贝叶斯定理的简洁证明｜3Blue1Brown

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了概率论证中的一个事件；视觉上与黄色区域/圆圈相关联。。

2. 公式
   观察依据

   A 出现在 P(A)、P(A and B)、P(A|B) 中，并以黄色编码。

3. 图示
   观察依据

   A 由一个黄色圆圈表示，后来在样本空间正方形内表示为黄色垂直区域。

A

概率论证中的一个事件；视觉上与黄色区域/圆圈相关联。

概率空间中的事件

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了概率论证中的一个事件；视觉上与蓝色区域/圆圈相关联。。

2. 公式
   观察依据

   B 出现在 P(B)、P(A and B)、P(B|A) 中，并以蓝色编码。

3. 图示
   观察依据

   B 由一个蓝色圆圈表示，后来在样本空间正方形内表示为蓝色水平区域。

B

概率论证中的一个事件；视觉上与蓝色区域/圆圈相关联。

概率空间中的事件

1. 公式
   观察依据

   P(·) 在整个过程中用于概率，如 P(A)、P(B)、P(A and B)、P(A|B) 和 P(B|A)。

P

概率算子。

适用于事件或条件事件

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了两个事件的逻辑合取，对应于两个事件都发生。。

2. 公式
   观察依据

   明确显示了表达式 P(A and B)。

and

两个事件的逻辑合取，对应于两个事件都发生。

用于 P(A and B) 内部

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了条件概率分隔符，读作“给定”。。

2. 公式
   观察依据

   明确显示了记号 P(B|A) 和 P(A|B)。

|

条件概率分隔符，读作“给定”。

用于 P(A|B) 和 P(B|A) 内部

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了事件 A 的概率。。

2. 公式
   观察依据

   P(A) 出现在乘积 P(A)P(B|A) 中以及重排公式的分母中。

3. 图示
   观察依据

   它由右侧正方形中黄色垂直条带下方的花括号标记。

P(A)

事件 A 的概率。

[0,1] 内的实数

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了事件 B 的概率。。

2. 公式
   观察依据

   P(B) 出现在乘积 P(B)P(A|B) 中以及另一个重排公式的分母中。

3. 图示
   观察依据

   它由左侧正方形中蓝色水平条带旁边的花括号标记。

P(B)

事件 B 的概率。

[0,1] 内的实数

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了A 和 B 都发生的联合概率。。

2. 公式
   观察依据

   P(A and B) 显示为等式链中的中间项。

3. 图示
   观察依据

   它对应于维恩图中的重叠区域以及正方形图中的绿色相交矩形。

P(A and B)

A 和 B 都发生的联合概率。

[0,1] 内的实数

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了给定 A 的 B 的条件概率。。

2. 公式
   观察依据

   P(B|A) 出现在 P(A)P(B|A) 的右侧，并在除以 P(A) 后作为孤立结果出现。

3. 图示
   观察依据

   它由右侧正方形中黄色条带下部沿线的花括号指示。

P(B|A)

给定 A 的 B 的条件概率。

取值在0与1之间（含两端）；条件事件A的概率须大于0。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了给定 B 的 A 的条件概率。。

2. 公式
   观察依据

   P(A|B) 出现在 P(B)P(A|B) 的右侧，并在除以 P(B) 后作为孤立结果出现。

3. 图示
   观察依据

   它由左侧正方形中蓝色条带左部沿线的花括号指示。

P(A|B)

给定 B 的 A 的条件概率。

取值在0与1之间（含两端）；条件事件B的概率须大于0。

1. 图示
   观察依据

   文本“Space of all possibilities”出现在灰色正方形内。

Space of all possibilities

面积模型中使用的完整样本空间正方形的标签。

视觉标签而非代数符号

1. 公式
   观察依据

   值 (1/21) 放置在最终数值示例中 P(B) 的上方。

(1/21)

分配给 P(B) 的示例数值。

有理数

1. 公式
   观察依据

   屏幕显示 P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B)。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了贝叶斯定理公式。

该片段将贝叶斯定理呈现为联合概率恒等式的重排，用另一个条件概率和边缘概率来表示一个条件概率。

1. A 和 B 是事件。

2. 显示的重排要求 P(B)\neq 0。

3. 对称显示的恒等式中两个条件事件都有正概率，因此两个普通条件概率和两种除法形式都有定义。

1. 作为两个等价乘积的联合概率

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了作为两个等价乘积的联合概率。

2. 公式
   观察依据

   顶行显示 P(B)P(A|B)=P(A and B)=P(A)P(B|A)。

3. 图示
   观察依据

   正方形图中显示了同一绿色重叠区域的两种面积分解。

该片段的核心事实是，A 和 B 都发生的概率可以以两种对称的方式分解：先取 A，然后取 A 内部的 B 部分；或者先取 B，然后取 B 内部的 A 部分。

1. A 和 B 是同一概率空间中的事件。

2. 对称显示的恒等式中两个条件事件都有正概率，因此两个普通条件概率和两种除法形式都有定义。

1. 作为受限比例的条件概率

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了作为受限比例的条件概率。

2. 图示
   观察依据

   右侧正方形将 P(A) 标记为垂直条带，将 P(B|A) 标记为该条带的下部比例；左侧正方形将 P(B) 标记为水平条带，将 P(A|B) 标记为该条带的左侧比例。

在该片段中，P(B|A) 被解释为 A 区域中也位于 B 中的分数，而 P(A|B) 被解释为 B 区域中也位于 A 中的分数。视觉模型将条件化视为限制注意力到一个区域，然后测量其内部的子区域。

1. 对于 P(B|A)，旁白隐含地限制在 A 为真的情况。

2. 对于 P(A|B)，旁白隐含地限制在 B 为真的情况。

3. 对称显示的恒等式中两个条件事件都有正概率，因此两个普通条件概率和两种除法形式都有定义。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了联合事件“A and B”的对称性。

2. 公式
   观察依据

   等式链将 P(A and B) 放在两个乘积表达式之间的中间位置。

证明方法是观察到事件“A and B”与“B and A”相同，因此其概率的任何有效分解必须一致。这种对称性迫使两个乘积公式相等，并在除法后得出贝叶斯定理。

1. 该论证使用了事件逻辑合取的交换律。

1. 作为两个等价乘积的联合概率

1. 图示
   观察依据

   重叠圆圈的维恩图被转换为两个正方形面积模型，标记为 P(A)、P(B)、P(A|B) 和 P(B|A)。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了贝叶斯定理的面积模型推导。

该片段通过将整个样本空间表示为正方形，事件区域表示为条带，交集表示为较小的矩形，从而几何地证明了定理。相同的交集面积以两种不同的顺序计算，给出了代数恒等式。

1. 可视化假设概率可以用相对面积表示。

1. 作为两个等价乘积的联合概率
2. 作为受限比例的条件概率

1. 公式
   观察依据

   原片展示 A、B 记号的贝叶斯恒等式；H、E 是配套的假设和证据记号。

贝叶斯定理描述了基于可能与事件相关的条件的先验知识来计算该事件的概率。

1. 这里的通常事件条件概率要求 P(H)>0 且 P(E)>0。

1. 公式
   观察依据

   P(A and B) ???= P(A)P(B)

两个独立事件的联合概率是它们各自概率的乘积。

1. 事件 A 和 B 是独立的。

1. 公式
   观察依据

   修正后的公式 P(A and B) = P(A)P(B|A) 显示并带有绿色对勾。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了联合概率的一般乘法法则。

对于具有正概率的事件 A 的普通条件化，无论事件是否独立，联合概率均为 P(A)P(B|A)。条件概率是对事件的有条件化，不需要时间顺序或因果效应。

1. 条件事件 A 具有正概率以适用普通条件公式。

2. 不需要独立性。

1. P(A and B)
2. P(A)
3. P(B|A)

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了统计独立性的定义。

2. 图示
   观察依据

   展示了硬币翻转网格（HH, HT, TH, TT）和骰子滚动网格作为满足此条件的示例。

当事件的联合概率等于其边缘概率的乘积时，这些事件是独立的。当 A 具有正概率时，这等价于 P(B|A)=P(B)。独立性不仅限于硬币或骰子，仅凭公平性并不能确立独立性。

1. 条件等式要求 A 具有正概率。

2. 边缘概率乘积的定义也涵盖零概率事件。

3. 独立的公平硬币和骰子试验是示例，而非唯一可能的独立事件。

1. P(B)
2. P(B|A)

1. 公式
   观察依据

   逐步视觉推导构建了方程 P(π|+) = [P(π)P(+|π)] / P(+)。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了贝叶斯定理。

概率论中的一个基本定理，描述了基于可能与该事件相关的条件的先验知识来计算事件的概率。它允许计算反向条件概率，例如通过使用给定生病的检测结果的似然性和生病的先验概率来找出给定阳性检测结果的生病概率。

1. 两个事件概率均为正，以适用此对称公式中显示的普通条件概率。

2. 图示应用涉及测试；贝叶斯定理对独立事件仍然有效，此时后验概率等于先验概率。

1. P(π|+)
2. P(π)
3. P(+|π)
4. P(+)

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了贝叶斯定理源于两个联合概率分解的相等性。

2. 公式
   观察依据

   屏幕将等式重写为 P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)，然后重写为 P(B)P(A|B)/P(A)=P(B|A)。

从 P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)，得到 P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B) 且等价地 P(B|A)=P(B)P(A|B)/P(A)。

1. A 和 B 是事件。

2. 对于显示的除法形式，相关分母概率非零：第一个重排需要 P(B)\neq 0，第二个需要 P(A)\neq 0。

3. 这里使用的普通条件概率中，A 和 B 都有正概率。

对于同一概率空间中具有正概率的事件 A 和 B。

1. 公式
   观察依据

   顶部方程明确陈述 P(B)P(A|B)=P(A and B)=P(A)P(B|A)。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了P(A and B) 的两个乘积分解的相等性。

P(B)P(A|B)=P(A and B)=P(A)P(B|A)。

1. A 和 B 是同一概率空间中的事件。

2. 这里使用的普通条件概率中，A 和 B 都有正概率。

对于同一概率空间中具有正概率的事件 A 和 B。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了相关性影响联合概率。

如果两个事件是相关的，联合概率并不简单地等于它们各自概率的乘积。

1. 事件 A 和 B 是相关的。

对于所有相关的事件 A 和 B。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了游戏化示例展示真正的独立性。

2. 图示
   观察依据

   画面显示100次投掷的反面计数概率直方图，集中在50附近；独立公平投掷下的精确有限计数分布是二项分布，并非连续正态分布。

源材料使用标准的独立硬币和骰子模型来警告不要自动将独立性应用于每个应用。公平性和独立性是不同的假设。

1. 这些示例假设试验是独立的；仅凭公平性是不够的。

许多入门级示例。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了依赖性使条件更新具有信息量。

2. 公式
   观察依据

   使用医学测试符号（π 和 +）推导贝叶斯定理。

旁白强调了证据和假设相互依赖的应用。这是教学动机，而非对贝叶斯定理的限制：该定理对独立事件也有效，且后验概率无变化。

1. 显示的反向条件概率是有定义的。

有用的条件更新的动机，而非要求依赖性的定理。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了从“and”的对称性证明贝叶斯定理。

2. 公式
   观察依据

   屏幕显示链 P(B)P(A|B)=P(A and B)=P(A)P(B|A)，然后重排为 P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)，接着重排为 P(B)P(A|B)/P(A)=P(B|A)。

3. 图示
   观察依据

   两个正方形分解直观地表示了以两种顺序计算的相同交集面积。

1. 视频没有在屏幕或语音中明确说明分母非零假设。

2. 从等式链到除法形式的转换在视觉上显示，但没有逐步口头证明。

3. 编辑条件：对于这个对称的普通条件证明，两个条件事件都有正概率。实际来源省略了明确的条件。

1. 公式

   $$P(A\text{ and }B)=P(A)P(B|A)$$
   解释

   通过首先取所有情况中 A 为真的总体比例，然后乘以那些 A 情况中 B 也为真的比例，来计算两个事件都发生的概率。

   步骤依据

   旁白将 P(A) 定义为所有可能性中 A 为真的比例，将 P(B|A) 定义为那些事件中 B 也为真的比例。

   视频直接表达
2. 公式

   $$P(A\text{ and }B)=P(B)P(A|B)$$
   解释

   通过首先取所有情况中 B 为真的总体比例，然后乘以那些 B 情况中 A 也为真的比例，来计算相同的联合概率。

   步骤依据

   旁白明确地交换了 A 和 B 的角色，镜像了之前的分解。

   视频直接表达
3. 公式

   $$P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$$
   解释

   由于两个乘积都等于相同的联合概率，它们彼此相等。

   步骤依据

   对 P(A and B) 的两个表达式应用等式的传递性。

   视频直接表达
4. 公式

   $$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
   解释

   通过两边除以 P(B) 来求解等式中的 P(A|B)。

   步骤依据

   前一个等式的代数重排；片段直接显示了这种形式。

   视频直接表达
5. 公式

   $$P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$$
   解释

   或者，通过两边除以 P(A) 来求解同一个等式中的 P(B|A)。

   步骤依据

   同一个等式的代数重排；片段直接显示了第二种形式。

   视频直接表达

贝叶斯定理作为联合概率 P(A and B) 的对称恒等式的重排获得。

1. 公式
   观察依据

   最终屏幕在方程 P(B)P(A|B)/P(A)=P(B|A) 中用 (1/21) 注释 P(B)，用 (4/10) 注释 P(A|B)，用 (24/210) 注释 P(A)。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了代入重排的贝叶斯恒等式的数值示例。

1. 简化结果在片段中没有被说出或明确显示。

2. 特定数字的来源在此片段中没有解释。

1. 公式

   $$\frac{(1/21)(4/10)}{24/210}=P(B|A)$$
   解释

   将显示的示例值代入 P(B|A) 的重排公式中。

   步骤依据

   直接用屏幕上注释的有理数替换符号。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\frac{4/210}{24/210}=P(B|A)$$
   解释

   乘以分子分数。

   步骤依据

   有理数的标准算术。

   依据视频推导
3. 公式

   $$P(B|A)=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\approx 0.1667$$
   解释

   消去公分母 210 并简化剩余分数。

   步骤依据

   视频中没有明确写出的算术简化。

   依据视频推导

使用显示的示例值，结果条件概率为 P(B|A)=1/6≈0.1667。

1. 公式
   观察依据

   画面显示：给定放大镜时书本事件的概率，等于书本事件的边缘概率乘以给定书本时放大镜事件的概率，再除以放大镜事件的边缘概率。

1. 公式

   $$P(\mathrm{Book}) P(\mathrm{Magnifier}|\mathrm{Book}) / P(\mathrm{Magnifier}) = P(\mathrm{Book}|\mathrm{Magnifier})$$
   解释

   视频使用书本和放大镜图标展示了贝叶斯定理的可视化证明。

   步骤依据

   条件概率的定义。

   视频直接表达

贝叶斯定理通过可视化方式得到证明。

1. 动画
   观察依据

   动画依次加入目标条件概率、先验、似然和分母，形成最终检测示意公式。

1. 视觉动画中跳过了将一般乘法法则与贝叶斯定理联系起来的严格代数证明；它被呈现为直接的公式构建。

1. 公式

   $$P(\pi|+)$$
   解释

   从目标条件概率开始：给定阳性检测结果的人生病概率。

   步骤依据

   由视觉箭头和文本标签定义的问题设置。

   视频直接表达
2. 公式

   $$P(\pi)$$
   解释

   把先验加入分子；这个部件本身并不等于目标条件概率。

   步骤依据

   贝叶斯定理的分子组成部分。

   补充解释
3. 公式

   $$\times P(+|\pi)$$
   解释

   乘以似然性：给定人确实生病的情况下获得阳性检测结果的概率。

   步骤依据

   代表真阳性率的分子组成部分。

   视频直接表达
4. 公式

   $$/ P(+)$$
   解释

   将整个乘积除以获得阳性检测结果的边缘概率。

   步骤依据

   分母对所有可能获得阳性结果的方式进行了概率归一化。

   视频直接表达

最终构建的方程是 P(\pi|+) = \frac{P(\pi)P(+|\pi)}{P(+)}，这是贝叶斯定理在医学测试场景中的具体实例。

1. 公式
   观察依据

   方程 P(B)P(A|B)/P(A)=P(B|A) 被注释为 (1/21)、(4/10) 和 (24/210)。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了重排贝叶斯公式的数值使用示例。

1. 视频没有解释数字来自哪里。

2. 最终简化值未在屏幕上显示。

使用显示的值从重排恒等式计算 P(B|A)。

1. P(B)=1/21

2. P(A|B)=4/10

3. P(A)=24/210

4. 显示的公式：P(B)P(A|B)/P(A)=P(B|A)

找到 P(B|A) 的数值。

1. 公式

   $$P(B|A)=\frac{(1/21)(4/10)}{24/210}$$
   解释

   将给定的数字插入显示的公式中。

   步骤依据

   直接代入屏幕上显示的重排贝叶斯恒等式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$P(B|A)=\frac{4/210}{24/210}$$
   解释

   乘以分子分数以获得单个分数。

   步骤依据

   有理数的算术乘法。

   依据视频推导
3. 公式

   $$P(B|A)=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\approx 0.1667$$
   解释

   消去公分母并约分。

   步骤依据

   有理数的标准简化。

   依据视频推导

P(B|A)=1/6≈0.1667

将答案代回给出 (24/210)(1/6)=4/210=(1/21)(4/10)，匹配显示的等式。

1. 公式
   观察依据

   P(\mathrm{Heart}\mathrm{Heart}) = 1/4 * 1/4 = 1/16

示意网格为每个事件设定 1/4 的边缘概率；如果暂时假设独立，会得到怎样的联合概率？

1. 教学模型设定 P(heart disease) = 1/4。

2. 网格暂时假设独立，随后兄弟的例子会质疑这一假设。

计算 P(两人都死于心脏病)。

1. 公式

   $$P(\mathrm{Heart}\mathrm{Heart}) = 1/4 * 1/4 = 1/16$$
   解释

   假设独立性，将概率相乘。

   步骤依据

   独立事件的乘法法则。

   视频直接表达

在这个教学模型的独立性假设下：1/16。原片未给出依赖情形下兄弟风险的确定数值。

相乘运算在假设独立的教学网格内正确。随后讨论依赖性，撤去独立性假设；原片没有给出替代的联合风险数值。

1. 公式
   观察依据

   P(TT) = 1/2 * 1/2 = 1/4

连续两次抛硬币得到反面的概率是多少？

1. 公平硬币模型给出 P(tails) = 1/2。

2. 两次试验假设相互独立。

计算 P(两次反面)。

1. 公式

   $$P(TT) = 1/2 * 1/2 = 1/4$$
   解释

   将每次独立抛掷的概率相乘。

   步骤依据

   独立事件的乘法法则。

   视频直接表达

1/4

结果要求同时满足公平和独立性假设；仅公平不能推出独立性。

1. 公式
   观察依据

   P(\mathrm{One}\mathrm{One}) = 1/6 * 1/6 = 1/36

掷一对骰子得到两个 一点的概率是多少？

1. 公平骰子模型给出 P(one) = 1/6。

2. 两次试验假设相互独立。

计算 P(两个 一点)。

1. 公式

   $$P(\mathrm{One}\mathrm{One}) = 1/6 * 1/6 = 1/36$$
   解释

   将每次独立掷骰子的概率相乘。

   步骤依据

   独立事件的乘法法则。

   视频直接表达

1/36

结果要求同时满足公平和独立性假设；仅公平不能推出独立性。

1. 图示
   观察依据

   文本标签“You are sick”（你生病了）和“Positive test result”（阳性测试结果）通过箭头连接到符号 π 和 +。

2. 公式
   观察依据

   贝叶斯定理使用这些特定符号明确写出。

1. 此片段中未提供概率的数值（例如，疾病的基础率、测试准确性）。

确定一个人在收到阳性医学检测结果后实际上生病的概率。

1. 事件 π：你生病了。

2. 事件 +：阳性测试结果。

3. 目标是找到 P(π|+)。

用显示的先前概率、似然性和阳性结果概率来表示给定阳性检测结果的生病概率；未提供数值。

1. 公式

   $$P(\pi|+) = \frac{P(\pi)P(+|\pi)}{P(+)}$$
   解释

   应用贝叶斯定理，使用先验概率、测试似然性和阳性测试的边缘概率来表达反向条件概率。

   步骤依据

   直接应用视频中显示的推导公式。

   视频直接表达

P(\pi|+) = \frac{P(\pi)P(+|\pi)}{P(+)}

该公式正确映射了视觉定义：P(π) 是生病的先验机会，P(+|π) 是测试捕捉疾病的能力，P(+) 是阳性结果的总体机会。

1. 图示
   观察依据

   标题“Bayes' theorem”出现在左上角，带有一个标记为 P(E|H)、P(H) 和 P(E|-H) 的小插图概率图。

2. 动画
   观察依据

   四个 pi 形角色占据画面的下半部分，而主公式出现在它们的右侧。

1. 标题文本“Bayes' theorem”

2. 带有标签 P(E|H)、P(H)、P(E|-H) 的插图正方形图

3. 四个 pi 形角色

4. 主公式 P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)

1. 主贝叶斯公式出现在画面的右侧。

2. 在引入公式时，插图保持可见。

1. 开场确立了片段涉及贝叶斯定理，然后证明开始。

开场在视觉上将主题框定为贝叶斯定理，并通过插图预览了后来的基于面积的解释。

1. 动画
   观察依据

   一个标记为 A 的黄色圆圈和一个标记为 B 的蓝色圆圈出现重叠，白色箭头指向交集。

2. 图示
   观察依据

   公式 P(B)P(A|B)=P(A and B)=P(A)P(B|A) 已经存在于图上方。

1. 黄色圆圈 A

2. 蓝色圆圈 B

3. 交集区域

4. 白色向下箭头

5. 顶部公式链

1. 绘制了两个圆圈并使它们重叠。

2. 箭头突出了对应于“A and B”的交集。

1. 颜色编码在整个片段中将 A 与黄色和 B 与蓝色联系起来。

维恩图将目标量 P(A and B) 识别为两个事件区域的重叠。

1. 动画
   观察依据

   维恩图变形为一个正方形样本空间，其中有一个标记为 P(A) 的黄色垂直条带和该条带的一个标记为 P(B|A) 的下部。

2. 图示
   观察依据

   文本“Space of all possibilities”出现在灰色正方形内。

1. 灰色正方形样本空间

2. 用于 A 的黄色垂直条带

3. 黄色条带内的下部子区域

4. 花括号标签 P(A) 和 P(B|A)

1. 圆形图片被矩形面积模型取代。

2. 黄色条带被细分以显示 A 中也位于 B 中的分数。

1. 总正方形仍然代表整个概率空间。

2. 绿色重叠面积继续代表 P(A and B)。

此可视化将 P(A and B) 编码为黄色条带的面积乘以分数高度 P(B|A)。

1. 动画
   观察依据

   左侧出现第二个正方形，其中有一个标记为 P(B) 的蓝色水平条带和一个标记为 P(A|B) 的左侧子区域。

2. 图示
   观察依据

   两个正方形并排显示，具有相同的顶部等式链。

1. 第二个灰色正方形样本空间

2. 用于 B 的蓝色水平条带

3. 蓝色条带内的左侧子区域

4. 花括号标签 P(B) 和 P(A|B)

1. 在左侧添加了镜像分解。

2. 相同的交集面积现在表示为水平条带乘以分数宽度。

1. 两个正方形描绘了相同的样本空间和相同的交集面积。

2. 顶部等式链保持不变。

左侧模型通过对 B 而不是 A 进行条件化来计算相同的联合概率。

1. 动画
   观察依据

   两个正方形缩小到底部角落，同时代数在屏幕上重排。

2. 公式
   观察依据

   显示首先变为 P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)，然后变为 P(B)P(A|B)/P(A)=P(B|A)。

1. 缩小的左右面积图

2. 中央代数表达式

1. 等式链被折叠成 P(A|B) 的单个求解形式。

2. 求解形式随后被重写为 P(B|A) 的求解形式。

1. 底层等式 P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A) 在重排中得以保留。

动画强调贝叶斯定理只是对称联合概率恒等式的代数重排。

1. 公式
   观察依据

   实际画面为：给定放大镜时书本事件的概率，等于书本概率乘以给定书本时放大镜概率，再除以放大镜概率。

1. 书本事件图标

2. 放大镜事件图标

3. 给定放大镜时书本事件的条件概率公式

1. 用图标表示事件，保留反向条件概率恒等式。

1. 替换后公式的代数结构保持不变。

事件换标签后恒等式仍成立，不把前面的字母对应固定到整片。

1. 动画
   观察依据

   屏幕底部显示了四个风格化的 π 字符，对上方的公式做出反应。

1. 四个 π 字符

1. 它们四处张望并对公式做出反应。

1. 它们在屏幕底部的位置。

它们作为视觉吉祥物来吸引观众。

1. 图示
   观察依据

   一个维恩图，显示两个重叠的圆圈，标记为 A 和 B。

1. 两个重叠的圆圈

1. 交集被高亮显示。

1. 标签 A 和 B。

说明了联合概率 P(A and B) 的概念。

1. 图示
   观察依据

   网格显示心脏病、抛硬币和掷骰子的组合。

1. 带图标的网格

1. 单元格被高亮以显示特定结果。

1. 网格的结构。

直观地演示了独立事件概率的乘法。

1. 动画
   观察依据

   从复杂的 4x4 人形网格过渡到简单的 2x2 硬币和 6x6 骰子网格。

2. 公式
   观察依据

   红色叉号出现在 P(A and B) = P(A)P(B) 上；绿色对勾出现在 P(A and B) = P(A)P(B|A) 旁边。

1. 具有不同颜色和图标的复杂 4x4 人形网格。

2. 简单的 2x2 硬币翻转网格（HH, HT, TH, TT）。

3. 简单的 6x6 骰子滚动网格。

4. 被划掉的错误公式。

5. 打勾的正确公式。

1. 复杂的人形网格被更简单的硬币和骰子网格取代。

2. 错误的乘法公式被红色叉号视觉上否定。

3. 正确的条件乘法公式被绿色对勾验证。

1. 计算联合概率 P(A and B) 的核心概念在整个过渡过程中始终是焦点。

视觉转换表明，虽然简单的 P(A)P(B) 规则适用于高度结构化、独立的游戏如硬币和骰子，但对于由人形网格代表的复杂、依赖的现实世界场景则失效。正确的通用规则必须通过 P(B|A) 考虑依赖性。

1. 动画
   观察依据

   红色和蓝色硬币堆落下并累积，同时一条黄色垂直线在钟形曲线直方图上跟踪当前计数。

1. 这幅图演示独立且公平的硬币模型；外形本身不能证明独立性。

1. 红色和蓝色硬币堆。

2. 带有轴“# of tails”和概率值的钟形曲线直方图。

3. 移动的黄色垂直跟踪线。

1. 硬币不断落下并堆积。

2. 黄线沿 X 轴左右移动，根据反面的累积数量更新其位置。

1. 总抛掷次数保持为 100。

2. 显示的有限反面计数分布保持不变。

在独立且公平的前提下，反面计数服从期望为 50 的二项分布。钟形图是该模型的示意，并不能证明独立性。

1. 动画
   观察依据

   符号 π 和 + 出现并带有描述性文本，随后分数被顺序构建。

1. 绿色 pi 符号 (π)。

2. 蓝色加号符号 (+)。

3. 文本标签“You are sick”（你生病了）和“Positive test result”（阳性测试结果）。

4. 分数线和概率项。

1. 箭头将抽象符号与其现实世界的含义联系起来。

2. 方程逐块构建：从左边开始，添加先验概率，乘以似然性，最后除以边缘概率。

1. π 对应生病，+ 对应阳性测试的语义映射保持不变。

逐步组装揭示了贝叶斯定理的神秘面纱，表明它不是一个任意的公式，而是先验信念、测试可靠性和总体基础率的逻辑组合，用于更新我们对依赖事件的理解。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了误将看似不对称的乘积公式当作真正不对称的联合概率。

人们可能认为 P(A)P(B|A) 和 P(B)P(A|B) 是不同的量，因为它们以相反的顺序书写。

它们是相等的，因为两者都计算相同的事件概率 P(A and B)；表观上的不对称仅在于选择的条件化顺序。

1. 公式
   观察依据

   片段除以 P(B) 并后来除以 P(A)，而没有口头说明非零条件。

1. 视频中未明确提及此警告。

可以在不检查分母概率是否为零的情况下应用重排公式。

要除以 P(B) 或 P(A)，分别需要 P(B)\neq 0 或 P(A)\neq 0；片段显示了除法但没有说明此条件。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了关于联合概率的误解。

假设对于所有事件都有 P(A and B) = P(A)P(B)。

这个公式仅当事件 A 和 B 独立时成立。相关事件需要不同的计算。

1. 公式
   观察依据

   公式 P(A and B) = P(A)P(B) 被显著显示，然后被红色的 X 激进地划掉。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了误解：联合概率总是边缘概率的乘积。

认为两个事件同时发生的概率总是可以通过简单地将它们的个体概率相乘来找到，即 P(A and B) = P(A)P(B)。

此规则仅在事件 A 和 B 严格独立时有效。对于依赖事件，你必须使用一般乘法法则：P(A and B) = P(A)P(B|A)，这考虑了 A 的发生如何改变 B 的可能性。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了误解：入门示例代表现实世界的复杂性。

2. 图示
   观察依据

   从简单的硬币/骰子网格过渡到复杂的人形网格和医学测试公式。

假设因为入门概率严重依赖像硬币翻转和骰子滚动这样的独立事件，所以现实世界的概率推理也在相同的简单独立性规则下运作。

不要仅仅因为入门模型使用独立的硬币或骰子试验就推断独立性。依赖性必须从实际模型中评估；贝叶斯定理适用于这两种情况，并且在独立性下可能不会改变概率。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

2. 公式
   观察依据

   屏幕从 P(B)P(A|B)=P(A and B)=P(A)P(B|A) 移动到求解的贝叶斯形式。

贝叶斯定理直接从联合概率的两个乘积分解的相等性推导出来。

1. 图示
   观察依据

   正方形图用 P(A)、P(B|A)、P(B) 和 P(A|B) 标记子区域。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

面积模型将条件概率作为受限比例的口头概念应用于几何表示。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

2. 公式
   观察依据

   等式链以 P(A and B) 为中心。

事件“A and B”的对称性是联合概率的两个乘积公式必须重合的概念原因。

1. 公式
   观察依据

   数值注释放置在 P(B|A) 的重排公式上。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

数值代入示例演示了如何在实践中使用重排的贝叶斯公式。

1. 公式
   观察依据

   实际原片展示 A、B 记号的贝叶斯恒等式；H、E 是配套的假设和证据标签，保留同一恒等式。

贝叶斯定理使用条件概率，而条件概率源自联合概率。

1. 公式
   观察依据

   被划掉的 P(A)P(B) 和打勾的 P(A)P(B|A) 之间的视觉对比。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

独立事件的规则（P(A and B) = P(A)P(B)）仅仅是通用乘法法则（P(A and B) = P(A)P(B|A)）的一个特例，仅当条件概率等于边缘概率时适用。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

2. 图示
   观察依据

   从硬币翻转直方图（独立）转向医学测试公式（依赖）。

独立性是一种使条件概率保持不变的特殊关系。源材料将简单的独立示例与依赖应用进行对比，其中贝叶斯更新可以提供信息；贝叶斯定理不限于依赖事件。

1. 公式
   观察依据

   通用乘法法则和贝叶斯定理都从根本上依赖于条件概率 P(B|A) 的概念。

1. 视频没有明确显示从乘法法则推导贝叶斯定理的代数步骤，尽管这是标准的数学知识。

贝叶斯定理在数学上是通过将通用乘法法则应用于 P(A and B) 和 P(B and A)，认识到联合概率是可交换的，然后求解反向条件概率而推导出来的。

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

2. 公式
   观察依据

   显示了从联合等式到贝叶斯形式的完整推导。

1. 贝叶斯定理公式
2. 作为两个等价乘积的联合概率
3. 从“and”的对称性证明贝叶斯定理

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

2. 公式
   观察依据

   等式链使用 P(A and B) 作为公共中间项。

1. 联合事件“A and B”的对称性
2. 作为两个等价乘积的联合概率
3. 从“and”的对称性证明贝叶斯定理

1. 图示
   观察依据

   正方形图将 P(A)、P(B|A)、P(B) 和 P(A|B) 标记为嵌套比例。

1. 作为受限比例的条件概率
2. 贝叶斯定理的面积模型推导
3. P(A)P(B|A) 的右侧面积模型
4. P(B)P(A|B) 的左侧面积模型

1. 公式
   观察依据

   屏幕显示 P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B) 和 P(B)P(A|B)/P(A)=P(B|A)。

1. 贝叶斯定理公式
2. 从“and”的对称性证明贝叶斯定理

1. 公式
   观察依据

   最终方程被注释为 (1/21)、(4/10) 和 (24/210)。

1. 重排贝叶斯公式的数值使用示例
2. 代入重排的贝叶斯恒等式的数值示例

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

2. 图示
   观察依据

   A 变成书本图标，B 变成放大镜图标。

1. book icon
2. magnifying glass icon
3. 图标表示的反向条件概率

1. 公式
   观察依据

   画面显示：给定放大镜时书本事件的概率，等于书本事件的边缘概率乘以给定书本时放大镜事件的概率，再除以放大镜事件的边缘概率。

1. 贝叶斯定理

1. 公式
   观察依据

   P(A and B) ???= P(A)P(B)

1. 独立事件的联合概率

1. 公式
   观察依据

   P(A and B) = P(A)P(B) 上的红色叉号。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

1. 联合概率的一般乘法法则
2. 统计独立性的定义
3. 误解：联合概率总是边缘概率的乘积

1. 图示
   观察依据

   硬币直方图动画。

2. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

1. 统计独立性的定义
2. 误解：入门示例代表现实世界的复杂性
3. s152-cr-independence-to-bayes

1. 动画
   观察依据

   逐步公式构建。

2. 图示
   观察依据

   定义 π 和 + 的箭头。

1. 贝叶斯定理
2. 贝叶斯定理的医学测试场景
3. 贝叶斯定理公式的逐步组装

1. 声音
   观察依据

   这一时间范围内的口头说明讨论了该概率步骤。

1. 贝叶斯定理
2. 依赖性使条件更新具有信息量
3. s152-cr-independence-to-bayes