数学建模 / 英语

无套利定价练习

Krzysztof Ostaszewski (Pass Actuarial Exams) · YouTube · 10:32

YouTube · Krzysztof Ostaszewski (Pass Actuarial Exams)原视频

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视频中的要点

01单期证券市场示例
02证券X与Y的收益表
03状态价格向量定义

来自学习笔记

[\psi_1, \psi_2, \psi_3]

状态价格向量定义

选中时刻

通过系数矩阵判断解的唯一性

建议预备知识

基础线性方程组
无风险利率与收益缩放
有限状态或有债权的记号
无风险利息因子
单期金融模型中的状态价格估值
单期金融市场模型
阿罗-德布鲁证券／状态价格
无风险资产定价
求解 $3\times 3$ 线性方程组
行列式与线性方程组解的唯一性
风险中性概率
有限状态证券市场
状态价格／阿罗-德布鲁证券
线性方程组与克莱姆法则
欧式看跌期权的收益定义
单期金融市场模型
证券收益的矩阵表示法
求解 $2\times 2$ 线性方程组
无风险资产的基本概念
状态价格的定义
风险中性概率的定义
线性代数
概率论

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本 120秒片段展示了一个单期证券市场的例题，该市场包含三种状态、一个年收益率为 10% 的无风险银行账户，以及两只当前价格均为 100 的风险证券 X 和 Y。可见的收益表给出 $X = (220, 55, 0)$ 且 Y = (0, 0，250)。讲师解释道，当前的价格结构意味着状态价格 $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ 构成一个线性系统，文档展示了其解 [ $24/55$ ， $4/55$ ， $2/5$ ]。临近结尾时，讲师将阿罗-德布鲁证券 $e_1$ 定义为支付 1 在状态 1 且 0 否则，其价格为 $\psi_1$ 。这个时长为120秒的片段，讲解了一个含无风险银行账户和两种风险证券的单期证券市场习题。讲师将收益表及共同的当前价格100转化为关于状态价格 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ 的三个线性定价方程。屏幕上显示的解为 $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=[24/55\ 4/55\ 2/5]$ ，表明该模型存在一个状态价格向量。这个时长为120秒的片段，讲解了一个单期证券市场练习：包含两只风险证券和一个无风险银行账户。根据给定的未来收益和当前价格，讲师构建了一个 $3\times 3$ 线性方程组，用于求解阿罗-德布鲁状态价格 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ ；他论证该系数矩阵的行列式非零，因此解唯一；并求得 $[24/55,\ 4/55,\ 2/5]$ 。随后，他利用 $q_j=(1+i)\psi_j$ 与 $i=0.10$ ，将这些状态价格转换为风险中性概率 $[24/50,\ 4/50,\ 22/50]$ ，并明确对比指出： $\psi$ 向量并非概率向量，而 $q$ 向量之和为1。这段120秒的视频展示了一份关于有限状态证券市场中无套利定价的打印讲义。它首先回顾了一个三状态示例：已知的状态价格向量可为任意证券定价，并以一个收益向量（0,1,2）为例，其价值为0.8727。随后，讲义滚动至一个二维练习题，其中 $S(0)=[1,1]$ 且 $S(1)=[[1,1.20],[1,0.90]]$ ，要求计算第二项资产上执行价为1.10的欧式看跌期权的无套利价格。解答部分从复制方程推导出Arrow-Debreu状态价格，再用克莱姆法则解得psi_1= $1/3$ 与psi_2= $2/3$ ；指出无风险利率为零，因此此处q=psi；将看跌期权收益分解为[0,0.20]^T；最终定价为 $2/15$ 。这个120-第二段视频是屏幕录制的讲座，内容为关于单期两状态证券定价的打字文档。它通过计算完成之前的一个看跌期权定价示例： $0\cdot ψ$ ₁+ $0.2\cdot ψ$ ₂= $2/15$ ，其中状态价格为[ $1/3$ , $2/3$ ]。随后，讲师讲解了两道练习题。第一题中， $S(0)=[1 1]$ 且 $S(1)$ =[[1，1.50，[1，0.90]]，他建立状态价格方程 ψ₁+ψ₂=1 且 1.5ψ₁+0.90ψ₂=1，求解得 [ψ₁ ψ₂]=[ $1/6$ ， $5/6$ ]，并指出由于无风险利率为0，风险中性概率等于状态价格。他花时间解释为什么利率为零：第一种证券在每种状态下具有相同的收益。在第二道习题中，给定 $S(0)=[1 1]$ 且 $S(1)=[[1.10,1.20],[1.10,0.90]]$ ，他将无风险利率确定为 10%，并求解 1.1ψ₁+1.1ψ₂=1 和 1.2ψ₁+0.9ψ₂=1 得到 [ $20/33$ , $10/33$ ]，并利用 [q₁ q₂]=[ψ₁( $2/3$ , $1/3$ ] 将其转换为风险中性概率 [ $1+i$ ) ψ₂( $1+i$ )]. 本视频片段讲解二叉树模型中状态价格向量与风险中性概率的计算方法。主讲人演示了如何利用克莱姆法则建立并求解状态价格向量所满足的方程组，然后利用所得的状态价格计算风险中性概率。该片段最后安排了一道练习题：判断给定的证券市场是否无套利且完备。

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章节

0:00习题陈述与市场设定 0:30证券 X 和 Y 的收益支付表 1:00定价方程组及其所显示的解 1:40银行账户的解释与阿罗-德布鲁证券

e_1

2:00银行账户定价方程 2:35证券X的定价方程 3:07证券Y的定价方程 3:48完整的方程组及所显示的状态价格向量 4:00习题设定与线性方程组 4:12通过系数矩阵判断解的唯一性 4:56状态价格的解 5:06转换为风险中性概率 5:28为何ψ不是概率向量 5:40验证q之和为1 5:57下一个定价应用的起始 6:00三状态定价示例 6:41二维练习题陈述 7:06Arrow-Debreu方程与克莱姆法则 7:24零无风险利率及q与psi的关系 7:36看跌期权收益分解与最终价格 8:00完成此前的看跌期权定价例题 8:10习题 1：求一个状态价格向量 8:22求解

2\times 2

的状态价格方程组 8:38当

i = 0

时的风险中性概率 8:42为什么无风险利率为零 9:26练习 2：无风险利率为 10%9:41克莱姆法则解与最终概率 10:00状态价格向量计算 10:12风险中性概率计算

学习解说文稿

依据视频画面与讲解整理，并非逐字语音转写。

该片段以 Word 文档中书写的习题开场。题目定义了一个单期证券市场，包含三个要素：一个无风险银行账户、证券 X 和证券 Y。银行账户年收益率为10%，每种证券当前价格均为100。

下一个视觉元素是状态表。共有恰好三种情景，讲师指出这只是为教学简化的模型，因为真实市场通常包含远多于三种的状态。该表列出了时刻一的收益支付：证券 X 在三种状态下分别支付220、55和0；证券 Y 则分别支付0、0和250。

屏幕上呈现的任务是：若存在，则计算状态价格向量；否则说明其不存在的原因。这将数学问题表述为检验观测到的价格能否由每个情景对应的一组非负状态价格来表示。

解法部分随后显示一个被称作由现有价格结构所隐含的线性方程组。每个方程对应一种可交易资产：左侧将该资产在各状态下的收益支付乘以未知状态价格 $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ ；右侧则为该资产当前价格100。

讲师开始解析第一个方程。由于银行账户是无风险的，投入100将在每种状态下均回报110。因此第一行三个位置均为110。主讲人还强调了资产的排列顺序：首先是银行账户，其次是证券 X，最后是证券 Y。

最后，讲座介绍了未知量背后的概念对象。阿罗-德布鲁证券 $e_1$ 被描述为一种在状态 1 支付 1 且在其他状态下支付 0 的权益，其价格记为 $\psi_1$ 。进一步地，所显示的向量 [ $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ ] 是三种状态依存证券的价格集合，文档报告了求解出的数值 [ $24/55$ , $4/55$ , $2/5$ ]。

视频片段以一个单期证券市场的例题讲解开始。可见数据包括：一只无风险银行账户，其在每种情形下均支付110；证券X的收益为220；55，0，证券Y的收益为0，0，250，当前价格为100，讲师首先从银行账户开始，指出在情形110中支付1在当前值 $110\psi_1$ today.

他接着逐状态分析：银行账户在状态110和状态2中也支付3，因此这些贡献为 $110\psi_2$ 和 $110\psi_3$ 。由于今天投资的金额为100，这三个状态价格加权的收益之和必须等于100。这给出了第一个显示的方程： $110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100$ 。

接着他转向证券X：它在情景1中的收益为220，因此该项当前价值为 $220\psi_1$ ；在情景2中的收益为55，贡献为 $55\psi_2$ ；在情景3中的收益为零，贡献为 $0\cdot\psi_3$ 。又因证券X当前价格为100，故第二个方程为 $220\psi_1+55\psi_2+0\cdot\psi_3=100$ 。

随后他写出证券Y的方程：它在情景1和情景2中的收益均为零，对应项分别为 $0\cdot\psi_1$ 和 $0\cdot\psi_2$ ；在情景3中的收益为250，对应项为 $250\psi_3$ ；而其当前价格为100，因此第三个方程变为 $0\cdot\psi_1+0\cdot\psi_2+250\psi_3=100$ 。此处视觉重点在于：即使收益为零的情景，也在代数式中被明确写出。

当三个定价方程全部列出后，文档展示了其解： $\psi_1=\frac{24}{55}$ 、 $\psi_2=\frac{4}{55}$ 、 $\psi_3=\frac{2}{5}$ ，从而得出状态价格向量 $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=\left[\frac{24}{55}\ \frac{4}{55}\ \frac{2}{5}\right]$ 。讲师开始总结道：一旦将所有价格信息完整写出，该模型便自然导出这一结论。

该片段以一个单期证券市场模型的例题展开，其中包含两只风险证券和一个无风险银行账户。银行账户年利率为10%，每只证券当前价格为100，且存在三种可能的未来状态。讲师立即从代数角度建模：这是一个含三个未知数的三元方程组，未知数即为阿罗-德布鲁状态价格 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ 。

接着，他解释解为何唯一。关键对象是所展示线性方程组的系数矩阵，即 $\begin{bmatrix}110&110&110\\220&55&0\\0&0&250\end{bmatrix}$ 。他口头给出的判据是：当该矩阵的行列式非零时，解唯一。为快速验证这一点，他指出：交换第二行与第三行后，行列式易于计算，并由此得出其确实非零。

在唯一性得到确立后，他读出页面上显示的解： $\psi_1=\frac{24}{55}$ 、 $\psi_2=\frac{4}{55}$ 和 $\psi_3=\frac{2}{5}$ 。因此，状态价格向量为 $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=[24/55\ \ 4/55\ \ 2/5]$ 。

接着，他利用公式 $q_j=(1+i)\psi_j$ 将状态价格与风险中性概率联系起来。由于利率为 $i=0.10$ ，他将每个状态价格乘以 $1.10$ 。由此得到 $q_1=24/50$ 、 $q_2=4/50$ 和 $q_3=22/50$ ，故 $[q_1\ q_2\ q_3]=[24/50\ \ 4/50\ \ 22/50]$ 。

他稍作停顿，强调一个概念性区别：向量 $(\psi_1,\psi_2,\psi_3)$ 并非概率向量，因为其分量之和不等于1。它们是阿罗—德布鲁证券的价格，而非概率。相比之下，在乘以 $1+i$ 之后，新向量的行为才符合概率的性质。

为验证这一点，他将 $q$ -向量的各分量相加： $24+4+22=50$ ，因此 $50/50=1$ 。这确认了 $(q_1,q_2,q_3)$ 是一个有效的概率向量。屏幕上高亮显示的行恰好对应这一转换后的风险中性概率向量。

在本片段结尾，他开始指出：一旦这些概率已知，便可计算市场上另一只证券的价格。这句话在下一个例子完全展开前被截断。

该视频片段以一个已解出的三状态示例开场。讲义指出：一旦状态价格向量已知，市场上任意证券的价格均可计算。

屏幕上显示的向量为[ $q_1$ , $q_2$ , $q_3$ ]=[ $24/50$ , $4/50$ , $22/50$ ]，由概率乘以1.10得到。该示例证券在三个状态下的支付分别为0、1和2。

依据状态价格规则，价格计算为( $24/50$ )( $0/(1+0.10)$ )+( $4/50$ )( $1/(1+0.10)$ )+( $22/50$ )( $2/(1+0.10)$ )，讲义将其计算结果给出为0.8727。

讲师随后引入一个更简单的二维市场练习题。给定数据为 $S(0)=[1,1]$ 与 $S(1)=[[1,1.20],[1,0.90]]$ 。

任务是求第二项资产上到期时间为1、执行价 $K=1.10$ 的欧式看跌期权的无套利价格。

为求得状态价格，解答部分写出两种交易资产的复制方程：psi_1+psi_2=1以及1.2psi_1+0.9psi_2=1。

这些方程表明，复制每种资产在各状态下的收益所需的成本，必须等于其在时刻0观测到的价格。

应用克莱姆法则可得 psi_1 = (-0.1) / (-0.3) = $1 / 3$ ，且 psi_2 = (-0.2) / (-0.3) = $2 / 3$ ，因此状态价格向量为 [ $1/3$ , $2/3$ ]。

接着，该笔记通过 $q_s$ = psi_s( $1 + i$ ) 比较 q 与 psi。由于无风险资产的价格为1、收益为1，隐含的无风险利率为 $i = 0$ ，故 [ $q_1$ , $q_2$ ] = [psi_1, psi_2]。

对于该看跌期权本身，第二项资产在状态 1.20 下支付 1，在状态 0.90 下支付 2。执行价格为 1.10 时，其收益为在状态 0 下支付 1，在状态 0.20 下支付 2。

文档将此写作 [0, 0.20]^ $T = 0[1, 0]^T + 0.20[0, 1]^T$ ，即用阿罗—德布鲁基底表示该期权的收益。

根据定价的线性性质，该看跌期权的价格为 0·psi_1 + 0.2·psi_2 = $0\cdot (1/3) + 0.2\cdot (2/3) = 0.4/3 = 2/15$ 。

因此，该两状态市场中该欧式看跌期权最终的无套利价值为 $2/15$ 。

视频片段从一个已完成例题的末尾开始。页面显示状态价格向量 [ψ₁ ψ₂] = [ $1/3$ , $2/3$ ] 和看跌期权收益向量 [0; 0.20]。利用状态价格加权，价格计算为 $0\cdot ψ$ ₁ + $0.2\cdot ψ$ ₂ = $0\cdot (1/3) + 0.2\cdot (2/3) = 0.4/3 = 2/15$ 。讲师口头确认该值为十五分之二，并指出这是两状态市场中的标准计算方法。

文档滚动至一道新习题。市场由 $S(0) = [1 1]$ 和 $S(1) = [[1,1.50],[1,0.90]]$ 给出，任务是求出状态价格向量。方法是令每种证券的当前价格等于其各状态收益按状态价格加权后的总和。

由第一种证券可得：其在两种状态下的收益均为 1，当前价格为 1，因此 ψ₁ + ψ₂ = 1；由第二种证券可得：其在两种状态下的收益分别为 1.50 和 0.90，当前价格为 1，因此 1.5ψ₁ + 0.90ψ₂ = 1。解此线性方程组得 ψ₂ = $5/6$ ，ψ₁ = $1/6$ ，故状态价格向量为 [ $1/6$ , $5/6$ ]。

随后，页面通过 [q₁ q₂] = [ψ₁( $1 + i$ ) ψ₂( $1 + i$ )] 将状态价格转换为风险中性概率。由于本市场中 $i = 0$ ，因子 $1 + i$ 等于 1，因此 [q₁ q₂] = [ $1/6$ , $5/6$ ] 在数值上与状态价格向量一致。

讲师暂停讲解，解释为何 $i =0$ 第一种证券在状态 1 下支付 1，且在状态 1 下支付 2，因此其收益在各状态下保持不变；这使其成为无风险证券。由于今天投资一单位将在明天回报 $1+i$ ，观察到恰好为 1 的回报意味着 $1+i=1$ ，故 $i =0$ 。

第二道习题中， $S(0) = [1 1]$ 且 $S(1) = [[1.10,1.20],[1.10,0.90]]$ 。此处第一种证券的收益在各状态下仍为常数，但现为 1.10。因此无风险总回报为 1.10，无风险利率为 $i = 10$ %。

为求状态价格，采用相同的定价逻辑：由无风险证券得 1.1ψ₁ + 1.1ψ₂ = 1，由第二种证券得 1.2ψ₁ + 0.9ψ₂ = 1。书面解法应用克莱姆法则，得出 ψ₁ = $20/33$ ，ψ₂ = $10/33$ 。

最后，风险中性概率通过将每个状态价格乘以 $1 + i = 1.1$ 得到。由此得 q₁ = $1.1\cdot (20/33) = 2/3$ ，q₂ = $1.1\cdot (10/33) = 1/3$ ，故 [q₁ q₂] = [ $2/3$ , $1/3$ ]。视频片段在讲师仍在讲话时结束，但完整的书面解答仍清晰显示在屏幕上。

我们可以看出，无风险利率为10%。为求出状态价格向量，我们写出如下方程组： $1.1\psi_1 + 1.1\psi_2 = 1$ 和 $1.2\psi_1 + 0.9\psi_2 = 1$ 。其中， $\psi_1$ 的解为 $\frac{-0.2}{-0.33} = \frac{20}{33}$ ， $\psi_2$ 的解为 $\frac{-0.1}{-0.33} = \frac{10}{33}$ 。

因此，我们得到如下风险中性概率： $q_1 = (1+i)\psi_1 = \frac{(1+i)-d}{u-d} = \frac{0.20}{0.30} = \frac{2}{3}$ 和 $q_2 = \psi_2 \cdot (1+i) = \frac{u-(1+i)}{u-d} = \frac{0.10}{0.30} = \frac{1}{3}$ 。采用如下记号： $u$ 表示单位资金投资于风险资产在“上升”状态下的价值， $d$ 表示单位资金投资于风险资产在“下降”状态下的价值，风险中性概率即按所示方式计算。

练习：已知一个由以下条件描述的证券市场： $S(0) = [1 \quad 2]$ ， $S(1) = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ 。该市场是否无套利？是否完备？

知识卡片

单期证券市场示例

一个有限状态的单期市场由一个无风险银行账户和两种风险证券X与Y构成。每种资产当前价格均为100。银行账户在每种状态下均支付110，因为它赚取10%的无风险利息。

证券X与Y的收益表

风险收益按状态给出：证券 X 在各状态下支付 220, 55, 0，对应的状态为 1, 2，3；证券Y在状态0、0、250下支付1、2、3。

状态价格向量定义

未知量 $\psi_1$ 、 $\psi_2$ 、 $\psi_3$ 是对应于三种状态的状态依存求偿权的价格。本习题要求判断：对于所观察到的市场价格，是否存在这样的向量。

[\psi_1, \psi_2, \psi_3]

由资产收益导出的线性定价方程

每种可交易资产生成一个方程：其当前价格等于该资产在各状态下的收益乘以对应状态价格后的加总。本例中显示的方程组为： $110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100$ ， $220\psi_1+55\psi_2+0\psi_3=100$ ，以及 $0\psi_1+0\psi_2+250\psi_3=100$ 。

110\psi_1 + 110\psi_2 + 110\psi_3 = 100,\; 220\psi_1 + 55\psi_2 + 0\psi_3 = 100,\; 0\psi_1 + 0\psi_2 + 250\psi_3 = 100

该方程组的显示解

文档指出，该方程组的解为 $\psi_1=24/55$ 、 $\psi_2=4/55$ 、 $\psi_3=2/5$ ，因此状态价格向量为[ $24/55$ , $4/55$ , $2/5$ ]。本片段未展示中间代数推导过程。

[\psi_1, \psi_2, \psi_3] = [24/55, 4/55, 2/5]

阿罗-德布鲁证券 $e_1$

阿罗-德布鲁证券是一种仅在某一选定状态下支付1，而在其他所有状态下支付0的或有求偿权。在本片段中， $e_1$ 支付1 处于状态 1 且 0 否则，其价格为 $\psi_1$ 。

本例题所用的单期市场数据

该问题指定了三种可交易资产和三种情景。银行账户是无风险的，在每种情景下均支付110，因为它以10%的利率赚取利息，初始价格为100。证券X支付220、55和0 在各种情景下 1，2，以及3。证券 Y 支付0，0，以及250。每种资产当前的价格为100。

\text{Bank account }(110,110,110),\ \text{Security X }(220,55,0),\ \text{Security Y }(0,0,250),\ \text{prices }=100

银行账户方程的构建方法

银行账户的当前价值，等于各情景收益分别乘以其对应的状态价格后再求和。由于其在全部三种情景下的收益均为110，且初始价格为100，故其定价方程为 $110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100$ 。

110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100

安全资产X方程式的构建方法

安全资产X在三种情景下的收益分别为220、55和0。应用相同的状态价格估值法则，并结合其当前价格100，可得 $220\psi_1+55\psi_2+0\cdot\psi_3=100$ 。

220\psi_1+55\psi_2+0\cdot\psi_3=100

安全资产Y方程式的构建方法

安全资产Y的收益为0、0和250。仅第三种情景有贡献，但展示的解中仍显式写出零项。结合当前价格100，该方程为 $0\cdot\psi_1+0\cdot\psi_2+250\psi_3=100$ 。

0\cdot\psi_1+0\cdot\psi_2+250\psi_3=100

求解得到的状态价格向量

求解所展示的三个线性方程，得到 $\psi_1=\frac{24}{55}$ 、 $\psi_2=\frac{4}{55}$ 和 $\psi_3=\frac{2}{5}$ 。因此状态价格向量为 $\left[\frac{24}{55}\ \frac{4}{55}\ \frac{2}{5}\right]$ ，这回应了习题要求，表明存在一个状态价格向量。

[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=\left[\frac{24}{55}\ \frac{4}{55}\ \frac{2}{5}\right]

习题中的一期市场模型

该例题考虑一个一期证券市场，其中包含两只风险证券和一个无风险银行账户。银行账户每期收益为10%，每只证券当前价格均为100，且存在三种可能的未来状态。这些数据被用于推断状态价格。

状态价格即阿罗—德布鲁价格

未知量 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ 是阿罗—德布鲁证券的价格，即三个未来状态对应的状态价格。每只可交易资产的当前价格均等于其各状态依存支付按这些状态价格加权后的总和。

\psi_j = \text{price of the Arrow-Debreu security for state } j

用于求解状态价格向量的线性方程组

根据市场数据，文档列出了方程组： $110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100$ 、 $220\psi_1+55\psi_2+0\psi_3=100$ 和 $0\psi_1+0\psi_2+250\psi_3=100$ 。它们分别对应银行账户、证券X与证券Y的定价。

\begin{cases}110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100\\220\psi_1+55\psi_2+0\psi_3=100\\0\psi_1+0\psi_2+250\psi_3=100\end{cases}

由非零行列式保证唯一性

主讲人指出，该方程组的解是唯一的，因为其系数矩阵的行列式不为零。他进一步说明，交换第二行与第三行后，该行列式的值易于验证，并由此得出该矩阵是非奇异的。

\det\begin{bmatrix}110&110&110\\220&55&0\\0&0&250\end{bmatrix}\neq 0

计算所得的状态价格向量

求解所展示的方程组，得到唯一的状态价格向量 $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=[24/55\ \ 4/55\ \ 2/5]$ 。这是本练习的主要数值答案。

[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=\begin{bmatrix}24/55&4/55&2/5\end{bmatrix}

由状态价格导出的风险中性概率

文档利用关系式 $q_j=(1+i)\psi_j$ 将状态价格转换为风险中性概率。在给定 $i=0.10$ 的前提下，将每个 $\psi_j$ 乘以 $1.10$ ，即可得到 $[q_1\ q_2\ q_3]=[24/50\ \ 4/50\ \ 22/50]$ 。

q_j=(1+i)\psi_j

为何ψ向量不是一个概率向量

主讲人明确提醒， $(\psi_1,\psi_2,\psi_3)$ 不应被误认为是概率。它们的和不等于1，因为它们是阿罗-德布鲁证券的价格，而非状态概率。

验证q向量各项之和为1

转换完成后， $(q_1,q_2,q_3)$ 的各项之和为 $24/50+4/50+22/50=1$ 。主讲人正是通过这一检验，确认变换后的向量确实是一个概率向量。

\frac{24}{50}+\frac{4}{50}+\frac{22}{50}=1

状态价格定价法则

若一个有限状态市场具有已知的状态价格 $q_s$ ，则任何具有状态依赖收益 $X_s$ 的证券，其价格可通过在所有状态下对 q_sX_s 求和得到。开篇示例将此法则应用于收益 (0, 1, 2)，得出结果为0.8727。

\text{price}=\sum_s q_sX_s

三状态实例演算

当 [ $q_1$ , $q_2$ , $q_3$ ] = [ $24/50$ , $4/50$ , $22/50$ ] 时，一项在三种状态下分别支付0、1和2的证券，其显示价格为 ( $24/50$ )( $0/(1+0.10)$ ) + ( $4/50$ )( $1/(1+0.10)$ ) + ( $22/50$ )( $2/(1+0.10)$ ) = 0.8727。

\frac{24}{50}\cdot\frac{0}{1+0.10}+\frac{4}{50}\cdot\frac{1}{1+0.10}+\frac{22}{50}\cdot\frac{2}{1+0.10}=0.8727

二维练习数据

该练习市场包含两种资产和两种状态，时刻0的价格为 $S(0)=[1,1]$ ，时刻1的收益矩阵为 $S(1)=[[1,1.20],[1,0.90]]$ 。目标工具是以第二种资产为标的的欧式看跌期权，执行价格为1.10。

S(0)=\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix},\quad S(1)=\begin{bmatrix}1&1.20\\1&0.90\end{bmatrix},\quad K=1.10

由资产复制导出的阿罗-德布鲁方程

状态价格 psi_1 和 psi_2 由如下条件确定：复制每种可交易资产的成本必须等于其观测价格。由此得到第一个资产对应的方程 psi_1+psi_2=1，以及第二个资产对应的方程 1.2psi_1+0.9psi_2=1。

\begin{cases}\psi_1+\psi_2=1\\1.2\psi_1+0.9\psi_2=1\end{cases}

用克莱姆法则求解状态价格

用克莱姆法则求解该 $2\times 2$ 线性方程组，得 psi_1= $1/3$ 和 psi_2= $2/3$ 。图中显示的分子行列式分别为 -0.1 和 -0.2，系数行列式为 -0.3。

\psi_1=\frac{-0.1}{-0.3}=\frac{1}{3},\quad \psi_2=\frac{-0.2}{-0.3}=\frac{2}{3}

详细学习笔记

按知识点查看条件、步骤和证据。补充解释与视频直接内容分别标明。

符号定义 · 50

110

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该求解系统在每个方程中使用系数110来表示银行账户的收益。
声音
观察依据
讲师指出，如果你在银行账户中存入100，那么无论时刻一发生什么情况，它都将向你支付110。

符号

110

含义

无风险银行账户每年每单位投资的收益，对应于10%的利率。

适用范围

三种状态下的货币收益。

Security X

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
练习表格将证券X列为220、55和0，对应情景1、2和3。
声音
观察依据
讲师将情景1解读为证券X支付220，情景2解读为证券X支付55，情景3解读为证券X支付0。

符号

Security X

含义

风险证券的一年期收益为220（状态1）55（状态2）和0 在状态 3。

适用范围

跨越三种状态的收益向量。

Security Y

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
练习表格将证券 Y 列为 0，0 和 250 在情景 1、2 和 3。
声音
观察依据
讲师将情景1解读为证券Y支付0，情景2解读为证券Y支付0，情景3解读为证券Y支付250。

符号

Security Y

含义

具有为期一年的收益的有风险证券 0 在状态 1，0 处于状态 2，且 250 处于状态 3。

适用范围

跨越三种状态的收益向量。

100

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
练习题指出，每种证券当前的价格为100。
声音
观察依据
讲师说：“每种证券当前的价格为100。”

符号

100

含义

模型中每种可交易证券的当前价格。

适用范围

当前货币价格。

$\psi_1$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所显示的方程组以 $\psi_1$ 、 $\psi_2$ 、 $\psi_3$ 为未知数。
声音
观察依据
讲师说，在状态一支付一单位、在其他状态下支付零的支付向量称为阿罗—德布鲁证券 $e_1$ ，其价格为psi_1。

符号

$\psi_1$

含义

状态1的状态价格（即阿罗—德布鲁证券的价格）。

适用范围

实数；解出的值显示为 $24/55$ 。

$\psi_2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所显示的方程组以 $\psi_1$ 、 $\psi_2$ 、 $\psi_3$ 为未知数。
公式
观察依据
解的表达式给出 $\psi_2 = 4/55$ 。

符号

$\psi_2$

含义

状态2的状态价格（即阿罗—德布鲁证券的价格）。

适用范围

实数；解出的值显示为 $4/55$ 。

$\psi_3$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所展示的方程组以 $ψ_1$ 、 $ψ_2$ 、 $ψ_3$ 为未知量。
公式
观察依据
解所在的行给出 $ψ_3 = 2/5$ 。

符号

$\psi_3$

含义

状态 3 的状态价格（即阿罗-德布鲁证券的价格）。

适用范围

实数；求得的值表示为 $2/5$ 。

[ $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ ]

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档中写作 [ $ψ_1$ , $ψ_2$ , $ψ_3$ ] = [ $24/55$ , $4/55$ , $2/5$ ]。
声音
观察依据
本习题要求计算该证券市场模型的状态价格向量（若存在的话）。

符号

[ $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ ]

含义

三种阿罗-德布鲁状态证券各自的价格所组成的向量。

适用范围

定义在三个状态上的三分量向量。

$e_1$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说：‘在状态一支付一单位、其余状态下支付零的证券称为阿罗-德布鲁证券 $e_1$ 。’

符号

$e_1$

含义

阿罗-德布鲁证券在状态 1 支付 1，且在其余状态 0 不支付。

适用范围

收益向量（1,0,0）。

$\psi_1$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所展示的解在第一个方程和最终的状态价格向量中使用了 $\psi_1$ 。
声音
观察依据
讲师反复强调：今天的价值等于支付额乘以 psi-one、psi-two 或 psi-three。

符号

$\psi_1$

含义

情景1的状态价格（也称为状态1）。

适用范围

从定价系统中解出的标量未知数；展示的值为 $\frac{24}{55}$ 。

$\psi_2$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所展示的解在第二个方程和最终的状态价格向量中使用了 $\psi_2$ 。
声音
观察依据
讲师指出，状态二中的支付额价值为110乘以 psi-two，随后又说是55乘以 psi-two。

符号

$\psi_2$

含义

情景2的状态价格（也称为状态2）。

适用范围

从定价系统中解出的标量未知数；展示的值为 $\frac{4}{55}$ 。

$\psi_3$

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所展示的解在第三个方程和最终的状态价格向量中使用了 $\psi_3$ 。
声音
观察依据
讲师指出，状态三中的支付额价值为110乘以 psi-three，随后又说是250乘以 psi-three。

符号

$\psi_3$

含义

情景3的状态价格（也称为状态3）。

适用范围

从定价系统中解出的标量未知数；展示的值为 $\frac{2}{5}$ 。

知识点 · 25

单期证券市场设定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
习题正文：‘该单期证券市场模型包含 2 种证券与一个银行账户……银行账户年利率为 10%，且无风险。每种证券当前的价格为 100。’
声音
观察依据
讲师口头复述相同的设定。

定义

解释

该片段定义了一个单期市场，其中包含三种可交易资产：一个无风险银行账户以及两种有风险证券X和Y。每种资产当前价格均为100。银行账户在每种状态下均回报110，因为它支付10%的利息且无风险。证券X和Y的状态依赖型收益列于一张表格中。

公式

适用条件

单期模型
三种世界状态
银行账户无风险
每种证券当前价格均为100

证券X与Y的情景收益表

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
表格显示：情形1下，证券X为220，证券Y为0；情形2下，证券X为55，证券Y为0；情形3下，证券X为0，证券Y为250。
声音
观察依据
讲师口头读出这三种情形及其对应收益。

定义

解释

风险证券由其一年期在三种可能状态下的收益指定。证券X在状态 220、55 和 0 下分别支付 1，2，以及3。证券Y在各状态下支付0，0，以及250，分别对应状态1，2，以及3 respectively.

公式

适用条件

这些状态被标记为情形1、情形2和情形3

先修条目

单期证券市场设定

阿罗-德布鲁证券

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说：“在状态一支付一、在其他状态下支付零的证券称为阿罗-德布鲁证券 $e_1$ ，其价格为 psi_1。”

待核验内容

只有 $e_1$ 在可听部分被明确命名； $e_2$ 和 $e_3$ 由屏幕上显示的向量隐含，但本片段中未单独念出。

定义

解释

此处将阿罗-德布鲁证券定义为：在某一特定状态下支付 1，而在所有其他状态下支付 0 的证券。其价格为对应的状态价格 $\psi_i$ 。在本片段中，讲师明确命名了 $e_1$ ，其价格为 $\psi_1$ 。

公式

适用条件

有限状态集
收益在某一状态下标准化为 1，在其余状态下为 0

先修条目

单期证券市场设定

状态价格向量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
习题要求：“若存在，计算该证券市场模型的状态价格向量；若不存在，请说明原因。”
公式
观察依据
解答显示 [ $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ ] = [ $24/55$ , $4/55$ , $2/5$ ]。

定义

解释

状态价格向量汇集了所有状态下阿罗-德布鲁证券的价格。对于这个三状态的例子，它写作 [ $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ ]，而屏幕上显示的解答给出了数值向量 [ $24/55$ , $4/55$ , $2/5$ ]。

公式

[\psi_1, \psi_2, \psi_3]

适用条件

单期有限状态市场
与无套利线性定价一致的价格

先修条目

阿罗-德布鲁证券
单期证券市场设定

来自现有证券的线性定价方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档指出：“我们有如下由现行价格结构所隐含的方程组”，随后列出三个方程。
声音
观察依据
讲师说：“你们有如下由现行价格结构所隐含的方程组。”

方法

解释

所展示的方法是：令每种交易资产的当前价格等于其各状态收益按状态价格加权后的总和。这为每种交易资产生成一个线性方程。此处，三种资产共给出三个关于三个未知量1、2、3的方程。

公式

110\psi_1 + 110\psi_2 + 110\psi_3 = 100,\quad 220\psi_1 + 55\psi_2 + 0\psi_3 = 100,\quad 0\psi_1 + 0\psi_2 + 250\psi_3 = 100

适用条件

资产价格已知
各状态收益已知
未知量为状态价格

先修条目

单期证券市场设定
证券X与Y的情景收益表
状态价格向量

含三种情景的单期证券市场设定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
可见文字：“单期证券市场模型包含2种证券和一个银行账户（假设银行账户是无风险的）。银行账户年利率为10%，且无风险。每种证券当前的价格为100。一年后，两种风险证券的价格存在三种可能的情景：”
公式
观察依据
可见表格行：“情景1：证券X220，证券Y0；情景2：证券X55，证券Y0；情景3：证券X0，证券Y250。”
声音
观察依据
讲师解释银行账户在每种状态下支付110，且每种风险证券当前的价格均为100。

定义

解释

本题定义了一个单期市场，其中存在三种可交易资产：一个无风险银行账户和两种风险证券 X 与 Y。每种资产当前价格为 100。一年内存在三种可能的情景。银行账户在每种情景下均支付 110，因其年利率为 10%。证券 X 在各情景下的支付分别为 220、55 和 0 in scenarios 1，2和3。证券Y在各种情形下的支付为0，0和250，分别对应情形1、2和3 respectively.

公式

适用条件

单期模型
三种情景
银行账户无风险
银行账户年利率为10%
每种证券当前的价格为100

定义状态价格向量的线性方程组

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
可见文字：“现有价格结构隐含以下方程组：”后接 $110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100$ 、 $220\psi_1+55\psi_2+0\cdot\psi_3=100$ 和 $0\cdot\psi_1+0\cdot\psi_2+250\psi_3=100$ 。
声音
观察依据
讲师逐项推导每个方程：110乘以psi-one加110乘以psi-two加110乘以psi-three等于100；接着220乘以psi-one加55乘以psi-two加零乘以psi-three等于100；再接着零乘以psi-one加零乘以psi-two加250乘以psi-three等于100。

公式

解释

通过要求每种可交易资产的当前价格等于该资产在各情景下的收益乘以对应状态价格之和，即可求得状态价格向量。这为每种资产生成一个线性方程。本题中，这三个方程分别对应银行账户、证券X和证券Y。

公式

\begin{cases} 110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100\\ 220\psi_1+55\psi_2+0\cdot\psi_3=100\\ 0\cdot\psi_1+0\cdot\psi_2+250\psi_3=100 \end{cases}

适用条件

价格是今日已知的
各情景下的收益是已知的
状态价格在给定情景下对所有资产均相同

先修条目

含三种情景的单期证券市场设定

计算所得的状态价格向量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
可见文字：“解得： $\psi_1=\frac{24}{55}$ 、 $\psi_2=\frac{4}{55}$ 、 $\psi_3=\frac{2}{5}$ 。状态价格向量为：”后接 $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=\left[\frac{24}{55}\ \frac{4}{55}\ \frac{2}{5}\right]$ 。

方法

解释

求解所展示的3行3列线性方程组，可得到文档中所示的唯一状态价格。该结果被表述为该市场模型的状态价格向量。

公式

\psi_1=\frac{24}{55},\quad \psi_2=\frac{4}{55},\quad \psi_3=\frac{2}{5},\quad [\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=\left[\frac{24}{55}\ \frac{4}{55}\ \frac{2}{5}\right]

适用条件

利用市场数据中的三个定价方程

先修条目

定义状态价格向量的线性方程组

一期证券市场模型设定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
可见的习题文字描述了一个含2种证券和一个银行账户的一期证券市场模型。
声音
观察依据
主讲人讨论求解该市场所隐含的阿罗-德布鲁证券价格。

定义

解释

本片段分析一个含两种风险证券和一个无风险银行账户的一期市场。银行账户每期收益率为10%，且这三种资产的当前价格均为100。存在三种可能的未来状态，因此该模型用于根据给定的资产价格与支付向量推断状态价格。

公式

适用条件

一期设定
两种风险证券加一种无风险银行账户
三种可能的未来状态
每种证券的当前价格为100
银行账户利率为10%

状态价格向量／阿罗-德布鲁价格

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档将解写作 $\psi_1=\frac{24}{55},\ \psi_2=\frac{4}{55},\ \psi_3=\frac{2}{5}$ ，并展示 $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=\begin{bmatrix}24/55&4/55&2/5\end{bmatrix}$ 。
声音
观察依据
主讲人指出未知量是阿罗-德布鲁证券的价格，随后读出唯一解。

定义

解释

未知量 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ 是阿罗-德布鲁证券的价格，即三个未来状态的状态价格。它们通过如下条件求解：每种可交易资产的当前价格等于其各状态依存收益按相应状态价格加权后的总和。

公式

\psi_j = \text{price of the Arrow-Debreu security for state } j

适用条件

为每个未来状态 $j$ 定义
用于通过对各状态的收益进行逐状态加权，为任意状态依存收益定价

先修条目

一期证券市场模型设定

由状态价格导出的风险中性概率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该文档明确给出了 $q_j=(1+i)\psi_j$ ，并计算出 $[q_1\ q_2\ q_3]=\begin{bmatrix}24/50&4/50&22/50\end{bmatrix}$ 。
声音
观察依据
讲话者指出，风险中性概率等于 $1+i$ 乘以相应的 $\psi_j$ 。

公式

解释

一旦状态价格已知，风险中性概率即可通过将每个状态价格乘以 $1+i$ 得到。本例中，在 $i=0.10$ 条件下，所得向量之和为1，验证了它是一个概率向量。

公式

q_j=(1+i)\psi_j

适用条件

需要预先计算出的状态价格 $\psi_j$
使用与银行账户相同的单期利率 $i$

先修条目

状态价格向量／阿罗-德布鲁价格
一期证券市场模型设定

利用状态价格与折现收益定价

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档指出，已知[ $q_1$ , $q_2$ , $q_3$ ]即可计算市场上任意证券的价格。
公式
观察依据
该示例计算 $24/50\cdot 0/(1+0.10)+4/50\cdot 1/(1+0.10)+22/50\cdot 2/(1+0.10)=0.8727$ 。
声音
观察依据
主讲人将每一项解释为某一状态发生的概率乘以该状态下经折现的收益。

公式

解释

一旦状态价格向量已知，证券的无套利价格即可通过对所有状态求和得到：每个状态下的状态价格乘以该状态下的收益。在所展示的三状态示例中，状态价格已包含折现因子，因此所显示的公式将原始收益除以 $1+0.10$ ，再分别乘以数值型状态价格分量 $24/50$ 、 $4/50$ 和 $22/50$ 。

公式

\text{price}=\sum_{s} q_s X_s,\quad \frac{24}{50}\cdot\frac{0}{1+0.10}+\frac{4}{50}\cdot\frac{1}{1+0.10}+\frac{22}{50}\cdot\frac{2}{1+0.10}=0.8727

适用条件

采用有限个世界状态。
状态价格向量 $q_s$ 已知。
$X_s$ 表示该证券在状态 s 下的收益。
所展示的示例使用了一期折现因子 $1+0.10$ 。

定理与条件 · 12

本例中存在状态价格向量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所显示的解为：“解得： $\psi_1 = 24/55$ ， $\psi_2 = 4/55$ ， $\psi_3 = 2/5$ 。”
公式
观察依据
下一行写道：“状态价格向量为：[ $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ ] = [ $24/55$ , $4/55$ , $2/5$ ]。”

待核验内容

从方程组到该解的代数推导过程在可见部分中未逐步展示。

命题

对于给定的单期市场，其中银行账户在所有状态下的收益均为110，证券X的收益为（220,55,0），证券Y的收益为（0,0,250），且每种资产的当前价格均为100，所显示的解断言：存在一个状态价格向量，且其值为[ $24/55$ , $4/55$ , $2/5$ ]。

前提

这三个定价方程由现有的价格结构所蕴含。
未知数是状态价格 $\psi_1$ 、 $\psi_2$ 、 $\psi_3$ 。

量词

针对屏幕上显示的具体数值市场模型。

无风险银行账户收益的解释

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说：‘如果你将100存入银行账户，那么无论时间一发生什么情况，它都会支付你110。’
公式
观察依据
第一个方程在每种状态下都使用110。

命题

在此模型中，向银行账户投资100将在时间一的每种状态下产生110的收益，因此银行账户对每个状态价格方程的贡献系数为110。

前提

银行账户年利率为10%。
银行账户是无风险的。

量词

适用于示例中的全部三种状态。

给定市场模型存在一个状态价格向量。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
可见提示：“若存在，请计算该证券市场模型的状态价格向量；若不存在，请说明原因。”
公式
观察依据
可见的解线：「解为： $\psi_1=\frac{24}{55}$ ， $\psi_2=\frac{4}{55}$ ， $\psi_3=\frac{2}{5}$ 。状态价格向量为： $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=\left[\frac{24}{55}\ \frac{4}{55}\ \frac{2}{5}\right]$ 。」

待核验内容

该片段未通过语言陈述进一步论证解的唯一性，仅展示了求得的向量。

命题

对于所展示的一期证券市场，其三种状态下的收益分别为（110，110，110）、（220，55，0）和（0，0，250），且各证券当前价格均为100，则对应的线性定价系统有解 $\psi_1=\frac{24}{55}$ 、 $\psi_2=\frac{4}{55}$ 、 $\psi_3=\frac{2}{5}$ ，因此状态价格向量存在。

前提

一期证券市场模型
三种情景
无风险银行账户，年利率为10%
每种证券的当前价格均为100
收益如表格所列

量词

存在一个向量 $(\psi_1,\psi_2,\psi_3)$ ，同时满足全部三个定价方程。

状态价格解的唯一性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲话者指出，若方程组的系数矩阵非零，则解唯一；随后他写出该矩阵，并指出交换两行后行列式易于计算，从而验证该矩阵非零。
公式
观察依据
所展示的方程组的系数矩阵为 $\begin{bmatrix}110&110&110\\220&55&0\\0&0&250\end{bmatrix}$ 。

待核验内容

口语中所说的‘非零’指的是行列式不为零；视频中并未单独显示出行列式的具体数值。

命题

对于所展示的3-方程、3-未知量线性方程组， $(\psi_1,\psi_2,\psi_3)$ 的解是唯一的，因为其系数矩阵的行列式非零。

前提

该系统是所显示的 3x3 线性系统，位于 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ 。
该系数矩阵是非奇异的。

量词

针对习题中给出的具体方程组。

状态价格不是概率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出， $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ 中三个元素之和不等于一，因为这些不是概率，而是阿罗-德布鲁证券的价格。
公式
观察依据
所展示的数值为 $\psi_1=24/55,\psi_2=4/55,\psi_3=2/5$ 。

命题

向量 $(\psi_1,\psi_2,\psi_3)$ 不是一个概率向量，因为它的各分量之和不等于1。

前提

使用习题中已计算出的状态价格。

量词

针对所展示的解向量。

变换后的向量是一个概率向量。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将 $24+4+22=50$ 相加，再除以50得到1，并由此得出这些是概率。
公式
观察依据
该文档显示了 $[q_1\ q_2\ q_3]=\begin{bmatrix}24/50&4/50&22/50\end{bmatrix}$ 。

命题

向量 $(q_1,q_2,q_3)=(24/50,4/50,22/50)$ 是一个概率向量，因为它的各分量之和为1。

前提

定义 $q_j=(1+i)\psi_j$ ，其中 $i=0.10$ 。
使用已计算出的 $\psi_j$ 值。

量词

针对所展示的具体数值向量。

已知的状态价格向量决定了市场中所有证券的价格。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文中指出：了解这一点后，我们就能计算该市场中任意证券的价格。
公式
观察依据
一个显式的收益向量（0,1,2）的定价为0.8727。

命题

若某市场的状态价格向量[ $q_1$ , $q_2$ , $q_3$ ]已知，则该市场中任意证券的无套利价格可通过将各状态价格与其对应状态下的收益相乘后求和得到。

前提

该市场有三个状态。
状态价格向量已知。
该证券在每个状态下均有定义的收益。

量词

对于任一具有状态依赖收益 $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ 的证券，其价格 = $q_1X_1 + q_2X_2 + q_3X_3$ 。

本练习中无风险利率为零。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
笔记中显示[ $q_1$ , $q_2$ ] = [psi_1( $1+i$ ), psi_2( $1+i$ )] = [psi_1, psi_2]。
声音
观察依据
讲话者称实际的无风险利率为零。

命题

在二维证券市场中，无风险利率为 $i=0$ ，因此阿罗-德布鲁价格 psi_s 与状态价格 $q_s$ 相等。

前提

第一种资产在时刻0的价格为1，在两种状态下其时刻1的收益均为1。
正在使用关系式 $q_s$ =psi_s( $1+i$ )。

量词

对于两种状态 $s=1$ 、2，均有 $q_s$ =psi_s，因为 $i=0$ 。

由状态价格计算得出的看跌期权价格

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档行： $0\cdot ψ$ ₁ + $0.2\cdot ψ$ ₂ = $0\cdot 1/3 + 0.2\cdot 2/3 = 0.4/3 = 2/15$ 。
声音
观察依据
讲师说道：“即四分之三或十五分之二。”

命题

利用先前求得的状态价格 ψ₁= $1/3$ 和 ψ₂= $2/3$ ， payoff 向量为 [0;0.20] 的看跌期权价格为 $2/15$ 。

前提

看跌期权的收益为 0 在状态 1 和 0.20 在状态 2。
ψ₁= $1/3$ 和 ψ₂= $2/3$ 来自前一例题。
定价方法为状态价格加权。

量词

针对屏幕上展示的具体两状态市场及具体看跌期权。

二维（两状态）市场中的标准计算

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说：“这正是二维市场中的标准计算。”

待核验内容

讲师在此片段中未定义‘二维市场’；该短语仅源自音频。

命题

屏幕上展示的看跌期权价格计算被呈现为二维（两状态）市场中的标准计算。

前提

该市场具有两个状态。
状态价格已预先计算完毕。

量词

指讲座中讨论的二状态单期市场类别。

在第一个展示的习题中，无风险利率为零。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师指出，该设定表明无风险利率为零。
公式
观察依据
$S(1)$ 的第一列是 [1;1]，而 $S(0)$ 的第一个元素是 1。

命题

在满足 $S(0)=[1 1]$ 且 $S(1)= [[1,1.50],[1,0.90]]$ 的证券市场中，无风险利率为 0。

前提

第一种证券是无风险的。
其初始价格为 1，且在两种状态下其收益均为 1。

量词

针对第一个习题中所示的具体证券市场。

在第二个展示的习题中，无风险利率为 10%。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档文字：我们可以看出，无风险利率为 10%。
声音
观察依据
讲师说：“现在无风险利率为 10%。”
公式
观察依据
$S(1)= [[1.10,1.20],[1.10,0.90]]$ ，且 $S(0)=[1 1]$ 。

命题

在该市场中， $S(0)=[1 1]$ ， $S(1)=[[1.10,1.20],[1.10,0.90]]$ ，无风险利率为10%。

前提

第一种证券是无风险的。
其初始价格为1，且在两种状态下其收益均为1.10。

量词

针对第二道习题所示的具体证券市场。

推导与证明 · 17

从资产的收益与价格出发推导线性方程组

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该文档在‘我们有以下由现有价格结构所蕴含的方程组’下方明确列出了这三个方程。
声音
观察依据
讲师引入该方程组，并开始讲解银行账户这一行。

待核验内容

该片段未展示每项资产的完整中间推导过程，而是直接给出了最终的方程组。

直观解释

步骤

公式
$110\psi_1 + 110\psi_2 + 110\psi_3 = 100$
解释
银行账户在三种状态下均支付110，其当前价格为100，因此状态价格的加权和必须等于100。
步骤依据
由屏幕上显示的第一个方程及讲师所述“银行账户中的100在时刻一无论发生何种情形均支付110”可知。
视频直接表达
公式
$220\psi_1 + 55\psi_2 + 0\psi_3 = 100$
解释
证券X在状态220下支付1，55 处于状态 2，且 0 处于状态 3，当前价格为 100。
步骤依据
由收益表及屏幕上显示的第二个方程可知。
视频直接表达
公式
$0\psi_1 + 0\psi_2 + 250\psi_3 = 100$
解释
证券 Y 在以下状态支付 0 和 1 以及 2 和 250 处于状态 3，当前价格为 100。
步骤依据
由收益表及屏幕上显示的第三个方程可知。
视频直接表达

结论

现有价格结构意味着一个 3乘以3 关于未知状态价格 $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ 的线性系统。

求解所显示的方程组，得到状态价格向量

时间近似

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档中写道：“解得： $\psi_1 = 24/55$ ， $\psi_2 = 4/55$ ， $\psi_3 = 2/5$ 。”
公式
观察依据
第三个方程直接给出 $\psi_3 = 100/250 = 2/5$ 。

待核验内容

关于 $\psi_1$ 与 $\psi_2$ 的中间代数运算未在可见画面中展示，因此仅有最终解出的数值可被直接证实。

数值验证

步骤

公式
$\psi_3 = \frac{100}{250} = \frac{2}{5}$
解释
由证券Y的方程可知，其中只出现ψ3，因此可直接读出其值。
步骤依据
由所显示的方程 $0ψ1 + 0ψ2 + 250ψ3 = 100$ 推导得出。
依据视频推导
公式
$220\psi_1 + 55\psi_2 = 100$
解释
将已知的ψ3代入证券X的方程后，得到ψ1与ψ2之间的一个关系式。
步骤依据
由所显示的第二个方程在去掉零项后推导得出。
依据视频推导
公式
$110\psi_1 + 110\psi_2 = 100 - 110\psi_3$
解释
将ψ3代入银行账户方程后，得到ψ1与ψ2之间的另一个关系式。
步骤依据
由所显示的第一个方程推导得出。
依据视频推导
公式
$\psi_1 = \frac{24}{55},\quad \psi_2 = \frac{4}{55}$
解释
文档将这两个值报告为其余两个未知数的解。
步骤依据
直接从所显示的解行中观察得出；具体的消元步骤未在屏幕上展示。
视频直接表达

结论

所显示的解为[ψ1, ψ2, ψ3] = [ $24/55$ , $4/55$ , $2/5$ ]。

从资产收益与当前价格推导定价系统

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
从00:00到00:34，讲师构建银行账户方程：称其今日价值为110乘以 psi-one，加上110乘以 psi-two，再加上110乘以 psi-three；又因我们存入一百，故该值必须等于100。
声音
观察依据
从00:35到01:06，讲师依据收益220、55和0构建证券X的方程，并令其和等于100。
声音
观察依据
从01:07到01:46，讲师根据收益0、0和250构建证券Y的定价方程，并令其总和等于100。
公式
观察依据
屏幕上显示的完整方程组为 $110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100$ 、 $220\psi_1+55\psi_2+0\cdot\psi_3=100$ 、 $0\cdot\psi_1+0\cdot\psi_2+250\psi_3=100$ 。

待核验内容

写出该方程组后的代数求解步骤在此片段中未作口述；屏幕上仅展示最终解。

严格证明

步骤

公式
$110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100$
解释
对于无风险银行账户，每种情景下的收益均为110，因此其当前价格等于各状态价格分别乘以110后的总和。
步骤依据
将状态价格定价法则应用于银行账户的收益向量（110,110,110）及其当前价格100。
视频直接表达
公式
$220\psi_1+55\psi_2+0\cdot\psi_3=100$
解释
对于证券X，各情景下的收益分别为220、55和0，因此其当前价格等于这些收益按状态价格加权后的总和。
步骤依据
将状态价格定价法则应用于证券X的收益向量（220,55,0）及其当前价格100。
视频直接表达
公式
$0\cdot\psi_1+0\cdot\psi_2+250\psi_3=100$
解释
对于证券Y，各情景下的收益分别为0、0和250，因此仅有第三个状态价格对其当前价格产生贡献。
步骤依据
将状态价格定价法则应用于证券Y的收益向量（0,0,250）及其当前价格100。
视频直接表达
公式
$\psi_1=\frac{24}{55},\quad \psi_2=\frac{4}{55},\quad \psi_3=\frac{2}{5}$
解释
求解屏幕上显示的三个线性方程，即可得到文档中所示的状态价格。
步骤依据
直接求解屏幕上显示的3元线性方程组。
视频直接表达

结论

市场数据隐含一个线性方程组，其解为 $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=\left[\frac{24}{55}\ \frac{4}{55}\ \frac{2}{5}\right]$ 。

推导状态价格的线性方程组。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
该文档显示了方程组 $110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100$ 、 $220\psi_1+55\psi_2+0\psi_3=100$ 、 $0\psi_1+0\psi_2+250\psi_3=100$ 。
声音
观察依据
讲话者指出，这是一个包含三个未知数的三元方程组，未知数即阿罗-德布鲁证券的价格。

严格证明

步骤

公式
$110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100$
解释
银行账户在每种状态下均支付110，其当前价格为100，因此利用状态价格定价可得此方程。
步骤依据
直接从所展示的习题及方程组中观察得出。
视频直接表达
公式
$220\psi_1+55\psi_2+0\psi_3=100$
解释
证券 X 支付 220 处于状态 1，55 处于状态 2，且 0 处于状态 3，当前价格为 100。
步骤依据
从收益表和所展示的方程中可观察得出。
视频直接表达
公式
$0\psi_1+0\psi_2+250\psi_3=100$
解释
证券 Y 在以下状态支付 0 状态 1 和 2 以及 250 状态 3，当前价格为 100。
步骤依据
从收益表和所展示的方程中可观察得出。
视频直接表达

结论

市场数据隐含一个 $3\times 3$ 的线性方程组，其未知量为状态价格 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ 。

通过系数矩阵检验解的唯一性

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出，若该方程组的系数矩阵非零，则解唯一；随后写出该矩阵，并指出交换第二行与第三行可使行列式计算更简便。
公式
观察依据
系数矩阵清晰可见为 $\begin{bmatrix}110&110&110\\220&55&0\\0&0&250\end{bmatrix}$ 。

待核验内容

行列式的精确数值未被口述或展示；仅给出其非零的结论。

严格证明

步骤

公式
$\begin{bmatrix}110&110&110\\220&55&0\\0&0&250\end{bmatrix}$
解释
写出所展示方程组的系数矩阵。
步骤依据
由文档内容及主讲人口头验证得出。
视频直接表达
公式
$\text{Switch rows 2 \text{且} 3 to simplify the determinant computation.}$
解释
交换第二行与第三行后，矩阵更易于判断是否具有三角结构。
步骤依据
由主讲人口头陈述。
视频直接表达
公式
$\det\neq 0$
解释
主讲人得出结论：该行列式非零，因此方程组有唯一解。
步骤依据
音频讲解；行列式的具体数值未在屏幕上显示。
视频直接表达

结论

由于系数矩阵是非奇异的，状态价格向量被唯一确定。

求解状态价格

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档中指出：此式解为 $\psi_1=\frac{24}{55},\ \psi_2=\frac{4}{55},\ \psi_3=\frac{2}{5}$ 。
声音
观察依据
主讲人口述解为24除以55、4除以55以及2除以5。

待核验内容

中间的代数演算步骤未在屏幕上展示。

严格证明

步骤

公式
$\psi_3=\frac{2}{5}$
解释
由第三个方程 $250\psi_3=100$ ，可得 $\psi_3=100/250=2/5$ 。
步骤依据
由屏幕上显示的第三个方程推导得出。
依据视频推导
公式
$\psi_1=\frac{24}{55},\quad \psi_2=\frac{4}{55}$
解释
将 $\psi_3$ 代入其余两个方程，得到屏幕上显示的 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 的值。
步骤依据
最终数值在文档中给出；完整的代入演算步骤未在屏幕上呈现。
视频直接表达

结论

唯一的状态价格向量为 $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=[24/55\ \ 4/55\ \ 2/5]$ 。

将状态价格转换为风险中性概率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档中先显示 $q_j=(1+i)\psi_j$ ，然后显示 $[q_1\ q_2\ q_3]=[24/50\ \ 4/50\ \ 22/50]$ 。
声音
观察依据
讲话者指出，将全部三个数都乘以1.10，得到 $24/50$ 、 $4/50$ 和 $22/50$ ，再验证它们的和为1。

严格证明

步骤

公式
$q_j=(1+i)\psi_j$
解释
利用风险中性概率与状态价格之间给出的关系。
步骤依据
文档中呈现的公式，且由讲师口头陈述。
视频直接表达
公式
$q_1=1.10\cdot\frac{24}{55}=\frac{24}{50}$
解释
将第一个状态价格乘以 $1+i=1.10$ 。
步骤依据
在文档中展示并朗读出来。
视频直接表达
公式
$q_2=1.10\cdot\frac{4}{55}=\frac{4}{50}$
解释
将第二个状态价格乘以 $1+i=1.10$ 。
步骤依据
在文档中展示并朗读出来。
视频直接表达
公式
$q_3=1.10\cdot\frac{2}{5}=\frac{22}{50}$
解释
将第三个状态价格乘以 $1+i=1.10$ 。
步骤依据
在文档中展示并朗读出来。
视频直接表达
公式
$\frac{24}{50}+\frac{4}{50}+\frac{22}{50}=1$
解释
将这三个数值相加，以验证结果是一个概率向量。
步骤依据
由主讲人明确验证。
视频直接表达

结论

风险中性概率向量为 $[q_1\ q_2\ q_3]=[24/50\ \ 4/50\ \ 22/50]$ ，其和为1。

三状态证券的数值定价

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
屏幕上显示的向量 [ $q_1$ , $q_2$ , $q_3$ ]=[ $24/50$ , $4/50$ , $22/50$ ] 以及以0.8727结尾的价格表达式均可见。
声音
观察依据
讲话者逐项朗读这三个项，并指出它们分别是概率乘以折现后的收益。

待核验内容

本片段内未重述概率 $24/55$ 、 $4/55$ 和 $2/5$ 是如何得出的。

数值验证

步骤

公式
$[q_1,q_2,q_3]=\left[\frac{24}{55}\cdot1.10,\frac{4}{55}\cdot1.10,\frac{2}{5}\cdot1.10\right]=\left[\frac{24}{50},\frac{4}{50},\frac{22}{50}\right]$
解释
状态价格向量以因式分解形式显示，并进行了数值化简化。
步骤依据
直接显示在文档中。
视频直接表达
公式
$\frac{24}{50}\cdot\frac{0}{1+0.10}+\frac{4}{50}\cdot\frac{1}{1+0.10}+\frac{22}{50}\cdot\frac{2}{1+0.10}$
解释
对收益分别为0、1、2的证券进行定价，方法是将每个状态价格分别乘以屏幕上所示的对应折现收益表达式。
步骤依据
文中指出，这是计算一种在三种状态下分别支付0、1、2的证券价格的示例。
视频直接表达
公式
$=0.8727$
解释
算术化简得到屏幕上显示的最终价格。
步骤依据
在文档中展示，并由讲解者口头读出。
视频直接表达

结论

示例证券在屏幕上显示的状态价格计算下价格为0.8727。

从无套利方程推导psi_1和psi_2。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
系统1·psi_1+1·psi_2=1和1.2·psi_1+0.9·psi_2=1被展示出来。
公式
观察依据
克拉默法则表达式及解[psi_1,psi_2]=[ $1/3$ , $2/3$ ]被展示出来。
声音
观察依据
讲解者说，我们建立方程组并求解它。

严格证明

步骤

公式
$1\cdot\psi_1+1\cdot\psi_2=1$
解释
复制第一项资产（其在两种状态下均支付1）的成本必须等于其观测到的时刻0价格1。
步骤依据
利用状态价格表示法验证资产价格一致性。
视频直接表达
公式
$1.2\cdot\psi_1+0.9\cdot\psi_2=1$
解释
复制第二个资产，该资产在状态 1.2 支付 1 且 0.9 处于状态 2，必须花费其观测到的时间-0 价格 1。
步骤依据
利用状态价格表示法验证资产价格一致性。
视频直接表达
公式
$\psi_1=\frac{-0.1}{-0.3}=\frac{1}{3}$
解释
克拉默法则将系数矩阵的第一列替换为等式右侧向量，再除以系数行列式。
步骤依据
文档中明确标注为克莱姆法则。
视频直接表达
公式
$\psi_2=\frac{-0.2}{-0.3}=\frac{2}{3}$
解释
克莱姆法则将系数矩阵的第二列替换为等式右侧向量，再除以系数行列式。
步骤依据
文档中明确标注为克莱姆法则。
视频直接表达

结论

本练习的唯一状态价格向量为[psi_1,psi_2]=[ $1/3$ , $2/3$ ]。

由阿罗—德布鲁分解推导看跌期权价格。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
看跌期权的收益表示为[0,0.20]^ $T=0[1,0]^T+0.20[0,1]^T$ 。
公式
观察依据
价格直线表示为0·psi_1+0.2·psi_2= $0\cdot 1/3+0.2\cdot 2/3=0.4/3=2/15$ 。
声音
观察依据
主讲人描述了将每个基础收益乘以其对应的状态价格。

严格证明

步骤

公式
$\max(1.10-1.20,0)=0$
解释
在状态1下，第二项资产支付1.20，高于执行价1.10，因此看跌期权收益为零。
步骤依据
欧式看跌期权收益的定义。
依据视频推导
公式
$\max(1.10-0.90,0)=0.20$
解释
在状态2下，第二项资产支付0.90，低于执行价1.10，因此看跌期权收益为0.20。
步骤依据
欧式看跌期权收益的定义。
依据视频推导
公式
$\begin{bmatrix}0\\0.20\end{bmatrix}=0\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+0.20\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$
解释
收益向量被表示为两个阿罗-德布鲁基底收益的线性组合。
步骤依据
直接在文档中给出。
视频直接表达
公式
$0\cdot\psi_1+0.2\cdot\psi_2=0\cdot\frac{1}{3}+0.2\cdot\frac{2}{3}=\frac{0.4}{3}=\frac{2}{15}$
解释
定价的线性性质使得期权价格等于相同系数的态价格线性组合。
步骤依据
态价格定价法则，加上已解出的值 psi_1= $1/3$ 、psi_2= $2/3$ 。
视频直接表达

结论

该欧式看跌期权的无套利价格为 $2/15$ 。

由状态价格推导看跌期权价格

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档展示了看跌期权的现金流[0;0.20]以及价格计算式： $0\cdot ψ$ ₁+ $0.2\cdot ψ$ ₂= $0\cdot 1/3+0.2\cdot 2/3=0.4/3=2/15$ 。
声音
观察依据
讲师将最终结果读作十五分之二。

严格证明

步骤

公式
$0\cdot\psi_1+0.2\cdot\psi_2$
解释
通过用状态价格对看跌期权在各状态下的收益加权，为其定价。
步骤依据
文档中展示的状态价格定价法则。
视频直接表达
公式
$0\cdot\frac{1}{3}+0.2\cdot\frac{2}{3}$
解释
代入此前求得的状态价格ψ₁= $1/3$ 和ψ₂= $2/3$ 。
步骤依据
这些数值在同一页更早位置即可看到。
视频直接表达
公式
$\frac{0.4}{3}$
解释
计算乘积 $0.2\cdot (2/3)=0.4/3$ ，并加上零项。
步骤依据
算术化简。
视频直接表达
公式
$\frac{2}{15}$
解释
将 $0.4/3$ 改写为 $2/15$ 。
步骤依据
屏幕上展示等价分数的化简过程。
视频直接表达

结论

前例中的看跌期权价格为 $2/15$ 。

求解第一道练习题中的状态价格方程组。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档显示方程组 ψ₁+ψ₂=1 和 1.5ψ₁+0.90ψ₂=1，随后指出因此有 0.60ψ₂=0.50，从而得出 ψ₂= $5/6$ 且 ψ₁= $1/6$ 。
声音
观察依据
讲师口述：“我们解得 psi 1 等于 1 6，psi 2 等于 1 6”，但屏幕上显示的解为 ψ₁= $1/6$ 且 ψ₂= $5/6$ 。

待核验内容

关于已解出数值的语音表述不够准确；屏幕上显示的公式清晰明确，并作为权威依据使用。

严格证明

步骤

公式
$\psi_1+\psi_2=1$
解释
使用第一种证券，其在两种状态下的收益均为1，价格为1。
步骤依据
由 $S(0)$ 和 $S(1)$ 得到的状态价格方程。
视频直接表达
公式
$1.5\psi_1+0.90\psi_2=1$
解释
使用第二种证券，其在两种状态下的收益分别为1.50和0.90，价格为1。
步骤依据
由 $S(0)$ 和 $S(1)$ 得到的状态价格方程。
视频直接表达
公式
$1.5(1-\psi_2)+0.90\psi_2=1$
解释
利用第一个方程中的 ψ₁ = 1 - ψ₂ 消去 ψ₁。
步骤依据
由第一个线性方程进行代入。
依据视频推导
公式
$0.60\psi_2=0.50$
解释
化简以解出 ψ₂。
步骤依据
屏幕上展示的代数整理过程。
视频直接表达
公式
$\psi_2=\frac{5}{6},\quad \psi_1=\frac{1}{6}$
解释
先求解 ψ₂，再回代求出 ψ₁。
步骤依据
文档中显示的线性方程组解。
视频直接表达

结论

对于第一个展示的习题，状态价格向量为 [ψ₁ ψ₂] = [ $1/6$ , $5/6$ ]。

例题详解 · 9

在一个三状态单期市场中计算状态价格向量。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
完整的习题与解答可见于Word文档。
声音
观察依据
讲师先朗读习题，再引入该方程组的解法。

待核验内容

该片段在状态价格向量的进一步应用之前即已结束，仅展示了解答过程。

题目

给定一个单期证券市场，其中无风险银行账户年利率为10%，各资产当前价格为100，证券X的收益为（220,55,0），证券Y的收益为（0,0,250），若状态价格向量存在，请计算之。

已知条件

银行账户在每种状态下收益均为110。
每种证券的当前价格均为100。
共有三种状态。
证券X的收益：220、55、0。
证券Y的收益：0、0、250。

目标

求[ $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ ]。

步骤

公式
$110\psi_1 + 110\psi_2 + 110\psi_3 = 100$
解释
写出银行账户的定价方程。
步骤依据
由所展示的方程组及讲师关于银行账户的说明得出。
视频直接表达
公式
$220\psi_1 + 55\psi_2 + 0\psi_3 = 100$
解释
写出证券X的定价方程。
步骤依据
从收益表和显示的方程组中观察得出。
视频直接表达
公式
$0\psi_1 + 0\psi_2 + 250\psi_3 = 100$
解释
写出证券Y的定价方程。
步骤依据
从收益表和显示的方程组中观察得出。
视频直接表达
公式
$\psi_1 = \frac{24}{55},\ \psi_2 = \frac{4}{55},\ \psi_3 = \frac{2}{5}$
解释
求解该线性方程组，得到三个状态价格。
步骤依据
由屏幕上显示的解行直接得出；中间代数步骤未展示。
视频直接表达

结果

[ $ψ_1$ , $ψ_2$ , $ψ_3$ ] = [ $24/55$ , $4/55$ , $2/5$ ]。

检验

未在本片段中将解代入所显示的三个方程进行验证，因此验证仅限于与屏幕上所示解行的一致性。

练习：计算一个三情景市场的状态价格向量。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
Word 文档中包含练习题陈述及完整解答过程。
声音
观察依据
主讲教师口头讲解如何根据表格和价格100逐个列出每个方程。

待核验内容

该视频片段在得到解后未单独进行数值验证。

题目

在一个单期证券市场模型中，无风险银行账户年利率为10%，且存在两种风险证券；每种证券当前价格均为100。一年后各情景下的收益为：银行账户（110，110，110），证券X（220，55，0），证券Y（0，0，250）。若状态价格向量存在，请计算之；否则说明原因。

已知条件

无风险银行账户年利率 = 10%
每种证券的当前价格 = 100
情景1下的收益：银行账户110，证券X220，证券Y0
情景2下的收益：银行账户110，证券X55，证券Y0
情景3下的收益：银行账户110，证券X0，证券Y250

目标

求 $(\psi_1,\psi_2,\psi_3)$ ，使得每种资产的当前价格等于其各情景收益与对应状态价格乘积之和。

步骤

公式
$110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100$
解释
利用银行账户在每种情景下的或有支付110，写出其定价方程。
步骤依据
对银行账户应用状态价格估值公式。
视频直接表达
公式
$220\psi_1+55\psi_2+0\cdot\psi_3=100$
解释
利用或有支付220、55和0，写出证券X的定价方程。
步骤依据
对证券X应用状态价格估值公式。
视频直接表达
公式
$0\cdot\psi_1+0\cdot\psi_2+250\psi_3=100$
解释
利用或有支付0、0和250，写出证券Y的定价方程。
步骤依据
对证券Y应用状态价格估值公式。
视频直接表达
公式
$\psi_1=\frac{24}{55},\quad \psi_2=\frac{4}{55},\quad \psi_3=\frac{2}{5}$
解释
求解所得的线性方程组。
步骤依据
对屏幕上显示的三个方程进行代数求解。
视频直接表达

结果

状态价格向量为 $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=\left[\frac{24}{55}\ \frac{4}{55}\ \frac{2}{5}\right]$ 。

检验

将屏幕上显示的数值代回三个方程： $110(\frac{24}{55}+\frac{4}{55}+\frac{2}{5})=100$ 、 $220\cdot\frac{24}{55}+55\cdot\frac{4}{55}=100$ 和 $250\cdot\frac{2}{5}=100$ 。

计算一个3状态市场的状态价格向量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
可见的练习要求计算给定单期证券市场模型的状态价格向量。
声音
观察依据
讲师求解该方程组，评述解的唯一性，然后将解转化为风险中性概率。

待核验内容

视频片段在讲师展开结尾处提到的下一个定价应用之前结束。

题目

在一个含2种证券及一个银行账户的单期证券市场模型中，银行账户提供10%的无风险利率。每种证券当前价格为100。各情景下的收益为：情景1： $X=220$ ， $Y=0$ ；情景2： $X=55$ ， $Y=0$ ；情景3： $X=0$ ， $Y=250$ 。若状态价格向量存在，请计算之；否则，请说明原因。

已知条件

两种风险证券X与Y，外加一种无风险银行账户
每种证券当前价格为100
银行账户利率为10%
三种可能的未来状态
收益为：（220，0），（55，0），（0，250）

目标

求状态价格向量 $(\psi_1,\psi_2,\psi_3)$ ，并判断其是否唯一。

步骤

公式
$110\psi_1+110\psi_2+110\psi_3=100$
解释
利用状态价格为银行账户定价。
步骤依据
显示在解答部分。
视频直接表达
公式
$220\psi_1+55\psi_2+0\psi_3=100$
解释
利用状态价格为证券X定价。
步骤依据
显示在解答部分。
视频直接表达
公式
$0\psi_1+0\psi_2+250\psi_3=100$
解释
利用状态价格为证券Y定价。
步骤依据
显示在解答部分。
视频直接表达
公式
$\det\begin{bmatrix}110&110&110\\220&55&0\\0&0&250\end{bmatrix}\neq 0$
解释
验证系数矩阵是否为非奇异矩阵，从而判断解是否唯一。
步骤依据
由讲师口头讲解；行列式的具体数值未写出。
视频直接表达
公式
$\psi_1=\frac{24}{55},\ \psi_2=\frac{4}{55},\ \psi_3=\frac{2}{5}$
解释
求解线性方程组，得到状态价格。
步骤依据
以文档中的解答形式呈现。
视频直接表达
公式
$[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=\begin{bmatrix}24/55&4/55&2/5\end{bmatrix}$
解释
将答案写作状态价格向量。
步骤依据
在文档中显示。
视频直接表达

结果

对应的式子为： $[\psi_1\ \psi_2\ \psi_3]=[24/55\ \ 4/55\ \ 2/5]$ 。

检验

讲师通过验证系数矩阵的行列式非零来确认解的唯一性，并随后验证变换后的向量 $(q_1,q_2,q_3)$ 之和为1。

示例：对收益为（0,1,2）的三状态证券进行定价。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文中给出了一个示例证券，它在第一种状态下支付 0，在第二种状态下支付 1，在第三种状态下支付 2。
公式
观察依据
显示的价格为 0.8727。

待核验内容

先前对概率 $24/55$ 、 $4/55$ 和 $2/5$ 的推导不在本片段范围内。

题目

给定 [ $q_1$ , $q_2$ , $q_3$ ] = [ $24/50$ , $4/50$ , $22/50$ ，计算一种证券的价格，该证券在状态 0 下支付 1，1 在状态 2 下支付 2，在状态 3 下支付。

已知条件

三种可能的世界状态。
态价格向量 [ $q_1$ , $q_2$ , $q_3$ ]=[ $24/50$ , $4/50$ , $22/50$ ]。
证券的收益为 0、1 和 2，分别对应状态 1，2，3分别。
所显示的公式中使用了除以 $1+0.10$ 的运算。

目标

计算该证券的价格。

步骤

公式
$\frac{24}{50}\cdot\frac{0}{1+0.10}+\frac{4}{50}\cdot\frac{1}{1+0.10}+\frac{22}{50}\cdot\frac{2}{1+0.10}$
解释
将每个状态价格乘以其对应显示的收益项。
步骤依据
文档中所示的状态价格定价法则。
视频直接表达
公式
$=0.8727$
解释
计算该和式。
步骤依据
屏幕上显示的结果，且由讲师口头陈述。
视频直接表达

结果

对应的式子为：0.8727

检验

该数值与文档中显示的最终等式一致。

习题：两状态市场中第二项资产的欧式看跌期权

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
习题部分要求计算第二项资产上执行价为1.10的欧式看跌期权的无套利价格。
公式
观察依据
解答最终得出价格为 $2/15$ 。

题目

在市场中， $S(0)=[1,1]$ ， $S(1)=[[1,1.20],[1,0.90]]$ ，计算以第二项资产为标的、到期时间为1、执行价格为1.10的欧式看跌期权的无套利价格。

已知条件

两项资产，两种状态。
$S(0)$ 等于由 1 和 1 组成的数列。
$S(1)$ 等于一个二乘二的矩阵，第一行是 1 和 1.20，第二行是 1 和 0.90。
执行价格 $K=1.10$ 。
该期权是以第二项资产为标的的欧式看跌期权。

目标

求该看跌期权的无套利价格。

步骤

公式
$\begin{cases}1\cdot\psi_1+1\cdot\psi_2=1\\1.2\cdot\psi_1+0.9\cdot\psi_2=1\end{cases}$
解释
为两项可交易资产建立复制方程。
步骤依据
解中列出了无套利状态价格方程。
视频直接表达
公式
$\psi_1=\frac{1}{3},\quad \psi_2=\frac{2}{3}$
解释
使用克莱姆法则求解该线性方程组。
步骤依据
文档中已明确写出并陈述。
视频直接表达
公式
$\begin{bmatrix}0\\0.20\end{bmatrix}=0\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+0.20\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$
解释
用阿罗—德布鲁基底表示该看跌期权的收益。
步骤依据
在计算完状态价格后，文档中展示了该结果。
视频直接表达
公式
$0\cdot\frac{1}{3}+0.2\cdot\frac{2}{3}=\frac{0.4}{3}=\frac{2}{15}$
解释
将状态价格应用于看跌期权的收益组成部分，从而为其定价。
步骤依据
状态价格定价法则加上线性性质。
视频直接表达

结果

2除以15

检验

文档中最终显示的等式为 $2/15$ 。

前述两状态市场中的看跌期权定价

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
页面顶部显示 [ψ₁ ψ₂]=[ $1/3$ , $2/3$ ]，看跌期权现金流为 [0;0.20]，以及价格 $0\cdot ψ$ ₁+ $0.2\cdot ψ$ ₂= $2/15$ 。
声音
观察依据
讲师指出，这是二维市场中的标准计算。

题目

给定状态价格 ψ₁= $1/3$ 和 ψ₂= $2/3$ ，为一个到期时-1 现金流为 0 在状态 1 和 0.20 处于状态 2。

已知条件

对应的式子为：[ψ₁ ψ₂]=[ $1/3$ , $2/3$ ]。
看跌期权收益向量为 [0;0.20]。

目标

计算时刻0的看跌期权价格。

步骤

公式
$0\cdot\psi_1+0.2\cdot\psi_2$
解释
用对应的状态价格对每个状态的收益进行加权。
步骤依据
状态价格定价法则。
视频直接表达
公式
$0\cdot\frac{1}{3}+0.2\cdot\frac{2}{3}$
解释
代入给定的状态价格。
步骤依据
直接代入。
视频直接表达
公式
$\frac{2}{15}$
解释
化简算术运算。
步骤依据
在屏幕上显示并朗读出来。
视频直接表达

结果

对应的式子为： $2/15$

检验

结果与屏幕上展示的等式链一致： $0\cdot ψ$ ₁+ $0.2\cdot ψ$ ₂= $0\cdot 1/3+0.2\cdot 2/3=0.4/3=2/15$ 。

在零利率两状态市场中求一个状态价格向量。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
练习题文字：已知一个证券市场由 $S(0)=[1 1]$ 、 $S(1)= [[1,1.50],[1,0.90]]$ 描述。求一个状态价格向量。
公式
观察依据
解答文字推导出 ψ₁= $1/6$ 、ψ₂= $5/6$ ，进而得到 [q₁ q₂]=[ $1/6$ , $5/6$ ]。
声音
观察依据
讲师朗读练习题，并讲解如何建立方程组。

题目

给定一个证券市场，其证券价格向量为 $S(0)=[1 1]$ ，状态收益矩阵为 $S(1)= [[1,1.50],[1,0.90]]$ 。求一个状态价格向量。

已知条件

$S(0)$ 等于 [1 1]。
$S(1)$ 等于一个二乘二的矩阵，第一行是 1 和 1.50，第二行是 1 和 0.90。
两种状态与两种证券。

目标

求解 [ψ₁ ψ₂]，然后识别对应的无风险概率。

步骤

公式
$\psi_1+\psi_2=1$
解释
使用第一种证券，它在两种状态下均支付 1，且成本为 1。
步骤依据
由 $S(1)$ 的第一列导出的状态价格方程。
视频直接表达
公式
$1.5\psi_1+0.90\psi_2=1$
解释
使用第二种证券，它分别支付 1.50 和 0.90，且成本为 1。
步骤依据
由 $S(1)$ 的第二列导出的状态价格方程。
视频直接表达
公式
$\psi_2=\frac{5}{6},\quad \psi_1=\frac{1}{6}$
解释
求解 $2\times 2$ 的线性方程组。
步骤依据
页面上显示的解。
视频直接表达
公式
$[q_1\ q_2]=[\psi_1(1+i)\ \psi_2(1+i)]=\left[\frac{1}{6}\ \frac{5}{6}\right]$
解释
由于无风险利率为 0，无风险概率在数值上等于状态价格。
步骤依据
展示公式并由讲师解释： $i = 0$ 。
视频直接表达

结果

状态价格向量：[ψ₁ ψ₂] = [ $1/6$ , $5/6$ ]。风险中性概率：[q₁ q₂] = [ $1/6$ , $5/6$ ]。

检验

将 ψ₁ = $1/6$ 和 ψ₂ = $5/6$ 代入所列的两个方程，得到 $1/6 + 5/6 = 1$ ，以及 $1.5(1/6) + 0.9(5/6) = 1$ 。

在一个无风险利率为 10% 的两状态市场中，求风险中性概率。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
习题文字：已知证券市场由 $S(0) = [1 1]$ 和 $S(1) = [[1.10,1.20],[1.10,0.90]]$ 描述。求风险中性概率。
公式
观察依据
解答文字指出无风险利率为 10%，解得 ψ₁ = $20/33$ 和 ψ₂ = $10/33$ ，再计算得 [q₁ q₂] = [ $2/3$ , $1/3$ ]。
声音
观察依据
讲师说：“现在无风险利率为 10%”，并开始朗读解答。

待核验内容

该片段在讲师仍在讲话时结束，但完整的书面解答清晰显示在屏幕上。

题目

已知证券市场由 $S(0) = [1 1]$ 和 $S(1) = [[1.10,1.20],[1.10,0.90]]$ 描述。求风险中性概率。

已知条件

$S(0)$ 等于 [1 1]。
$S(1)$ 等于一个二乘二的矩阵，第一行是 1.10 和 1.20，第二行是 1.10 和 0.90。
第一种证券是无风险证券，在两种状态下收益均为 1.10。

目标

求 [q₁ q₂]。

步骤

公式
$i=0.10$
解释
从第一种证券的无风险收益常数 1.10 中读取无风险利率。
步骤依据
记录陈述内容与市场数据。
视频直接表达
公式
$1.1\psi_1+1.1\psi_2=1$
解释
由无风险证券得出状态价格方程。
步骤依据
利用状态价格进行定价。
视频直接表达
公式
$1.2\psi_1+0.9\psi_2=1$
解释
由第二种证券得出状态价格方程。
步骤依据
利用状态价格进行定价。
视频直接表达
公式
$\psi_1=\frac{20}{33},\quad \psi_2=\frac{10}{33}$
解释
使用屏幕上显示的克莱姆法则行列式求解该线性方程组。
步骤依据
屏幕上的书面解答。
视频直接表达
公式
$[q_1\ q_2]=\left[1.1\cdot\frac{20}{33},\ 1.1\cdot\frac{10}{33}\right]=\left[\frac{2}{3},\ \frac{1}{3}\right]$
解释
将状态价格乘以 $1+i=1.1$ ，转换为风险中性概率。
步骤依据
屏幕上显示的公式与算术运算。
视频直接表达

结果

[q₁ q₂]=[ $2/3$ , $1/3$ 。

检验

所显示的行列式计算得出 ψ₁= $20/33$ 和 ψ₂= $10/33$ ，再将各自乘以1.1，分别得到 $2/3$ 和 $1/3$ 。

二叉树模型示例

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
S0等于1与2组成的行向量，S1等于由2、3、2、1组成的二阶方阵

题目

给定一个由 $S(0) = [1 \quad 2]$ 和 $S(1) = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ 描述的证券市场，判断该市场是否无套利且完备。

已知条件

S0等于1与2组成的行向量
S1等于由2、3、2、1组成的二阶方阵
无风险利率为10%

目标

判断该市场是否无套利且完备。

步骤

公式
$\begin{cases} 1.1\psi_1 + 1.1\psi_2 = 1 \\ 1.2\psi_1 + 0.9\psi_2 = 1 \end{cases}$
解释
建立状态价格向量所满足的方程组。
步骤依据
状态价格向量的定义
视频直接表达
公式
$\psi_1 = \frac{20}{33}, \psi_2 = \frac{10}{33}$
解释
求解该方程组，得到状态价格向量。
步骤依据
克莱姆法则
视频直接表达
公式
$q_1 = \frac{2}{3}, q_2 = \frac{1}{3}$
解释
利用状态价格向量计算风险中性概率。
步骤依据
风险中性概率的定义
视频直接表达

结果

该市场无套利且完备，因为存在唯一严格正的状态价格向量。

检验

验证风险中性概率之和等于1，且它们严格为正。

图示与动画 · 12

习题页面的静态视图

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
一个标题为“练习”的Microsoft Word文档充满屏幕，显示了习题陈述、收益表以及解法的开头部分。

图中对象

Word文档
习题标题
收益表
解题文字开始

变化过程

前一分钟内画面无明显变化，仅光标可见。

不变量

市场数据与显示的方程在屏幕上保持固定。

数学含义

视觉呈现将授课锚定于书面演算示例，而非实时推导板书。

滚动先展示完整解法，随后向上回移

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
约在01:01处，页面向下滚动，以展示解题过程的更多内容，包括已求出的状态价格向量及下方附加文字。
动画
观察依据
约在01:12处，页面向上滚动，回到习题陈述部分。

待核验内容

精确到帧级别的滚动时机仅为近似值。

图中对象

解题方程
状态价格向量所在行
下方附加文字部分可见

变化过程

视口先下移以显示已求出的向量，再上移返回。

不变量

底层文档内容不变，仅可见区域发生变化。

数学含义

滚动操作在讲师继续讲解方程的设定与含义之前，就已展现出最终答案。

光标高亮显示表格与方程的部分内容。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
鼠标光标先移至收益表附近，随后移至第一个方程附近，此时讲师正在讲解银行账户与阿罗-德布鲁证券。

待核验内容

光标移动路径可见，但并不总是与所讲语句严格对齐。

图中对象

鼠标光标
情景表
第一个定价方程

变化过程

光标将注意力从收益表转移到方程组上。

不变量

表格与方程中的数值内容保持不变。

数学含义

指向动作辅助口头讲解：该方程组的每一行对应一种可交易资产。

静态的带光标指向各项的例题讲解文档

依据清楚

视频直接表达

来源依据

图示
观察依据
屏幕上显示一份标题为‘练习题’的Microsoft Word文档，其中包含题目陈述、一个或有支付表、引入方程组的句子、屏幕上显示的三个方程，以及最终的状态价格向量。
动画
观察依据
鼠标光标在表格条目与方程各项之间移动，同时讲师讲解每一项是如何形成的。

图中对象

Word 文档页面
练习题标题
情景1至3的收益表
包含三个方程的线性方程组
最终状态价格向量
鼠标光标

变化过程

光标依次指向不同的收益表项和方程各项，讲师将表格中的数值映射为方程的系数。
场景不切换；整个过程中始终显示同一份文档。

不变量

所展示的市场数据不发生变化。
三个方程及最终解始终显示在页面上。

数学含义

该视觉布局支持将各情景收益与当前价格直接转化为求解状态价格向量的线性方程组。

滚动显示出完整的解答过程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
屏幕在 Word 文档内向下滚动，以显示更多解答区域。

图中对象

Microsoft Word 文档
习题陈述
方程组
解答行

变化过程

可见部分向下移动
更多解答文字与矩阵进入视野

不变量

同一道习题持续显示在屏幕上
滚动过程中，数学内容保持不变

数学含义

滚动仅用于导航，目的是展示已写好的解法以供讨论。

高亮显示风险中性概率所在行

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
包含 $[q_1\ q_2\ q_3]=[24/50\ 4/50\ 22/50]$ 的行上出现黄色高亮。

图中对象

文档文本
行向量 $[q_1\ q_2\ q_3]$
黄色高亮

变化过程

$q$ 行在视觉上被强调

不变量

数值本身不发生变化

数学含义

高亮将注意力引向转换后的概率向量，同时讲师核验其各项之和是否为1。

光标追踪所讨论的公式

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
讲师讲解时，鼠标光标在所显示的公式、解的数值以及高亮的 $q$ 行之间移动。

待核验内容

光标的精确运动路径并非每一帧都完全清晰可辨。

图中对象

鼠标光标
方程组
解向量
高亮显示的概率行

变化过程

光标从方程组移向解，再移向 $q$ 行

不变量

底层文档内容保持固定

数学含义

指向动作有助于将口头讲解与屏幕上具体的公式对应起来。

文档滚动揭示了已解出的示例。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
一个名为06-NoArbitrage-ExtendedNotes.docx的Microsoft Word文档正向下滚动数页。
图示
观察依据
可见内容从三状态示例过渡到练习部分，再进入解答及新的练习标题。

图中对象

Word文档页面
三状态示例段落
练习标题
解答中的方程
最终看跌期权价格线
下一个练习标题

变化过程

画面从三状态定价例题开始。
约在41秒处，画面滚动至二维练习题陈述。
约在66–84秒处，解方程组与克莱姆法则计算过程居中显示。
约在96–120秒处，展示看跌期权收益分解及最终价格，随后开启另一道练习。

不变量

该内容以静态排版文档形式呈现，而非实时板书推导。
数学内容以印刷体公式与叙述性文字呈现。

数学含义

视觉演进顺序与授课顺序一致：先展示已完成的三状态定价例题，再引入一道新的两状态练习题，最后给出其解法与最终期权价格。

高亮已解出的状态价格向量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
黄色高亮出现在这句话上：“解为[psi_1,psi_2]=[ $1/3$ , $2/3$ ]。”
声音
观察依据
此时讲解者正在讨论已解出的状态价格及零无风险利率。

图中对象

解线
黄色高亮
光标

变化过程

解线变为高亮显示。
光标移至高亮表达式附近。

不变量

周围方程在屏幕上保持不变。

数学含义

该强调标记了后续看涨期权定价所需的关键中间结果。

向下滚动已写出的演算笔记

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
屏幕录制画面向下滚动一份 Word 文档，依次呈现题目陈述、其解答、第二道题目及其解答。
图示
观察依据
鼠标光标在公式与文字上移动，同时页面位置发生变化。

图中对象

Word 文档页面
练习题标题
矩阵公式
鼠标光标

变化过程

画面从此前一个看跌期权定价例题的末尾，移至一道新练习题。
继续向下滚动可看到第一道练习题的解答。
进一步滚动可看到第二道练习题及其完整手写式解答。

不变量

内容为静态排版文档，而非实时书写的笔迹。
数学符号在整个过程中始终保持矩阵和方程形式。

数学含义

视觉动效将课程组织为一系列示范例题：先完成一个定价计算，再考察一个新的市场，求解状态价格，最后将其转化为风险中性概率。

光标强调第一道习题的市场数据。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
光标悬停在第一道习题的 $S(0)$ 和 $S(1)$ 附近，同时讲师解释为何利率为零。

图中对象

$S(0)$ 等于 [1 1]
$S(1)$ 等于一个二乘二的矩阵，第一行是 1 和 1.50，第二行是 1 和 0.90
鼠标光标

变化过程

注意力从解题步骤重新回到给定的市场矩阵上。

不变量

屏幕上显示的数值条目不发生变化。

数学含义

视觉强调辅助口头论证： $S(1)$ 的第一列在各状态下保持恒定，由此识别出无风险证券，进而得出 $i=0$ 。

文档滚动

依据清楚

视频直接表达

来源依据

动画
观察依据
文档向下滚动以显示下一节内容。

图中对象

文档

变化过程

滚动位置

不变量

文档内容

数学含义

讲师正在进入讲座的下一部分。

易错点 · 9

将简化的三状态模型与真实的市场规模混淆

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说道：‘在现实世界中，数量不是三个，而是成千上万；但只要你能把它们列出来，就应该能进行计算。’

误区

有人可能认为真实的证券市场只有三个状态，因为本例中如此设定。

说明

视频明确指出，真实市场拥有成千上万个状态；三状态例子仅是一个便于教学的简化模型。

忽视银行账户本身也是一种有价格的证券

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说道：‘这是本市场中的第一种证券，即银行账户。第二种是证券X，第三种是证券Y。’

误区

有人可能仅将风险证券X和Y视作定价系统中的资产。

说明

视频将银行账户计为第一种证券，因此其支付结果构成了第一个定价方程。

零收益情形依然出现在定价方程中。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师在列方程时明确说出“零乘以 psi-three”以及“零乘以 psi-one 加上零乘以 psi-two 加上250psi-three”。
公式
观察依据
所展示的方程中，零系数仍保留为 $0\cdot\psi_3$ 和 $0\cdot\psi_1+0\cdot\psi_2$ 。

误区

在书写资产定价方程时，人们或许会完全省略零收益的情形。

说明

在此例题中，零收益情形仍以 $0\cdot\psi_3$ 或 $0\cdot\psi_1+0\cdot\psi_2$ 等形式保留在方程中，从而明确表明这些状态对资产当前价格毫无贡献。

混淆状态价格与概率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人明确提醒： $\psi$ -项之和并非1，因为这些不是概率，而是阿罗-德布鲁证券的价格。

误区

人们可能误以为 $(\psi_1,\psi_2,\psi_3)$ 本身就是一个概率向量。

说明

讲师指出： $\psi_j$ 是阿罗-德布鲁证券的价格，而非概率，因此其总和未必等于1。

关于矩阵‘非零’的说法不严谨。

时间近似

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人称，若该方程组的系数矩阵非零，则解唯一。

待核验内容

其本意几乎可以确定是行列式非零，但口头表述不够准确。

误区

称矩阵本身‘非零’，可能被误解为仅指它不是零矩阵。

说明

结合上下文，讲师实际采用的是系数矩阵判别法来判断解的唯一性，即矩阵非奇异（或行列式非零）。

混淆状态价格q与阿罗-德布鲁价格psi

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档分别显示[ $q_1$ , $q_2$ ]和[ psi_1, psi_2 ]，然后通过乘以( $1+i$ )将二者关联起来。
声音
观察依据
讲话者指出，在本例中无风险利率为零，因此二者重合。

误区

人们可能未经限定地认为 $q_s$ 与psi_s始终是同一对象。

说明

文档通过 $q_s$ = psi_s( $1+i$ )对二者加以区分。它们仅在此练习中重合，原因在于隐含的无风险利率为 $i = 0$ 。

假设当标的资产价格低于行权价时，看跌期权收益为负。

依据清楚

依据视频推导

来源依据

公式
观察依据
看跌期权的收益被表示为[0,0.20]^T，尽管第二项资产在不同状态间从1.20降至0.90。
声音
观察依据
说话人指出现金流为零和零点二。

误区

学习者可能错误地在低状态中记录一笔负的现金流，而非一笔正的期权收益。

说明

看跌期权收益为max( $K-S$ ,0)，因此当 $S=0.90$ 且 $K=1.10$ 时，收益为+0.20，而非−0.20。这一澄清是分析师对所展示结果的解释。

关于已解出的状态价格的口误

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师说道：“我们来求解，ψ 1 等于 1 6，ψ 2 等于 1 6。”
公式
观察依据
同一页上显示的解为 ψ₂= $5/6$ 和 ψ₁= $1/6$ 。

误区

仅从音频中，人们可能推断出ψ₁和ψ₂均等于 $1/6$ 。

说明

书面解答明确给出ψ₁= $1/6$ 且ψ₂= $5/6$ ；口述内容似为口误，应以所展示的代数推导为准。

混淆状态价格与风险中性概率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
第一道练习题显示[q₁ q₂]=[ψ₁( $1+i$ ) ψ₂( $1+i$ )]，继而等于[ $1/6 5/6$ ]，因为 $i=0$ 。
公式
观察依据
第二道练习题显示[q₁ q₂]=[ $1.1\cdot 20/33$ , $1.1\cdot 10/33$ ]=[ $2/3 1/3$ ]，不等于[ $20/33 10/33$ ]。

误区

由于第一个例子中q₁=ψ₁且q₂=ψ₂，人们可能误以为状态价格与风险中性概率在数值上总是相同的。

说明

二者仅在 $1+i=1$ 时重合，即无风险利率为零时成立。在第二个例子中， $i=10$ %，概率需通过将状态价格乘以1.1得到。

概念关系 · 20

证券X与Y的情景收益表 → 来自现有证券的线性定价方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
支付表之后，列出了由这些支付结果及共同价格100所构建的方程组。

应用

解释

X和Y在各状态下的支付数值被直接用作线性定价方程中的系数。

阿罗-德布鲁证券 → 状态价格向量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师将 $e_1$ 定义为在状态 1 支付 1，其余情况下支付 0 的证券，其价格为 psi_1。
公式
观察依据
解以向量形式写作[psi_1, psi_2, psi_3]。

包含

解释

状态价格向量由各状态对应的阿罗—德布鲁证券的价格汇编而成。

单期证券市场设定 → 在一个三状态单期市场中计算状态价格向量。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
习题陈述定义了市场，解答则依据该定义进行数值计算。

应用

解释

一般的一期市场描述在数值示例中被具体化，给出了特定的收益和价格。

含三种情景的单期证券市场设定 → 定义状态价格向量的线性方程组

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
收益表与当前价格之后紧接着展示了该方程组。
声音
观察依据
讲师直接依据表格条目及“每项资产今日价格均为100”这一陈述，逐个推导出各方程。

应用

解释

市场设定提供了收益与当前价格，这些数据被代入状态价格估值公式，从而生成该线性方程组。

定义状态价格向量的线性方程组 → 计算所得的状态价格向量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档在方程组后写明“解得：”，随后列出三个状态价格及该向量。

证明依赖

解释

所计算出的状态价格向量，依赖于首先依据市场数据推导出三个定价方程。

计算所得的状态价格向量 → 给定市场模型存在一个状态价格向量。

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
题目中关于存在性的问题，由所展示的已求解向量予以回答。

应用

解释

该显式解表明，对于给定的市场模型，存在一个状态价格向量。

一期证券市场模型设定 → 状态价格向量／阿罗-德布鲁价格

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
习题数据用于构建关于 $\psi_j$ 的所展示线性方程组。

应用

解释

单期市场模型提供资产价格与状态依存收益，再据此求解状态价格向量。

状态价格向量／阿罗-德布鲁价格 → 由状态价格导出的风险中性概率

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档明确定义了 $q_j=(1+i)\psi_j$ 。

推广

解释

风险中性概率由状态价格乘以 $1+i$ 得到；因此概率向量由状态价格向量导出。

状态价格解的唯一性 → 状态价格向量／阿罗-德布鲁价格

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师将解的唯一性与系数矩阵行列式非零联系起来。

证明依赖

解释

关于唯一性的这一论断，正是将所展示的 $\psi$ 向量视作该模型唯一状态价格向量的依据。

利用状态价格与折现收益定价 → 二维证券市场练习设定

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
第一部分指出，只要知道状态价格向量，就能为任意证券定价；接下来的练习则在两状态市场中应用了相同的逻辑。

应用

解释

在三状态示例中引入的一般状态价格定价规则，被应用于这个二维练习。

二维证券市场练习设定 → 由资产收益导出的状态价格方程

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
练习中给出的数据 $S(0)$ 、 $S(1)$ 被立即转化为关于 $ψ_1$ 和 $ψ_2$ 的方程组。

证明依赖

解释

练习中的数值化资产价格与收益，正是写出状态价格方程所需的输入。

由资产收益导出的状态价格方程 → 利用克莱姆法则计算状态价格向量

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档在展示该方程组后，紧接着写道：“由此（利用克莱姆法则）可得”。

证明依赖

解释

克莱姆法则是用于求解所展示线性方程组的方法。

问题定位 · 26

在一期间证券市场模型中，什么是状态价格向量？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
习题要求计算状态价格向量；解答展示了[psi_1, psi_2, psi_3]。

涉及知识点

状态价格向量
阿罗-德布鲁证券

如何从资产收益和当前价格推导出线性定价方程？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档列出了由现有价格结构所蕴含的三个方程。

涉及知识点

来自现有证券的线性定价方程
证券X与Y的情景收益表

为什么银行账户在每种状态下都贡献110？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师解释：将100存入银行账户，无论一期时发生何种情形，都将获得110。

涉及知识点

单期证券市场设定
无风险银行账户收益的解释

什么是阿罗-德布鲁证券？它与psi_1有何关系？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师将 $e_1$ 定义为支付 1 在状态 1 且 0 否则，价格为 psi_1。

涉及知识点

阿罗-德布鲁证券
状态价格向量

如何将一个单期收益表和当前价格转化为状态价格向量的方程？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师在该片段的大部分时间里，解释了三个方程中每个系数是如何从收益表和价格100得出的。

涉及知识点

含三种情景的单期证券市场设定
定义状态价格向量的线性方程组
从资产收益与当前价格推导定价系统

对于收益为（110,110,110）、（220,55,0）和（0,0,250），且所有证券当前价格均为100的市场，其状态价格向量是什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
最终显示的向量是 $\left[\frac{24}{55}\ \frac{4}{55}\ \frac{2}{5}\right]$ 。

涉及知识点

计算所得的状态价格向量
给定市场模型存在一个状态价格向量。

为什么零收益情形仍会出现在状态价格方程中？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所显示的方程中包含诸如 $0\cdot\psi_3$ 和 $0\cdot\psi_1+0\cdot\psi_2$ 这样的项。

涉及知识点

零收益情形依然出现在定价方程中。
定义状态价格向量的线性方程组

本题中 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ 代表什么？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人指出未知量即阿罗—德布鲁证券的价格。

涉及知识点

状态价格向量／阿罗-德布鲁价格

此处状态价格向量的解为何是唯一的？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
讲师通过检查系数矩阵的行列式来解释唯一性。

涉及知识点

状态价格解的唯一性
状态价格向量／阿罗-德布鲁价格

为什么 $\psi_j$ 不是概率，而 $q_j$ 是概率？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

声音
观察依据
主讲人将 $\psi$ 向量与 $q$ 向量进行对比，并验证仅后者之和等于1。

涉及知识点

状态价格向量／阿罗-德布鲁价格
由状态价格导出的风险中性概率
状态价格不是概率
变换后的向量是一个概率向量。

本片段中，如何由状态价格计算风险中性概率？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
文档展示了 $q_j=(1+i)\psi_j$ 。

涉及知识点

由状态价格导出的风险中性概率

如何依据市场数据建立状态价格的3-方程组？

依据清楚

视频直接表达

来源依据

公式
观察依据
所展示的方程组来源于对银行账户及两种证券的定价。

涉及知识点

一期证券市场模型设定
状态价格向量／阿罗-德布鲁价格

覆盖情况与待核验内容

已覆盖 · 习题陈述、收益表格以及对题目的初步阅读均可见且可听。

已覆盖 · 页面滚动以显示所呈现的方程组及已解出的状态价格向量。

已覆盖 · 讲师讲解银行账户行，介绍阿罗-德布鲁证券 $e_1$ ，并保持所显示的解值可见。

已覆盖 · 讲师解释了银行账户在每种状态下对应的收益110，并建立了第一个定价方程。

已覆盖 · 讲师根据证券X在三种状态下的收益220、55和0，以及其当前价格100，建立了证券X的定价方程。

已覆盖 · 讲师根据证券Y在三种状态下的收益0、0和250，以及其当前价格100，建立了证券Y的定价方程。

已覆盖 · 完整的方程组及求解得到的状态价格向量保留在屏幕上，此时讲师开始作总结性陈述。

已覆盖 · 题目陈述与所展示的状态价格3-方程组被引入。

已覆盖 · 讲师通过考察系数矩阵及其行列式来解释唯一性。

已覆盖 · 唯一解 $(24/55,4/55,2/5)$ 被直接读出。

已覆盖 · 讲师将状态价格转换为风险中性概率，并验证它们之和为1。

已覆盖 · 讲师开始说明该信息可用于计算价格，但视频片段在此处结束，尚未展开下一个应用。

已覆盖 · 开启三状态示例，展示状态价格向量，并对收益分别为 0、1、2 的证券定价，结果为 0.8727。

已覆盖 · 文档滚动至练习部分，陈述了两项资产、两种状态的市场，以及执行价为 1.10 的欧式看跌期权。

已覆盖 · 解答建立阿罗-德布鲁价格方程组，并用克拉默法则求解，得到 psi_1= $1/3$ 和 psi_2= $2/3$ 。

已覆盖 · 一则注释通过因子 $1+i$ 关联 q 与 psi，并指出此处 $i=0$ ，因此这两个向量重合。

已覆盖 · 看跌期权收益被分解为阿罗-德布鲁基底收益，并按 0·psi_1+0.2·psi_2= $2/15$ 定价；下一题的标题在末尾开始出现。

已覆盖 · 上一例题的结尾部分：看跌期权的收益向量、状态价格 [ $1/3$ , $2/3$ ]、期权价格 $2/15$ ，以及讲师指出这是标准的两状态计算。

已覆盖 · 第一道展示的习题：读取 $S(0)$ 和 $S(1)$ ，建立状态价格方程组，解出 [ $1/6$ , $5/6$ ]，并在无风险利率 $i=0$ 时计算风险中性概率。

已覆盖 · 概念性解释为何第一道习题中无风险利率为零：第一种证券在每种状态下支付金额相同。

已覆盖 · 第二道展示的习题：识别无风险利率 $i=10$ %，用克莱姆法则求解状态价格方程组，得到 [ $20/33$ , $10/33$ ]，再将其转换为风险中性概率 [ $2/3$ , $1/3$ ]。

已覆盖 · 状态价格向量的计算。

已覆盖 · 风险中性概率的计算。

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无套利应用定位 7:48
查看关联依据
Reviewed English material v3: knowledge_item "Arbitrage-free price of the put using state prices" at 7:48 至 8:00 — After decomposing the put payoff into Arrow-Debreu basis payoffs, the price is the same linear combination of the corresponding state prices. Since the state-1 payoff is 0 且 the state-2 payoff is 0.20, only psi_2 contributes. Substituting psi_2= $2/3$ gives price $0.2\cdot 2/3=0.4/3=2/15$ .
已审核中文素材 v3：knowledge_item「利用状态价格计算的无套利看跌期权价格」出现在 7:48 至 8:00——将看跌期权收益分解为阿罗-德布鲁基底收益后，其价格即为对应状态价格的相同线性组合。由于状态1下的收益为0、状态2下的收益为0.20，仅psi_2有贡献。代入psi_2= $2/3$ ，得价格为 $0.2\cdot 2/3=0.4/3=2/15$ 。

无套利定价练习

把讲解展开来看。

章节

学习解说文稿

知识卡片

单期证券市场示例

证券X与Y的收益表

状态价格向量定义

由资产收益导出的线性定价方程

该方程组的显示解

阿罗-德布鲁证券e1e_1e1​

本例题所用的单期市场数据

银行账户方程的构建方法

安全资产X方程式的构建方法

安全资产Y方程式的构建方法

求解得到的状态价格向量

习题中的一期市场模型

状态价格即阿罗—德布鲁价格

用于求解状态价格向量的线性方程组

由非零行列式保证唯一性

计算所得的状态价格向量

由状态价格导出的风险中性概率

为何ψ向量不是一个概率向量

验证q向量各项之和为1

状态价格定价法则

三状态实例演算

二维练习数据

由资产复制导出的阿罗-德布鲁方程

用克莱姆法则求解状态价格

详细学习笔记

110

Security X

Security Y

100

ψ1\psi_1ψ1​

ψ2\psi_2ψ2​

ψ3\psi_3ψ3​

[ψ1\psi_1ψ1​, ψ2\psi_2ψ2​, ψ3\psi_3ψ3​]

e1e_1e1​

ψ1\psi_1ψ1​

ψ2\psi_2ψ2​

ψ3\psi_3ψ3​

单期证券市场设定

证券X与Y的情景收益表

阿罗-德布鲁证券

状态价格向量

来自现有证券的线性定价方程

含三种情景的单期证券市场设定

定义状态价格向量的线性方程组

计算所得的状态价格向量

一期证券市场模型设定

状态价格向量／阿罗-德布鲁价格

由状态价格导出的风险中性概率

利用状态价格与折现收益定价

本例中存在状态价格向量

无风险银行账户收益的解释

给定市场模型存在一个状态价格向量。

状态价格解的唯一性

状态价格不是概率

变换后的向量是一个概率向量。

已知的状态价格向量决定了市场中所有证券的价格。

本练习中无风险利率为零。

由状态价格计算得出的看跌期权价格

二维（两状态）市场中的标准计算

在第一个展示的习题中，无风险利率为零。

在第二个展示的习题中，无风险利率为 10%。

从资产的收益与价格出发推导线性方程组

求解所显示的方程组，得到状态价格向量

从资产收益与当前价格推导定价系统

推导状态价格的线性方程组。

通过系数矩阵检验解的唯一性

求解状态价格

将状态价格转换为风险中性概率

三状态证券的数值定价

从无套利方程推导psi_1和psi_2。

由阿罗—德布鲁分解推导看跌期权价格。

由状态价格推导看跌期权价格

求解第一道练习题中的状态价格方程组。

在一个三状态单期市场中计算状态价格向量。

练习：计算一个三情景市场的状态价格向量。

阿罗-德布鲁证券 $e_1$

$\psi_1$

$\psi_2$

$\psi_3$

[ $\psi_1$ , $\psi_2$ , $\psi_3$ ]

$e_1$

$\psi_1$

$\psi_2$

$\psi_3$

本题中 $\psi_1,\psi_2,\psi_3$ 代表什么？

为什么 $\psi_j$ 不是概率，而 $q_j$ 是概率？