运筹学：使用最小成本法求解运输问题

1. 图示
   观察依据

   表格最左侧一列列出了工厂1、工厂2和工厂3。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，有三家工厂生产某种商品。

Factory 1, Factory 2, Factory 3

运输表格中的供应来源。

三个工厂构成的离散集合。

1. 图示
   观察依据

   顶部表头行列出了城市1、城市2、城市3和城市4。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，有四座城市对该商品存在需求。

City 1, City 2, City 3, City 4

运输表格中的需求目的地。

四座城市构成的离散集合。

1. 图示
   观察依据

   最右列标记为“供应量”，包含 35、50 和 40，分别对应工厂 1、工厂 2 和工厂 3 respectively.

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，工厂1的总供应量为35单位。

Supply

每家工厂可提供的单位总数。

每家工厂对应的非负整数量。

1. 图示
   观察依据

   最底行标记为“需求量”，在城市 45、20、30 和 30 下方分别显示 1 经过城市 4。

2. 声音
   观察依据

   说话人指出，城市1的需求量为45单位。

Demand

每座城市所需的单位总数。

各城市对应的非负整数数量。

1. 图示
   观察依据

   内部单元格中包含金额数值，例如$8, $6、$10, $9、$12, $13、$7, $14、$16, 且 $5。

2. 声音
   观察依据

   说话人称这些是从各工厂运往各城市的单位运输成本。

Unit shipping cost

从指定工厂运往指定城市的单位运输成本。

以工厂—城市对为索引的正货币数值。

1. 声音
   观察依据

   说话人将35＋50＋40相加，并称总和为125。

2. 图示
   观察依据

   手写的数字125出现在标有“供应”的列旁圆圈旁。

Total supply

所有工厂供应量的总和。

本例中等于125的标量值。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将45、20、30与30相加，并指出总需求量也为125。

2. 图示
   观察依据

   手写的数字125出现在标有‘Demand（需求）’的行下方圆圈内。

Total demand

所有城市需求量的总和。

本例中等于125的标量。

1. 图示
   观察依据

   最右列标记为“供应量”，列出了35、50和40，分别对应工厂1、工厂2和工厂3。

2. 声音
   观察依据

   讲解者将每家工厂的供应量与某座城市的需求数量进行比较，并指出在分配运量之前，供应量大于需求量。

Supply

每一工厂所在行的可发货数量。

表格中以非负整数形式显示的数量，分别为35、50和40。

1. 图示
   观察依据

   底行标记为“需求量”，列出了45、20、30和30，分别对应城市1 经过城市 4。

2. 声音
   观察依据

   讲解者称城市4的总需求量为30，随后又指出城市1的总需求量为45。

Demand

每个目的地所在列所需的发货数量。

表格中以非负整数形式显示的数量，分别为45、20、30和30。

1. 图示
   观察依据

   内部单元格包含金额数值，例如$8, $6、$10, $9、$12, $13、$7, $14、$16, 且 $5。

2. 声音
   观察依据

   讲解者提到最小的运输成本，并列举了包括$6 per unit 且 $8在内的若干数值。

$c_{ij}$

从第i家工厂运往第j座城市的单位运输成本，显示在运输表内部。

附在各工厂—城市运输路线上的正数美元金额。

1. 图示
   观察依据

   手写数字30填入工厂3、城市4对应的单元格；手写数字20填入工厂1、城市2对应的单元格。

2. 声音
   观察依据

   叙述者说从工厂 30 向城市 3 发送 4 个单位，随后经工厂 20 向城市 1 发送 2 条路线。

$x_{ij}$

从第i个工厂到第j个城市这条运输路线上所分配的单位数量。

在最小成本法执行过程中填入表格内部单元格的非负整数数量。

1. 图示
   观察依据

   在工厂 30、城市 3 处填写 4，供应量条目 40 被划掉并替换为 10；在工厂 20、城市 1 中填入 2 后，供应量条目 35 被划掉并替换为 15。

2. 声音
   观察依据

   讲解者指出，40减去30得10，且35减去20得15。

Remaining supply

从该工厂原有产能中减去已分配单位数后更新得到的工厂剩余产能。

算法执行过程中逐行更新的非负整数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将本课主题介绍为：运用最小成本法求解运输问题。

2. 图示
   观察依据

   展示了一张表格，其中行代表工厂，列代表城市，单元格内为单位运输成本，右侧一列为各工厂的供应量，底行则为各城市的需求量。

视频以表格形式呈现运输问题：行表示工厂（供应地），列表示城市（需求地），内部单元格为单位运输成本，最右列给出各工厂的供应量，最底行给出各城市的需求量。

1. 存在多个供应源。

2. 存在多个需求地。

3. 每一对供应源与需求地之间均对应一个单位运输成本。

4. 每个供应源具有一个供应量，每个需求地具有一个需求量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人将总供应量计算为125，总需求量计算为125，然后指出这被称为平衡问题，因为总供应量等于总需求量。

2. 图示
   观察依据

   供应列被圈出，并标注为125；需求行被圈出，并标注为125。

当所有供应量之和等于所有需求量之和时，该运输问题称为平衡的。在本例中，两个总和均为125单位。

1. 所有工厂的供应量均包含在左侧的求和式中。

2. 所有城市的需求数量均包含在右侧的求和式中。

3. 这两个求和式相等，即定义了本例所采用的平衡情形。

1. 运输问题表格的结构

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，目标是在满足每座城市需求的同时，使运输成本最小化。

2. 图示
   观察依据

   内部的成本单元格被逐一高亮显示，作为单位运输成本的示例。

明确的目标是：利用表格中列出的单位运输成本，在满足每座城市需求的同时，使总运输成本最小。

1. 每座城市的需求数量都必须得到满足。

2. 运输决策依据工厂到城市的单位成本进行评估。

3. 总体目标是最小化成本。

1. 运输问题表格的结构

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，第一步是找出运费最低的单元格。

2. 图示
   观察依据

   包含$5的单元格（位于工厂3/城市4）被圈出。

最低成本法首先在所有当前可用的工厂—城市配对中，找出单位运输成本最小的单元格。本例中，该最小值为$5，对应工厂3运往城市4。

1. 比较所有当前可用的单位运输成本。

2. 选出成本最小的单元格。

3. 若出现并列情况，请采用视频中所述的并列处理规则。

1. 运输问题的目标

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，若两个单元格具有相同的最低运输成本，则选择需求量更高的那个城市所对应的单元格。

当多个单元格共享相同的最低运输成本时，视频指示应选择其目的地需求量更高的单元格。

1. 仅当最小运输成本出现并列时适用。

2. 比较依据是候选格子所对应的需求数量。

1. 最低成本法：初始选择规则

1. 图示
   观察依据

   一个3行4列的成本矩阵，其行标题为工厂1、工厂2、工厂3，列标题为城市1、城市2、城市3、城市4，右侧一列为供应量，底端一行为需求量。

2. 声音
   观察依据

   讲解过程中反复提及工厂、城市、供应量、需求量及运输成本，并始终围绕该表格展开。

视频使用运输单纯形表（运输方案表）来组织一个物资分配问题：行代表具有可供应量的工厂，列代表具有需求量的城市，内部单元格表示单位运输成本，边缘则分别列出供应总量与需求总量。该方法通过在表中填写分配数量、划去已满足需求的列、并减少剩余供应量，持续更新同一张表格。

1. 各行对应供应地（工厂）。

2. 各列对应目的地（城市）。

3. 内部单元格为单位运输成本。

4. 右侧边栏列出供应总量。

5. 底端边栏列出需求总量。

1. 声音
   观察依据

   讲解者说：‘在剩余单元格中，哪一个的运输成本最小？’随后在下一轮迭代中再次提出相同问题。

2. 图示
   观察依据

   在工厂 $6 in the Factory 1, City 2 cell, 且 later around $8、城市 1 单元格中的 1 周围画一个圆圈。

在每次迭代中，算法选择当前仍可选的、单位运输成本最低的内部单元格。选定后，该运输路线即分配运量，同时相应行或列将被更新或从后续考虑中移除。

1. 仅考虑尚未被排除的剩余单元格。

2. 所选单元格在这些单元格中具有最小的运输成本。

1. 运输问题的表格形式

1. 声音
   观察依据

   对于城市4，讲解者询问是否能用工厂3的供应量满足其需求，回答是肯定的，因为供应量大于需求量，并运送30单位。对于城市2，他再次检查供应量35能否满足需求量20，并运送20单位。

2. 图示
   观察依据

   填入工厂3与城市4交叉处的分配量为30，恰好匹配城市4的需求量；填入工厂1与城市2交叉处的分配量为20，恰好匹配城市2的需求量。

一旦选定最便宜的运输路线，该路线上的运量即为所选工厂当前剩余供应量与所选城市当前剩余需求量二者中的较小值。在所展示的示例中，需求端数值更小，因此将该城市的全部需求量分配至该路线。

1. 使用所选工厂所在行的当前剩余供应量。

2. 使用所选城市所在列的当前剩余需求量。

3. 分配这两个数量中的较小值。

1. 最小成本法选择规则

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，一旦运送30单位，该城市总需求即已满足，因此将该需求值划去，且该列中其余单元格不再使用。他对城市2重复了相同的逻辑。

2. 图示
   观察依据

   需求量 30 城市 4 被划掉，然后城市 1 和工厂 2 列中工厂 4 的单元格被标记为 X。随后城市 20 的需求量 2 被划掉，且城市 2 列中工厂 3 和工厂 2 的单元格被标记为 X。

若某次分配恰好满足某城市的剩余需求，则该需求数值被划去，且该列中所有其他未使用的单元格在后续迭代中均被排除。此举可防止向该目的地超额运送。

1. 所选路线的分配量等于该城市的剩余需求。

2. 需求满足后，该列即关闭，不再接受进一步分配。

1. 最小成本法中的分配量

1. 声音
   观察依据

   讲解者说明：将工厂3的总供应量减少30，通过计算40减去30得到10；随后又将工厂1的供应量减少20，通过计算35减去20得到15。

2. 图示
   观察依据

   供应量40被替换为10，供应量35被替换为15。

每当有货物从某工厂发出，该工厂的剩余供应量即减去本次分配的数量。更新后的供应量将持续可用于后续路线，除非其降至零。

1. 仅从该工厂所在行中减去实际分配的单位数量。

2. 更新后的供应量可能仍为正数，以供后续迭代使用。

1. 最小成本法中的分配量

1. 声音
   观察依据

   主讲人反复强调：查看剩余单元格，找出下一个最低运费，然后沿该路线尽可能多地进行分配。

2. 图示
   观察依据

   在填写分配数量前，先圈出成本较低的单元格，而耗尽的行或列则划掉。

本视频演示了一种用于构造初始可行解的贪心规则：在所有尚未被划去的运输路线中，选择单位运价最小的单元格，分配最大可行数量，该数量等于（剩余供应量，剩余需求量）中的较小值；然后同时更新对应行的供应量和对应列的需求量；若某行或某列的供应量或需求量减至零，则将其划去。

1. 仅考虑未被划去的单元格来选取最小运价。

2. 在选定单元格中分配的数量受限于剩余供应量与剩余需求量中的较小者。

3. 分配完成后，任何被削减至零的行或列都将被划去，此后不再使用。

1. 运输单纯形表的结构

1. 图示
   观察依据

   一个3行4列的网格，以工厂为行、城市为列，单元格内为单位运价，右侧为供应量，底部为需求量。

运输问题由一张表格表示：行代表供应地，列代表需求地，内部数值代表单位运输成本，边缘合计数分别表示各供应地的可供应量与各需求地的需求数量。

1. 各行合计数代表供应量。

2. 各列合计数代表需求量。

3. 内部单元格的数值代表单位运输成本。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出总供应量为125，总需求量也为125，因此这是一个供需平衡的问题。

2. 图示
   观察依据

   供应量列和需求量行均标注了125。

对于当前展示的表格，总供应量等于总需求量，因此该问题是平衡的。

1. 各工厂的供应量分别为35、50和40。

2. 各城市的需求量分别为45、20、30和30。

针对这一特定的数值示例。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出最小单位运输成本为$5，并将该格子确定为起始点。

2. 图示
   观察依据

   的$5 项位于工厂 3 / 城市 4 单元格中，并已用圆圈标出。

在所示的所有单位运输成本中，最小值为5，位于工厂3运往城市4的路线。

1. 表格中的各项表示单位运输成本。

2. 考虑所有内部成本单元格。

遍历所显示表格中所有工厂与城市之间的成本单元格。

1. 声音
   观察依据

   讲解者明确指出：因供应量大于需求量，故该需求可被满足，并在选定路线上分配全部需求量。

2. 图示
   观察依据

   工厂3的供应量40超过城市4的需求量30，且工厂1的供应量35超过城市2的需求量20；在这两种情况下，分配量均等于对应城市的需求量。

如果所选工厂的剩余供应量大于所选城市的剩余需求量，则算法将该路线分配全部剩余需求量，然后关闭该城市所在列。

1. 已选出一条剩余路线中成本最低的路线。

2. 所选工厂的剩余供应量超过了所选城市的剩余需求量。

在迭代最小成本法中，针对当前所选的工厂—城市配对。

1. 声音
   观察依据

   讲解者给出一个反例：运送 5 另一个城市的更多单位 4 路线将使总供应量 30 加上 5，这超过了需求量。

2. 图示
   观察依据

   随后，城市4列被排除，但已填入数值的工厂3所在单元格除外。

当一座城市的总需求已被完全满足后，若再向该城市在其他路线上分配任何正数量的货物，便会超出需求约束，因此这些路线必须被排除。

1. 该城市的需求数量已在先前的分配中被完全满足。

2. 提议在另一条路线上向同一城市追加一个正数量的运输。

针对任何通向一个需求已满足的目的地列的未使用路线。

1. 图示
   观察依据

   显示的初始供应量为35、50、40；显示的初始需求量为45、20、30、30。

2. 声音
   观察依据

   讲解者将该问题视为必须通过逐次分配耗尽全部供应量来满足所有需求的问题。

1. 视频未用语言明确陈述平衡条件；该条件是从所展示的总量以及所有需求与供应均成功完成这一事实中推断得出的。

对于视频中展示的该实例，总供应量等于总需求量：$35+50+40 = 45+20+30+30 = 125$。

1. 初始的边际合计值即表格中所显示的数值。

针对视频中展示的具体3个工厂、4座城市的实例。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，应从剩余单元格中找出下一个最低的运输成本，并利用该运输路线尽可能多地满足需求。

2. 图示
   观察依据

   所选单元格始终是当前可用的最低成本单元格：$9, then $13，然后是最后一个仍可行的单元格。

在所演示方法的每次迭代中，算法均选取一个单位成本 c_{ij} 最小的可用单元格，并令 x_{ij}=$\min$(Supply_i,Demand_j)。

1. 该单元格仍为可用，意味着其所在行的供应量和所在列的需求量尚未被耗尽。

2. 供给_i 和需求_j 表示当前剩余的数量。

针对视频片段中展示的每一步分配操作。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：“因此，若将全部这些数值输入计算器，最终总运费为$1,080。”

2. 公式
   观察依据

   求和式下方的手写结果为“$1,080”，并用红色方框标出。

所显示运输分配方案的总运费为$1,080。

1. 已占用路径的运量与单位运费，恰好与表格中所示一致。

2. 总运费按所有已占用路径的（运量 × 单位运费）之和计算。

针对运筹表中所显示的单一分配方案。

1. 声音
   观察依据

   说话者口头依次加总供应量数值，再加总需求量数值。

2. 图示
   观察依据

   手写的125出现在供应列旁及需求行下方。

1. 公式

   $$35 + 50 + 40 = 125$$
   解释

   将工厂1、工厂2和工厂3的供应量相加。

   步骤依据

   直接对供应列中的数值求和。

   视频直接表达
2. 公式

   $$45 + 20 + 30 + 30 = 125$$
   解释

   将城市1、城市2、城市3和城市4的需求量相加。

   步骤依据

   直接对需求行中的数值求和。

   视频直接表达
3. 公式

   $$125 = 125$$
   解释

   比较这两个总和。

   步骤依据

   由于总供应量等于总需求量，该例题满足平衡运输问题的定义。

   视频直接表达

该例题是平衡的，因为总供应量和总需求量均为125单位。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出应找出运费最小的单元格，并说明$5是最小值，且未与其他任何单元格并列。

2. 图示
   观察依据

   的$5 单元格位于工厂 3 / 城市 4，并已用圆圈标出。

1. 公式

   $$\min\{8,6,10,9,9,12,13,7,14,9,16,5\}=5$$
   解释

   遍历所有单位运输成本，找出最小值。

   步骤依据

   最小成本法从当前可用的最小成本开始。

   依据视频推导
2. 公式

   $$\text{Factory 3} \to \text{City 4}$$
   解释

   确定最小成本单元格的位置。

   步骤依据

   数值5出现在工厂3所在行与城市4所在列的交叉处。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{No tie at }5$$
   解释

   检查是否存在其他成本也为5的单元格。

   步骤依据

   主讲人明确指出该成本未与其他任何单元格并列，因此此处无需启用打破平局规则。

   视频直接表达

该算法从工厂3至城市4的单元格开始，因其具有唯一的最小单位运输成本$5。

1. 声音
   观察依据

   讲解员说明，由于供应大于需求，工厂3可以覆盖城市4，写下30，划掉需求30，将供应40减少至10，并排除其他城市4的单元格。

2. 图示
   观察依据

   该表格显示 30 在工厂输入的 3，城市 4；需求量 30 已划去；供应量由 40 变为 10；在工厂 1，城市 4 和工厂 2，城市 4。

1. 公式

   $$\text{Selected route: Factory 3 to City 4},\quad c_{34}=5$$
   解释

   当前讨论中剩余最便宜的路线是工厂3、城市4单元格，其单位成本为5。

   步骤依据

   讲解员指出该路线正在被使用，表格中该单元格显示为5。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\min(40,30)=30$$
   解释

   分配数量为工厂3的供应量40与城市4的需求量30中的较小值。

   步骤依据

   讲解员称供应大于需求，因此沿此路线发送30个单位。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_{34}=30$$
   解释

   从工厂3向城市4分配三十个单位。

   步骤依据

   手写的30出现在工厂3、城市4单元格中。

   视频直接表达
4. 公式

   $$40-30=10$$
   解释

   工厂3的剩余供应量由40更新为10。

   步骤依据

   讲解员口头进行该减法运算，表格中将40替换为10。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{Cross out City 4 demand }30\text{ \text{且} exclude }x_{14},x_{24}$$
   解释

   由于城市4的需求已完全满足，其需求项被划掉，该列中其余单元格被标记为不可用。

   步骤依据

   讲解员指出，货物不会经由这些路线运送，且“X”标记出现在城市4列中。

   视频直接表达

第一次完整迭代完全满足了城市4的需求，使工厂3剩余供应量为10单位，并将城市4列其余部分从后续考虑中排除。

1. 声音
   观察依据

   讲解员询问当前剩余单元格中运费最小的是哪一个，指出$6，注意到城市2的需求为20，确认工厂1的供应量35足够，于是运送20单位，划去需求20，将供应35减少至15，并排除其他城市2对应的单元格。

2. 图示
   观察依据

   以 $6 为中心在工厂 1，城市 2；20 处写下需求量 20 被划去；供应量 35 变为 15；在工厂 2，城市 2 和工厂 3，城市 2。

1. 公式

   $$\text{Choose remaining minimum cost }c_{12}=6$$
   解释

   在第一次迭代后仍可用的单元格中，工厂1至城市2路线的单位运费最低。

   步骤依据

   讲解员明确询问剩余运费中最小的一个，并圈出$6。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\min(35,20)=20$$
   解释

   分配数量取工厂1剩余供应量35与城市2需求量20中的较小值。

   步骤依据

   讲解员检查供应35是否能满足需求20，并回答“是”。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_{12}=20$$
   解释

   从工厂1向城市2分配二十个单位。

   步骤依据

   手写的20出现在工厂1、城市2对应的单元格中。

   视频直接表达
4. 公式

   $$35-20=15$$
   解释

   工厂1的剩余供应量由35更新为15。

   步骤依据

   讲解员指出这一减法运算，表格中将35替换为15。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{Cross out City 2 demand }20\text{ \text{且} exclude }x_{22},x_{32}$$
   解释

   由于城市2的需求已完全满足，其需求数值被划掉，该列其余单元格也不再用于后续计算。

   步骤依据

   讲解员说明这些单元格将不再使用，并在城市2所在列中标出X记号。

   视频直接表达

第二次迭代完全满足了城市2的需求，使工厂1剩余供应量为15单位，并将城市2所在列的其余部分从后续考虑中移除。

1. 声音
   观察依据

   讲解员询问剩余单元格中运费最低的是哪一个，指出$8, notes City 1 demand is 45, 且 says to meet as much of that demand as possible using this $8运输路线。

2. 图示
   观察依据

   围绕 $8 在工厂 1，城市 1 单元格画一个圆，并圈出45 城市 1 的需求量。

1. 工厂1至城市1路线的最终分配数量在视频片段结束前未显示。

1. 公式

   $$\text{Choose remaining minimum cost }c_{11}=8$$
   解释

   在排除城市4列和城市2列后，视频中识别出的下一个最便宜的剩余路线是工厂1至城市1，运费为$8。

   步骤依据

   讲解员询问剩余运费中的最低值，并圈出$8。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{City 1 demand }=45$$
   解释

   所选路线对应的目的地总需求量为45。

   步骤依据

   讲解员陈述此内容，底行显示 45 在城市 1 下方。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Meet as much demand as possible using }c_{11}=8$$
   解释

   下一步是在工厂1到城市1的路线上进行分配，分配量不超过剩余供应量与剩余需求量中较小者的限制。

   步骤依据

   讲解者指出，应尽可能利用该路线满足需求。

   视频直接表达

视频片段确定下一条选定路线为工厂1到城市1，单位成本为$8，但未写出实际分配数值便暂停了。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出工厂1剩余供给为15，全部使用了该15，并将城市1的需求从45减少至30。

2. 图示
   观察依据

   单元格（工厂1，城市1）接收15；工厂1的供给量由35变为15，随后耗尽；城市1的需求量由45变为30。

1. 公式

   $$Supply_1^{before}=15,\ Demand_1^{before}=45$$
   解释

   在视频片段开始时，工厂1尚余15单位，城市1仍需45单位。

   步骤依据

   直接从运筹表与讲解中读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x_{11}=\min(15,45)=15$$
   解释

   该方法沿选定路径分配最大可行数量。

   步骤依据

   视频中演示的最小成本分配规则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$Supply_1^{after}=15-15=0,\ Demand_1^{after}=45-15=30$$
   解释

   运送15单位后，工厂1被耗尽，城市1的剩余需求降至30。

   步骤依据

   行与列的更新依据所分配的数量进行。

   视频直接表达

该片段的第一步是从工厂 15 分配 1 到城市 1，从而耗尽工厂 1 的供应，并在城市 30 留下 1。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出下一个最低运费为9，指出城市1仍需30，说明工厂2的供应量为50，并计算50减30等于20。

2. 图示
   观察依据

   单元格（工厂2，城市1）标有30；工厂2的供应量由50变为20；城市1的需求量被划掉。

1. 公式

   $$\min\{c_{ij}\text{ among remaining cells}\}=c_{21}=9$$
   解释

   在仍可用的路线中，单位成本最低的是 $9 路线，即从工厂 2 到城市 1。

   步骤依据

   由主讲人明确指出，并在屏幕上用圆圈标出。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x_{21}=\min(50,30)=30$$
   解释

   工厂2可满足城市1全部剩余需求。

   步骤依据

   分配数量受限于剩余供应量与剩余需求量中的较小值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$Supply_2^{after}=50-30=20,\ Demand_1^{after}=30-30=0$$
   解释

   工厂2保留20个单位，城市1的需求得到完全满足。

   步骤依据

   分配30个单位后，边际合计数被更新。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Cross out City 1 column \text{且} cell }(3,1)$$
   解释

   一旦城市1的需求降为零，该列中其余未使用的单元格即被剔除。

   步骤依据

   主讲人表示该单元格已不再需要，并将其划掉。

   视频直接表达

第二步将30个单位从工厂2分配至城市1，从而完全满足城市1的需求，并使工厂2的剩余供应量减少至20。

1. 声音
   观察依据

   主讲人最初考虑10，但指出工厂1的供应量已耗尽，因此剩余候选方案为13和16；其中最小值为13。随后主讲人指出工厂2还剩20，并将全部剩余量用于城市3，使城市3的需求量从30降至10。

2. 图示
   观察依据

   单元格（工厂1，城市3）被划掉；单元格（工厂2，城市3）分配到20；工厂2的供应量变为0；城市3的需求量变为10。

1. 公式

   $$c_{13}=10\ \text{is rejected because }Supply_1=0$$
   解释

   尽管 $10 较低，但一旦工厂 1 到城市 3 的运输路线在工厂 1 耗尽后便不可再用。

   步骤依据

   主讲人明确更正此错误，并将该单元格划掉。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\min\{13,16\}=13=c_{23}$$
   解释

   在所有尚可使用的单元格中，成本最低的路线是工厂2至城市3，运费为13。

   步骤依据

   该选择以口头陈述方式说明，并通过圈出对应单元格加以标示。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_{23}=\min(20,30)=20$$
   解释

   工厂2仅剩20单位库存，因此全部20均发往城市3。

   步骤依据

   分配数量受剩余供应量限制。

   视频直接表达
4. 公式

   $$Supply_2^{after}=20-20=0,\ Demand_3^{after}=30-20=10$$
   解释

   工厂2已耗尽，而城市3仍需10单位。

   步骤依据

   行与列的更新依据所分配的数量进行。

   视频直接表达

第三步从工厂 20 分配 2 单位至城市 3，从而耗尽工厂 2，并在城市 10 剩余 3。

1. 声音
   观察依据

   说话人指出，工厂3的总供应量已降至10，城市3剩余的总需求量也恰好为10，因此这10个单位在此处完成分配。

2. 图示
   观察依据

   单元格（工厂3，城市3）接收10；工厂3的供应量由10变为0；城市3的需求量由10变为0。

1. 公式

   $$Supply_3^{before}=10,\ Demand_3^{before}=10$$
   解释

   对于尚未满足需求的城市3，仅剩一条可行运输路线，而工厂3恰好拥有足够的供应量。

   步骤依据

   从表格中更新后的边际值读取。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x_{33}=\min(10,10)=10$$
   解释

   将所有剩余供应量全部分配给剩余需求量。

   步骤依据

   最小成本法持续进行，直至某一行或某一列被耗尽。

   视频直接表达
3. 公式

   $$Supply_3^{after}=10-10=0,\ Demand_3^{after}=10-10=0$$
   解释

   该行与该列同时归零。

   步骤依据

   说话人指出，供应量将被完全用尽，需求量也将减少至零。

   视频直接表达

第四步将10个单位从工厂3分配至城市3，此举同时耗尽工厂3的剩余供应量和城市3的剩余需求量。

1. 声音
   观察依据

   主讲人称这是最终答案，并开始解释如何通过从工厂 15 发送 1……

2. 图示
   观察依据

   完整的分配表清晰可见，其下方标有‘总成本：’字样。

1. 该片段在完整算术表达式和最终数值结果给出之前就结束了。

1. 公式

   $$\text{Occupied cells: }(1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(3,3),(3,4)$$
   解释

   最终可行解包含六个正数分配。

   步骤依据

   在完成的单纯形表中可见。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Total cost }=\sum c_{ij}x_{ij}$$
   解释

   主讲人介绍了在已知分配方案后评估解的标准方法。

   步骤依据

   被明确宣布为下一步。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{First term begins with }15\text{ units from Factory 1}$$
   解释

   解释从分配 $x_{11}=15$ 开始，但乘法与求和过程被截断。

   步骤依据

   音频在句子中途结束。

   视频直接表达

该片段建立了完整的分配表格，并启动了总成本计算，但在所提供的时间范围内未得出最终的数值成本。

1. 公式
   观察依据

   所写的求和式逐项累加，直至呈现为15($8) + 30($9) + 20($6) + 20($13) + 10($16) + 30($5)。

2. 公式
   观察依据

   最终框出的数值为$1,080。

3. 声音
   观察依据

   主讲人先口头说明每条运输路线的数量和单位成本，再添加下一项。

1. 公式

   $$15(8)$$
   解释

   从第一条已占用的运输路线开始，运输15个单位，单位成本为8美元。

   步骤依据

   直接从工厂1/城市1中带圆圈的数值读取，并在音频中说明。

   视频直接表达
2. 公式

   $$15(8)+30(9)$$
   解释

   添加第二条已占用的运输路线：30个单位，每单位9美元。

   步骤依据

   直接从工厂2/城市1中带圆圈的数值读取，并在音频中说明。

   视频直接表达
3. 公式

   $$15(8)+30(9)+20(6)$$
   解释

   添加第三条已占用的运输路线：20个单位，每单位6美元。

   步骤依据

   直接从工厂1/城市2中带圆圈的数值读取，并在音频中说明。

   视频直接表达
4. 公式

   $$15(8)+30(9)+20(6)+20(13)$$
   解释

   添加第四条已占用的运输路线：20个单位，每单位13美元。

   步骤依据

   直接从工厂2/城市3中带圆圈的数值读取，并在音频中说明。

   视频直接表达
5. 公式

   $$15(8)+30(9)+20(6)+20(13)+10(16)$$
   解释

   添加第五条已占用的运输路线：10个单位，每单位16美元。

   步骤依据

   直接从工厂3/城市3中带圆圈的数值读取，并在音频中说明。

   视频直接表达
6. 公式

   $$15(8)+30(9)+20(6)+20(13)+10(16)+30(5)$$
   解释

   添加第六条已分配的运输路线，共30个单位，每个单位成本为5。

   步骤依据

   直接从工厂3/城市4处圆圈标注的单元格中读取，并在音频中说明。

   视频直接表达
7. 公式

   $$120+270+120+260+160+150$$
   解释

   分别计算每个乘积。

   步骤依据

   对屏幕上显示的求和式进行标准算术展开；这些中间乘积未在屏幕上写出。

   依据视频推导
8. 公式

   $$1080$$
   解释

   将六个乘积相加，得到总成本。

   步骤依据

   对屏幕上显示的最终答案进行算术验算。

   依据视频推导

屏幕上显示的分配方案对应的总运输成本为1,080。

1. 图示
   观察依据

   一张完整的运输问题表格展示出三家工厂、四座城市、单位运输成本、供应量和需求量。

2. 声音
   观察依据

   讲解者逐步介绍问题设定，检查供需是否平衡，说明优化目标，并开始运用最小成本法。

1. 该片段在选定单元格的实际分配数量填入表格之前结束。

已知三家工厂和四座城市，以及对应的单位运输成本、供应量和需求量，请说明如何用最小成本法开始求解该运输问题。

1. 工厂：工厂1、工厂2、工厂3。

2. 城市：城市1、城市2、城市3、城市4。

3. 供应量：35、50、40。

4. 需求量：45、20、30、30。

5. 表格中列出的单位成本包括$8, $6、$10, $9、$9, $12、$13, $7、$14, $9、$16, 且 $5。

设定问题，验证其是否为平衡运输问题，明确最小化目标，并指出最小成本法所选的第一个单元格。

1. 公式

   $$\text{Rows = factories, columns = cities, interior cells = unit costs}$$
   解释

   读取表格结构。

   步骤依据

   视觉布局直接将工厂分配给行、城市分配给列、成本分配给行列交叉处。

   视频直接表达
2. 公式

   $$35+50+40=125,\quad 45+20+30+30=125$$
   解释

   计算总供应量和总需求量。

   步骤依据

   讲解者通过计算这些和来检验供需是否平衡。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Total supply} = \text{Total demand}$$
   解释

   得出该问题为平衡问题的结论。

   步骤依据

   根据视频中给出的定义，供需总量相等即表明该问题为平衡问题。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\min \text{ unit cost } = 5 \text{ at Factory 3 / City 4}$$
   解释

   找出运费最小的单元格。

   步骤依据

   最小成本法从选取单位运费最小的单元格开始。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{City 4 demand } = 30,\quad \text{Factory 3 supply } = 40$$
   解释

   检查所选单元格所在行与列。

   步骤依据

   讲解者确定了与下一次分配决策相关的目的地需求量和供应地供应量。

   视频直接表达

本例是一个平衡的运输问题，最小成本法从工厂3到城市4的单元格开始，其单位运费为$5。

通过比对125与125的总量验证平衡性；起始单元格则通过比较所有列出的单位运费，确认$5为唯一最小值而得以验证。

1. 图示
   观察依据

   完整表格显示各项成本：工厂1对应$8, $6、$10, $9；工厂2对应$9, $12、$13, $7；工厂3对应$14, $9、$16, $5；供应量为35、50、40；需求量为45、20、30、30。

2. 声音
   观察依据

   讲解者采用最小成本法解此实例，具体提及各工厂、城市、供应量、需求量及运输成本。

1. 该例题仅在视频片段中部分求解，尚未得出最终完整的分配方案。

已知三个工厂与四个城市，及其所示的单位运输成本、供应量与需求量，请通过反复选取剩余路线中成本最低者，构造一个初始可行的运输方案。

1. 工厂供应量：工厂1为35，工厂2为50，工厂3为40。

2. 城市需求量：城市1为45，城市2为20，城市3为30，城市4为30。

3. 表中显示的单位成本包括 $8, $6、$10, $9 工厂 1；$9, $12、$13, $7 工厂 2；以及$14, $9、$16, $5 工厂 3。

逐步应用最小成本法，直至确定下一次分配量。

1. 公式

   $$\text{Iteration 1: choose }c_{34}=5,\ x_{34}=\min(40,30)=30$$
   解释

   所讨论的最便宜路线是从工厂3到城市4，并在该处分配30个单位。

   步骤依据

   讲解者将供应量40与需求量30进行比较，并在对应单元格中填入30。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{Update supply: }40-30=10;\ \text{close City 4 column}$$
   解释

   工厂3的剩余供应量变为10，其余城市4对应的单元格被排除。

   步骤依据

   表格将40替换为10，并在其余城市4对应的单元格中标记X。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{Iteration 2: choose }c_{12}=6,\ x_{12}=\min(35,20)=20$$
   解释

   在所有剩余单元格中，从工厂1到城市2的成本最低，因此在该处分配20个单位。

   步骤依据

   讲解者圈出 $6 并写下 20 在工厂中 1，城市 2 单元格。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\text{Update supply: }35-20=15;\ \text{close City 2 column}$$
   解释

   工厂1的剩余供应量变为15，其余城市2对应的单元格被排除。

   步骤依据

   表格将35替换为15，并在其余城市2对应的单元格中标记X。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\text{Iteration 3 begins: choose }c_{11}=8\text{ for City 1 demand }45$$
   解释

   下一个被识别出的最便宜剩余路线是从工厂1到城市1，讲解者开始依据城市1的需求量45进行分配。

   步骤依据

   讲解者圈出$8，并说明应尽可能利用该路线满足需求。

   视频直接表达

在此片段中，可见的部分解为$x_{34}=30$和$x_{12}=20$，更新后的供应量为：工厂$3=10$，工厂$1=15$；下一个选定的路线是工厂1到城市1，成本为$8，但其分配过程未在画面中完成。

每个已展示的分配量均等于对应剩余供应量与需求量中的较小值；已满足需求的条目被划掉，相应列的单元格亦不再用于后续步骤。

1. 图示
   观察依据

   展示了一个完整的运输问题单纯形表，包含单位运费、供应量、需求量以及逐步手写的分配过程。

2. 声音
   观察依据

   主讲人逐一叙述每次选择、减法、划去和更新操作，直至宣布最终答案。

1. 最终的总运输成本未在该片段中计算出来。

使用最低成本法，从屏幕上显示的部分填好的运输单纯形表出发，为一个3工厂、4城市的运输问题构造一个初始可行运输方案。

1. 工厂：工厂1、工厂2、工厂3。

2. 城市：城市1、城市2、城市3、城市4。

3. 初始供应量：35、50、40。

4. 初始需求量：45、20、30、30。

5. 表中可见的单位运费包括$8, $6、$10, $9、$12, $13、$7, $14、$16, $5。

6. 本片段开始前已存在部分分配：$x_{12}=20$，$x_{34}=30$，以及起始时显示的其余供需数值。

确定由最低成本法产生的剩余分配，并建立总运输成本的计算式。

1. 公式

   $$x_{11}=15$$
   解释

   使用工厂 15 剩余的 1 单位来满足城市 1 的部分需求。

   步骤依据

   剩余供应量15与需求量45中的较小值。

   视频直接表达
2. 公式

   $$Demand_1:45\to30,\ Supply_1:15\to0$$
   解释

   完成首次分配后更新边际值，并剔除工厂1。

   步骤依据

   该方法的行/列更新规则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_{21}=30$$
   解释

   选择当前可用的最便宜路线，即从工厂2到城市1，运费为9，运送30单位。

   步骤依据

   剩余供应量50与需求量30中的较小值。

   视频直接表达
4. 公式

   $$Supply_2:50\to20,\ Demand_1:30\to0$$
   解释

   更新边际值，并在城市1的需求满足后将其划去。

   步骤依据

   当某列需求降为零后，对该列进行消去。

   视频直接表达
5. 公式

   $$x_{23}=20$$
   解释

   在拒绝工厂1至位置$10, choose Factory 2 to City 3 at $13的已耗尽路线后，将所有剩余的20单位全部发出。

   步骤依据

   剩余供应量20与需求量30中的较小值。

   视频直接表达
6. 公式

   $$Supply_2:20\to0,\ Demand_3:30\to10$$
   解释

   更新边际值，并消去工厂2。

   步骤依据

   当某行供应降为零后，对该行进行消去。

   视频直接表达
7. 公式

   $$x_{33}=10$$
   解释

   从工厂 10 发送最后的 3 单位到城市 3。

   步骤依据

   剩余供应量10与需求量10中的较小值。

   视频直接表达
8. 公式

   $$Supply_3:10\to0,\ Demand_3:10\to0$$
   解释

   最后一行的剩余量与最后一列的剩余量均变为零。

   步骤依据

   最终更新中展示的同时耗尽过程。

   视频直接表达
9. 公式

   $$\text{Total cost setup: }\sum c_{ij}x_{ij}$$
   解释

   通过将每个分配量乘以其单位成本并求和，开始评估已完成的解。

   步骤依据

   运输问题解的标准目标函数评估。

   视频直接表达

视频片段中展示的已完成分配为 $x_{11}=15$, $x_{12}=20$, $x_{21}=30$, $x_{23}=20$, $x_{33}=10$, $x_{34}=30$，其余所有 x_{ij}=0。总运费计算已引入，但在该片段中未完成。

利用最终运筹表中可见的分配，各行之和等于初始供应量35、50、40，各列之和等于初始需求量45、20、30、30。

1. 图示
   观察依据

   完整演算示例是一个3行4列的运输表格，其中已分配的单元格标有圆圈，表格下方附有手写的总成本计算过程。

2. 声音
   观察依据

   讲话人最后说道：“这就是如何将最小成本法应用于运输问题。”

1. 该片段未展示此前通过最小成本法选择并产生圆圈标注分配的步骤。

2. 划掉的供应量与需求量更新来源，在本片段中未作演示。

给定一个运输单纯形表，其中已占用的运输路线为（工厂1到城市1：15单位，单价为$8; Factory 2 to City 1: 30 at $9；工厂1到城市2：20单位，单价为$6; Factory 2 to City 3: 20 at $13；工厂3到城市3：10单位，单价为$16; Factory 3 to City 4: 30 at $5），求总运输成本。

1. 工厂1到城市1运送15个单位，单价为8美元。

2. 工厂2到城市1运送30个单位，单价为9美元。

3. 工厂1到城市2运送20个单位，单价为6美元。

4. 工厂2到城市3运送20个单位，单价为13美元。

5. 工厂3到城市3运送10个单位，单价为16美元。

6. 工厂3到城市4运送30个单位，单价为5美元。

7. 未选中的单元格用 X 标记。

计算所显示分配方案的总运输成本。

1. 公式

   $$\text{TOTAL COST}=15(8)+30(9)+20(6)+20(13)+10(16)+30(5)$$
   解释

   对每条已占用的运输路线，写出一个乘积项，即运送单位数乘以该路线的单位运费。

   步骤依据

   运用运输问题可行解的总成本计算规则。

   视频直接表达
2. 公式

   $$=120+270+120+260+160+150$$
   解释

   计算这六个乘积项的值。

   步骤依据

   直接相乘；这些中间值是推导得出的，而非在屏幕上显示。

   依据视频推导
3. 公式

   $$=1080$$
   解释

   将六条运输路线的成本相加，得到最终总成本。

   步骤依据

   对展开后的表达式进行算术求和。

   视频直接表达

对应的式子为：1,080

手写框出的结果与算术验算一致：$120+270+120+260+160+150=1080$。圆圈标出的数值也满足屏幕上显示的剩余供应量与需求量总和。

1. 图示
   观察依据

   一个静态的黑底表格出现，表头为城市1至城市4，行标签为工厂1至工厂3，另设一“供应量”列与一“需求量”行。

2. 动画
   观察依据

   一个青绿色椭圆围绕工厂标签绘制，另一个青绿色椭圆围绕城市标签绘制。

1. 运输表格

2. 工厂标签

3. 城市标签

4. 供应列

5. 需求行

6. 青绿色高亮椭圆

1. 首先圈出工厂行标签。

2. 然后圈出城市列标签。

1. 在此期间，表格中的数值内容保持不变。

2. 整个表格的布局保持固定。

高亮显示用于在讨论供应量、需求量和成本之前，区分源头（工厂）与目的地（城市）。

1. 动画
   观察依据

   Supply 列被画圈标出，并在其旁手写标注125；随后 Demand 行也被画圈标出，并在其下方手写标注125。

2. 图示
   观察依据

   供应值35、50、40与需求值45、20、30、30均保持可见。

1. Supply 列

2. Demand 行

3. 手写标注125

4. 青绿色圆圈

1. Supply 列被强调，并标注125。

2. Demand 行被强调，并标注125。

1. 各单项供应值与需求值均不发生变化。

2. 成本矩阵尚未被修改。

标注图示直观地表明总供应量等于总需求量，从而支持该问题为平衡型的论断。

1. 动画
   观察依据

   各个成本单元格按顺序用圆圈标出，包括位于工厂 $8 at Factory 1 / City 1 且 $6 的1 / 城市 2。

1. 成本单元格

2. 青绿色圆圈

1. 逐一依次圈出特定的内部成本数值。

1. 表格中的数值本身保持不变。

2. 尚未填写任何分配数量。

圈选操作将口述示例与矩阵中的确切位置关联起来，明确说明内部单元格表示从某工厂到某城市的单位运输成本。

1. 动画
   观察依据

   单元格位于工厂 5 / 城市 3 处；随后，城市 4 表头、需求值 4、工厂 30 标签以及供应值 3 也被圈出。40单元格位于工厂

1. 视频片段在选定单元格中填入任何分配数量之前即结束。

1. 工厂3/城市4成本单元格

2. 城市4表头

3. 需求值30

4. 工厂3行标签

5. 供应值40

6. 青绿色圆圈

1. 首先标记最小成本单元格。

2. 然后标记对应的终点列及需求量。

3. 然后标记对应的起点行及供应量。

1. 成本矩阵的数值保持不变。

2. 在本片段结束前，未写入任何新的数值分配。

该序列展示了最小成本法如何确定一个起始单元格，然后检查将约束下一次分配的相应需求与供应限制。

1. 图示
   观察依据

   初始时，工厂3、城市4的成本为5美元，工厂3的供应量为40，城市4的需求量为30，这些数值均以浅蓝色圆圈标出。

1. 运输表格

2. 工厂3所在行

3. 城市4所在列

4. 成本单元格5

5. 供应量值40

6. 需求量值30

1. 圆圈用于突出将首先进行比较的运输路线、供应量和需求量。

1. 此时，底层成本矩阵及边际合计值均保持不变。

视觉强调引出首次最小成本比较：工厂3的供应量能否满足城市4的需求量。

1. 图示
   观察依据

   手写数字30出现在工厂3、城市4对应的单元格中。

1. 工厂3、城市4单元格

2. 手写数字30

1. 所选路径获得明确的30单位分配。

1. 其他表格条目在此书写步骤中保持不变。

此可视化操作记录了从工厂 30 向城市 3 运输 4 的决策。

1. 图示
   观察依据

   需求值 30 位于城市 4 下方，并用对角斜线划掉。

1. 城市4需求条目30

2. 对角线划除

1. 城市4的需求在视觉上被标记为已实现。

1. 此时，城市4列中的成本条目仍清晰可见。

划掉表示不再向城市4分配任何单位。

1. 图示
   观察依据

   工厂3的供应值40被划掉，并在其旁边写下10。

1. 工厂3的供应项40

2. 新写的手写体10

1. 工厂3的剩余供应量从40更新为10。

1. 分配量 30 在工厂 3，城市 4 仍可见。

该表格现在反映 30 工厂 3 的 40 单位已发货。

1. 图示
   观察依据

   在工厂1、城市4以及工厂2、城市4的单元格中画上叉号。

1. 工厂1、城市4单元格

2. 工厂2、城市4单元格

3. X 标记

1. 另有两条通往城市4的路线被排除在后续考虑之外。

1. 已选定的分配 $x_{34}=30$继续保持有效。

由于城市4的需求已得到满足，该列中其余的单元格将从搜索空间中移除。

1. 图示
   观察依据

   在 $6 所在的工厂 1、城市 2 单元格周围画一个圆圈，随后在城市 20 下方的需求值 2 周围也画一个圆圈。

1. 工厂1到城市2的成本为$6

2. 城市2的需求量为20

3. 圆形高亮标记

1. 关注点转向下一个最小成本单元格及其对应的目的地需求。

1. 此前的分配与排除操作保持不变。

这些高亮标记引出了最小成本法的第二次迭代。

1. 图示
   观察依据

   手写数字20出现在工厂1、城市2单元格中；需求20被划掉；供应35被替换为15。

1. 工厂1、城市2单元格

2. 手写数字20

3. 城市2的需求量为20

4. 工厂1的供应量为35

5. 新的手写数字15

1. 城市2接收20个单位，其需求被标记为已满足，工厂1的剩余供应量减少至15。

1. 此前城市4的分配与排除保持不变。

该序列完整记录了第二次最小成本分配的全部影响。

1. 图示
   观察依据

   在工厂2、城市2单元格以及工厂3、城市2单元格中标记了叉号（X）。

1. 工厂2，城市2单元格

2. 工厂3，城市2单元格

3. X 标记

1. 剩余未使用的通往城市2的路线被排除。

1. 分配 $x_{12}=20$保持不变。

一旦城市2的需求得到满足，该列其余部分将在后续迭代中被移除。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确讨论了两个单元格具有相同最低运输成本的情形。

人们可能认为，当多个单元格并列最低成本时，最小成本法会随意选取其中一个，而无任何选择规则。

视频指出，若两个单元格共享相同的最低运输成本，则应选择需求量更高的那个单元格。

1. 声音
   观察依据

   主讲人在称该例为平衡问题之前，先核对了供应总量与需求总量之和。

可默认运输表格自动平衡，而不必核查供需总量。

本视频中，平衡性仅在计算出总供应量 = 125 和总需求量 = 125 后才得以确立。

1. 声音
   观察依据

   讲解员警告称，若在另一条城市 5 路线上再运送 4 个单位，总供应量将变为 30 加上 5，超出需求量。

2. 图示
   观察依据

   随后，其他通往城市4的单元格被划掉。

学习者可能认为，同一城市的需求已满足后，通往该城市的其他路径仍可继续使用。

一旦某个目的地的需求被完全满足，所有通往该目的地的其他未使用路径都必须被排除；否则运往该城市的总量将超出其需求。

1. 图示
   观察依据

   诸如$5, $6和$8之类的印刷美元金额保留在单元格中，而单独的手写数字30和20则作为分配数量添加进去。

2. 声音
   观察依据

   讲解员区分了运输成本与需发送的单位数量。

学习者可能将单元格中印制的单位成本与该路径上分配的单位数量混淆。

印刷的美元数值表示每单位成本；手写的数字填入单元格中，表示该运输路线实际发出的数量。

1. 声音
   观察依据

   讲话者称10号路线看起来成本最低，随后更正说工厂1的供应量已耗尽，该单元格本应更早划去。

2. 图示
   观察依据

   单元格（工厂1，城市3）随后被标记为 X。

人们可能错误地选择全局最小的可见成本，即使其所在行或列的剩余供应量或需求量已降为零。

在最小成本法中，仅当单元格所在行仍有正剩余供应量、且所在列仍有正剩余需求量时，该单元格才可被选中；已耗尽的行与已满足的列必须从候选范围中剔除。

1. 声音
   观察依据

   讲解者仅在结尾处才提及最小成本法，此时分配方案早已清晰可见。

2. 图示
   观察依据

   该片段以一张已填满的表格开始，而非空白表格。

仅凭此片段，人们可能误以为最小成本法仅包含将带圆圈的数值与其对应成本相乘。

本片段仅演示了最终的计算评估阶段；而实际的最小成本法构建过程——即按单位成本递增顺序选择运输路线，并同步更新供应量与需求量——并未在此展示。

1. 声音
   观察依据

   在引入表格后，主讲人立即对供应量与需求量分别求和，以判定该例的类型。

必须先理解表格结构，再对“供应”列与“需求”行分别求和，以检验其是否平衡。

1. 声音
   观察依据

   主讲人首先陈述了最小化目标，随后将最小成本法作为实现该目标的方法加以介绍。

最小成本法被呈现为一种旨在达成前述成本最小化目标的操作步骤。

1. 声音
   观察依据

   在讲解如何找出最小运输成本之后，立即给出打破平局的指令。

打破平局的规则是应用最小成本法时所采用的选择程序的一部分。

1. 图示
   观察依据

   全程使用已演算的数值表格来阐释定义及首个算法步骤。

该数值示例是用于验证问题是否平衡的具体实例。

1. 图示
   观察依据

   所有算法步骤均直接在运输单纯形表上执行。

2. 声音
   观察依据

   讲解者在应用该方法时，反复提及表格内尚存的单元格、供应量与需求量。

最小成本法通过对运输表中的成本、供应量和需求量进行操作来实施。

1. 声音
   观察依据

   在找出剩余运输成本中最小值后，讲解者立即确定该路线应发送的单位数量。

分配数量规则仅在选定当前剩余成本最低的运输路线之后才予以应用。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，一旦某列的总需求已被满足，该列中其余运输路线将不再使用。

2. 图示
   观察依据

   被划掉的需求值所在列中，其下方紧随标记“X”。

当分配数量等于该城市的剩余需求时，对应列即被剔除。

1. 声音
   观察依据

   每次分配之后，讲解者都将已发出数量从对应工厂的剩余供应量中减去。

2. 图示
   观察依据

   供应值 40 和 35 被替换为 10 和 15 在分配了 30 和 20 之后。

每次分配都会导致所选工厂的剩余供应量相应减少。

1. 声音
   观察依据

   讲解者通过指出额外运货将超出需求，来说明为何排除剩余的“城市4”单元格。

关于超额运送的命题解释了算法为何会移除已满足需求列的其余部分。

1. 图示
   观察依据

   该方法完全在运输单纯形表上进行。

最小成本分配法直接应用于运输单纯形表中的成本、供应量和需求量。

1. 声音
   观察依据

   在宣布最终分配方案后，讲解者立即转向计算总运输成本。

1. 该片段中未完成完整的成本表达式。

在计算目标函数值$\sum c$_{ij}x_{ij}之前，需要先确定各分配量x_{ij}。

1. 声音
   观察依据

   每一步都通过在剩余单元格中选择下一个最低运输成本来加以说明。

所演示的方法依赖于每次迭代中采用贪心的最小成本选择规则。

1. 声音
   观察依据

   主讲人借助表格引入工厂、城市、供应量、需求量以及单位运输成本。

1. 运输问题表格的结构

1. 声音
   观察依据

   主讲人添加了供应量与需求量，并称当两者总和均为125时，该问题为平衡问题。

1. 平衡运输问题
2. 本例是一个供需平衡的运输问题。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，目标是在满足每座城市需求的同时，使运输成本最小化。

1. 运输问题的目标

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，第一步是找出运输成本最小的单元格。

1. 最低成本法：初始选择规则

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释当两个单元格具有相同的最低运输成本时应如何处理。

1. 最低成本法中的并列处理规则

1. 图示
   观察依据

   处；5 cell at Factory 3 / 城市 4 被圈出作为起点。

1. 最低成本法：初始选择规则
2. 表中最小的单位运输成本为$5。

1. 图示
   观察依据

   整段视频围绕一个运输单纯形表展开，其中包含工厂、城市、运费、供应量和需求量。

1. 运输问题的表格形式

1. 声音
   观察依据

   讲解者询问剩余单元格中哪个的运货成本最小，并圈出$6, then later $8。

1. 最小成本法选择规则

1. 声音
   观察依据

   讲解者比较供应量与需求量，并在供应量更大时，运送全部需求量。

1. 最小成本法中的分配量
2. 当所选路线的供应量超过需求量时

1. 声音
   观察依据

   讲解者表示其他运输路线将不再使用，因为总需求已经得到满足。

2. 图示
   观察依据

   在已满足需求的列中，其余单元格上标有叉号。

1. 当某城市的需求已完全满足时，消除其对应列
2. 为何禁止向已满足需求的城市追加运输
3. 某列的需求一旦满足，便不可继续使用该列。

1. 声音
   观察依据

   讲解者计算40减去30以及35减去20，以更新剩余供应量。

2. 图示
   观察依据

   供应量条目被替换为10和15。

1. 分配后更新剩余供应量

1. 图示
   观察依据

   印刷的美元成本保留在单元格中，而手写的数量30和20则单独相加。

1. 运输问题的表格形式
2. 运输成本不等于发货数量。