^{-1}$$
   解释

   結論與題目要求一致。

   步骤依据

   視頻結尾文字與口述總結。

   补充解释

A 是奇異矩陣，亦即 A 的反矩陣不存在。

通過比較 BA 與 I 的第三竖列完成驗證：BA 的第三竖列恆為 (0,0,0)，而 I 的第三竖列為 (0,0,1)，故 $BA\neq I$。

1. 图示
   观察依据

   黑底白字顯示「01-03-02」與「林炳森」

1. 黑底白字標題

2. 編號 01-03-02

3. 姓名 林炳森

1. 無動態變化

1. 畫面保持靜態標題卡

此段為課程識別資訊，不含數學內容。

1. 图示
   观察依据

   白板上方有工具列與「逢甲大學 應用數學系 多媒體實驗」字樣

2. 公式
   观察依据

   題目框內顯示例題與矩陣 A

3. 动画
   观察依据

   游標在題目與解題區移動；解題區文字逐步顯現，最後顯示「考慮」與 BA 展開式

1. 当前分析段只显示展开起始；后续原片完整展示剩余证明。

1. 例題標題【反矩陣不存在】

2. 矩陣 A 的題目框

3. 解：區域

4. 假設 AB=BA=I

5. 一般矩陣 B 的九個元素

6. BA 的展開式

1. 先顯示題目與矩陣 A

2. 再顯示「解：」

3. 接著逐步顯示假設 AB=BA=I 與 B 的一般形式

4. 最後顯示「考慮」與 BA 展開式

1. 題目中的矩陣 A 不變

2. 白板版面結構不變

視覺流程對應反證法的建立：先給出待證命題，再引入假設存在的反矩陣 B，最後準備計算 BA。

1. 图示
   观察依据

   整段為白板式數學簡報，上方有例題標題與題目框，下方逐步顯示解題公式

1. 例題標題

2. 題目框

3. 解題區

4. 滑桿

5. 游標

1. 隨著講解推進，解題區從假設式逐步增加 BA 的展開式、乘積結果、與 I 的比較、最終結論

1. 題目中的矩陣 A 始終不變

2. 版面上方標題與來源文字保持可見

視覺結構顯示這是一個單例證明，重點不在動畫變化，而在公式逐行展開與比較。

1. 动画
   观察依据

   BA 先以三個 B 乘以竖列向量的形式出現，再展開成完整 3×3 矩陣

2. 图示
   观察依据

   第三竖列在展開前後都可見為 0

1. B

2. A 的三個竖列向量

3. BA 的中間形式

4. BA 的完整乘積矩陣

1. 先顯示 BA 按 A 的竖列向量分解

2. 再顯示每一列的線性組合結果

3. 最後突出第三竖列全為 0

1. A 的第三竖列始終是零竖列

2. B 的元素符號 b_{ij} 保持一般性，未被指定數值

這個視覺過程說明：不管 B 是什麼，只要 A 有一列是零竖列，BA 對應的那一列就一定是零竖列。

1. 图示
   观察依据

   畫面同時呈現 BA 的第三竖列 (0,0,0) 與 I 的第三竖列 (0,0,1)

2. 动画
   观察依据

   游標與勾記號指向第三竖列位置，強調差異

1. 本片地区用语指竖列，本站统一位置记号，不认定原作者错误。

1. BA 的第三竖列

2. I 的第三竖列

3. 游標

4. 勾記號

1. 從完整矩陣比較聚焦到第三竖列

2. 用標記強調 (0,0,0) 與 (0,0,1) 的不同

1. I 的結構固定

2. BA 的第三竖列因 A 的零竖列而固定為零

視覺上只需找出一個不同元素，就足以否定 BA=I，從而否定反矩陣存在。

1. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

認為只要是矩陣就一定存在反矩陣。

本题讨论方阵：不可逆的方阵称为奇异矩阵；不能由非方阵没有这里的双侧逆，便把它称为奇异矩阵。

1. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

2. 公式
   观察依据

   畫面實際展開的是 A 的竖列向量與 BA 的第三竖列

聽眾可能把音訊中的「行」理解成水平横行，進而誤會矩陣乘法的展開方向。

原片使用地区行列称呼；实际计算按A的竖列展开BA并比较第三竖列。本站采用“横行、竖列”及明确下标，不把术语差异当成数学错误。

1. 公式
   观察依据

   視頻假設 AB=BA=I，但後續只用 $BA\neq I$ 推出矛盾

有人可能以為必須同時證明 $AB\neq I$ 與 $BA\neq I$ 才能說反矩陣不存在。

分析員補充：反矩陣存在的定義要求兩側都等於 I；只要證明對任意 B 都有 $BA\neq I$，就已足以推翻 AB=BA=I 的假設。視頻本身採用的正是這一思路。

1. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

本题讨论方阵：不可逆的方阵称为奇异矩阵；不能由非方阵没有这里的双侧逆，便把它称为奇异矩阵。

1. 公式
   观察依据

   題目要求「證明矩陣 A=… 是奇異矩陣」

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

例題把「奇異矩陣」這個概念套用到具體矩陣 A 上，要求證明該 A 的反矩陣不存在。

1. 公式
   观察依据

   解題區寫出「假設 AB=BA=I，令 B=… 是任意 3×3 矩陣，考慮」

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

要證明例題中的 A 為奇異矩陣，影片採用先假設存在 B 使 AB=BA=I 的反證法起手。

1. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

2. 公式
   观察依据

   結論文字把「奇異矩陣」與「反矩陣不存在」連在一起

在本例語境中，證明不存在 B 使 AB=BA=I，等價於得出 A 是奇異矩陣。

1. 公式
   观察依据

   BA 先按 A 的竖列向量展開，再由第三竖列為零推出 BA 第三竖列為零

按竖列展開的乘法方法直接應用於 A 的零竖列，得到 BA 的對應零竖列。

1. 公式
   观察依据

   由 (BA)_{:,3}=(0,0,0) 與 I_{:,3}=(0,0,1) 不同，推出 $BA\neq I$，再推出反矩陣不存在

否定 BA=I 的關鍵依賴於矩陣相等必須逐元素相同的判準。

1. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

1. 奇異矩陣
2. 反矩陣的定義條件

1. 公式
   观察依据

   解題區顯示「假設 AB=BA=I，令 B=… 是任意 3×3 矩陣，考慮」

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

1. 證明奇異矩陣的起手設定
2. 例題中的矩陣 A

1. 公式
   观察依据

   B 被寫成含 b_{11} 到 b_{33} 的一般 3×3 矩陣

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

1. B
2. b_{ij}
3. 證明奇異矩陣的起手設定

1. 公式
   观察依据

   A 的第三竖列為零竖列，BA 展開後第三竖列為 B 乘以零竖列

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

1. 以 A 的竖列向量展開 BA
2. 零竖列經左乘仍為零竖列

1. 公式
   观察依据

   開頭假設 AB=BA=I，後面證明 $BA\neq I$

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

1. 反矩陣存在的假設條件
2. BA 不可能等於 I
3. A 是奇異矩陣且反矩陣不存在

1. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

2. 公式
   观察依据

   畫面實際按 A 的竖列向量展開 BA

1. 地区行列术语与方向
2. 第三竖列對比

1. 公式
   观察依据

   結論寫「是奇異矩陣」

2. 声音
   观察依据

   原声依次说明逆矩阵定义、候选矩阵、乘积比较与奇异结论。

1. 奇異矩陣與反矩陣不存在
2. A 是奇異矩陣且反矩陣不存在