运筹学：使用西北角法求解运输问题

1. 图示
   观察依据

   行标题分别为工厂1、工厂2、工厂3。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出有三家工厂生产某种商品。

Factory i

运输表中的供应来源或产地。

i 属于集合 {1,2,3}

1. 图示
   观察依据

   列标题分别为城市1、城市2、城市3、城市4。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出有四座城市对该商品有需求。

City j

运输表中的目的地或需求点。

j 属于集合 {1,2,3,4}

1. 图示
   观察依据

   最右列的列标题为“供应量”，对应数值为35、50、40。

2. 声音
   观察依据

   工厂1的总供应量为35；工厂2生产50单位；工厂3生产40单位。

Supply_i

工厂 i 可提供的商品总单位数。

商品单位

1. 图示
   观察依据

   底行表头为“需求”，对应数值为45、20、30、30。

2. 声音
   观察依据

   城市1的总需求为45单位；城市2的需求为20；城市3的需求为30；城市4的需求为30。

Demand_j

城市 j 所需的总单位数。

货物单位数

1. 图示
   观察依据

   表格内部单元格包含金额，例如$8, $6、$10, $9、$12, $13、$7, $14、$16, $5。

2. 声音
   观察依据

   表格中每个此类单元格内，我标出了每单位货物的运输成本。

Cost_{ij}

从工厂 i 运往城市 j 的每单位运输成本。

每单位美元

1. 图示
   观察依据

   主讲人写下 125，并在供应列旁圈出 35、50、40。

2. 声音
   观察依据

   若将这些数值相加，结果为125。

$\sum_i$ Supply_i

所有工厂的总供应量。

货物单位数

1. 图示
   观察依据

   主讲人在需求行下方写下125，并在45、20、30、30处画圈。

2. 声音
   观察依据

   四座城市的总需求量也是125。

$\sum_j$ Demand_j

所有城市的总需求量。

货物单位

1. 图示
   观察依据

   左上角单元格（工厂1，城市1）被画圈，随后在其中写下35。

2. 声音
   观察依据

   该工厂的供应量为35，因此我们可以全部用完这35个单位。

1. 视频片段在此方法陈述完整分配规则或更新剩余需求之前结束。

$x_{11}$

西北角法下从工厂1运往城市1的货物数量。

货物单位

1. 图示
   观察依据

   运输表中的行标签“工厂1”。

Factory 1

初始供应能力为35单位的第一个供应源。

供应源

1. 图示
   观察依据

   运输表中的行标签“工厂2”。

Factory 2

初始供应能力为50单位的第二个供应源。

供应源

1. 图示
   观察依据

   运输表中的行标签“工厂3”。

Factory 3

初始供应能力为40单位的第三个供应源。

供应源

1. 图示
   观察依据

   运输表中的列标签“城市1”。

City 1

第一个需求目的地，需求数量为45单位。

需求目的地

1. 声音
   观察依据

   本视频中，我将讲解如何使用西北角法求解运输问题。

2. 图示
   观察依据

   表格以工厂为行、城市为列，内部为单位运费，右侧为供应量列，底部为需求量行。

本视频以表格模型引入运输问题，该模型包含多个生产地和多个目的地。行代表工厂，列代表城市，最右一列给出每家工厂的可供应量，最底一行给出每座城市的需求数量，内部单元格则表示每对工厂与城市之间的单位运输成本。

1. 共有 m 个产地和 n 个销地。

2. 每个产地都有一个供应量。

3. 每个销地都有一个需求量。

4. 每对产地与销地之间都有一个单位运输成本。

1. 声音
   观察依据

   因此，这被称为平衡运输问题。

2. 图示
   观察依据

   主讲人将供应列求和得到125，将需求行求和得到125。

当总供应量等于总需求量时，该运输问题称为平衡运输问题。在本例中，总供应量为$35+50+40=125$，总需求量为$45+20+30+30=125$，因此该模型是平衡的。

1. 所有供应量和需求量均为非负数。

2. 在对所有行的供应量及所有列的需求量分别求和后，再检验二者是否相等。

1. 运输问题的设定

1. 声音
   观察依据

   我们希望满足每座城市的需求，同时力求使运输成本最小化。

2. 图示
   观察依据

   内部单元格包含单位成本，例如 $8 from Factory 1 to City 1 且 $6从工厂 1到城市 2。

视频片段中陈述的目标是在满足每座城市需求的同时，使总运输成本最小化。表格中的各项数值表示从指定工厂运往指定城市的单位运输成本。

1. 每个目的地的需求必须得到满足。

2. 在当前展示的设定中，成本与运输量呈线性关系（即单位成本恒定）。

1. 运输问题的设定

1. 声音
   观察依据

   如果你想象我们画一个指南针……西北方就指向这个方向……即朝向左上方。

2. 图示
   观察依据

   画出一个标有北（N）、南（S）、东（E）、西（W）的指南针，并用箭头指示西北方。

主讲人通过将运输表格比作指南针来解释该名称。“西北”对应左上方的方向，因此该方法从运输表格的左上角单元格开始。

1. 该表格的行号自上而下递增，列号自左而右递增。

1. 运输问题的设定

1. 声音
   观察依据

   使用该方法时，我们总是从表格左上角的单元格开始。

2. 图示
   观察依据

   单元格（工厂1，城市1）被圈出，其中包含$8。

西北角法的第一步是在运输表的左上角单元格开始。在本例中，即为工厂1到城市1的单元格，其单位运费为8。

1. 使用当前活跃子表的左上角单元格。

2. 该方法从此起始位置开始，逐个单元格进行。

1. 方法名称中“西北”的含义
2. 运输问题的设定

1. 声音
   观察依据

   城市1的总需求为45单位。因此，我们将在此单元格中尽可能多地满足该需求，具体数量取决于该工厂的可用供应量。

2. 图示
   观察依据

   主讲人圈出城市 1的需求量45、工厂 1 供应量 35，并填入（工厂 35，城市 1）单元格。1）单元格。

1. 该片段在通用规则“取供应量与需求量中的较小值”完全陈述完毕，或剩余需求更新过程展示之前即结束。

在起始单元格处，视频从所选工厂向所选城市尽可能多地分配，但不超过该工厂的可用供应量。此处工厂 1 的供应量为 35，城市 1 的需求量为 45，因此将工厂 35 的全部 1 个单位分配给城市 1。

1. 比较当前行的供应量与当前列的需求量。

2. 将当前行供应量与当前列需求量中较小的数值分配至当前单元格。

3. 本片段仅演示了供应量小于需求量的情形。

1. 西北角法的起始单元格
2. 运输问题的设定

1. 声音
   观察依据

   讲解者说明了通过向下或向右移动来满足需求的过程，该过程取决于剩余供应量与剩余需求量，这正是西北角法的特征。

一种启发式算法，用于求解运输问题的初始基可行解。它从运输单纯形表的左上角（即西北角）单元格开始，在该单元格中尽可能多地分配运量，然后根据供应量或需求量是否耗尽，决定向下或向右移动，并重复此过程，直至所有供应量与需求量均被满足。

1. 总供应量必须等于总需求量（即平衡问题）。

2. 从左上角单元格开始分配。

3. 向当前单元格分配剩余供应量与剩余需求量中的较小值。

4. 若供应量耗尽，则向右移动；若需求量耗尽，则向下移动。

5. 若供应量与需求量同时耗尽，则向右（或向下）移动，并向下一单元格分配0，以维持退化性规则。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说：“现在这一列已完成，我们将进入下一列，即城市三。”

2. 图示
   观察依据

   活跃焦点从已完成的城市2列转移到城市3列中第一个可用的单元格。

当某一列的需求已完全满足时，该方法将推进至下一列，并在该列中选取下一个可用的单元格。本片段中，在完成城市2后，流程移至城市3，并定位其中第一个可用单元格。

1. 当前列的需求已全部满足。

2. 下一列仍有未满足的需求。

3. 所选单元格不得因供应或需求耗尽而被提前排除。

1. 声音
   观察依据

   讲解员指出工厂2尚余20单位供应，全部使用后，发现城市需求仍剩余10单位，因此需向下移动至下一个单元格。

2. 公式
   观察依据

   工厂2与城市3交叉处的单元格分配量为20，工厂2的供应耗尽，城市3的需求则从30减少至10。

如果所选单元格耗尽了当前行的所有剩余供应量，但该列的需求尚未满足，则算法将剔除该行，并向下移动到同一列中的下一个可用行。此处，分配20 从工厂 2 到城市 3 耗尽了工厂 2 的全部供应，还剩 10 单位的城市 3 需求需由工厂 3 满足。

1. 当前行的剩余供应量小于当前列的剩余需求量。

2. 分配后，该行的供应量变为零。

3. 该列的需求量仍为正数。

1. 西北角法向下一列的转移

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出：工厂3的供应量为40，从中调拨10，使供应量减少至30，在对应单元格填入10，随后说明城市3的需求已全部满足，因此转向下一列——城市4。

2. 公式
   观察依据

   工厂3与城市3对应的单元格接收10，城市3的需求由此完全满足，焦点随即转向城市4。

如果所选单元格恰好耗尽了当前列的剩余需求，而该行仍有供应量，则算法将剔除该列，并向右移动到下一列。在本片段中，分配10 从工厂 3 到城市 3 完成城市 3 的需求，因此流程进入城市 4 而工厂 3 仍有 30 单位剩余。

1. 当前列的剩余需求量小于或等于当前行的剩余供应量。

2. 分配后，该列的需求量变为零。

3. 该行的供应量可能仍为正数。

1. 某一行供应耗尽将迫使移动方向向下

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：“我们可以看到，二号工厂的供应量已经用尽，因此我们只需将这个单元格划去，然后直接进入最后一个单元格。”

2. 图示
   观察依据

   工厂 2 / 城市 4 对应的单元格被划掉，然后关注转向工厂 3 / 城市 4。

当进入新一列时，若某行的供应量已全部用完，则该行中该列的单元格不可再分配。该方法会将该单元格划去，并继续查找该列中下一个可用的单元格。此处跳过了工厂2/城市4，因为工厂2的供应量此前已耗尽。

1. 该行的供应量已为零。

2. 该单元格位于当前活动列中。

3. 同一列中还有另一行尚有剩余供应量。

1. 某一行供应耗尽将迫使移动方向向下

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，城市4的总需求量为30，且可用剩余供应量满足该需求，在最后一个单元格中填入30单位。

2. 公式
   观察依据

   工厂3/城市4单元格分配到30单位，工厂3的剩余供应量变为0。

在最后一个活跃单元格处，将剩余供应量分配给剩余需求。本例中，工厂 3 仍有 30 单位和城市 4 需要 30 单位，因此最终分配为 30 从工厂 3 到城市 4，完成可行的西北角法解。

1. 仅剩一个活动单元格。

2. 本例中，剩余行供应量等于剩余列需求量。

3. 所有先前的行与列均已消除或已满足。

1. 跳过那些所在行供应量已耗尽的单元格。

1. 声音
   观察依据

   总供应量……结果为125……总需求量……也为125。因此，这被称为一个产销平衡的运输问题。

2. 图示
   观察依据

   125写在供应量列的旁边，同时也写在需求量行的下方。

对于所展示的3行4列示例，总供应量等于总需求量，二者均为125，因此该运输问题是产销平衡的。

1. 供应量数值为35、50、40。

2. 需求量数值为45、20、30、30。

针对此特定示例表格。

1. 声音
   观察依据

   当我们使用该方法时，总是从表格左上角的单元格开始。

2. 图示
   观察依据

   左上角的内部单元格被标出圆圈。

使用西北角法时，初始分配在运输表格的左上角单元格中进行。

1. 运输表格按行表示产地、列表示销地的方式排列。

针对本视频片段所介绍的方法。

1. 声音
   观察依据

   讲解员指出，城市3的总需求为30。

2. 公式
   观察依据

   城市3下方的“需求”行显示30。

该运输表中，目的地城市3需要30个单位。

1. 所展示的表格是当前正在求解的运输问题实例。

2. 标有“需求”的最底一行列出了各目的地的需求量。

针对显示表格中特定的城市3列。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说工厂2还剩20单位供应量。

2. 公式
   观察依据

   工厂2的供应量条目显示，50被划掉、40被划掉，而20被写为剩余数量。

当算法进入城市3列时，工厂2仍可提供20单位。

1. 此前已从工厂2向城市1和城市2完成分配。

2. 供应量列记录每次分配后剩余的产能。

对于工厂 2 在城市 3 分配步骤开始时。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说，总共有20单位已满足30单位的需求，因此需求减少了20单位，变为10单位。

2. 公式
   观察依据

   城市 3 需求量从 30 变为 10 在工厂中填入 20 后，2 / 城市 3 单元格。

城市 3 在工厂 2 分配后的剩余需求为 10 单位。

1. 城市3的初始需求量为30。

2. 分配量 $x_{23}=20$ 由工厂 2 分配至城市 3。

对于城市 3，在工厂 2 / 城市 3 分配。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说明：工厂3的供应量为40，从中调出10单位，剩余供应量变为30。

2. 公式
   观察依据

   工厂 3 供应量由 40 变为 30 当 10 被置于工厂 3 / 城市 3 单元格中时。

分配后 10 单位货物从工厂 3 到城市 3，工厂 3 剩余供应量为 30 单位。

1. 工厂3的初始供应量为40。

2. 执行分配$x_{33}=10$。

对于工厂 3，在工厂 3 / 城市 3 分配之后。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说明：城市4的总需求量为30。

2. 公式
   观察依据

   城市4下方的需求行显示为30。

运输表中，目的地城市4需要30个单位。

1. 所示表格为当前正在求解的运输问题实例。

2. 标有“需求”的最底行列出了各目的地的需求量。

针对所显示表格中城市4所在的特定列。

1. 声音
   观察依据

   讲解者表示，他们将使用剩余供应量，并在此单元格中填入30个单位，以满足城市4的需求。

2. 公式
   观察依据

   工厂3/城市4单元格分配到30，工厂3的剩余供应量变为0。

在完成的西北角法解中，$x_{34}=30$。

1. 工厂 3 有 30 个单位剩余，用于供应城市 3。

2. 城市4仍需30个单位。

3. 工厂2的供应量已耗尽，因此跳过工厂2/城市4单元格。

针对所展示解法中最后一个活跃单元格。

1. 公式
   观察依据

   黑板上写着：总成本 = 35($8)+10($9) + 20($12)+20($13) + 10($16)+30($5)。

2. 声音
   观察依据

   讲解员依次读出每个已分配的单元格，并将其运量乘以单位运输价格。

1. 本片段中未显示最终的数值总和。

所展示分配方案的总运输成本表示为：35乘以8，加上10乘以9，加上20乘以12，加上20乘以13，加上10乘以16，再加上30乘以5。

1. 已分配的单元格为：(1,1)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,3) 和 (3,4)。

2. 对应的单位成本分别为：8、9、12、13、16 和 5。

针对本片段中所示的特定已完成分配表。

1. 声音
   观察依据

   若将这些数值相加，结果为125……总需求……也为125。

2. 图示
   观察依据

   供应项35、50、40被圈出，并标出125；需求项45、20、30、30被圈出，并标出125。

1. 公式

   $$35 + 50 + 40 = 125$$
   解释

   将供应列中所示的三个工厂供应量相加。

   步骤依据

   对所显示的供应值直接求和。

   视频直接表达
2. 公式

   $$45 + 20 + 30 + 30 = 125$$
   解释

   将需求行中所示的四个城市需求量相加。

   步骤依据

   对所显示的需求值直接求和。

   视频直接表达
3. 公式

   $$125 = 125$$
   解释

   比较总供应量与总需求量。

   步骤依据

   两项总量相等，表明该模型为平衡模型。

   视频直接表达

总供应量等于总需求量，因此该例是一个平衡的运输问题。

1. 声音
   观察依据

   城市1的总需求为45单位……该工厂的供应量为35，因此我们可以全部用完其中的35单位。

2. 图示
   观察依据

   选中（工厂1，城市1）单元格，并将35填入其中。

1. 视频片段在更新城市1的剩余需求或解释下一步操作之前停止。

1. 公式

   $$\text{Start at }(Factory\ 1, City\ 1)$$
   解释

   从运输表格的左上角单元格开始。

   步骤依据

   视频中陈述的西北角法规则。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Supply}_{1}=35,\quad \text{Demand}_{1}=45$$
   解释

   读取与起始单元格对应的行供应量和列需求量。

   步骤依据

   数值在表格中明确标出，并被口头读出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_{11}=35$$
   解释

   将工厂1的全部可用供应量分配给城市1，因为该工厂的供应量小于城市的需求量。

   步骤依据

   讲解者指出，应根据工厂的供应量尽可能多地满足需求。

   视频直接表达

本例中第一个西北角法分配是35 单位从工厂1 到城市1。

1. 声音
   观察依据

   讲解员口述：划去35，将需求量更新为10，向下移至工厂2，分配10，将供应量更新为40，并划去城市1和工厂1中剩余的单元格。

2. 动画
   观察依据

   第一列与第一行中数字的视觉更新及单元格划去效果。

1. 公式

   $$x_{11} = \min(35, 45) = 35$$
   解释

   从工厂1向城市1分配尽可能大的数量。

   步骤依据

   西北角法规则：分配量取供应量与需求量中的较小值。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S_1 = 35 - 35 = 0$$
   解释

   工厂1的供应量已完全耗尽。

   步骤依据

   从初始供应量中减去已分配的数量。

   视频直接表达
3. 公式

   $$D_1 = 45 - 35 = 10$$
   解释

   更新城市1的剩余需求量。

   步骤依据

   从初始需求量中减去已分配的数量。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x_{21} = \min(50, 10) = 10$$
   解释

   向下移至工厂2，并分配以满足城市1的剩余需求量。

   步骤依据

   由于工厂1的供应量为0，向下移动。分配量取（新的供应量，剩余需求量）中的较小值。

   视频直接表达
5. 公式

   $$S_2 = 50 - 10 = 40$$
   解释

   更新工厂2的剩余供应量。

   步骤依据

   从工厂2的供应量中减去已分配的数量。

   视频直接表达
6. 公式

   $$D_1 = 10 - 10 = 0$$
   解释

   城市1的需求现已完全满足。

   步骤依据

   剩余需求量变为零。

   视频直接表达
7. 公式

   $$x_{31} = 0$$
   解释

   划掉城市1所在列中剩余的单元格。

   步骤依据

   城市1的需求已满足，因此该列不再进行任何后续分配。

   视频直接表达
8. 公式

   $$x_{12} = x_{13} = x_{14} = 0$$
   解释

   划掉工厂1所在行中剩余的单元格。

   步骤依据

   工厂1的供应量已耗尽，因此该行不再进行任何后续分配。

   视频直接表达

第一列（城市1）和第一行（工厂1）均已完全处理完毕，剩下工厂2尚有40单位供应量需分配给城市2、3和4。

1. 声音
   观察依据

   讲解员叙述移至城市 2，分配 20 来自工厂 2，更新供应量为 20，并划掉城市 2。

2. 动画
   观察依据

   第二列中数字的视觉更新及单元格划掉效果。

1. 公式

   $$x_{22} = \min(40, 20) = 20$$
   解释

   移至下一个可用单元格（工厂2，城市2），并进行分配以满足城市2的需求。

   步骤依据

   西北角法规则：分配量取剩余供应量与需求量中的较小值。

   视频直接表达
2. 公式

   $$S_2 = 40 - 20 = 20$$
   解释

   更新工厂2的剩余供应量。

   步骤依据

   从工厂2当前供应量中减去已分配的数量。

   视频直接表达
3. 公式

   $$D_2 = 20 - 20 = 0$$
   解释

   城市2的需求已完全满足。

   步骤依据

   剩余需求变为零。

   视频直接表达
4. 公式

   $$x_{32} = 0$$
   解释

   划去城市2所在列中其余的单元格。

   步骤依据

   城市2的需求已满足，因此该列不再进行任何后续分配。

   视频直接表达

第二列（城市2）已解决，此时工厂2尚有20单位供应量，而城市3和城市4仍有未满足的需求。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说明：城市3的需求量为30，工厂2尚余供应量20，全部使用该供应量，在单元格中填入20，并将城市3的需求量减至10。

2. 公式
   观察依据

   工厂2与城市3交叉处的单元格填入20；工厂2的供应量由20变为0；城市3的需求量由30变为10。

1. 公式

   $$d_3=30$$
   解释

   从需求行读取城市3的剩余需求。

   步骤依据

   表格明确显示了 30 在城市 3 下的值，且讲解员陈述了该数值。

   视频直接表达
2. 公式

   $$s_2^{\text{left}}=20$$
   解释

   读取工厂 2 在进入城市 3 列之前的剩余供应量。

   步骤依据

   工厂2的供应列在前期分配后显示为20，且讲解者说明工厂2尚余20单位供应量。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_{23}=\min(s_2^{\text{left}},d_3)=\min(20,30)=20$$
   解释

   将当前西北角单元格中剩余供应量与剩余需求量的较小值作为分配量。

   步骤依据

   这是讲解者所演示的西北角法则，其表述为“用尽工厂2的所有剩余供应量”。

   依据视频推导
4. 公式

   $$s_2^{\text{new}}=20-20=0$$
   解释

   从工厂2的剩余供应量中减去已分配的数量。

   步骤依据

   棋盘划掉了工厂 2 在单元格中填入后提供的数值 20 到该单元格。

   视频直接表达
5. 公式

   $$d_3^{\text{new}}=30-20=10$$
   解释

   从城市3的剩余需求量中减去已分配的数量。

   步骤依据

   讲解者明确指出需求减少了20，变为10，表格也相应更新。

   视频直接表达

完成第一个城市3步骤后，有20单位货物从工厂2运往城市3，工厂2的供应量已耗尽，而城市3仍需10单位。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出仍有10单位需求未满足，因此向下移动至下一个单元格，启用工厂3，从中调取10单位（其原有供应量为40），使其剩余供应量变为30。

2. 公式
   观察依据

   工厂3／城市3单元格填入10；工厂3的供应量从40变为30；城市3的需求已满足。

1. 公式

   $$d_3^{\text{left}}=10$$
   解释

   将上一步中城市3未满足的需求结转下来。

   步骤依据

   此前的推导以城市3的需求减少至10结束，讲解者重复说明剩余需求为10。

   视频直接表达
2. 公式

   $$s_3=40$$
   解释

   读取本次分配前工厂3的可用供应量。

   步骤依据

   工厂3所在行的供应列显示为40，讲解者指出该数值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_{33}=\min(s_3,d_3^{\text{left}})=\min(40,10)=10$$
   解释

   将剩余供应量与剩余需求量中的较小值分配给新的活跃单元格。

   步骤依据

   这遵循叙述者所提到的西北角法则，即取 10 自工厂 3。

   依据视频推导
4. 公式

   $$s_3^{\text{new}}=40-10=30$$
   解释

   从工厂3的供应量中减去已分配的数量。

   步骤依据

   板书将工厂3的剩余供应量更新为30，讲解者说明他们将供应量减少至30。

   视频直接表达
5. 公式

   $$d_3^{\text{new}}=10-10=0$$
   解释

   从城市3的剩余需求中减去已分配的数量。

   步骤依据

   讲解者指出总需求现已全部满足，因此城市3的分配完成。

   视频直接表达

第二个城市 3 步骤之后，10 单位货物从工厂 3 运往城市 3，城市 3 的需求已完全满足，而工厂 3 仍剩余 30 单位供应量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出城市3已处理完毕，因此转向城市4；工厂2的供应量已耗尽，故该单元格被划掉；城市4的需求量为30，通过最后一行单元格中剩余的供应量予以满足。

2. 公式
   观察依据

   工厂2/城市4单元格被划掉，随后工厂3/城市4单元格分配30个单位，工厂3的供应量变为0。

1. 公式

   $$\text{move to City 4}$$
   解释

   一旦城市3的需求被完全满足，即进入下一列。

   步骤依据

   讲解者明确指出，由于城市3已处理完毕，因此转向下一列——城市4。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x_{24}\ \text{is not allowed}$$
   解释

   跳过工厂2/城市4单元格，因为工厂2的供应量已耗尽。

   步骤依据

   讲解者表示工厂2的供应量已全部用完，并将该单元格划掉。

   视频直接表达
3. 公式

   $$d_4=30$$
   解释

   从需求行读取城市4的剩余需求量。

   步骤依据

   表格显示 30 在城市 4 下，且叙述者指出城市 4 的总需求量为 30。

   视频直接表达
4. 公式

   $$s_3^{\text{left}}=30$$
   解释

   使用工厂3在向城市3分配后的剩余供应量。

   步骤依据

   此前推导得出工厂3尚余30个单位，讲解者所指即该剩余供应量。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x_{34}=\min(s_3^{\text{left}},d_4)=\min(30,30)=30$$
   解释

   将剩余供应量与剩余需求量中的较小值分配给最后一个活跃单元格。

   步骤依据

   这与讲解员的指示一致：在最后一个单元格中填入30单位，以满足城市4的需求。

   依据视频推导
6. 公式

   $$s_3^{\text{new}}=30-30=0$$
   解释

   从工厂3的剩余供应量中减去已分配的数量。

   步骤依据

   黑板将工厂 3 的供应量更新为 0，在工厂 30 / 城市 3 单元格中填入 4 后。

   视频直接表达
7. 公式

   $$d_4^{\text{new}}=30-30=0$$
   解释

   从城市4的需求量中减去已分配的数量。

   步骤依据

   讲解员指出，此举满足了城市4的需求，表格将该列标记为已完成。

   视频直接表达

最终的活跃分配是30单位从工厂3运往城市4，此举同时耗尽了工厂3的供应量与城市4的需求量，从而完成西北角法求解。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说明，总运输成本的计算方法是：将每个已分配单元格中的单位数量乘以对应的单位运输单价，再将所有乘积相加。

2. 公式
   观察依据

   板书写出：总成本 = 35($8)+10($9) + 20($12)+20($13) + 10($16)+30($5)。

1. 该片段在最终算术总和被写出或念出之前即结束。

1. 公式

   $$\text{allocated cells: } (1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4)$$
   解释

   找出已完成表格中所有获得非零分配的单元格。

   步骤依据

   这些正是最终分配表格中 visibly 填充的单元格。

   视频直接表达
2. 公式

   $$35\times 8$$
   解释

   将工厂1运往城市1的分配量乘以其单位成本。

   步骤依据

   讲解员读出这个最先分配的单元格，并说明为35乘以8。

   视频直接表达
3. 公式

   $$10\times 9$$
   解释

   将工厂2运往城市1的分配量乘以其单位成本。

   步骤依据

   讲解员指出下一个已分配的单元格为10个单位，每单位运输成本为9美元。

   视频直接表达
4. 公式

   $$20\times 12$$
   解释

   将工厂2运往城市2的分配量乘以其单位成本。

   步骤依据

   讲解员将下一个已分配的单元格读作20个单位乘以12美元。

   视频直接表达
5. 公式

   $$20\times 13$$
   解释

   将工厂2运往城市3的分配量乘以其单位成本。

   步骤依据

   讲解员将下一个已分配的单元格读作20乘以13美元。

   视频直接表达
6. 公式

   $$10\times 16$$
   解释

   将工厂3运往城市3的分配量乘以其单位成本。

   步骤依据

   讲解员将下一个已分配的单元格读作10乘以16美元。

   视频直接表达
7. 公式

   $$30\times 5$$
   解释

   将工厂3运往城市4的分配量乘以其单位成本。

   步骤依据

   讲解员将最后分配的单元格读作30乘以5。

   视频直接表达
8. 公式

   $$\text{TOTAL COST}=35(8)+10(9)+20(12)+20(13)+10(16)+30(5)$$
   解释

   将全部六个乘积相加，构成目标值表达式。

   步骤依据

   这正是讲解员所描述的内容，也是黑板上所写的内容。

   视频直接表达

所展示的西北角法解对应的总运输成本由求和式$35(8)+10(9)+20(12)+20(13)+10(16)+30(5)$表示；本片段中未显示最终的数值计算结果。

1. 公式
   观察依据

   分步算术过程如下：35($8) + 10($9) + 20($12) + 20($13) + 10($16) + 30($5) = $1,180。

1. 公式

   $$35(8) + 10(9) + 20(12) + 20(13) + 10(16) + 30(5)$$
   解释

   根据运输表中已填入数值的单元格，将每个调运量乘以其对应的单位运价。

   步骤依据

   运输问题中总费用的定义

   视频直接表达
2. 公式

   $$280 + 90 + 240 + 260 + 160 + 150$$
   解释

   分别计算每条运输路线的乘积

   步骤依据

   算术乘法

   依据视频推导
3. 公式

   $$1180$$
   解释

   将各条运输路线的成本相加，得到总成本。

   步骤依据

   算术加法。

   视频直接表达

给定分配方案的总运输成本为1,180。

1. 图示
   观察依据

   展示了一个3行4列的运输表格，包含工厂、城市、单位成本、供应量和需求量。

2. 声音
   观察依据

   假设我们有三个工厂……和四个城市……工厂1的总供应量为35……城市1的总需求量为45个单位。

1. 视频片段中仅完成了初始分配步骤；西北角法的其余求解过程未展示。

已知三家工厂与四座城市，以及单位运价、各工厂供应量和各城市需求量，建立运输问题模型，并用西北角法开始求解。

1. 工厂：工厂1、工厂2、工厂3。

2. 城市：城市1、城市2、城市3、城市4。

3. 单位运价：工厂1所在行 = $8, $6、$10, $9；工厂2所在行 = $9, $12、$13, $7；工厂3所在行 = $14, $9、$16, $5。

4. 供应量：35、50、40。

5. 需求量：45、20、30、30。

识别模型结构，检验其是否平衡，并执行第一次西北角分配。

1. 公式

   $$\text{Rows = factories, columns = cities, interior cells = unit costs}$$
   解释

   将表格布局理解为运输矩阵。

   步骤依据

   由讲解者明确说明，并在图示中清晰可见。

   视频直接表达
2. 公式

   $$35+50+40=125$$
   解释

   对供应量求和。

   步骤依据

   通过圈出‘供应’列并写下125来表示。

   视频直接表达
3. 公式

   $$45+20+30+30=125$$
   解释

   将各项需求加总。

   步骤依据

   通过圈出‘需求’行并写下125来表示。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Balanced because }125=125$$
   解释

   得出该例题为供需平衡的结论。

   步骤依据

   音频中直接陈述。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{Start at top-left cell }(Factory\ 1, City\ 1)$$
   解释

   应用西北角起始法则。

   步骤依据

   音频中直接陈述，并以视觉方式标出。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x_{11}=35$$
   解释

   分配35 单位从工厂1 到城市1。

   步骤依据

   讲解者指出，将工厂35 的全部1 单位供应量用于城市1的需求。

   视频直接表达

该例题是一个产销平衡的运输问题，第一个西北角法分配为35 单位，从工厂 1 到城市 1。

通过比较总供应量125与总需求量125来验证平衡性；首次分配则通过比较供应量35与需求量45，取其中较小值35作为分配量来验证。

1. 图示
   观察依据

   一个3行4列的运输表，具有特定的供应量与需求量数值。

使用西北角法，为一个具有3个工厂（供应量分别为35、50、40）和4座城市（需求量分别为45、20、30、30）的运输问题，求一个初始基本可行解。

1. 工厂1的供应量 = 35

2. 工厂2的供应量 = 50

3. 工厂3的供应量 = 40

4. 城市1的需求量 = 45

5. 城市2的需求量 = 20

6. 城市3的需求量 = 30

7. 城市4的需求量 = 30

从西北角开始，依次确定每一对工厂与城市之间的分配数量。

1. 公式

   $$x_{11} = 35, x_{21} = 10$$
   解释

   满足城市 1 的需求量 45，使用工厂 1 的全部供应量（35）以及来自工厂 10 的 2 单位。

   步骤依据

   西北角法的分配规则。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x_{22} = 20$$
   解释

   满足城市 2 的需求量 20 使用工厂 2。

   步骤依据

   西北角法分配规则。

   视频直接表达

已找到部分分配：$x_{11}=35$，$x_{21}=10$，$x_{22}=20$。工厂2尚余20单位供应量。该过程继续处理城市3和4。

截至目前的总分配量等于已满足的需求之和（$45 + 20 = 65$）。已使用的总供应量为35（F1） + 30（F2） = 65。供需保持平衡。

1. 声音
   观察依据

   讲解员逐步演示运输问题剩余的求解步骤（采用西北角法），然后计算出总运输成本的表达式。

2. 公式
   观察依据

   黑板上展示了一个3行4列的运输表格，其中包含工厂、城市、供应量、需求量、单位运费、分配量以及一个‘总成本’表达式。

1. 本片段内未得出最终的数值总成本。

2. 城市1和城市2中部分已有分配仅做了简要说明，因为这些分配是在本片段开始前已完成的。

从城市3列开始，继续用西北角法求解所展示的运输问题，然后写出所得分配方案对应的总运输成本。

1. 工厂：工厂1、工厂2、工厂3。

2. 城市：城市1、城市2、城市3、城市4。

3. 表格中显示的初始供应量：工厂$1 = 35$，工厂$2 = 50$，工厂$3 = 40$。

4. 表格中显示的初始需求量：城市$1 = 45$，城市$2 = 20$，城市$3 = 30$，城市$4 = 30$。

5. 表格中可见的单位运费包括已分配单元格后续将用到的$8, $9、$12, $13、$16, 且 $5。

6. 此片段之前已存在的初始分配包括 35 从工厂 1 到城市 1，10 从工厂 2 到城市 1，以及 20 从工厂 2 到城市 2。

确定城市3和城市4的剩余分配；陈述完整的分配方案；写出完整解对应的总运输成本表达式。

1. 公式

   $$x_{23}=20$$
   解释

   进入城市 3 列，可见城市 3 需要 30 个单位，且将所有 20 剩余单位从工厂 2 分配给城市 3。

   步骤依据

   讲解者指出工厂2尚余20单位供应量，并将其全部用于下一个可用单元格。

   视频直接表达
2. 公式

   $$d_3^{\text{left}}=10$$
   解释

   将城市 3 的需求量从 30 减少至 10，在接收 20 个单位后。

   步骤依据

   黑板更新了城市3的需求值，讲解者明确说明了这一减少。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_{33}=10$$
   解释

   向下移动到同一列中的工厂 3 并分配 10 单位来自工厂 3 到城市 3 以满足剩余需求。

   步骤依据

   讲解者指出仍余10单位需求未满足，并使用工厂3来满足该需求。

   视频直接表达
4. 公式

   $$s_3^{\text{left}}=30$$
   解释

   减少工厂 3 的供应量，从 40 到 30 在向城市 10 发送了 3。

   步骤依据

   黑板更新工厂3的供应量条目，旁白说明该供应量已减少。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x_{24}\ \text{crossed out}$$
   解释

   当运往城市4时，跳过工厂2/城市4单元格，因为工厂2的供应量已耗尽。

   步骤依据

   旁白明确指出工厂2的供应量已耗尽，并划掉该单元格。

   视频直接表达
6. 公式

   $$x_{34}=30$$
   解释

   分配剩余的 30 单位，从工厂 3 到城市 4 以满足城市 4 的需求量为 30。

   步骤依据

   旁白说明城市4的总需求为30，并使用最后一个单元格中剩余的供应量。

   视频直接表达
7. 公式

   $$\text{TOTAL COST}=35(8)+10(9)+20(12)+20(13)+10(16)+30(5)$$
   解释

   将每个已分配的数量乘以其单位运输成本，再将所有乘积相加，得到总成本表达式。

   步骤依据

   这是旁白所陈述、并在黑板上写出的步骤。

   视频直接表达

本片段展示的最终分配结果为：$x_{11}=35$，$x_{21}=10$，$x_{22}=20$，$x_{23}=20$，$x_{33}=10$，$x_{34}=30$；总成本表达式为$35(8)+10(9)+20(12)+20(13)+10(16)+30(5)$。

列和分别等于表中显示的需求量45、20、30和30，行和分别等于供应量35、50和40；但本片段未计算最终的数值总成本。

1. 图示
   观察依据

   展示了一个$3\times 4$运输表，其中包含工厂、城市、供应量、需求量、单位运输成本以及已分配运量。

计算由西北角法为给定工厂与城市所导出的运输方案的总成本。

1. 工厂1供应量：35

2. 工厂2供应量：26

3. 工厂3供应量：38

4. 城市1需求量：45

5. 城市2需求量：20

6. 城市3需求量：10

7. 城市4的需求量：30

8. 分配方案：工厂1到城市1：35，工厂2到城市1：10，工厂2到城市2：20，工厂2到城市3：20，工厂3到城市3：10，工厂3到城市4：30

9. 单位运输成本：工厂1到城市1：$8, F2-C1: $9，工厂2到城市2：$12, F2-C3: $13，工厂3到城市3：$16, F3-C4: $5

求总运输成本。

1. 公式

   $$35(8) + 10(9) + 20(12) + 20(13) + 10(16) + 30(5)$$
   解释

   通过将各分配量乘以对应单位成本，建立总成本方程。

   步骤依据

   总成本公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$= 1180$$
   解释

   计算该表达式，得出最终总成本。

   步骤依据

   算术运算。

   视频直接表达

对应的式子为：1,180

各项乘积之和（280＋90＋240＋260＋160＋150）等于1180。

1. 图示
   观察依据

   黑色背景上的白色表格显示表头：城市1至城市4、供应、工厂1至工厂3、需求，以及内部的美元成本。

2. 动画
   观察依据

   浅蓝色圆圈先画在工厂标签周围，再画在城市标签周围。

1. 运输表格

2. 工厂标签

3. 城市标签

4. 供应量列

5. 需求量行

6. 单位运费单元格

1. 先圈出工厂标签。

2. 再圈出城市标签。

1. 在此期间，表格中的数值内容保持不变。

视觉强调表明：行对应工厂，列对应城市。

1. 动画
   观察依据

   供应列中的数值35、50、40依次被画圈标出，然后需求行中的数值45、20、30、30也依次被画圈标出。

2. 声音
   观察依据

   讲解者口头读出供应量和需求量的数值。

1. 供应量数值35、50、40

2. 需求量数值45、20、30、30

1. 每个供应量数值按顺序逐一画圈标出。

2. 每个需求量数值按顺序逐一画圈标出。

1. 表格结构与单位成本均保持不变。

动画将边缘合计数据与内部成本数据分离开来。

1. 动画
   观察依据

   一个大椭圆框住供应列的数值，并在右侧写出125；接着另一个大椭圆框住需求行的数值，并在下方写出125。

1. 供应列

2. 需求行

3. 手写125标注

1. 供给值按组归类并合计为125。

2. 需求值按组归类并合计为125。

1. 原始的行与列数据保持可见。

直观的分组方式支持该问题为平衡型的结论。

1. 图示
   观察依据

   表格左侧绘制了一个标有北、南、东、西的罗盘。

2. 动画
   观察依据

   箭头指向左上方，且表格的左上角单元格被圈出。

1. 罗盘图示

2. 方向标签：北、南、东、西

3. 指向西北方向的箭头

4. 左上角的表格单元格

1. 画出了罗盘图。

2. 添加了一条指向西北方向的箭头。

3. 高亮显示左上角的单元格。

1. 表格中的数值本身并未发生变化。

该罗盘将短语“西北角”映射到运输表格的左上角。

1. 动画
   观察依据

   城市 1 的标签及其需求量 45 被圈出，工厂 1 的标签及其供应量 35 被圈出，且 35 被写入（工厂 1，城市 1) 单元格。

1. 在片段结束前，未显示剩余需求量的更新。

1. 城市1表头

2. 需求量45

3. 工厂1标签

4. 供应量35

5. 单元格（工厂1，城市1）

6. 手写35

1. 相关的需求量与供应量已被圈出。

2. 数字35被填入左上角内部单元格。

1. 印制的单位成本$8保留在同一单元格中。

动画显示，该方法分配的第一批运货数量为35单位，从工厂1运往城市1。

1. 图示
   观察依据

   一个表示运输问题的静态网格，其中行代表工厂，列代表城市。

1. 含3行（工厂）和4列（城市）的网格

2. 右侧为供应量列

3. 底部为需求量行

4. 左侧带方位标（罗盘玫瑰），指示西北角为起始点

1. 单元格中的数字会更新，以反映剩余的供应量与需求量。

2. 当某行的供应量或某列的需求量耗尽时，对应单元格用“X”划去。

1. 网格结构保持不变。

2. 初始总供给（125）等于初始总需求（125）。

视觉更新直接展示了西北角法的逐步执行过程，呈现了分配如何依次耗尽供给并满足需求。

1. 图示
   观察依据

   黑色背景左侧为手绘罗盘图，右侧为运输表格，行标题为工厂1、工厂2、工厂3，列标题为城市1、城市2、城市3、城市4、供应量，另有一行标注“需求量”。

2. 公式
   观察依据

   在本片段新步骤开始前，已有多个单元格填入了分配值或被划掉。

1. 罗盘玫瑰图

2. 运输表格

3. 工厂1行

4. 工厂2行

5. 工厂3行

6. 城市1列

7. 城市2列

8. 城市3列

9. 城市4列

10. 供应量列

11. 需求量行

1. 关注点从已填完的城市2列转移到城市3列中第一个可用的单元格。

1. 整体表格结构保持不变。

2. 先前在靠前各列中填写的分配值仍然可见。

该图示布局以表格形式呈现了一个运输问题，并表明西北角法已部分完成按列进行的分配过程。

1. 动画
   观察依据

   圈出城市3的需求值30，然后突出显示工厂2的标签，再将工厂2/城市3单元格填入20。

2. 公式
   观察依据

   标记工厂2的供应量条目为已耗尽，并将城市3的需求量条目从30减少至10。

1. 城市3的需求量条目

2. 工厂2的行标签

3. 工厂2/城市3单元格

4. 工厂2的供应量条目

1. 将数字20填入工厂2/城市3单元格中。

2. 划去工厂2的剩余供应量，以表示其已耗尽。

3. 城市3的需求量从30重写为10。

1. 工厂2与城市3交叉单元格中显示的单位成本仍为$13。

2. 其他列和行在此步骤中保持不变。

动画以视觉方式编码西北角法则：分配剩余供应量与剩余需求量中的较小值，然后剔除已耗尽的行，并更新剩余列的需求量。

1. 动画
   观察依据

   向下的箭头表示从已耗尽的工厂 2 行移动到工厂 3 行，位于城市 3 列中。

2. 公式
   观察依据

   工厂3与城市3交叉单元格接收10，且工厂3的供应量条目从40变为30。

1. 向下箭头

2. 工厂3行标签

3. 工厂3与城市3交叉单元格

4. 工厂3供应量条目

5. 城市3需求量条目

1. 活动单元格向下移动至工厂3/城市3。

2. 数字10被填入该单元格。

3. 工厂3的供应量从40减少至30。

4. 城市3的需求已满足，该列被视为已完成。

1. 工厂3/城市3单元格中的单位成本仍为$16。

2. 表格布局及其他分配保持不变。

此可视化序列演示了列需求小于行供应的情形：完全满足该列需求，保持该行处于活动状态，并向右移至下一列。

1. 动画
   观察依据

   焦点移至城市4列，工厂2/城市4单元格被划去，随后在工厂3/城市4单元格中填入30。

2. 公式
   观察依据

   城市4的需求值30被圈出，且在最终分配后，工厂3的剩余供应量变为0。

1. 城市4列

2. 工厂2/城市4单元格

3. 工厂3/城市4单元格

4. 城市4的需求输入

5. 工厂3的供应输入

1. 工厂2/城市4单元格被划掉，表示不可用。

2. 数字30被填入工厂3/城市4单元格。

3. 工厂3的供应量从30减少至0。

4. 城市4的需求已满足，解在视觉上已完成。

1. 工厂3/城市4单元格中的单位成本仍为$5。

2. 城市1、城市2和城市3中先前的分配保持不变。

最后的可视化步骤展示了如何跳过已耗尽的行，并将最后剩余的供应量分配给最后剩余的需求量，从而生成一个基本可行的分配模式。

1. 动画
   观察依据

   表格下方显示文字“总成本”，随后从左到右构建一个乘积之和。

2. 公式
   观察依据

   完成的书写表达式为：总成本：35($8)+10($9)+20($12)+20($13)+10($16)+30($5)。

1. 在视频片段结束前，最终的数值计算结果尚未写出。

1. 总成本标签

2. 表格中的已分配单元格

3. 求和式中的各项乘积

1. 每个已分配单元格均按顺序被引用。

2. 一项乘积接着一项乘积依次添加，直至完整的求和式全部呈现。

1. 上方的分配表在书写成本表达式过程中保持不变。

2. 每项乘积将一个已分配的数量与其所在单元格对应的单位成本配对相乘。

该可视化过程通过对所有已占用单元格的“数量×成本”项求和，将已完成的运输分配转化为目标函数值。

1. 图示
   观察依据

   静态运输表格显示，附有指示北、南、东、西方向的罗盘玫瑰图。

1. 罗盘玫瑰图

2. 运输矩阵

3. 总成本方程

1. 最终答案“1,180”用红色方框标出。

1. 表格中的分配数量和单位成本保持不变。

视觉布局展示了西北角法分配的最终状态以及后续的成本计算过程。

1. 声音
   观察依据

   讲解者依据位置（左上角单元格）而非选择最低运输成本单元格来阐释西北角法。

2. 图示
   观察依据

   所选起始单元格包含$8 偶数 though other cells in the table have lower costs such as $5、$6, or $7。

1. 视频并未明确指出这一对比；它是从所演示的步骤中推断得出的。

有人可能认为该方法始于选择表格中最低的运输成本。

本片段中，该方法由表格位置定义：无论左上角单元格的单位运费是否最小，均从该单元格开始。

1. 声音
   观察依据

   讲解员明确指出：由于工厂2的供应量已耗尽，因此工厂2与城市4交叉处的单元格必须划去，而不能使用。

2. 图示
   观察依据

   在最终分配于他处完成之前，工厂2与城市4交叉处的单元格已被明显划去。

有人可能认为，当移至新一列时，该列最上方的单元格总能接收分配。

一个单元格只有在其所在行仍有剩余供应量、且所在列仍有剩余需求量时才可使用。本片段中，工厂2/城市4被跳过，是因为工厂2的供应量已耗尽。

1. 声音
   观察依据

   叙述者在工厂2的供应量降为零后继续进行，因为城市3尚有10的需求量未满足；之后又在城市3的需求量降为零后继续进行，因为工厂3对城市4仍有供应量剩余。

2. 公式
   观察依据

   表格更新显示一侧变为零而另一侧仍为正值，因此需向下或向右移动，而非终止计算。

学习者可能误以为只要任意一个供应量或需求量条目变为零，该过程便结束。

该方法仅在所有需求量与供应量均被满足时才结束。若某一行供应量已耗尽但对应列仍有需求，则向下移动；若某一列需求量已满足但对应行仍有供应，则向右移动。

1. 声音
   观察依据

   在汇总供应量与需求量后，主讲人指出，这被称为平衡运输问题。

2. 图示
   观察依据

   两个总量均记为125。

平衡运输问题是运输问题的一种特殊情况，其总供应量等于总需求量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人从检验供需是否平衡，过渡到陈述目标：在满足全部需求的同时，使运输成本最小化。

一旦确认该例题为平衡运输问题，片段便将优化任务表述为：以最低总运输成本满足全部需求。

1. 声音
   观察依据

   对“西北”方向的罗盘式解释，直接引出了从表格左上角单元格开始的规则。

2. 图示
   观察依据

   在标出西北方向箭头后，主讲人随即圈出表格的左上角单元格。

利用“西北”的几何含义，为主讲人从表格左上角开始执行算法提供了依据。

1. 声音
   观察依据

   确定起始单元格后，主讲人使用供应量35和需求量45进行首次分配。

2. 图示
   观察依据

   数字35被填入起始单元格。

1. 完整的通用分配规则在本片段中并未呈现完毕。

起始单元格规则被立即用于计算示例中的第一个运货量。

1. 声音
   观察依据

   整段视频专门用于将这一特定方法应用于给定的问题类型。

西北角法是用于求解所展示运输问题示例的具体算法。

1. 声音
   观察依据

   叙述者刚宣布分配完成，随即说道：“因此这就是我们的最终答案。接下来，我们这样计算总运输成本。”

2. 公式
   观察依据

   板书从已完成的分配表切换至‘总成本’表达式。

已完成的西北角法分配结果，是计算运输目标函数所需的输入：对所有已分配单元格，将分配数量乘以单位运价，再求和。

1. 声音
   观察依据

   叙述者称城市仍有10的需求量未满足，因此需向下移至下一个单元格，并使用工厂3。

2. 图示
   观察依据

   向下的箭头从已耗尽的工厂 2 行指向工厂 3 行，位于城市 3 列中。

这两条规则描述了西北角法中的两种相反的转移情形：耗尽某一行会导致在同一列内向下移动，而满足某一列则会导致向右移动至下一列。

1. 声音
   观察依据

   讲解员首先划掉工厂 2 / 城市 4 因供应耗尽而随后分配 30 单位至工厂 3 / 城市 4。

2. 公式
   观察依据

   视觉序列显示，在最终的有效分配写入之前，不可用的单元格已被剔除。

必须先确认工厂2／城市4不可用，才能识别出工厂3／城市4为最后一个活跃单元格。

1. 声音
   观察依据

   讲解者将所计算出的成本与所采用的方法联系起来：‘所以这就是我们的最终答案……这就是我们如何利用西北角法求解运输问题。’

西北角法给出了具体的分配量（x_{ij}），再将这些值代入总成本公式中，以评估该解。

1. 声音
   观察依据

   介绍涉及工厂与城市的运输问题。

2. 图示
   观察依据

   完整的表格布局可见。

1. 运输问题的设定

1. 声音
   观察依据

   总供应量与总需求量均为125。

2. 图示
   观察依据

   手写的125同时出现在两个总量处。

1. 平衡运输问题
2. 验证该例是否为平衡问题

1. 声音
   观察依据

   在满足需求的同时，使运输成本最小化。

1. 运输问题的目标

1. 声音
   观察依据

   用罗盘说明“西北”即指左上角。

2. 图示
   观察依据

   罗盘图示与指向箭头。

1. 方法名称中“西北”的含义
2. 西北角法的起始单元格

1. 声音
   观察依据

   根据工厂供应量，尽可能多地满足需求。

2. 图示
   观察依据

   35写在左上角的单元格中。

1. 在下一步开始前截断音频。

1. 示例中的首次分配步骤
2. 西北角法下的首次分配。

1. 图示
   观察依据

   起始单元格的成本为8，尽管存在更便宜的单元格。

2. 声音
   观察依据

   该方法依据位置引入，而非依据最小成本。

1. 这一对比在视频片段中并未明确口头说明。

1. 西北角法的起始单元格
2. 将西北角法与最小成本规则混淆

1. 声音
   观察依据

   讲解者首先从第一个单元格及其供给/需求入手。

1. 运输问题的西北角法

1. 声音
   观察依据

   讲解者说明：一旦供给被完全用尽，就将其划去。

1. 运输问题的西北角法
2. 城市1与工厂1的分配过程

1. 声音
   观察依据

   讲解者计算部分满足后剩余的需求量。

1. 城市1与工厂1的分配过程

1. 声音
   观察依据

   讲解者称城市仍剩余10单位需求，因此向下移动至下一个单元格，并使用工厂3。

2. 图示
   观察依据

   一个向下的箭头标记了从工厂2／城市3到工厂3／城市3的转移。

1. 某一行供应耗尽将迫使移动方向向下
2. 在城市3列中进行第二次分配。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出工厂2的供应已耗尽，因此将工厂2／城市4单元格划掉。

2. 图示
   观察依据

   工厂2／城市4单元格在最终分配前被明显标记为“X”。

1. 跳过那些所在行供应量已耗尽的单元格。
2. 假设下一列中的每个单元格仍然可用

1. 声音
   观察依据

   讲解者解释，总运输成本的计算方法是：将每个已分配单元格中的单位数乘以对应的单位运输价格，再将所有结果相加。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写着总成本：35($8)+10($9)＋20($12)+20($13)＋10($16)+30($5)。

1. 从分配表计算总运输成本
2. 构建总运输成本表达式