确定矩阵的奇异值

1. 公式
   观察依据

   幻灯片上写着“设 A 是一个 $m \times n$ 矩阵”，随后给出示例矩阵 $A = [[1, -1, 3], [3, 1, 1]]$。

A

一般的 $m \times n$ 矩阵；在演算示例中，是具体的 $2 \times 3$ 矩阵 [[1, -1, 3], [3, 1, 1]]。

一般意义上的 $m \times n$ 矩阵；示例中为 $2 \times 3$ 矩阵

1. 公式
   观察依据

   开头陈述为：“设 A 是一个 $m \times n$ 矩阵。”

m, n

矩阵 A 的维数，即有 m 行、n 列。

正整数

1. 公式
   观察依据

   幻灯片在表达式 $A^T A$ 和 $A A^T$ 中使用了 $A^T$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说：“A 的转置乘以 A，或 A 乘以 A 的转置。”

$A^T$

A 的转置，通过将行变为列得到。

当 A 是 $m \times n$ 矩阵时，其转置为 $n \times m$ 矩阵

1. 公式
   观察依据

   定义行指出：奇异值是 $A^T A$ 或 $A A^T$ 的正特征值的平方根。

positive eigenvalues of $A^T A$ or AA^T

用于计算奇异值的特征值；仅取其中正的特征值开平方根。

对称格拉姆矩阵 $A^T A$ 与 AA^T 的谱

1. 公式
   观察依据

   回顾环节中，特征值被定义为满足 det(A - lambda I) = 0 或 det(lambda I - A) = 0 的标量 lambda。

2. 声音
   观察依据

   讲述者说：“一个特征值……是一个标量 lambda，使得该行列式……等于零。”

lambda

特征方程中的标量特征值变量。

定义在底层数域上的标量，此处为实数。

1. 公式
   观察依据

   该公式在 det(A - lambda I) 中使用 lambda I。

I

与待求特征值的矩阵同阶的单位矩阵。

方阵形式的单位矩阵。

1. 公式
   观察依据

   特征方程采用 det(A - lambda I) 和 det(lambda I - A) 两种形式书写。

det

作用于方阵的行列式运算符。

方阵。

1. 公式
   观察依据

   例题计算得 AA^$T = [[11, 5], [5, 11]]$。

AA^T

在该例中，$2\times 2$乘积矩阵[[11, 5], [5, 11]]，其特征值将在下一步求出。

本例中的$2\times 2$实对称矩阵

1. 公式
   观察依据

   幻灯片上最终显示的等式为 $λ = 16$ 或 $λ = 6$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者在片段结束前总结道：“得到两个特征值，其中 λ 等于16。”

1. 口述内容在片段结束前仅说到 $λ = 16$，但屏幕上显示的等式还包含 $λ = 6$。

lambda = 16 or lambda = 6

本例中从 AA^T 的特征多项式所得到的两个特征值。

实数标量

1. 公式
   观察依据

   矩阵 A 显示为 [[1, -1, 3], [3, 1, 1]]。

A

原始的 $2\times 3$ 矩阵，其奇异值正在被确定。

$2\times 3$ 实矩阵

1. 公式
   观察依据

   乘积 AA^T 被计算并显示为 [[11, 5], [5, 11]]。

AA^T

矩阵 A 与其转置的乘积，用于求解奇异值所对应的特征值。

$2\times 2$ 实对称矩阵

1. 公式
   观察依据

   变量 lambda 出现在特征方程 det(A - lambda I) = 0 中。

$\lambda$

矩阵 AA^T 的一个特征值。

实标量

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“矩阵 A 的奇异值，是 $A^T A$ 或 AA^T 的正特征值的平方根。”

2. 声音
   观察依据

   讲解者逐字重复了同一定义。

对于一个 $m\times n$ 矩阵 A，其奇异值定义为 $A^T A$ 或 AA^T 的正特征值的平方根。视频将这两个格拉姆矩阵视为可互换的、提供相同正特征值的来源。

1. A 是一个 $m\times n$ 矩阵。

2. 平方根步骤中仅使用正特征值。

1. 计算矩阵的转置

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“$A^T A$ 与 AA^T 具有相同的正特征值。”

2. 声音
   观察依据

   讲解员称它们“始终具有相同的正特征值。”

1. 视频陈述了这一事实，但本片段中未给出证明。

课程指出，$A^T A$ 与 AA^T 共享相同的正特征值，因此在求奇异值时，可任选计算上更简便的乘积形式。

1. A 是一个 $m \times n$ 矩阵。

2. 该命题仅针对正特征值。

1. 通过正特征值定义奇异值

1. 声音
   观察依据

   讲解员解释：A 的第一行变为 $A^T$ 的第一列，第二行变为第二列。

2. 公式
   观察依据

   示例显示 $A = [[1,-1,3],[3,1,1]]$，而 $A^T = [[1,3],[-1,1],[3,1]]$。

要构造 $A^T$，需将 A 的每一行重写为一列。在示例中，行 (1, -1, 3) 变为第一列，行 (3, 1, 1) 变为第二列。

1. 适用于任意矩形矩阵。

1. 声音
   观察依据

   讲解员指出 AA^T 是一个$2\times 2$矩阵，因此选择它进行特征值计算。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“由于 AA^T 是一个$2\times 2$矩阵，我们来求它的特征值。”

在分别计算 $A^T A$ 和 AA^T 后，视频选择 AA^T，因为它是$2\times 2$矩阵，而非$3\times 3$矩阵。这减小了待求解的特征多项式的规模。

1. 当 m、n 中有一个小于另一个时，该方法尤为有用。

2. 依赖于前述正特征值相等的性质。

1. $A^T A$ 与 AA^T 的正特征值相等

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“回顾：A 的一个特征值是一个标量 lambda，使得 det(A - lambda I) = 0，或 det(lambda I - A) = 0。”

2. 声音
   观察依据

   讲解员朗读相同的回顾内容。

方阵 A 的一个特征值是一个标量 lambda，使得 A - lambda I 的行列式为零。视频还给出了等价形式 det(lambda I - A) = 0。

1. A 必须是方阵。

2. I 是与 A 同阶的单位矩阵。

1. 通过正特征值定义奇异值

1. 公式
   观察依据

   屏幕上显示文字：‘矩阵 A 的奇异值为：$σ_i$ = √($λ_i$)’。

2. 声音
   观察依据

   旁白说道：‘矩阵 A 的奇异值 $σ_i$ 等于 $λ_i$ 的平方根。’

矩阵 A 的奇异值定义为矩阵乘积 AA^T（或 A^TA）的正特征值的平方根。在此语境中，$σ_i$ = √($λ_i$)，其中 $λ_i$ 是 AA^T 的特征值。

1. $λ_i$ 必须是非负的

2. $λ_i$ 是 AA^T 的特征值

1. 特征值的特征方程

1. 公式
   观察依据

   文字内容："回顾：A 的一个特征值是一个标量 λ，使得 det(A - λI) = 0 或 det(λI - A) = 0。"

2. 公式
   观察依据

   分步推导显示 det([[11, 5], [5, 11]] - λ[[1, 0], [0, 1]]) = 0，进而得到 (11-λ)(11-λ) - (5)(5) = 0。

为求方阵 M 的特征值，需解特征方程 det(M - λI) = 0。对于 $2\times 2$ 矩阵 AAᵀ，该方程展开后是关于 λ 的二次多项式。

1. M 是一个方阵

2. I 是与 M 同维的单位矩阵

1. 公式
   观察依据

   计算 [[1, -1, 3], [3, 1, 1]] × [[1, 3], [-1, 1], [3, 1]] = [[11, 5], [5, 11]] 的过程被展示出来。

矩阵乘积 AAᵀ 通过将 A 的各行与 Aᵀ 的各列（即 A 的各行）相乘得到，结果是一个对称的 $2\times 2$ 矩阵。

1. A 是一个实矩阵

1. 公式
   观察依据

   显示的项目符号：“$A^T A$ 与 AA^T 具有相同的正特征值。”

2. 声音
   观察依据

   讲解员陈述了同一事实。

1. 本片段未提供证明。

对于 $m \times n$ 矩阵 A，矩阵 $A^T A$ 与 AA^T 具有相同的正特征值。

1. A 是一个 $m \times n$ 矩阵。

对所有 $m \times n$ 阶矩阵 A，$A^T A$ 与 AA^T 的谱的正部重合。

1. 公式
   观察依据

   回顾幻灯片上的那行文字：det(A - lambda I) = 0 或 det(lambda I - A) = 0。

2. 声音
   观察依据

   讲解员朗读了相同的刻画。

标量 lambda 是方阵 A 的特征值，当且仅当 det(A - lambda I) = 0，等价地，det(lambda I - A) = 0。

1. A 是方阵。

2. I 是与 A 同阶的单位矩阵。

对任一方阵 A 和标量 lambda，lambda 是 A 的特征值，当且仅当所示的行列式条件成立。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说："注意，这两个都是正的特征值，因此我们用这些值来确定奇异值……"

2. 公式
   观察依据

   屏幕上显示 $λ = 16$ 或 $λ = 6$。

对于给定矩阵 A，AA^T 的特征值为16和6，二者均为正数。

1. $A = [[1, -1, 3], [3, 1, 1]]$

存在性（针对此特定矩阵 A）

1. 字幕依据
   观察依据

   弹出提醒框，显示：“提醒：仅使用正的特征值来求奇异值。”

仅使用 AA^T 的正特征值来计算矩阵 A 的奇异值。

普遍性（隐含规则）

1. 公式
   观察依据

   幻灯片依次显示 $A^T$，然后显示 $A^T A = [[10,2,6],[2,2,-2],[6,-2,10]]$，再显示 AA^$T = [[11,5],[5,11]]$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员解释转置运算法则，并评述所得矩阵的尺寸。

1. 公式

   $$A=\begin{bmatrix}1&-1&3\\3&1&1\end{bmatrix}$$
   解释

   从给定的 $2 \times 3$ 示例矩阵出发。

   步骤依据

   题目中已给出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A^T=\begin{bmatrix}1&3\\-1&1\\3&1\end{bmatrix}$$
   解释

   将 A 的每一行转换为 $A^T$ 的一列。

   步骤依据

   矩阵转置的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$A^TA=\begin{bmatrix}1&3\\-1&1\\3&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1&3\\3&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10&2&6\\2&2&-2\\6&-2&10\end{bmatrix}$$
   解释

   将 $A^T$ 与 A 相乘，得到 $3 \times 3$ 的格拉姆矩阵。

   步骤依据

   矩阵乘法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$AA^T=\begin{bmatrix}1&-1&3\\3&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&3\\-1&1\\3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}11&5\\5&11\end{bmatrix}$$
   解释

   将 A 与 $A^T$ 相乘，得到 $2 \times 2$ 格拉姆矩阵。

   步骤依据

   矩阵乘法。

   视频直接表达

在本例中，$A^T A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，而 AA^T 是 $2 \times 2$ 矩阵，因此在求特征值步骤中选择较小的矩阵 AA^T。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片显示 det([[11,5],[5,11]] − λ[[1,0],[0,1]]) = 0，然后化简为 ($11-λ$)($11-λ$)−(5)(5) = 0，再化简为 $λ^2-22λ+96 = 0$，接着化简为 ($λ-16$)($λ-6$) = 0，最终解得 $λ = 16$ 或 $λ = 6$。

2. 声音
   观察依据

   讲解员口头复述相同的代数推导过程。

1. 公式

   $$\det\left(\begin{bmatrix}11&5\\5&11\end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\right)=0$$
   解释

   为 $2 \times 2$ 矩阵 AA^T 建立特征方程。

   步骤依据

   由 det($A - λI$) = 0 定义特征值。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\det\left(\begin{bmatrix}11-\lambda&5\\5&11-\lambda\end{bmatrix}\right)=0$$
   解释

   对 AA^T 逐元素减去 λI。

   步骤依据

   标量乘法与矩阵减法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(11-\lambda)(11-\lambda)-(5)(5)=0$$
   解释

   计算 $2 \times 2$ 行列式。

   步骤依据

   $2 \times 2$ 矩阵的行列式公式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$121-22\lambda+\lambda^2-25=0$$
   解释

   展开平方并化简常数项。

   步骤依据

   代数展开。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\lambda^2-22\lambda+96=0$$
   解释

   合并同类项，得到二次特征多项式。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达
6. 公式

   $$(\lambda-16)(\lambda-6)=0$$
   解释

   对二次式进行因式分解。

   步骤依据

   对首一二次式进行因式分解，其两根之和为22，积为96。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\lambda=16\quad\text{or}\quad \lambda=6$$
   解释

   从因式分解后的方程中直接读出两个特征值。

   步骤依据

   零乘积性质。

   视频直接表达

示例中矩阵 AA^T 的特征值为16和6。

1. 公式
   观察依据

   图示步骤展示行列式展开过程：(11-lambda)(11-lambda) - $25 = 0 \to 121 - 22$lambda + lambda^$2 - 25 = 0$ → lambda^2 - 22lambda + $96 = 0$ → (lambda-16)(lambda-6) = 0。

1. 公式

   $$\det\left(\begin{bmatrix} 11 & 5 \\ 5 & 11 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) = 0$$
   解释

   为矩阵 AA^T 建立特征方程。

   步骤依据

   通过行列式定义特征值。

   视频直接表达
2. 公式

   $$(11 - \lambda)(11 - \lambda) - (5)(5) = 0$$
   解释

   计算所得$2\times 2$矩阵的行列式。

   步骤依据

   $2\times 2$矩阵行列式的公式：ad − bc。

   视频直接表达
3. 公式

   $$121 - 22\lambda + \lambda^2 - 25 = 0$$
   解释

   展开各项。

   步骤依据

   代数展开。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\lambda^2 - 22\lambda + 96 = 0$$
   解释

   合并常数项（$121 - 25 = 96$）。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达
5. 公式

   $$(\lambda - 16)(\lambda - 6) = 0$$
   解释

   对二次方程进行因式分解。

   步骤依据

   因式分解法，求得根为16和6。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\lambda = 16 \text{ or } \lambda = 6$$
   解释

   解关于λ的方程。

   步骤依据

   零乘积性质。

   视频直接表达

AA^T 的特征值为16和6。

1. 公式
   观察依据

   屏幕显示 $σ_1$ = √(16) = 4，且 $σ_2$ = √(6)。

1. 公式

   $$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$$
   解释

   应用奇异值与特征值之间的定义关系。

   步骤依据

   奇异值的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\sigma_1 = \sqrt{16} = 4$$
   解释

   代入第一个特征值 lambda_1 = 16。

   步骤依据

   给定的特征值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\sigma_2 = \sqrt{6}$$
   解释

   代入第二个特征值 lambda_2 = 6。

   步骤依据

   给定的特征值。

   视频直接表达

矩阵 A 的奇异值为 4 和 sqrt(6)。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片引入例题：设 $A = [[1,-1,3],[3,1,1]]$，要求求出 A 的奇异值。

2. 声音
   观察依据

   讲解员说“我们来看一个例子”，随后依次进行转置、矩阵乘法及特征值求解。

1. 该片段在求得特征值16和6后结束；未显式展示最后的开方步骤。

设 $A = [[1, -1, 3], [3, 1, 1]]$。求 A 的奇异值。

1. A 是一个$2\times 3$矩阵 [[1, -1, 3], [3, 1, 1]]。

2. 奇异值是 $A^T A$ 或 AA^T 的正特征值的平方根。

3. $A^T A$ 与 AA^T 具有相同的正特征值。

将问题简化为求较小的格拉姆矩阵的特征值，并计算这些特征值。

1. 公式

   $$A^T=\begin{bmatrix}1&3\\-1&1\\3&1\end{bmatrix}$$
   解释

   对 A 进行转置，即将其行变为列。

   步骤依据

   转置的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$A^TA=\begin{bmatrix}10&2&6\\2&2&-2\\6&-2&10\end{bmatrix}$$
   解释

   计算$3\times 3$乘积 $A^T A$。

   步骤依据

   矩阵乘法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$AA^T=\begin{bmatrix}11&5\\5&11\end{bmatrix}$$
   解释

   计算$2\times 2$乘积 AA^T。

   步骤依据

   矩阵乘法。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Choose }AA^T\text{ because it is }2\times2.$$
   解释

   选择更小的格拉姆矩阵来进行特征值计算。

   步骤依据

   视频中所述策略，基于相等的正特征值。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\det\left(\begin{bmatrix}11-\lambda&5\\5&11-\lambda\end{bmatrix}\right)=0$$
   解释

   写出 AA^T 的特征方程。

   步骤依据

   特征值的定义。

   视频直接表达
6. 公式

   $$(11-\lambda)^2-25=0$$
   解释

   计算$2\times 2$阶行列式。

   步骤依据

   $2\times 2$阶行列式的公式。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\lambda^2-22\lambda+96=0$$
   解释

   展开并化简为一个二次式。

   步骤依据

   代数运算。

   视频直接表达
8. 公式

   $$(\lambda-16)(\lambda-6)=0$$
   解释

   对二次式进行因式分解。

   步骤依据

   因式分解。

   视频直接表达
9. 公式

   $$\lambda=16\quad\text{or}\quad \lambda=6$$
   解释

   得到 AA^T 的两个特征值。

   步骤依据

   零乘积性质。

   视频直接表达

该例求出了矩阵 AA^T 的特征值16和6。根据前文给出的定义，奇异值应为它们的正平方根，但本片段中未展示最后开平方根的步骤。

将 lambda=16 和 lambda=6 分别代入方程 lambda^2-22lambda+$96=0$；两次代入均得0，从而验证它们是该特征多项式的根。

1. 公式
   观察依据

   完整的问题设定与解法显示在幻灯片上。

确定矩阵 $A = [[1, -1, 3], [3, 1, 1]]$ 的奇异值。

1. $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

求 $σ_1$ 和 $σ_2$。

1. 公式

   $$AA^T = \begin{bmatrix} 11 & 5 \\ 5 & 11 \end{bmatrix}$$
   解释

   计算矩阵 A 与其转置矩阵的乘积。

   步骤依据

   矩阵乘法法则。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\det(AA^T - \lambda I) = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 22\lambda + 96 = 0$$
   解释

   列出并化简特征方程。

   步骤依据

   特征值的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\lambda_1 = 16, \lambda_2 = 6$$
   解释

   解该二次方程以求得特征值。

   步骤依据

   因式分解。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\sigma_1 = \sqrt{16} = 4, \sigma_2 = \sqrt{6}$$
   解释

   对每个正特征值开平方根。

   步骤依据

   奇异值的定义。

   视频直接表达

奇异值为 $σ_1 = 4$，$σ_2$ = √(6)。

两个特征值均为正数，满足实奇异值存在的条件。

1. 动画
   观察依据

   画面从第一张幻灯片（含定义与例题设定）切换至一张新幻灯片，标题围绕“求 AA^T 的特征值”展开。

1. 首张幻灯片：含定义及示例矩阵

2. 第二张幻灯片：回顾特征值概念并列出特征方程

1. 内容由计算 $A^T$、$A^T A$ 与 AA^T，转向回顾特征值定义，并求解 det(AA^T - lambda I)=0。

1. 主题仍为同一示例矩阵 A 的奇异值。

2. 用于求特征值的矩阵仍为 AA^T。

视觉过渡标志着从构造格拉姆矩阵转向求解其中较小者（即 AA^T）的特征值问题。

1. 动画
   观察依据

   黄色光标/高亮区域随讲解同步移动，依次扫过定义式、矩阵乘积及行列式展开式等公式。

1. 黄色光标／高亮

2. 显示的公式与矩阵

1. 高亮依次从定义要点移动到示例矩阵，再移动到 $A^T$、$A^T A$、AA^T，最后移动到特征方程的各个步骤。

1. 底层幻灯片内容保持静止，仅新出现的行被逐步揭示。

移动的高亮使口语讲解与正在讨论的精确公式同步，有助于识别当前活跃的是哪个矩阵或代数步骤。

1. 动画
   观察依据

   幻灯片内容从特征值计算切换至奇异值定义及最终结果。

1. 上一张幻灯片展示行列式计算过程

2. 新幻灯片展示σ的公式

1. 内容替换

1. 标题栏：‘矩阵的奇异值’

标志着从求解中间特征值转向计算最终的奇异值。

1. 动画
   观察依据

   右侧淡入一个灰色提示框，内文为‘提示：仅使用正的特征值……’

1. 灰色提示框

1. 框体显现

1. 主计算区域

突出强调奇异值定义中的一项关键约束。

1. 公式
   观察依据

   定义中明确指出“正特征值的平方根”。

2. 声音
   观察依据

   讲述者将“正特征值”重复了两次。

人们可能认为 $A^T A$ 或 AA^T 的任意特征值都可开平方得到奇异值。

该视频特别将定义限定于正特征值。

1. 公式
   观察依据

   要点指出："$A^T A$ 和 AA^T 具有相同的正特征值。"

人们可能认为 $A^T A$ 和 AA^T 产生的特征值列表彼此无关。

本课指出，它们的正特征值相同，因此任一乘积都可用于求奇异值。

1. 声音
   观察依据

   讲解员选择 AA^T，因为它是 $2 \times 2$ 矩阵，而非 $3 \times 3$ 矩阵。

2. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：“我们来求 AA^T 的特征值，因为 AA^T 是一个 2 行 2 列的矩阵。”

人们可能以为标准做法总是不计矩阵大小而直接使用 $A^T A$。

该视频通过选择更小的格拉姆矩阵，来简化特征值计算过程。

1. 字幕依据
   观察依据

   文本明确警示：“仅使用正特征值来求奇异值。”

学生在计算奇异值时，可能会试图对负特征值开平方根。

奇异值定义为矩阵 AA^T（或 A^TA）的*正*特征值的平方根。由于 AA^T 是半正定矩阵，其特征值非负；但零特征值对应零奇异值，而负特征值（若由数值误差或矩阵选取错误导致）不用于实数奇异值的计算。

1. 公式
   观察依据

   定义行通过 $A^T A$ 或 AA^T 的特征值引出奇异值的概念。

正特征值相等这一事实，为在定义中任选 $A^T A$ 或 AA^T 提供了依据。

1. 声音
   观察依据

   讲解员在例题演算中直接应用了转置运算法则。

该例题首先通过转置方法计算 $A^T$。

1. 公式
   观察依据

   $A^T A$ 和 AA^T 均已列出，随后幻灯片说明选用 AA^T，因为它是一个 $2 \times 2$ 矩阵。

选择较小的格拉姆矩阵是合理的，因为这两个乘积具有相同的正特征值。

1. 公式
   观察依据

   回忆直线后立即给出 det(AA^T - lambda I)=0及其化简形式。

特征方程的推导使用了所回忆的特征值定义。

1. 公式
   观察依据

   示例矩阵 AA^$T = [[11,5],[5,11]]$ 被代入特征值方程。

通过将特征值推导过程应用于 AA^T，完成该例题的演算。

1. 公式
   观察依据

   公式 〔sigma_i〕 = sqrt(〔lambda_i〕) 直接关联这两个概念。

求 AA^T 的特征值，是计算矩阵 A 奇异值前的必要前提步骤。

1. 公式
   观察依据

   计算 AA^T 先于行列式设定步骤。

必须先计算矩阵乘积 AA^T，才能构造出用于求特征值的矩阵。

1. 公式
   观察依据

   开篇定义幻灯片。

1. 通过正特征值定义奇异值
2. $A^T A$ 与 AA^T 的正特征值相等

1. 声音
   观察依据

   讲解员解释选择 AA^T 是因为它是一个 $2 \times 2$ 矩阵。

1. 为求特征值而选择较小的格拉姆矩阵
2. $A^T A$ 与 AA^T 的正特征值相等

1. 公式
   观察依据

   特征方程及其因式分解被逐步展示。

1. 通过特征行列式定义特征值
2. 通过求解 AA^T 的特征方程，求其特征值。

1. 声音
   观察依据

   讲解员指出行变为列。

1. 计算矩阵的转置

1. 公式
   观察依据

   该片段在 lambda = 16 或 lambda = 6 处结束，未展示开平方根的最终结论。

1. 本片段未明确显示最终的数值型奇异值。

1. 通过正特征值定义奇异值
2. 例题：为一个$2\times 3$矩阵设定奇异值

1. 声音
   观察依据

   讲解者说明对特征值开平方根的过程。

1. 通过特征值定义奇异值
2. 从特征值计算奇异值

1. 字幕依据
   观察依据

   关于正特征值的提醒框。

1. 使用负特征值计算奇异值
2. 奇异值对特征值的约束条件

1. 公式
   观察依据

   分步代数展开过程展示。

1. 特征值的特征方程
2. 由特征多项式推导特征值