码的分类 | 信源编码 | 信息论与编码

1. 图示
   观察依据

   表格标题使用 $x_i$ 作为源符号的行标签。

2. 声音
   观察依据

   讲师提到分配给符号的码字，而非显式地命名 $x_i$。

$x_i$

正在被编码的源符号或消息元素。

示例表格中的离散源符号。

1. 图示
   观察依据

   各列标为码1、码2、……、码8，每列给出每个 $x_i$ 对应的二进制赋值。

Code k

一种候选二进制码（即从源符号到码字的映射）。

表格中展示的一组有限示例码。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，定长码的所有码字长度相同，而变长码则不然。

2. 图示
   观察依据

   该表格直观显示了某些码的2位条目，以及其他码的混合长度条目。

codeword length

分配给源符号的二进制字符串所含的比特数。

所展示示例中的二进制字符串。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片文字为“BCD（8421码）”，并附有一张表格，将十进制数值0–9映射为4位二进制值。

2. 声音
   观察依据

   讲师以BCD作为定长编码的一个例子。

BCD / 8421 code

二进制编码的十进制表示法，每个十进制数字使用4位。

十进制数字0至9。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片标题为“定长编码：ASCII（美国信息交换标准代码）”，表格列出了字符及其对应的十进制值和二进制值。

2. 声音
   观察依据

   讲师以ASCII作为另一个定长编码的例子。

ASCII

一种字符编码标准，为键盘字符分配固定长度的二进制码。

表格中展示了数字、大写字母、小写字母及特殊符号。

1. 图示
   观察依据

   ASCII表显示字符A的十进制值为65，二进制值为01000001。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：“如果你想将这个代表大写字母A的65进制十进制数转换……”

$65_{10}$

大写字母A的十进制ASCII码。

以10为底的整数。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片上的手写转换显示 65 通过重复除法转换为 1000001，然后标注为 7-位 ASCII 加上一位得到 8-位。

2. 声音
   观察依据

   讲师讲解通过反复除法将65转换为ASCII二进制值。

$1000001_2$

7 十进制数 的 -位二进制表示形式 65 在扩展为 8-位 ASCII 形式之前。

以2为底的整数表示法。

1. 图示
   观察依据

   手写笔记写道：‘添加了一位8位ASCII码’以及‘原始ASCII为7位’；表格中列出了字母A对应的01000001。

1. 该视频未说明所添加的这一位用于何种用途。

$01000001_2$

大写字母A对应的8位ASCII二进制值。

以2为底的字节表示法。

1. 图示
   观察依据

   上方表格使用行标签 $x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$ 表示四个信源符号或消息。

2. 声音
   观察依据

   说话人将它们依次称为“符号 x1”、“消息或符号 x1”，随后又提到“x3 消息”和“x4”。

$x_i$

正在被编码的信源符号或消息；本片段中可见的集合为 {$x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$}。

具有四个列出符号的离散信源字母表。

1. 图示
   观察依据

   列标题依次为码 1 至码 8，其中码 8 为空，末尾还有一列省略号。

2. 声音
   观察依据

   说话人讨论了“码 1 和码 2”、“码 7”、“码 3”，以及“码 1 或码 2 和 4”。

Code j

一种候选的二元码分配方案，将每个信源符号映射到一个码字。

显示了 $j = 1$,2,...,8；在可见表格中，码 8 为空。

1. 图示
   观察依据

   表格中的条目如 00、01、10、11、0、1、110、011、0111、0001 均为分配给各符号的二进制字符串。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“具有码字 01”，并称“这是零码字”。

codeword

在某一特定编码下，分配给信源符号的二进制字符串。

定义在 {0,1} 上的有限二进制字符串。

1. 公式
   观察依据

   表格中列出的信源符号为 $x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$。

2. 声音
   观察依据

   讲师在讲解解码示例（如 $x_1x_1$、$x_3$、$x_2x_2$、$x_4$ 和 $x_1$）时会提及这些符号。

$x_i$

正在被编码为码字的一个信源符号或消息元素。

索引 i 遍历显示表格中所列的信源符号，主要为 $i=1$、2、3、4。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，编码在信息论与编码中用于信源编码和信道编码。

该片段开头即指出，编码在信息论与编码中有两个用途：信源编码与信道编码。这为后续讲座定下基调，即对这两类场景中所用编码类型进行分类。

1. 背景是信息论与编码。

1. 声音
   观察依据

   讲师依次列举了定长码、变长码、可分辨码、前缀码、唯一可译码、即时码和最优码。

2. 图示
   观察依据

   一张标题为“编码的分类：”的幻灯片，以项目符号形式列出了以下七类。

讲座介绍了编码的分类体系：定长编码、变长编码、可分辨编码、前缀自由编码、唯一可译编码、即时编码和最优编码。主讲人还指出，前缀自由编码也称为前缀编码。

1. 这是分类概览，尚未对每一类给出定义。

1. 编码在信息论中的用途。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，定长编码的码字长度是固定的，且所有码字长度均相同。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片文字显示：“定长编码：码字长度固定。所有符号均用相同位数的比特编码（编码1、2与7）。”

定长编码被定义为一种编码方式，其中每个信源符号均由相同位数的比特所组成的码字来表示。在示例表格中，编码1、编码2和编码7被认定为定长编码，因为它们的所有条目均为2位字符串。

1. 该性质适用于某一个编码在其整个字母表所有符号上的整体情况。

2. 其本质特征是码字长度相等，而非码字内容相等。

1. 编码的七类划分

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，变长编码的码字长度不是固定的。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片文字显示：“变长编码：码字长度不固定（编码3、4、5、6等）。”

变长码是指其码字长度并不完全相同的编码。示例表格将编码3、4、5和6标记为变长码，因为不同符号被分配了长度不同的二进制字符串。

1. 该编码中至少有两个码字的比特长度不同。

1. 编码的七类划分

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，前缀自由码也称为前缀码。

2. 图示
   观察依据

   项目符号列表中包含“前缀自由码”。

1. 该片段提到了这一类别名称，但并未在此段中给出定义。

讲座指出，前缀自由码也称为前缀码。本片段未给出前缀自由性的形式化条件，仅说明了术语上的等价关系。

1. 仅为术语性陈述。

1. 编码的七类划分

1. 声音
   观察依据

   讲师以BCD为例说明定长编码，并指出各位数字均用固定长度的4位来表示。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片标题：“定长（对比）变长编码”；正文：“定长编码：所有码字长度相同。例如BCD与ASCII。” 表格：“BCD（8421码）”将0-9映射为0000-1001。

BCD（二进制编码的十进制数），特别是8421码，被作为定长编码的一个示例呈现。每个从0到9的十进制数字都被映射为一个4位二进制字，因此所有码字长度相同。

1. 输入字母表是十进制数字0至9。

2. 每个输出码字恰好包含4位。

1. 定长编码的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人将ASCII作为另一个定长编码示例提出，并讨论了大写字母、小写字母、数字和特殊符号。

2. 图示
   观察依据

   幻灯片标题：“定长编码：ASCII（美国信息交换标准代码）”。表格展示了字符及其对应的ASCII十进制值与ASCII二进制值。

1. 该片段未给出ASCII的完整形式化定义，仅通过示例及“7位/8位”的说明加以介绍。

ASCII被引入为另一种定长编码，全称为美国信息交换标准代码。幻灯片展示了数字、大写字母、小写字母及特殊符号等典型字符到二进制的映射关系，其二进制输出均为固定宽度。

1. 应用于键盘字符与符号。

2. 所展示的示例均采用固定宽度的二进制表示。

1. 定长编码的定义

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，变长编码的示例包括霍夫曼编码、香农-范诺编码、Lempel-Ziv信源编码算法等编码技术。

2. 图示
   观察依据

   底部文字写道：“变长编码：不同码字具有不同长度。示例包括霍夫曼编码、香农-范诺编码、Lempel-Ziv等。”

本讲最后列举了若干命名的变长编码方法：霍夫曼编码、香农-范诺编码，以及莱姆佩尔-齐夫信源编码技术。这些方法的特点是：不同码字可以具有不同的长度。

1. 这些仅为示例；本片段中未展开任何算法。

1. 变长码的定义

1. 图示
   观察依据

   幻灯片文字显示“互异码：”，随后是“每个码字均可与其他码字区分（码1、2）”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人：“互异码。每个码字均可与其他码字区分。”

当每个信源符号都被分配一个不同于其他所有符号所对应码字的码字时，该编码称为互异码，即任意两个符号不共享相同的二进制字符串。

1. 适用于将符号映射到码字的固定编码方案。

2. 要求该编码中所有码字两两互不相等。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片文字显示“前缀自由码：”以及“任一码字均不应是其他码字的前缀（码1、2、4）”。

2. 声音
   观察依据

   主讲人：“前缀码也称作前缀自由码。任一码字均不应是其他码字的前缀。”

前缀自由码是一种编码方式，其中任一码字均不出现在其他任何码字的起始段（即前缀）中。主讲人也将其称为“前缀码”。

1. 该定义基于二进制字符串的连接运算。

2. 对任意一对不同的码字 $c_a$、$c_b$，$c_a$ 都不是 $c_b$ 的前缀，且 $c_b$ 也不是 $c_a$ 的前缀。

1. 互异码的定义

1. 图示
   观察依据

   下表显示：'x1x1 或 x3——解码时产生混淆' 和 'x2x2 或 x4——解码时产生混淆'。

2. 声音
   观察依据

   说话人：'如果编码不是前缀码，解码时就会产生混淆。'

当一种编码不是前缀码时，接收到的比特串可以被分割成多种方式，每种方式都对应一组有效的码字，因此接收方无法唯一确定原始符号序列。

1. 当至少有一个码字是另一个码字的前缀时发生。

2. 此处以拼接后的接收字符串为例进行说明。

1. 前缀自由码的定义

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：前缀自由码：任一码字均不得是其他码字的前缀（码字1、2与4）。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，前缀自由码是允许用于解码的编码方法，并解释当一个码字是另一个码字的前缀时所引发的混淆。

若一个码中任意码字均不是其余任一码字的前缀，则该码称为前缀自由码。在第一张表格中，幻灯片标出码字1、2和4满足此条件，而码字3则作为非前缀自由码的示例。

1. 适用于为信源符号所分配的一组码字。

2. 对任意两个不同的码字，二者均不得以对方为前缀开头。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，前缀自由码也称为前缀码。

前缀自由码也称为前缀码。

1. 该术语出现在当前展示的编码分类语境中。

本术语在本讲所用术语范围内具有普适性。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片注释标明：码1、2与7为定长码。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，这些示例中的所有码字长度相同，均为2位。

在所展示的表格中，码1、码2和码7属于定长码，因为每个列出的码字长度均为2位。

1. 使用表格中显示的四个符号 $x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$。

针对表格中每一行，以及所有已命名的编码。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片注释指出编码3、4、5、6等为变长编码。

2. 声音
   观察依据

   讲师在示例中指出了码字长度1、2和4。

在所展示的表格中，编码3、编码4、编码5和编码6是变长编码，因为它们的码字并非都具有相同的比特长度。

1. 使用表格中显示的四个符号 $x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$。

针对所有已命名的编码，以及表格中至少一对行。

1. 图示
   观察依据

   标注文字写道：“所有码字具有固定的4比特长度。”

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，这些数字以固定的4比特长度表示。

在 BCD（8421码）示例中，每个十进制数字0至9均由一个4比特的码字编码。

1. 输入是一个单独的十进制数字。

对于所有显示的十进制数值0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，大写字母从65开始依次表示，直至90。

2. 图示
   观察依据

   ASCII 表显示 $A=65$ 至 $Z=90$。

讲座指出，表中所示大写字母的十进制数值范围为65至90。

1. 指表格中展示的大写英文字母。

针对表中显示的大写字母 A 至 Z。

1. 声音
   观察依据

   讲师指出，小写字母……的十进制数值表示范围从97……至122。

2. 图示
   观察依据

   ASCII 表显示 $a=97$ 至 $z=122$。

讲座指出，表中所示小写字母的十进制数值范围为97至122。

1. 指表格中显示的小写英文字母。

针对所展示的小写字母 a 到 z。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片文字指出：'在编码7中，x1和x3具有相同的码字。因此，它不是一种可区分编码。'

2. 声音
   观察依据

   说话人：'这里00代表消息x1，而00也代表……另一条消息x3。因此，它不是一种可区分编码。'

在编码7下，$x_1$和$x_3$都被赋予了00，因此编码7不满足可区分编码条件。

1. 请使用所展示表格中的“编码7”列。

2. 可区分性要求所有码字两两互不相同。

针对标为代码7的具体编码分配。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片上的红色标注将“（代码1、2）”标记为不同代码的示例。

2. 声音
   观察依据

   说话人解释说，x1在一种代码中为00，在另一种代码中为11；而x4在一种代码中为11，在另一种代码中为00，并得出结论：“它们是不同的。”

1. 音频中在比较各列时表述略显不流畅，但视觉标注清晰地将代码1和2识别为不同代码的示例。

在所展示的表格中，代码1和代码2为每个信源符号分配了不同的码字，因此满足不同代码的定义。

1. 使用所展示表格中的代码1列和代码2列。

针对标为代码1和代码2的具体编码分配。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片文字在前缀自由定义之后列出“（代码1、2、4）”。

2. 声音
   观察依据

   说话人说：“假设看到代码1或代码2和4”，然后论证像0这样的码字在这些示例中不是任何其他码字的前缀。

所展示的代码1、2和4满足前缀自由条件，因为每一列中的任意码字均不是该列中其他码字的前缀。

1. 使用显示表格中的代码1、代码2和代码4三列。

2. 应用幻灯片中所述的前缀自由定义。

针对所命名的三种编码分配方式。

1. 图示
   观察依据

   幻灯片文字写道：‘观察代码3（该代码不是前缀自由的）：’

2. 声音
   观察依据

   说话人：‘观察代码3，它不是前缀码。假设0表示x1的码字，但它却成了x3消息的前缀。同时，码字1也成了码字x4的前缀。因此，代码3不是前缀码。’

在编码 3 中，$x_0$ 的码字 1 是 $x_00$ 的码字的前缀，且 $x_3$ 的码字 1 是 $x_2$ 的码字的前缀，因此编码 11 违反了前缀自由条件。4下表中写的是 'x3 violates the prefix-free condition.

1. 使用显示表格中的代码3列。

2. 应用前缀自由定义。

针对标为代码3的特定编码分配方式。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：所有前缀自由码都是唯一可解码的。前缀自由条件足以保证任一码字均非另一码字的前缀。因此，前缀自由码是唯一可解码码。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，所有前缀自由码都是唯一可解码的，并强调前缀自由条件在接收端解码消息时至关重要。

所有前缀自由码都是唯一可解码的。

1. 该编码满足前缀自由条件：任一码字均非另一码字的前缀。

对任意编码，若其为前缀自由码，则它必为唯一可解码码。

1. 公式
   观察依据

   幻灯片注释：注意：前缀自由条件并非唯一可解码性的必要条件。

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，并非所有唯一可解码码都具有前缀自由性，并以示例编码0、01、011、0111加以说明。

前缀自由性是唯一可译性的充分条件，但不是必要条件。

1. 至少存在一个码，它是唯一可译的，但不是前缀自由的。

并非每个唯一可译码都是前缀自由的。

1. 声音
   观察依据

   讲师说，如果你想将65进制数转换……我们可以进行重复除法……从而将其转换为 ASCII 二进制值。

2. 图示
   观察依据

   手写演算显示65被2反复整除，得到余数1、0、0、0、0、0、1，并注明原始 ASCII 为7位，后增加一位成为8位 ASCII。

1. 视频并未明确解释为何自下而上读取余数即可得到二进制表示。

1. 公式

   $$65 \div 2 = 32 \text{ remainder } 1$$
   解释

   从字符 'A' 的十进制 ASCII 值开始重复除法过程。

   步骤依据

   幻灯片上观察到的手写演算。

   视频直接表达
2. 公式

   $$32 \div 2 = 16 \text{ remainder } 0$$
   解释

   继续用商除以2，并记录余数。

   步骤依据

   幻灯片上观察到的手写演算。

   视频直接表达
3. 公式

   $$16 \div 2 = 8 \text{ remainder } 0$$
   解释

   重复相同的除法步骤。

   步骤依据

   幻灯片上观察到的手写演算。

   视频直接表达
4. 公式

   $$8 \div 2 = 4 \text{ remainder } 0$$
   解释

   重复相同的除法步骤。

   步骤依据

   观察幻灯片上的手写计算过程。

   视频直接表达
5. 公式

   $$4 \div 2 = 2 \text{ remainder } 0$$
   解释

   重复相同的除法步骤。

   步骤依据

   观察幻灯片上的手写计算过程。

   视频直接表达
6. 公式

   $$2 \div 2 = 1 \text{ remainder } 0$$
   解释

   重复相同的除法步骤。

   步骤依据

   观察幻灯片上的手写计算过程。

   视频直接表达
7. 公式

   $$1 \div 2 = 0 \text{ remainder } 1$$
   解释

   当商达到0时停止。

   步骤依据

   观察幻灯片上的手写计算过程。

   视频直接表达
8. 公式

   $$65_{10} = 1000001_2$$
   解释

   从下往上读取余数，得到 7 的 -位二进制形式 65。

   步骤依据

   标准的重复除法进制转换法；幻灯片展示了所得的1000001。

   依据视频推导
9. 公式

   $$\text{8-bit form shown: }01000001_2$$
   解释

   幻灯片标注：在原有的7位ASCII码基础上增加一位，得到表格中所列的8位形式。

   步骤依据

   幻灯片上有明确的手写注释，并附有字母A的ASCII码表条目。

   视频直接表达

十进制 65，大写字母 A 的 ASCII 码，被转换为 1000001 中的 7-位二进制数，并显示为 01000001 中的 8-位表项（添加一个前导位后）。

1. 图示
   观察依据

   代码7列明显将00分配给x1，并将00分配给x3。

2. 声音
   观察依据

   说话人明确比较了两个00条目，并得出该编码不具有唯一性的结论。

1. 公式

   $$x_1 \mapsto 00,\quad x_3 \mapsto 00 \text{ in Code 7}$$
   解释

   阅读表格中的编码7列。

   步骤依据

   从所展示的映射中直接观察得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$00 = 00$$
   解释

   这两个符号被赋予了相同的码字。

   步骤依据

   所观察到的两个码字相等。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\neg(\text{all codewords pairwise different})$$
   解释

   因此，互异编码的要求被违反。

   步骤依据

   依据本视频片段前文所述的互异编码定义。

   视频直接表达

编码7不是互异编码，因为两个不同的信源符号共享同一个码字。

1. 图示
   观察依据

   编码3列显示 $x1=0$，$x2=1$，$x3=00$，$x4=11$。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出0是00的前缀，且1是11的前缀。

1. 公式

   $$x_1 \mapsto 0,\; x_3 \mapsto 00$$
   解释

   从编码3中提取相关码字。

   步骤依据

   直接观察表格得出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$0 \text{ is a prefix of } 00$$
   解释

   较短的字符串0出现在00的开头。

   步骤依据

   字符串前缀的定义。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_2 \mapsto 1,\; x_4 \mapsto 11$$
   解释

   从编码3中提取第二组违规的码字对。

   步骤依据

   直接观察表格得出。

   视频直接表达
4. 公式

   $$1 \text{ is a prefix of } 11$$
   解释

   较短的字符串1出现在11的开头。

   步骤依据

   字符串前缀的定义。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\neg(\text{no codeword is a prefix of another})$$
   解释

   至少有一个码字是另一个码字的前缀，因此前缀自由条件不成立。

   步骤依据

   依据幻灯片中所述的前缀自由码定义。

   视频直接表达

编码3不是前缀自由的，因为0是00的前缀，且1是11的前缀。

1. 图示
   观察依据

   Lower table writes 'x1x1 或 x3 位于接收到的字符旁00 和 'x2x2 或 x4 位于接收到的字符旁11，两者均标记为“解码时的混淆”

2. 声音
   观察依据

   主讲人指出，若编码不是前缀自由的，接收方在解码时会产生混淆，并解释说00可被拆分为0＋0，也可被整体视为00。

1. 公式

   $$\text{Received string } 00$$
   解释

   考虑接收到的比特串 00 在编码方案 3。

   步骤依据

   如下方示例表格及音频中所述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$00 = 0\,0 \quad\text{or}\quad 00 = 00$$
   解释

   同一接收串可被切分为两个编码字0的副本，也可被切分为一个编码字00的副本。

   步骤依据

   字符串拼接及与编码3条目的直接比对。

   视频直接表达
3. 公式

   $$0\,0 \leftrightarrow x_1x_1,\quad 00 \leftrightarrow x_3$$
   解释

   利用编码3，0映射为$x_1$，而00映射为$x_3$。

   步骤依据

   该映射关系取自编码3列。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Received } 00 \Rightarrow x_1x_1 \text{ or } x_3$$
   解释

   因此接收方无法唯一确定是哪一个信源序列生成了00。

   步骤依据

   同一接收串存在两种有效的解码方式。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{Similarly, received } 11 \Rightarrow x_2x_2 \text{ or } x_4$$
   解释

   相同推理也适用于11，因为1映射为$x_2$，而11映射为$x_4$。

   步骤依据

   该映射关系取自编码3列，并显示于下方表格中。

   视频直接表达

由于编码3不是前缀码，像00和11这样的接收串允许多种有效解码，从而在接收方引发混淆。

1. 公式
   观察依据

   下方表格中，编码3显示：$x_1 \to 0$，$x_2 \to 1$，$x_3 \to 00$，$x_4 \to 11$。

2. 公式
   观察依据

   高亮文字为：$X(x1)$ OF x3——解码时产生混淆；$X(x2)$ OF x4——解码时产生混淆。

3. 声音
   观察依据

   讲师指出存在两种可能的解码方式，因此产生混淆；类似地，对于11，它可被解释为 $x_2x_2$ 或 $x_4$。

1. 公式

   $$x_1 \mapsto 0,\quad x_3 \mapsto 00$$
   解释

   在编码3中，$x_1$ 的码字是 0，$x_3$ 的码字是 00。

   步骤依据

   直接从屏幕上显示的编码3表格中读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$0 \text{ is a prefix of } 00$$
   解释

   因为00以0开头，所以码字0是00的前缀。

   步骤依据

   依据幻灯片中关于前缀自由码所给出的前缀定义。

   依据视频推导
3. 公式

   $$00 \Rightarrow x_1x_1 \text{ or } x_3$$
   解释

   接收到的字符串00可以被分割为两个码字0的副本，得到$x_1x_1$；也可以被分割为一个码字00的副本，得到$x_3$。

   步骤依据

   这两种分割方式所使用的码字均来自码3中的有效码字。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x_2 \mapsto 1,\quad x_4 \mapsto 11,\quad 11 \Rightarrow x_2x_2 \text{ or } x_4$$
   解释

   相同的问题也出现在1和11中：字符串11可被解码为$x_2x_2$，也可被解码为$x_4$。

   步骤依据

   请参考码3的表格及其中高亮标注的混淆说明。

   视频直接表达
5. 解释

   因此，码3违反了前缀自由条件，导致解码过程中产生歧义。

   步骤依据

   码字之间的前缀关系使得同一比特串存在多种有效的解析方式。

   依据视频推导

码3不是前缀自由的，因为0是00的前缀，且1是11的前缀，这会导致解码混淆。

1. 公式
   观察依据

   示例表格显示：$x_1 \to 0$，$x_2 \to 01$，$x_3 \to 011$，$x_4 \to 0111$。

2. 公式
   观察依据

   表格旁的蓝色注释：这些码不是前缀自由的，但它是唯一可译的。

3. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：例如，序列011101可解码为x4x1，这种解码是可行的。

4. 公式
   观察依据

   幻灯片文字：另一个例子，0111仅解码为x4——可行；或解码为x111、x211、x31——这些均为无意义的解码方式。

5. 声音
   观察依据

   讲师指出：0是前缀，01也是前缀，011也是前缀；但由于其他解析方式会留下无意义的尾随比特，该码仍为唯一可译的。

1. 幻灯片上印出的选项显示为 x111、x211、x31；讲师口述的记号听起来像是 $x_1$ 后接 111，$x_2$ 后接 11，以及 $x_3$ 后接 1。其本意是明确的，但印刷版的下标格式略显紧凑。

1. 公式

   $$x_1 \mapsto 0,\; x_2 \mapsto 01,\; x_3 \mapsto 011,\; x_4 \mapsto 0111$$
   解释

   该示例将嵌套的二进制字符串分配给四个信源符号。

   步骤依据

   直接从示例表格中读取即可。

   视频直接表达
2. 公式

   $$0 \prec 01 \prec 011 \prec 0111$$
   解释

   每个较短的码字都是下一个更长码字的前缀，因此该码不是前缀码。

   步骤依据

   通过观察所列码字及前缀的定义即可得出。

   依据视频推导
3. 公式

   $$011101 \Rightarrow x_4x_1$$
   解释

   序列 011101 可被解析为 0111 后接 0，对应于 $x_4x_1$。

   步骤依据

   0111 和 0 均为表格中有效的码字。

   视频直接表达
4. 公式

   $$0111 \Rightarrow x_4$$
   解释

   序列 0111 具有唯一完整的有效解析：$x_4$。

   步骤依据

   0111 恰好是分配给 $x_4$ 的码字。

   视频直接表达
5. 公式

   $$0111 \not\Rightarrow x_1\,111,\quad x_2\,11,\quad x_3\,1$$
   解释

   若尝试以 0、01 或 011 开头，则余下比特分别为 111、11 或 1，而这些余下部分在此编码中均非有效码字。

   步骤依据

   可用的码字仅有 0、01、011 和 0111；上述余下部分与其中任一码字均不匹配。

   依据视频推导
6. 解释

   因此，尽管码字之间存在前缀关系，该示例对所展示的序列仍仅存在一种有效的完整译码方式。

   步骤依据

   所有其他可能的分段方式最终都会产生无效的剩余比特串，因此它们都不是合法的译码。

   依据视频推导

码 {0, 01, 011, 0111} 不是前缀码，但却是唯一可译码的，这表明前缀性对于唯一可译性而言是充分条件，但不是必要条件。

1. 公式
   观察依据

   示例表格列出：$x_1 \to 0$，$x_2 \to 01$，$x_3 \to 011$，$x_4 \to 0111$，并附注：‘这些码不是前缀码，但具有唯一可译性。’

2. 公式
   观察依据

   表格下方，幻灯片给出：‘解码序列 $011101 \to x_4 x_2$’，并标注：‘该解码可行。’

3. 公式
   观察依据

   另一行显示：‘$0111 \to x_4$（仅此一种）——可行’，以及其它划分方式：‘或 $x_2 x_1$’、‘或 $x_3 x_1$’，随后注明：‘这些均为无意义的解码方式。’

1. 已核对原片：印刷的二进制码字为 011，旁边蓝色手写标注不属于码字。

1. 公式

   $$x_1 \to 0,\quad x_2 \to 01,\quad x_3 \to 011,\quad x_4 \to 0111$$
   解释

   所展示的码字集合中，较短的码字是较长码字的前缀，因此该码不是前缀码。

   步骤依据

   直接从幻灯片上的示例表格中读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$011101 \to x_4 x_2$$
   解释

   幻灯片将此作为序列011101的一种有效译码呈现。

   步骤依据

   表格下方给出的明确演算示例。

   视频直接表达
3. 公式

   $$0111 \to x_4 \text{ only}$$
   解释

   对于较短的序列0111，幻灯片指出唯一可接受的译码是$x_4$，而其他看似可行的分割方式则被判定为无意义。

   步骤依据

   幻灯片上的明确标注。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   从这些例子出发，讲座得出结论：缺乏前缀性本身并不足以破坏唯一可译性。

   步骤依据

   与幻灯片注释一致，即前缀性并非唯一可译性的必要条件。

   依据视频推导

该示例展示了一种并非前缀码、却仍被呈现为唯一可译的码。

1. 图示
   观察依据

   一张表格列出了$x_i$行，以及从Code1到Code8的列，各单元格中填入二进制数值。

2. 声音
   观察依据

   讲师利用该表格区分定长编码与变长编码。

给定一张源符号$x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$的表格及若干二进制编码，请指出哪些编码是定长编码，哪些是变长编码。

1. $x_1$：编码$1=00$，编码$2=11$，编码$3=0$，编码$4=0$，编码$5=0$，编码$6=1$，编码$7=00$

2. $x_2$：编码$1=01$，编码$2=10$，编码$3=1$，编码$4=10$，编码$5=01$，编码$6=01$，编码$7=01$

3. $x_3$：编码$1=10$，编码$2=01$，编码$3=00$，编码$4=110$，编码$5=011$，编码$6=111$，编码$7=00$

4. $x_4$：编码$1=11$，编码$2=00$，编码$3=11$，编码$4=111$，编码$5=0111$，编码$6=0001$，编码$7=11$

根据所有码字长度是否相等，对所展示的编码进行分类。

1. 公式

   $$\text{Code 1}=\{00,01,10,11\}$$
   解释

   Code1中的全部四个码字均恰好包含2位。

   步骤依据

   直接观察该表格。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Code 2}=\{11,10,01,00\}$$
   解释

   编码2中的全部四个码字都恰好包含2位。

   步骤依据

   直接观察表格。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Code 7}=\{00,01,00,11\}$$
   解释

   编码7中的全部四个码字都恰好包含2位。

   步骤依据

   直接观察表格。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Code 3}=\{0,1,00,11\}$$
   解释

   编码3同时包含1位和2位的码字，因此其码长并不完全相等。

   步骤依据

   直接观察表格。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{Code 4}=\{0,10,110,111\}$$
   解释

   编码4包含长度分别为1、2和3的码字。

   步骤依据

   直接观察表格。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\text{Code 5}=\{0,01,011,0111\}$$
   解释

   编码5包含长度分别为1、2、3和4的码字。

   步骤依据

   直接观察表格。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\text{Code 6}=\{1,01,111,0001\}$$
   解释

   编码6包含长度分别为1、2、3和4的码字。

   步骤依据

   直接观察表格。

   视频直接表达

表格中的定长编码：编码1、编码2、编码7；变长编码：编码3、编码4、编码5、编码6。

答案与幻灯片标注一致：定长部分标注为‘编码1、2和7’，变长部分标注为‘编码3、4、5、6等’。

1. 图示
   观察依据

   BCD 表列出了十进制数值0至9及其4位编码。

2. 声音
   观察依据

   讲师指出，BCD 数字以固定长度4位表示。

使用显示的 BCD（0 到 9）编码十进制数字 8421) code.

1. 表格中列出了十进制数值0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

为每个十进制数字展示其定长二进制码字。

1. 公式

   $$0\to 0000$$
   解释

   数字0对应0000。

   步骤依据

   直接从 BCD 表中读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$1\to 0001$$
   解释

   数字1对应0001。

   步骤依据

   直接从 BCD 表中读取。

   视频直接表达
3. 公式

   $$2\to 0010$$
   解释

   数字2映射为0010。

   步骤依据

   直接从BCD对照表中读取。

   视频直接表达
4. 公式

   $$3\to 0011$$
   解释

   数字3映射为0011。

   步骤依据

   直接从BCD对照表中读取。

   视频直接表达
5. 公式

   $$4\to 0100$$
   解释

   数字4映射为0100。

   步骤依据

   直接从BCD对照表中读取。

   视频直接表达
6. 公式

   $$5\to 0101$$
   解释

   数字5映射为0101。

   步骤依据

   直接从BCD对照表中读取。

   视频直接表达
7. 公式

   $$6\to 0110$$
   解释

   数字6映射为0110。

   步骤依据

   直接从BCD对照表中读取。

   视频直接表达
8. 公式

   $$7\to 0111$$
   解释

   数字7映射为0111。

   步骤依据

   直接从BCD对照表中读取。

   视频直接表达
9. 公式

   $$8\to 1000$$
   解释

   数字8映射为1000。

   步骤依据

   直接从BCD码表中读取。

   视频直接表达
10. 公式

    $$9\to 1001$$
    解释

    数字9映射为1001。

    步骤依据

    直接从BCD码表中读取。

    视频直接表达

每个十进制数字由一个4位的BCD码字表示：0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、0111、1000、1001。

全部十个码字长度相同，与幻灯片标注‘所有码字均为固定长度4位’一致。

1. 图示
   观察依据

   ASCII码表展示了部分字符及其十进制和二进制值，包括0–9、A–Z、a–z以及标点符号。

2. 声音
   观察依据

   讲师讲解了大写字母65到90、小写字母97到122，以及将65转换为二进制的过程。

1. 仅部分行清晰可辨；该片段并未详尽呈现完整的ASCII标准。

利用所展示的ASCII码表，识别数字、大写字母、小写字母及特殊符号所对应的典型十进制码和二进制码。

1. 表格列出了键盘字符、ASCII十进制值和ASCII二进制值。

提取示例映射，并将其与定长编码联系起来。

1. 公式

   $$0\to 48\to 00110000$$
   解释

   数字0的十进制ASCII值为48，二进制值为00110000。

   步骤依据

   从最左侧的ASCII表中查找。

   视频直接表达
2. 公式

   $$9\to 57\to 00111001$$
   解释

   数字9的十进制ASCII值为57，二进制值为00111001。

   步骤依据

   从最左侧的ASCII表中查找。

   视频直接表达
3. 公式

   $$A\to 65\to 01000001$$
   解释

   大写字母A的十进制ASCII值为65，二进制值为01000001。

   步骤依据

   从中间的ASCII表中查找。

   视频直接表达
4. 公式

   $$Z\to 90\to 01011010$$
   解释

   大写字母Z的十进制ASCII值为90，二进制值为01011010。

   步骤依据

   从中间的ASCII表中查找。

   视频直接表达
5. 公式

   $$a\to 97\to 01100001$$
   解释

   小写字母a的十进制ASCII值为97，二进制值为01100001。

   步骤依据

   从最右侧的ASCII表中查找。

   视频直接表达
6. 公式

   $$z\to 122\to 01111010$$
   解释

   小写字母z的十进制ASCII值为122，二进制值为01111010。

   步骤依据

   从最右侧的ASCII码表开始阅读。

   视频直接表达
7. 公式

   $$;\to 59\to 00111011$$
   解释

   分号的十进制值为59，二进制值为00111011。

   步骤依据

   从紫色的特殊符号表中阅读。

   视频直接表达

典型的ASCII映射包括$0\to 48\to 00110000$、$9\to 57\to 00111001$、$A\to 65\to 01000001$、$Z\to 90\to 01011010$、$a\to 97\to 01100001$、$z\to 122\to 01111010$，以及;→$59\to 00111011$。

这些条目展示了定长二进制字符编码，并与大写和小写字母的口述取值范围一致。

1. 图示
   观察依据

   上方表格列出了从代码1到代码7的编码，其中对x1..x4给出了明确的二进制赋值。

2. 声音
   观察依据

   讲解者依次分析代码1、2、3和7的示例，以说明编码的互异性与前缀自由性。

给定编码1至编码7对应符号$x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$的显示表格，请判断哪些编码是互异的，哪些是前缀自由的。

1. 代码1：$x1=00$，$x2=01$，$x3=10$，$x4=11$

2. 代码2：$x1=11$，$x2=10$，$x3=01$，$x4=00$

3. 代码3：$x1=0$，$x2=1$，$x3=00$，$x4=11$

4. 代码4：$x1=0$，$x2=10$，$x3=110$，$x4=111$

5. 代码7：$x1=00$，$x2=01$，$x3=00$，$x4=11$

依据互异码与前缀自由码的定义，对所展示的编码进行分类。

1. 公式

   $$\text{Check pairwise equality of codewords in each column}$$
   解释

   判断互异性时，需比较同一编码内所有码字。

   步骤依据

   幻灯片上陈述了互异码的定义。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Code 1 \text{且} Code 2 pass; Code 7 fails}$$
   解释

   编码方案 1 和 2 有四个不同的码字，而编码 7 重复 00 对于 x1 和 x3。

   步骤依据

   直接观察表格并结合主讲人的讲解。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Check whether any codeword is an initial segment of another}$$
   解释

   判断前缀自由性时，需将每个码字与同一编码中的其他码字逐一比较。

   步骤依据

   幻灯片上陈述的前缀自由编码定义。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Codes 1, 2, \text{且} 4 pass; Code 3 fails}$$
   解释

   在编码3中，0是00的前缀，1是11的前缀；而幻灯片将编码1、2和4标记为前缀自由编码的示例。

   步骤依据

   直接观察表格并结合主讲人的评述。

   视频直接表达

所讨论示例中互不相同的编码：编码1和编码2；所讨论示例中前缀自由的编码：编码1、编码2和编码4；编码7不是互不相同的编码；编码3不是前缀自由编码。

该结论与幻灯片上的红色批注以及关于编码7和编码3的明确口头陈述一致。

1. 图示
   观察依据

   下方表格显示：接收到00时标注为‘x1x1 或 x3——解码时产生混淆’；接收到11时标注为‘x2x2 或 x4——解码时产生混淆’。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释说，00实际表示x3，但其开头的0也可被解码为x1，从而导致接收方产生混淆。

在编码3下，对接收到的比特串00和11进行解码，并解释歧义产生的原因。

1. 编码3的映射关系：$x1=0$，$x2=1$，$x3=00$，$x4=11$

2. 接收到的字符串：00和11

展示所有可能的解码方式，并指出产生混淆的原因。

1. 公式

   $$00 \to 0\,0 \to x_1x_1$$
   解释

   将00拆分为两个一位码字0和0。

   步骤依据

   0 是 x_ 的有效码字1 在编码 3 中。

   视频直接表达
2. 公式

   $$00 \to 00 \to x_3$$
   解释

   或者将00视为一个单独的两位码字。

   步骤依据

   00 是 x_ 的有效码字3 在编码 3 中。

   视频直接表达
3. 公式

   $$11 \to 1\,1 \to x_2x_2$$
   解释

   将11拆分为两个一位码字1和1。

   步骤依据

   1 是 x_ 的有效码字2 在编码 3 中。

   视频直接表达
4. 公式

   $$11 \to 11 \to x_4$$
   解释

   或者将11视为一个单独的两位码字。

   步骤依据

   11 是 x_ 的有效码字4 在编码 3 中。

   视频直接表达

接收到的00可解码为$x_1x_1$或$x_3$；接收到的11可解码为$x_2x_2$或$x_4$。

这些正是下方标有“解码时混淆”的表格中所列出的全部备选方案。

1. 公式
   观察依据

   码 3 的码表条目：$x_1 \to 0$，$x_2 \to 1$，$x_3 \to 00$，$x_4 \to 11$。

2. 公式
   观察依据

   高亮标注：$X(x1)$ 关于 x3——译码时产生混淆；$X(x2)$ 关于 x4——译码时产生混淆。

3. 声音
   观察依据

   讲师明确讨论了：00 应被理解为 $x_1x_1$ 还是 $x_3$，以及 11 应被理解为 $x_2x_2$ 还是 $x_4$。

给定码 3，其码字为 0、1、00、11，判断接收到的字符串 00 和 11 是否能被无歧义地译码。

1. $x_1$ 映射到 0

2. $x_2$ 映射到 1

3. $x_3$ 映射到 00

4. $x_4$ 映射到 11

判断该编码是否为前缀码，以及解码是否存在歧义。

1. 公式

   $$00 = 0\,0 = 00$$
   解释

   字符串00可被拆分为两个码字0和0，也可被读作单个码字00。

   步骤依据

   0和00均出现在编码3中。

   视频直接表达
2. 公式

   $$00 \Rightarrow x_1x_1 \text{ or } x_3$$
   解释

   因此，00可能对应于$x_1x_1$，也可能对应于$x_3$。

   步骤依据

   代入表格中的符号赋值。

   依据视频推导
3. 公式

   $$11 = 1\,1 = 11$$
   解释

   类似地，11可被拆分为两个码字1和1，也可被读作单个码字11。

   步骤依据

   1和11均出现在编码3中。

   视频直接表达
4. 公式

   $$11 \Rightarrow x_2x_2 \text{ or } x_4$$
   解释

   因此，11可能对应于$x_2x_2$，也可能对应于$x_4$。

   步骤依据

   代入表格中的符号赋值。

   依据视频推导

编码3不是前缀码，且00和11均导致解码混淆。

幻灯片本身将这些情况标注为解码时的混淆。

1. 公式
   观察依据

   示例表格：$x_1 \to 0$，$x_2 \to 01$，$x_3 \to 011$，$x_4 \to 0111$。

2. 公式
   观察依据

   注释：这些码字不是前缀码，但具有唯一可译性。

3. 公式
   观察依据

   演示解码过程：序列011101解码为x4x1——该解码可行。另一例：0111可解码为x4（仅此一种），可行；也可解码为x111、x211或x31——这些均为无意义的解码方式。

4. 声音
   观察依据

   讲师指出，尽管0、01和011在该编码中互为前缀，但其他可能的切分方式会留下无意义的剩余比特。

1. 印刷形式x111、x211、x31是视觉上的压缩写法；其本意分别为$x_1$后接111、$x_2$后接11、$x_3$后接1。

对于码字为0、01、011、0111的编码，请判断该编码是否为前缀码，并判断序列011101与0111是否具有唯一可译性。

1. $x_1$映射到0

2. $x_2$映射到01

3. $x_3$映射到011

4. $x_4$映射到0111

通过所展示的示例说明：该编码不满足前缀码条件，但仍具有唯一可译性。

1. 公式

   $$0 \text{ is a prefix of } 01,011,0111$$
   解释

   最短的码字出现在所有较长码字的开头，因此前缀码条件不成立。

   步骤依据

   对所列码字进行直接比较。

   依据视频推导
2. 公式

   $$011101 = 0111\,0 \Rightarrow x_4x_1$$
   解释

   序列011101可被解析为0111后接0，从而得到$x_4x_1$。

   步骤依据

   0111和0均为有效码字。

   视频直接表达
3. 公式

   $$0111 = 0111 \Rightarrow x_4$$
   解释

   序列0111恰好对应一个码字，即$x_4$的码字。

   步骤依据

   与$x_4$对应的表格条目直接匹配。

   视频直接表达
4. 公式

   $$0111 = 0\,111 = 01\,11 = 011\,1 \text{ are invalid}$$
   解释

   若分别以0、01或011开头，则剩余的比特串分别为111、11或1，而这些剩余串在此编码中均非有效码字。

   步骤依据

   该编码仅包含0、01、011和0111作为有效码字。

   依据视频推导

该编码不是前缀自由的，但所展示的序列仅存在一种有效的完整译码方式，因此该示例被表述为唯一可译的。

幻灯片注释明确指出：这些编码并非前缀自由；但它们是唯一可译的。

1. 公式
   观察依据

   右侧表格列出了从Code1到Code8的编码，行标为$x_1$至$x_4$。

2. 声音
   观察依据

   讲师说：‘Code1、2和4是即时码的例子，因为它们是前缀码。’

1. 右侧表格中某些单独条目较小，若需精确转录，则应逐帧重新核对。

判断所展示的哪些编码集是前缀码／即时码。

1. 表格中展示了针对信源符号 $x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$ 的八个编码列。

2. 幻灯片指出，编码 1、编码 2 和编码 4 是即时码。

利用前缀条件对所列编码进行分类。

1. 公式

   $$\text{Code 1: } x_1=00,\ x_2=01,\ x_3=10,\ x_4=11$$
   解释

   该定长编码在表格中给出，并被视作前缀码。

   步骤依据

   依据所展示的表格，并结合主讲人的分类结果。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Code 2: } x_1=11,\ x_2=10,\ x_3=011,\ x_4=010$$
   解释

   该变长编码也被认定为即时码。

   步骤依据

   依据所展示的表格，并结合主讲人的分类结果。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Code 4: } x_1=0,\ x_2=10,\ x_3=110,\ x_4=111$$
   解释

   该编码同样被归类为即时码，因为其中任意一个码字都不是另一个码字的前缀。

   步骤依据

   依据所展示的表格，并结合主讲人的分类结果。

   视频直接表达
4. 公式

   $$$$
   解释

   其余所展示的编码未被包含在主讲人列举的即时码示例中。

   步骤依据

   音频明确指出仅以1、2和4这三个编码为例。

   视频直接表达

编码1、编码2和编码4是本页幻灯片上即时（前缀自由）编码的示例。

验证方法是检查每列中码字之间的前缀关系；幻灯片与讲解均明确指出，仅有这三个编码属于即时编码。

1. 公式
   观察依据

   左侧示例表格列出了 $x_1 \to 0$、$x_2 \to 01$、$x_3 \to 011$、$x_4 \to 0111$。

2. 公式
   观察依据

   注释写道：‘这些不是前缀自由的，但具有唯一可译性。’