勾股定理

1. 图示
   观察依据

   在右上方的一般直角三角形示意图中，构成直角的一条直角边标记为 a。

2. 声音
   观察依据

   教师一边在公式中写下 $a^2$，一边说明 a 的平方表示这条直角边的平方。

a

直角三角形的两条直角边之一，即与直角相邻的一条边。

正实数长度；可与 b 互换，二者均可表示任一直角边。

1. 图示
   观察依据

   在同一张一般直角三角形示意图中，构成直角的另一条直角边标记为 b。

2. 声音
   观察依据

   教师一边写下 + $b^2$，一边说明“加上 b 的平方”，即这条直角边的平方。

b

直角三角形的另一条直角边，即与直角相邻的第二条边。

正实数长度；可与 a 互换，二者均可表示任一直角边。

1. 图示
   观察依据

   在一般三角形示意图中，位于直角标记（方块符号）对边的那条边标记为 c。

2. 声音
   观察依据

   教师指出直角对边为斜边，随后写下 = $c^2$。

c

直角三角形的斜边，即直角所对的那条边。

正实数长度；在直角三角形中，它是最长的一条边。

1. 图示
   观察依据

   在例①中，直角所对的边标记为x。

2. 公式
   观察依据

   解题过程中使用的方程右侧为$x^2$：$3^2 + 4^2 = x^2$。

3. 声音
   观察依据

   讲师指出，本例中我们将斜边简称为x，因此是x的平方。

x

例①中未知的斜边长度。

正实数；解得的值显示为$x = 5$。

1. 图示
   观察依据

   在例②中，一条与直角相邻的直角边标记为x。

2. 公式
   观察依据

   结尾附近写出的设定方程为$x^2 + 12^2 = 13^2$。

3. 声音
   观察依据

   讲师引入了另一个例子，本次要求解的是直角边。

1. 本片段内未得出x的最终数值结果。

x

例②中未知的直角边长度。

正实数；本片段内仅完成了设定方程。

1. 公式
   观察依据

   黑板上在一般三角形下方展示了$a^2 + b^2 = c^2$。

2. 声音
   观察依据

   教师陈述勾股定理：a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。

$a^2 + b^2 = c^2$

直角三角形中两条直角边与斜边之间的代数关系。

适用于边长为 a、b、c 的直角三角形，其中 c 位于直角的对边。

1. 公式
   观察依据

   变量 x 标注在第二个直角三角形的垂直直角边上，并出现在方程 $2^x + 12^2 = 13^2$ 中。

2. 声音
   观察依据

   说话者将 x 称为‘这条缺失的直角边’。

x

直角三角形中那条缺失的直角边的未知长度。

正实数（表示长度）。

1. 公式
   观察依据

   变量 a 标注在第一个直角三角形的垂直直角边上，且 $a = 3$；同时出现在通用公式 $a^2 + b^2 = c^2$ 中。

a

直角三角形一条直角边的长度。

正实数（表示长度）。

1. 公式
   观察依据

   变量 b 标注在第一个直角三角形的水平直角边上，且 $b = 4$；同时出现在通用公式 $a^2 + b^2 = c^2$ 中。

b

直角三角形另一条直角边的长度。

正实数（表示长度）。

1. 公式
   观察依据

   变量 c 标注在两个直角三角形的斜边上，并出现在通用公式 $a^2 + b^2 = c^2$ 中。

c

直角三角形斜边的长度。

正实数（长度）。

1. 图示
   观察依据

   画出一个直角三角形，直角处标有正方形标记；在此相交的两条边分别标注为 a 和 b，对边标注为 c。

2. 声音
   观察依据

   教师指出，组成直角的两条边称为直角边（或简称边），而位于直角对边、也是最长的那条边称为斜边。

在直角三角形中，构成直角的两条边是直角边，直角所对的边是斜边。视频明确指出斜边是最长的一条边。

1. 该三角形必须是直角三角形。

2. 斜边特指直角所对的那条边，而不仅仅是一条较长的边。

1. 公式
   观察依据

   黑板上在一般三角形下方显示 $a^2 + b^2 = c^2$。

2. 声音
   观察依据

   教师说，勾股定理告诉我们，a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方，即斜边的平方。

对于直角三角形，若两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，则两条直角边的平方和等于斜边的平方。

1. 该三角形是直角三角形。

2. a 和 b 表示两条直角边。

3. c 表示斜边，即直角所对的边。

1. 直角三角形的直角边与斜边

1. 动画
   观察依据

   在一般三角形的三边 a、b、c 上分别向外作正方形。

2. 声音
   观察依据

   讲解者从几何角度说明：若以每条边为边长作正方形并计算其面积，则两个较小正方形的面积之和等于第三个正方形的面积，即斜边的平方。

可通过在直角三角形三条边上分别作正方形来直观理解该定理：两条直角边上正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积。

1. 该解释适用于与定理相同的直角三角形情境。

2. 每个正方形的边长均等于其所对应的三角形边长。

1. 勾股定理的表述

1. 公式
   观察依据

   例题①中标注 $a = 3$，$b = 4$，$c = x$，则 $3^2 + 4^2 = x^2$，$9 + 16 = x^2$，$25 = x^2$，sqrt(25) = sqrt($x^2$)，且 $x = 5$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出：将数值代入勾股定理，化简后对等式两边同时开平方，即可解出 x。

当两条直角边已知而斜边未知时，将两条直角边分别赋值为 a 和 b，将未知的斜边赋值为 c，代入公式 $a^2 + b^2 = c^2$，化简后取正平方根，即可解出该边的长度。

1. 该三角形是直角三角形。

2. 未知量是直角所对的边。

3. 边长均取正值。

1. 勾股定理的表述
2. 直角三角形的直角边与斜边

1. 图示
   观察依据

   例②展示了一个直角三角形，其中一条直角边标为 x，另一条直角边标为12，斜边标为13。

2. 公式
   观察依据

   教师写出 $x^2 + 12^2 = 13^2$。

3. 声音
   观察依据

   他指出这是另一个求直角边的例子，并提醒学生要正确区分 a、b 和 c 的对应关系。

1. 视频片段在 x 的代数求解完成前就结束了。

当一条直角边未知时，仍应将该未知直角边与另一条直角边一同放在等式左侧，斜边放在右侧。第二个例子中即得到 $x^2 + 12^2 = 13^2$。

1. 该三角形是直角三角形。

2. 未知数 x 是一条直角边，而非斜边。

3. 13是直角所对的边。

1. 勾股定理的表述
2. 直角三角形的直角边与斜边

1. 公式
   观察依据

   一般公式 $a^2 + b^2 = c^2$ 写在白板上，旁边配有一幅直角三角形各边向外作正方形的示意图。

2. 声音
   观察依据

   主讲人通过建立方程 $x^2 + 12^2 = 13^2$ 来应用该定理，其中直角三角形的两条直角边分别为 x 和 12，斜边为 13。

勾股定理指出：在直角三角形中，斜边（即直角所对的边）长度的平方，等于另外两条直角边（即两条直角边）长度的平方和。

1. 该三角形必须是直角三角形。

2. a 和 b 表示两条直角边的长度。

3. c 表示斜边的长度。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：‘现在我们只需将 x 的平方单独留在等式一边。因此，我们在等式两边同时减去 144。’

2. 公式
   观察依据

   解题步骤显示：先在等式两边同时减去 144，得到 $x^2 = 25$；再对等式两边同时开平方，得到 $x = 5$。

为在方程中分离出某个变量，需在等式两边同时施行逆运算。本例中，用减法分离出平方项，再用开平方运算解出该变量。

1. 为保持等式成立，运算必须同时施加于等式的两边。

1. 勾股定理

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $a^2 + b^2 = c^2$。

2. 声音
   观察依据

   教师口头陈述该定理：a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。

若 a 和 b 是一个直角三角形的两条直角边，c 是斜边，则 $a^2 + b^2 = c^2$。

1. 该图形是一个直角三角形。

2. a 和 b 是构成直角的两条边。

3. c 是直角所对的边。

对于任意一个直角边为 a、b，斜边为 c 的直角三角形。

1. 声音
   观察依据

   教师将直角对面的那条最长边称为斜边。

2. 图示
   观察依据

   标为 c 的边在图中位于直角标记的对边。

在视频的讲解中，斜边被认定为直角三角形中最长的一条边。

1. 该三角形是一个直角三角形。

2. 正在讨论的这条边位于直角的对边。

针对本片段中展示并讨论的直角三角形。

1. 公式
   观察依据

   黑板依次显示 $3^2 + 4^2 = x^2$，然后 $9 + 16 = x^2$，然后 $25 = x^2$，然后 sqrt(25) = sqrt($x^2$)，最后 $x = 5$。

2. 声音
   观察依据

   教师口述了代入、化简、相加以及对等式两边同时开平方根的过程。

1. 公式

   $$a = 3,\ b = 4,\ c = x$$
   解释

   在第一个三角形中，识别已知的两条直角边和未知的斜边。

   步骤依据

   图中标注的边名与定理中的角色一致：构成直角的两条边分别是 3 和 4，其对边为 x。

   视频直接表达
2. 公式

   $$3^2 + 4^2 = x^2$$
   解释

   将各边长度代入勾股定理。

   步骤依据

   这直接源于 $a^2 + b^2 = c^2$，其中令 $a = 3$，$b = 4$，$c = x$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$9 + 16 = x^2$$
   解释

   计算等式左边的平方。

   步骤依据

   算术化简：$3^2 = 9$，且$4^2 = 16$。

   视频直接表达
4. 公式

   $$25 = x^2$$
   解释

   将等式左边的两个数相加。

   步骤依据

   算术化简：$9 + 16 = 25$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\sqrt{25} = \sqrt{x^2}$$
   解释

   对等式两边同时开平方根，以解出 x。

   步骤依据

   教师明确指出，需对等式两边同时开平方根，从而将 x 单独分离出来。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x = 5$$
   解释

   得出斜边长度。

   步骤依据

   由于$25 = 5^2$，且此处语境为三角形的边长，故取正平方根。

   视频直接表达

例①中未知的斜边为 $x = 5$。

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示第二个三角形的等式为 $x^2 + 12^2 = 13^2$。

2. 声音
   观察依据

   教师提醒：a 和 b 是构成直角的两条边，而位于直角对面的那条边是 c 边。

1. 视频片段结束前未再展示任何进一步的代数步骤。

1. 公式

   $$\text{legs: } x,\ 12;\ \text{hypotenuse: } 13$$
   解释

   在第二个三角形中，识别哪两条边是直角边，哪一条边是斜边。

   步骤依据

   直角标记位于标有 x 和12的两边之间，而13位于该直角标记的对边。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x^2 + 12^2 = 13^2$$
   解释

   将这些标注代入勾股定理。

   步骤依据

   使用 $a^2 + b^2 = c^2$，其中 a 和 b 是直角边，c 是斜边，得到此方程。

   视频直接表达

第二个例题的正确方程是 $x^2 + 12^2 = 13^2$；本片段中未完成 x 的求解。

1. 公式
   观察依据

   分步代数运算过程写在白板上：$x^2 + 12^2 = 13^2$, $x^2 + 144 = 169$, $x^2 = 25$, $\sqrt{x^2} = \sqrt{25}$, $x = 5$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人逐步口述计算过程，包括对数字进行平方、在等式两边同时减去144，以及开平方根。

1. 公式

   $$x^2 + 12^2 = 13^2$$
   解释

   利用直角三角形给定的边长，列出勾股定理方程。

   步骤依据

   勾股定理的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x^2 + 144 = 169$$
   解释

   计算已知边长的平方。

   步骤依据

   算术运算求值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x^2 = 25$$
   解释

   在等式两边同时减去144，以分离出$x^2$。

   步骤依据

   代数运算（等式的减法性质）。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\sqrt{x^2} = \sqrt{25}$$
   解释

   对等式两边同时开平方根，以解出x。

   步骤依据

   代数运算（平方根性质）。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x = 5$$
   解释

   计算25的平方根。

   步骤依据

   算术运算。

   视频直接表达

缺失直角边x的长度为5。

1. 图示
   观察依据

   例题①是一个直角三角形，其直角边为3和4，斜边为 x。

2. 公式
   观察依据

   黑板上已写出的演算步骤为：$3^2 + 4^2 = x^2$，$9 + 16 = x^2$，$25 = x^2$，sqrt(25) = sqrt($x^2$)，$x = 5$。

3. 声音
   观察依据

   教师说：“让我用第一个例题向你们展示这是如何运算的”，随后口述代入与开平方根的步骤。

已知一个直角三角形，其直角边为3和4，求斜边 x。

1. 直角三角形。

2. 两条直角边的长度分别为3和4。

3. 未知边 x 位于直角的对边。

求斜边 x 的长度。

1. 公式

   $$a = 3,\ b = 4,\ c = x$$
   解释

   将已知的两条直角边分别赋给 a 和 b，将未知的斜边赋给 c。

   步骤依据

   这与本片段前文所用的直角边与斜边的定义一致。

   视频直接表达
2. 公式

   $$3^2 + 4^2 = x^2$$
   解释

   代入勾股定理。

   步骤依据

   直接应用公式 $a^2 + b^2 = c^2$。

   视频直接表达
3. 公式

   $$9 + 16 = x^2$$
   解释

   对两条直角边的长度分别进行平方。

   步骤依据

   基础算术化简。

   视频直接表达
4. 公式

   $$25 = x^2$$
   解释

   将两条直角边的平方值相加。

   步骤依据

   对应的式子为：$9 + 16 = 25$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\sqrt{25} = \sqrt{x^2}$$
   解释

   对等式两边同时开平方根。

   步骤依据

   教师指出这是将 x 单独解出的方法。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x = 5$$
   解释

   读出正数解。

   步骤依据

   边长为正数，因此相关的根是5。

   视频直接表达

x 等于5

代入验证：$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，因此结果满足勾股定理。

1. 图示
   观察依据

   例②是一个直角三角形，其中一条直角边为 x，另一条直角边为12，斜边为13。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $x^2 + 12^2 = 13^2$。

3. 声音
   观察依据

   教师说：‘我再给大家演示一个求直角边的例子’，并提醒大家要正确区分 a、b 和 c。

1. 视频片段在解出 x 之前就结束了。

已知一个直角三角形，其中一条直角边为 x，另一条直角边为12，斜边为13，请列出关于 x 的勾股定理方程。

1. 直角三角形。

2. 一条直角边未知，标记为 x。

3. 另一条直角边是12。

4. 直角所对的边是13。

写出使用勾股定理的正确方程。

1. 公式

   $$\text{legs: } x,\ 12;\ \text{hypotenuse: } 13$$
   解释

   代入前先明确各边在定理中的角色。

   步骤依据

   教师强调，a 和 b 是构成直角的两条边，c 是直角所对的边。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x^2 + 12^2 = 13^2$$
   解释

   将边长代入 $a^2 + b^2 = c^2$。

   步骤依据

   这是定理的直接应用，且未知数位于两条直角边之中。

   视频直接表达

x 的 2 次方加 12 的 2 次方等于 13 的 2 次方

该设定与图示一致，因为13位于直角标记的对边，因此必须出现在方程的斜边一侧。

1. 公式
   观察依据

   画出一个直角三角形，其中竖直直角边标记为x，水平直角边标记为12，斜边标记为13。

2. 声音
   观察依据

   说话者解出x，并总结道：‘这就是此处缺失的直角边。’

求一个直角三角形中缺失直角边（x）的长度，已知一条直角边为12，斜边为13。

1. 直角三角形的两条直角边分别为x和12，斜边为13。

确定x的值。

1. 公式

   $$x^2 + 12^2 = 13^2$$
   解释

   应用勾股定理。

   步骤依据

   定理应用。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x^2 + 144 = 169$$
   解释

   对已知数值进行平方。

   步骤依据

   算术。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x^2 = 25$$
   解释

   两边同时减去144。

   步骤依据

   代数运算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x = 5$$
   解释

   对两边同时开平方根。

   步骤依据

   代数运算。

   视频直接表达

x 等于5

验证是否满足 $5^2 + 12^2 = 13^2$：$25 + 144 = 169$，成立。

1. 图示
   观察依据

   图中展示了一个一般直角三角形，直角处标有正方形标记，三条边分别标注为 a、b、c。

2. 声音
   观察依据

   教师指出构成直角的两条边以及直角所对的边。

1. 直角三角形

2. 直角标记（方块形）

3. 标注为 a、b、c

1. 教师首先引导观众关注构成直角的两条边。

2. 接着，注意力转向直角所对的那条边。

1. 在整个标注过程中，该三角形始终保持为直角三角形。

2. 直角所对的边始终被标识为 c。

该图示确立了公式中采用的约定：a 和 b 是直角边，c 是斜边。

1. 动画
   观察依据

   在一般三角形的边 a、边 b 和边 c 上分别向外作正方形。

2. 声音
   观察依据

   教师描述如何以每条边为边长构造正方形，计算各正方形的面积，并将两个较小正方形的面积相加，使其等于第三个正方形的面积。

1. 直角三角形

2. 边 a 上的正方形

3. 边 b 上的正方形

4. 边 c 上的正方形

1. 在边 a 上添加一个正方形。

2. 在边 b 上添加一个正方形。

3. 在边 c 上添加一个更大的正方形。

1. 每个正方形都与对应三角形的一条边共用一条边。

2. 图中所展示的关系是这三个正方形面积之间的关系。

该图形从面积恒等式的角度，直观呈现了 $a^2 + b^2 = c^2$。

1. 图示
   观察依据

   例①展示了一个两条直角边分别为3和4、斜边为 x 的直角三角形。

2. 公式
   观察依据

   黑板上逐步写出解题过程，从 $3^2 + 4^2 = x^2$ 一直推导至 $x = 5$。

1. 三角形①

2. 方程演算行

3. 最终圈出的答案为 $x = 5$

1. 未知的斜边在概念上被重新标记为 $c = x$。

2. 连续的代数演算行写在三角形下方。

3. 最终结果 $x = 5$被突出强调。

1. 三角形给出的两条直角边长度仍为 3 和 4。

2. 未知量仍是直角所对的边。

该视觉序列展示了将数值代入勾股定理、随后化简并开平方根的过程。

1. 图示
   观察依据

   例题②展示了一个直角三角形，其一条直角边为 x，另一条直角边为 12，斜边为 13。

2. 公式
   观察依据

   仅写出设定式 $x^2 + 12^2 = 13^2$，随后片段结束。

1. 本片段中，除列式外无其他解题步骤可见。

1. 三角形②

2. 标注为 x、12、13

3. 方程为 $x^2 + 12^2 = 13^2$

1. 注意力从第一个已解出的例子转移到一个新的三角形上。

2. 教师再次明确各边所对应的角色。

3. 方程已列出，但在本片段中未在屏幕上求解。

1. 13仍表示对直角的边。

2. x 仍表示其中一条直角边。

此图示与例①形成对比：例①中未知数位于方程的斜边一侧，而本例中未知数位于直角边一侧。

1. 图示
   观察依据

   白板上显示标题“勾股定理”，两个带编号的直角三角形例题，以及一个通用图示——直角三角形三边上分别画有正方形，并附公式 $a^2 + b^2 = c^2$。

1. 标题文字

2. 两个直角三角形例题

3. 勾股定理通用图示

4. 代数方程

1. 主讲人逐步写出第二个例题的解法。

1. 第一个例题及通用图示在黑板上保持不变。

视觉布局为当前所解的具体问题提供背景，既强化了通用定理，又展示了一个此前已解出的例题。

1. 动画
   观察依据

   视频过渡至结束画面：青绿色背景、主讲人较小的视频窗口，以及文字提示“接下来学习”、“通过我的课程提升”、“订阅”，并配有一个红色箭头。

1. 青绿色背景

2. 较小的视频窗口

3. 文字提示

4. 红色箭头

1. 主黑板画面被结束画面布局取代。

1. 主讲人在较小的视频窗口中继续讲解。

这一视觉变化标志着教学内容的结束，并为观众提供后续行动指引。

1. 声音
   观察依据

   教师指出，这种情况有时会让学生感到困惑，并强调务必正确区分 a、b 和 c 的对应关系。

2. 声音
   观察依据

   他补充道，将任意一条直角边称为 a 或 b 都无所谓，但关键在于：位于直角对面的那条边必须是 c 边。

学生可能错误地将未知边指定为 c，或误以为 a 和 b 的标签必须对应固定的位置。

视频明确指出，a 和 b 可以互换，因为它们只是两条直角边；而 c 则必须始终是直角所对的那条边。

1. 声音
   观察依据

   讲师明确将例②引入为求解直角边的问题，以此与前一个例子形成对比。

2. 公式
   观察依据

   列式时，左边为 $x^2$ 与 $12^2$，右边为 $13^2$。

学习者可能默认未知边总是斜边，或总该放在等式的右侧。

第二个例子表明：当未知边是一条直角边时，它应与另一条直角边一同放在 $a^2 + b^2 = c^2$ 的左侧。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说道：“现在，有时你在解这类题目时，会遇到一个无法化简的平方根，此时你必须化简这个根式。”

学生可能误以为在勾股定理中开平方根的结果总是整数。

通常，结果是一个无理数，或是一个需要化简的根式（例如：$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$）。

1. 声音
   观察依据

   讲师在写出 $a^2 + b^2 = c^2$ 之前，立即定义了直角边与斜边。

2. 图示
   观察依据

   定义和公式中使用的是同一个三角形标注方式。

正确运用该定理的前提，是先准确识别出哪些边是直角边、哪条边是斜边。

1. 公式
   观察依据

   代数恒等式 $a^2 + b^2 = c^2$ 已写在黑板上。

2. 动画
   观察依据

   接着，教师在三角形的三条边上分别作正方形，并讲解面积解释。

面积图示是对同一命题的几何解释，而该命题以代数形式书写。

1. 公式
   观察依据

   例①将 3、4 和 x 代入等式 $a^2 + b^2 = c^2$。

2. 声音
   观察依据

   教师说：‘我来用第一个例子演示一下这个过程。’

第一个例题应用该定理，由两条已知直角边求未知斜边。

1. 声音
   观察依据

   讲完例①后，教师说：‘我再展示另一个例子，这次要求解的是直角边。’

2. 公式
   观察依据

   例②将未知量的位置从斜边改为一条直角边。

第二个例题与第一个形成对比：它求解的是直角边而非斜边，说明在图中识别哪条边是关键，而变量在图中的位置并不重要。

1. 声音
   观察依据

   主讲人从陈述定理过渡到执行代数运算，以分离出未知变量。

利用勾股定理求直角三角形中缺失边的长度，需运用代数方法将未知变量单独分离出来。

1. 声音
   观察依据

   主讲人提到，有时平方根运算的结果需要化简一个根式。

尽管该定理涉及平方根运算，但其结果并不总是一个简单的整数，这与‘结果总是整数’这一误解形成对比。

1. 声音
   观察依据

   教师将直角所对的边定义为斜边。

2. 图示
   观察依据

   标记为 c 的边位于直角符号的对边。

1. 直角三角形的直角边与斜边

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 a 的2次方加 b 的2次方等于 c 的2次方。

2. 声音
   观察依据

   教师口头陈述该定理。

1. 勾股定理的表述

1. 动画
   观察依据

   在三条边上分别作正方形。

2. 声音
   观察依据

   教师解释：两个较小正方形的面积之和等于较大正方形的面积。

1. 该定理的几何面积解释
2. 勾股定理的表述

1. 公式
   观察依据

   例题解答最终得出 $x = 5$。

2. 声音
   观察依据

   教师说：‘现在我们知道了这条斜边的长度。’

1. 已知两条直角边求斜边的方法
2. 已知直角边3和4，求斜边

1. 公式
   观察依据

   第二个例子列式为 x 的2次方加12的2次方等于13的2次方。

2. 声音
   观察依据

   教师指出：这是一个求直角边的例题。

1. 当一条直角边未知时，如何列勾股定理方程
2. 当一条直角边未知时，列出方程。
3. 混淆哪条边是 c

1. 声音
   观察依据

   教师指出，称这条边为a、这条边为a、这条边为b或这条边为b都无所谓，但直角所对的那条边一定是c边。

1. 直角三角形的直角边与斜边
2. 混淆哪条边是 c

1. 声音
   观察依据

   整个片段演示了如何求缺失的直角边。

1. 勾股定理
2. 求解代数方程
3. 求缺失直角边
4. 例2的推导过程

1. 公式
   观察依据

   公式 $a^2 + b^2 = c^2$ 被显著展示。

1. 勾股定理

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确提到，会得到一个无法再化简的平方根，并需要对根式进行化简。

1. 错误假设平方根运算结果总是整数