#38 同伦类型论讲解：自然变换、函子范畴

1. 公式
   观察依据

   黑板左侧列出了 `F : C -> D`。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“假设我们有两个函子 F 和 G，它们都从范畴 C 映射到范畴 D。”

F

一个从范畴 C 到范畴 D 的函子。

范畴 C

1. 公式
   观察依据

   黑板左侧列出了 `G : C -> D`。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“假设我们有两个函子 F 和 G，它们都从范畴 C 映射到范畴 D。”

G

一个从范畴 C 到范畴 D 的函子。

范畴 C

1. 公式
   观察依据

   图中用一条竖直线将标有 `C` 和 `D` 的两个范畴分隔开。

2. 声音
   观察依据

   从范畴 C 到范畴 D。

C

包含对象 x 和 y 以及态射 h 的源范畴。

不适用

1. 公式
   观察依据

   该图示用一条竖直线分隔了标有“C”和“D”的两类。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说：“从范畴 C 到范畴 D。”

D

目标范畴，其中包含对象 〔$F(x)$〕、〔$G(x)$〕、〔$F(y)$〕 和 〔$G(y)$〕。

不适用

1. 公式
   观察依据

   在范畴 C 中画出一个标为“x”的对象。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说：“给定范畴 C 中的一个对象 x。”

x

范畴 C 中的任意一个对象。

范畴 C

1. 公式
   观察依据

   在范畴 C 中、x 的下方画出一个标为“y”的对象。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说：“如果我们有一个范畴 C 中的对象 y。”

y

范畴 C 中的另一个任意对象。

范畴 C

1. 公式
   观察依据

   在范畴 C 中，一条标有 `h` 的粉色箭头从 x 指向 y。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“给定一个从 x 到 y 的态射 h。”

h

范畴 C 中从对象 x 到对象 y 的一个态射。

范畴 C

1. 公式
   观察依据

   符号 `$\eta$` 写在黑板左侧。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“一个从 F 到 G 的自然变换 $\eta$。”

$\eta$

函子 F 与 G 之间的自然变换。

函子 F 和 G

1. 公式
   观察依据

   黑板左侧写有文本 `$\eta_x$ : hom_D($F(x)$, $G(x)$)`。

2. 声音
   观察依据

   讲解者说：“为范畴 C 中的每个对象 x 指派一个从 $F(x)$ 到 $G(x)$ 的态射 $\eta_x$。”

$\eta_x$

自然变换 $\eta$ 在对象 x 处的分量，即范畴 D 中从 $F(x)$ 到 $G(x)$ 的一个态射。

范畴 D

1. 公式
   观察依据

   在范畴 D 中，画出一条从 $F(y)$ 指向 $G(y)$ 的箭头，并标为 〔$η_y$〕。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说：“我们同样可以称 〔$η_y$〕 是从 $F(y)$ 到 $G(y)$ 的一个态射。”

$\eta_y$

自然变换 〔η〕 在对象 y 处的分量，即范畴 D 中从 $F(y)$ 到 $G(y)$ 的一个态射。

范畴 D

1. 公式
   观察依据

   在范畴 D 中画出一个标为 $F(x)$ 的对象。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说：“D 中有对象 $F(x)$ 和 $G(x)$。”

$F(x)$

对象 x 在函子 F 下的像。

范畴 D

1. 公式
   观察依据

   在范畴 D 中，于 $F(x)$ 下方画出一个标为 $G(x)$ 的对象。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说：“D 中有对象 $F(x)$ 和 $G(x)$。”

$G(x)$

对象 x 在函子 G 下的像。

范畴 D

1. 公式
   观察依据

   黑板左侧写着文本 `$\eta_x$ : hom_D($F(x)$, $G(x)$)`。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说：“从 F 到 G 的一个自然变换 $\eta$，就是一条规则：对范畴 C 中的每个对象 x，指派一个从 $F(x)$ 到 $G(x)$ 的态射 $\eta_x$。”

一个自然变换 $\eta$ 在两个函子之间 $F$ 和 $G$（二者均从范畴 $C$ 映射到范畴 $D$）是一个规则，它为范畴 $x$ 中的每个对象 $C$ 指定一个态射 $\eta_x$，该态射位于范畴 $D$ 中，具体地是从 $F(x)$ 到 $G(x)$ 的态射。该态射 $\eta_x$ 称为该自然变换在对象 $x$ 处的分量。

1. $F$ 和 $G$ 是从范畴 $C$ 到范畴 $D$ 的函子。

2. 对每个对象 $x$ in $C$ ，$\eta_x$ 是范畴 $D$ 中从 $F(x)$ 到 $G(x)$ 的一个态射。

1. 公式
   观察依据

   屏幕底部写着等式 `$\eta_y \circ F(h) = G(h) \circ \eta_x$`。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说：“最后，为使 $\eta$ 成为自然变换，$\eta_y$ 与 $F(h)$ 的复合必须等于 $G(h)$ 与 $\eta_x$ 的复合。”

为使一族态射 $\eta_x$ 构成一个自然变换，它必须对源范畴中的每个态射 $h: x \to y$ 满足一个特定条件$C$由对象 $F(x)$、$F(y)$、$G(x)$和$G(y)$以及态射 $\eta_x$、$\eta_y$、$F(h)$和$G(h)$构成的图表必须可交换。这意味着先合成 $F(h)$再合成 $\eta_y$所得结果与先合成 $\eta_x$再合成 $G(h)$。

1. $h$是范畴$C$中从对象$x$到对象$y$的一个态射。

2. $F$和$G$是从范畴$C$到范畴$D$的两个函子。

3. $\eta_x$和$\eta_y$是自然变换$\eta$的分量。

1. 自然变换的定义

1. 声音
   观察依据

   说话人说：‘图中两个对象相等，像这样。我们称该图可交换。’

2. 公式
   观察依据

   方程 〔$η_y$〕 ∘ 〔$F(h)$〕 = 〔$G(h)$〕 ∘ 〔$η_x$〕 被显示出来。

若图中任意两个连接同一对象对的有向路径所对应的复合态射都相等，则称该图可交换。

1. 适用于由某个范畴中的态射构成的图。

1. 公式
   观察依据

   文本 ‘η : hom_C($F(x)$, $G(x)$)’ 与可交换正方形一同显示。

1. 符号 'hom_C($F(x)$, $G(x)$)' 很可能是 'hom_D($F(x)$, $G(x)$)' 的笔误，因为 $F(x)$ 和 $G(x)$ 都是 D 中的对象。

函子 F 与 G 之间的自然变换 $\eta$，为范畴 C 中的每个对象 x 指定一个 D 中的态射 $\eta_x$ : $F(x) \to G(x)$，使得对 C 中任意态射 h : $x \to y$，相应的交换图成立。

1. F 和 G 是从 C 到 D 的函子。

2. x 和 y 是 C 中的对象。

3. h 是 C 中从 x 到 y 的态射。

1. 可交换图

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“假设我们想定义范畴 D 的 C 次方，即从 C 到 D 的函子所构成的范畴。”

2. 公式
   观察依据

   符号 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。mathcal{C} 被显示出来。

从 C 到 D 的函子所构成的范畴，记作 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。mathcal{C}，其对象是从 C 到 D 的函子，其态射是这些函子之间的自然变换。

1. C 和 D 是范畴。

1. 自然变换

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“对于复合运算，我们规定 gamma 与 eta 的复合在 x 处的分量，定义为 gamma 在 x 处的分量与 eta 在 x 处的分量的复合。”

2. 公式
   观察依据

   方程（γ ∘ η）ₓ := γₓ ∘ ηₓ 被展示出来。

两个自然变换 η : $F \to G$ 与 γ : $G \to H$ 的复合按分量定义：对范畴 C 中的每个对象 x，γ ∘ η 的 x-分量是 D 中的复合态射 γₓ ∘ ηₓ。

1. η 是从 F 到 G 的自然变换。

2. γ 是从 G 到 H 的自然变换。

3. x 是范畴 C 中的一个对象。

1. 函子范畴

1. 动画
   观察依据

   视频绘制了一个图表，用一条竖直线分隔两个范畴C和D，箭头表示从C指向D的函子F和G。

1. 范畴C

2. 范畴D

3. 函子F

4. 函子G

1. 表示F和G的箭头均从C画向D。

1. 分隔 C 和 D 的竖直线保持不变。

该图示确立了背景：两个函子在相同的范畴对之间进行映射，这是定义它们之间自然变换的前提条件。

1. 动画
   观察依据

   对象 x 和 y 被添加到 C 中；它们的像 $F(x)$、$G(x)$、$F(y)$、$G(y)$ 被添加到 D 中；箭头 $\eta_x$ 和 $\eta_y$ 分别连接 $F(x)$ 与 $G(x)$、$F(y)$ 与 $G(y)$。

1. 对象 x

2. 对象 y

3. 对象 $F(x)$

4. 对象 $G(x)$

5. 对象 $F(y)$

6. 对象 $G(y)$

7. 态射 $\eta_x$

8. 态射 $\eta_y$

1. 对象及其像按顺序添加。

2. 在范畴 D 中画出表示自然变换各分量的竖直箭头。

1. 范畴 C 与 D 以及函子 F 与 G 的整体结构保持不变。

该动画阐释定义的第一部分：自然变换为源范畴 C 中的每个对象指定目标范畴 D 中的一个特定态射（即分量），该态射连接该对象在两个函子下的像。

1. 动画
   观察依据

   在 C 中画出从 x 到 y 的态射 h；在 D 中画出对应的态射 $F(h)$ 与 $G(h)$，并显示等式 〔$η_y$〕 ∘ 〔$F(h)$〕 = 〔$G(h)$〕 ∘ 〔$η_x$〕。

1. 态射 h

2. 态射 $F(h)$

3. 态射 $G(h)$

4. 等式 〔$η_y$〕 ∘ 〔$F(h)$〕 = 〔$G(h)$〕 ∘ 〔$η_x$〕

1. 添加表示态射 h 在函子 F 与 G 下的像的水平箭头。

2. 交换性等式显示在底部。

1. 先前绘制的图形对象和竖直方向的分量箭头保持不变。

这完成了自然变换的可视化表示。它表明：对于范畴 C 中任意两个对象之间的态射 h，由这两个对象及其在 F 和 G 下的像所构成的正方形，在范畴 D 中必须可交换。这保证了自然变换与范畴的结构保持一致。

1. 图示
   观察依据

   画出一个交换正方形，其中包含对象 $F(x)$、$F(y)$、$G(x)$、$G(y)$ 以及态射 ηₓ、$η_y$、$F(h)$、$G(h)$。

1. F括号x

2. F 关于 y 的函数

3. G括号x

4. G 关于 y 的函数

5. ηₓ

6. y 方向的 eta

7. F 在 h 处的函数值

8. G 在 h 处的值

1. 该图示说明了自然变换的条件。

1. 从 $F(x)$ 到 $G(y)$ 的两条路径相等。

图示直观地表明：先对 h 应用 F 再应用 ηᵧ，与先应用 ηₓ 再对 h 应用 G，所得结果相同。

1. 图示
   观察依据

   一幅图将函子 F、G、H 表示为范畴 𝒟^𝒞 中的对象，而自然变换 η 和 γ 则表示它们之间的态射。

1. C 上的 D

2. F

3. G

4. H

5. η

6. γ

1. 该图示展示了函子范畴的结构。

1. 态射 γ ∘ η 的复合。

该视觉表示说明了在函子范畴 𝒟^𝒞 中，函子作为对象、自然变换作为态射。

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示文本“η : hom_C($F(x)$, $G(x)$)”。

1. ‘hom_C’极有可能是‘hom_D’的笔误，因为 $F(x)$ 和 $G(x)$ 是目标范畴 D 中的对象。

视频中显示为 η : hom_C($F(x)$, $G(x)$)，错误地将这些态射置于源范畴 C 中。

由于 F 和 G 是从 C 到 D 的函子，它们的像 $F(x)$ 和 $G(x)$ 是 D 中的对象。因此，分量 $η_x$ 应为 D 中的态射，正确的记号应为 $η_x$ : hom_D($F(x)$, $G(x)$)。

1. 声音
   观察依据

   讲述者说道：‘最后，要使 η 成为一个自然变换……’，随后给出可交换性条件。

可交换正方形条件是自然变换完整定义中不可或缺的组成部分；仅指定分量是必要但不充分的，还必须满足这一结构性一致性要求。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将自然变换与函子范畴的定义联系起来。

自然变换被用作态射，来定义函子范畴 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。mathcal{C}。

1. 声音
   观察依据

   主讲人在此新引入的范畴中定义了复合运算。

自然变换的按分量复合，为函子范畴 这条公式需要核验，请通过页面反馈入口报告。mathcal{C} 中的态射提供了复合运算。

1. 声音
   观察依据

   讲述者明确给出了自然变换的定义。

1. 自然变换的定义
2. 自然变换的交换正方形条件

1. 公式
   观察依据

   最终条件以方程〔eta_y〕∘〔$F(h)$〕＝〔$G(h)$〕∘〔eta_x〕的形式给出。

1. 自然变换的交换正方形条件

1. 声音
   观察依据

   主讲人定义了图表何时可交换。

1. 可交换图

1. 公式
   观察依据

   展示了可交换正方形方程。

1. 自然变换

1. 声音
   观察依据

   主讲人引入了范畴 $D^C$。

1. 函子范畴

1. 公式
   观察依据

   展示了复合公式。

1. 自然变换的复合