由分量计算向量模长｜Khan Academy

1. 公式
   观察依据

   符号 $\vec{a}$ 写在黑板上，作为示例向量的一部分。

2. 声音
   观察依据

   原片用分量给出示例向量。

$\vec{a}$

示例中的一个二维向量。

$\mathbb{R}^2$ 中的向量。

1. 公式
   观察依据

   记号 $\|\vec{a}\|$ 写在向量定义的下方。

2. 声音
   观察依据

   讲解用该记号表示向量长度。

$\|\vec{a}\|$

向量 $\vec{a}$ 的模（或长度）。

非负实数。

1. 公式
   观察依据

   数字 5 被写为 $\vec{a} = (5, -3)$ 的第一个分量。

2. 声音
   观察依据

   讲解将第一个坐标识别为正的水平分量。

x-component

向量 $\vec{a}$ 的第一个坐标。

实数。

1. 公式
   观察依据

   数字 -3 被写为 $\vec{a} = (5, -3)$ 的第二个分量。

2. 声音
   观察依据

   讲解将第二个坐标识别为负的竖直分量。

y-component

向量 $\vec{a}$ 的第二个坐标。

实数。

1. 公式
   观察依据

   左上角书写的表达式显示 $\vec{a} = (5, -3)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解识别水平与竖直位移。

$\vec{a}$

该二维向量的分量 $5$ 沿 $x$ 方向，分量 $-3$ 沿 $y$ 方向。

该向量在笛卡尔坐标平面中被处理。

1. 公式
   观察依据

   书写公式以 $\|\vec{a}\| = \sqrt{5^2 + (-3)^2}$ 开头。

2. 声音
   观察依据

   讲解用分量构成的直角三角形计算长度。

$\|\vec{a}\|$

向量 $\vec{a}$ 的模长或长度。

针对显示的向量 $\vec{a}=(5,-3)$ 定义。

1. 图示
   观察依据

   绘制了一条水平轴并标记为 $x$。

2. 声音
   观察依据

   讲解标明水平坐标轴。

$x$

用于定位向量 x 分量的水平坐标轴。

笛卡尔坐标平面。

1. 图示
   观察依据

   绘制了一条垂直轴并标记为 $y$。

2. 声音
   观察依据

   讲解标明竖直坐标轴。

$y$

用于定位向量 y 分量的垂直坐标轴。

笛卡尔坐标平面。

1. 声音
   观察依据

   讲解根据给定位移确定终点。

2. 图示
   观察依据

   一个黄点被放置在对应于 $x=5$ 和 $y=-3$ 的端点处。

$(5,-3)$

当向量的起点置于原点时，其终点位置。

坐标平面。

1. 公式
   观察依据

   方程 $\vec{a} = (5, -3)$ 写在屏幕上。

2. 声音
   观察依据

   两个分量分别说明水平和竖直位移。

二维向量可以通过其分量来定义，这些分量代表沿 x 轴和 y 轴的位移。在示例中，$\vec{a} = (5, -3)$ 意味着向量沿正 x 方向移动 5 个单位，沿负 y 方向移动 3 个单位。

1. 适用于2 维笛卡尔坐标系中的向量。

1. 公式
   观察依据

   公式 $\|\vec{a}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ 被隐式使用为 $\|\vec{a}\| = \sqrt{5^2 + (-3)^2}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解将距离计算与勾股关系联系起来。

标准正交直角坐标系中，欧氏长度为分量平方和的平方根。两条直角边的长度是分量的绝对值；任意非正交坐标下不能直接照用该公式。

1. x 和 y 是向量的分量。

2. 结果始终为非负数。

3. 使用欧氏长度与标准正交坐标方向：坐标轴垂直且采用相同单位尺度。

1. 向量分量

1. 公式
   观察依据

   书写的向量为 $\vec{a}=(5,-3)$。

2. 声音
   观察依据

   讲解沿两条坐标轴定位给定分量。

3. 图示
   观察依据

   沿坐标轴添加刻度以在 x 轴上定位 $5$，在 y 轴上定位 $-3$。

向量 $\vec{a}$ 由有序对 $(5,-3)$ 表示，其中第一个元素给出 $x$ 方向的位移，第二个元素给出 $y$ 方向的位移。

1. 该向量在笛卡尔坐标平面中被解释。

2. 第一个分量对应水平位移。

3. 第二个分量对应垂直位移。

1. $\vec{a}$
2. $x$
3. $y$

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\|\vec{a}\| = \sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解用直角三角形关系计算长度。

向量的模长计算为其分量平方和的平方根。对于 $\vec{a}=(5,-3)$，这给出 $\sqrt{5^2+(-3)^2}=\sqrt{34}$。

1. 向量在笛卡尔坐标系中具有实数分量。

2. 模长是向量的欧几里得长度。

3. 使用欧氏长度与标准正交坐标方向：坐标轴垂直且采用相同单位尺度。

1. 二维向量的分量
2. 应用于向量模长的勾股定理

1. 声音
   观察依据

   向量保持位移不变，改画为从原点出发。

2. 图示
   观察依据

   然后向量从原点开始绘制。

这里的向量表示自由位移。两端点作相同平移后，在固定坐标系中的分量、长度和方向都不变，因此可以把起点放到原点。

1. 平移不得改变向量的长度。

2. 平移不得改变向量的方向。

1. 二维向量的分量

1. 声音
   观察依据

   讲解利用分量位移构成直角三角形。

2. 图示
   观察依据

   从原点绘制一条垂直线段和一条水平线段，形成以向量为斜边的直角三角形。

两个垂直的分量位移构成直角边，边长取绝对值，本例为 $5$ 与 $3$。竖直分量的负号表示向下，不表示负边长。

1. 坐标轴相互垂直。

2. 向量从原点绘制到其终点。

1. 二维向量的分量
2. 向量可以平移而不改变模长或方向

1. 声音
   观察依据

   讲解将已有的勾股定理应用于两条垂直的直角边。

2. 公式
   观察依据

   显示的计算在平方根下使用 $5^2+(-3)^2$。

3. 公式
   观察依据

   原片显示具体分量的数值计算；本条 a、b、c 抽象记号是对所用定理的编辑表述。

对于边长为 $5$ 和 $3$ 的直角三角形，斜边的平方等于 $5^2+3^2$。在向量语境中，斜边是向量的模长。

1. 三角形必须是直角三角形。

2. 两条直角边对应绝对分量长度 $|5|$ 和 $|-3|$。

1. 利用分量构建直角三角形

1. 声音
   观察依据

   讲解将有向线段的模长转为长度问题。

2. 图示
   观察依据

   绘制的向量是从原点到 $(5,-3)$ 的线段。

向量的模长是代表该向量的绘制线段的长度。

1. 向量在坐标平面中绘制为线段。

对于显示的向量 $\vec{a}$。

1. 声音
   观察依据

   绘图位置改变，但向量位移保持不变。

只要模长和方向保持不变，向量可以在平面中平移而不改变它。

1. 平移不改变向量的模长。

2. 平移不改变向量的方向。

3. 对象是在固定坐标系中表示位移的自由向量。

对于视频中讨论的平面中的向量。

1. 公式
   观察依据

   逐步计算 $\sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$ 写在黑板上。

2. 声音
   观察依据

   讲解依次计算分量的平方、平方和与平方根。

1. 公式

   $$\|\vec{a}\| = \sqrt{5^2 + (-3)^2}$$
   解释

   将给定的 x 和 y 分量代入模长公式。

   步骤依据

   在标准正交坐标系中应用欧氏模长公式。

   补充解释
2. 公式

   $$= \sqrt{25 + 9}$$
   解释

   对各个分量进行平方：$5^2 = 25$ 且 $(-3)^2 = 9$。

   步骤依据

   算术求值。

   视频直接表达
3. 公式

   $$= \sqrt{34}$$
   解释

   将平方后的值相加。

   步骤依据

   算术加法。

   视频直接表达

向量 $\vec{a} = (5, -3)$ 的模长为 $\sqrt{34}$。

1. 声音
   观察依据

   讲解将勾股关系应用于所画的分量三角形。

2. 公式
   观察依据

   黑板显示 $\|\vec{a}\| = \sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$。

3. 图示
   观察依据

   向量显示为具有水平和垂直边的直角三角形的斜边。

1. 公式

   $$\vec{a}=(5,-3)$$
   解释

   从给定的向量分量开始。

   步骤依据

   直接在黑板上写出并在音频中陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{从原点画向量到 }(5,-3).$$
   解释

   将起点置于原点，并使用分量定位终点。

   步骤依据

   演讲者陈述向量可以平移而不改变模长或方向。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{构造直角三角形，两直角边为 }5\text{ 且 }3.$$
   解释

   水平变化为 $5$，垂直变化的绝对值为 $3$。

   步骤依据

   演讲者明确地从 $x$ 和 $y$ 的变化中建立了一个直角三角形。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\|\vec{a}\|^2 = 5^2 + (-3)^2$$
   解释

   对以向量为斜边的直角三角形应用勾股定理。

   步骤依据

   演讲者说结果直接来自勾股定理。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\|\vec{a}\| = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$$
   解释

   简化平方并取平方根以获得模长。

   步骤依据

   直接在黑板上的书写公式中显示。

   视频直接表达

应用已有的勾股定理，得到 $\vec{a}=(5,-3)$ 的模长为 $\sqrt{34}$；这里没有证明勾股定理本身。

1. 公式
   观察依据

   整个问题 $\vec{a} = (5, -3)$ 及其解 $\|\vec{a}\| = \sqrt{34}$ 都写在屏幕上。

2. 声音
   观察依据

   例题要求根据给定分量求向量长度。

求向量 $\vec{a} = (5, -3)$ 的模长。

1. $\vec{a} = (5, -3)$

2. 使用欧氏长度与标准正交坐标方向：坐标轴垂直且采用相同单位尺度。

计算 $\|\vec{a}\|$。

1. 公式

   $$\|\vec{a}\| = \sqrt{5^2 + (-3)^2}$$
   解释

   使用给定的分量应用模长公式。

   步骤依据

   向量模长公式。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\|\vec{a}\| = \sqrt{25 + 9}$$
   解释

   计算分量的平方。

   步骤依据

   算术。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\|\vec{a}\| = \sqrt{34}$$
   解释

   求根号下数值的和。

   步骤依据

   算术。

   视频直接表达

$\sqrt{34}$

本区间已完成代数结果；之后开始绘图，完整视频在后续区间补齐几何依据。

1. 公式
   观察依据

   黑板上的示例计算是 $\vec{a}=(5,-3)$ 和 $\|\vec{a}\|=\sqrt{5^2+(-3)^2}=\sqrt{34}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解完成几何构图与长度计算。

3. 图示
   观察依据

   绘制了一个坐标平面，向量从原点到 $(5,-3)$，并有垂直的分量线段。

给定 $\vec{a}=(5,-3)$，求 $\|\vec{a}\|$。

1. $\vec{a}=(5,-3)$

2. 向量在笛卡尔坐标平面中绘制。

3. 使用欧氏长度与标准正交坐标方向：坐标轴垂直且采用相同单位尺度。

计算模长 $\|\vec{a}\|$。

1. 公式

   $$\text{确定分量： }x=5,\quad y=-3.$$
   解释

   将有序对读作水平和垂直位移。

   步骤依据

   在音频中陈述并写在黑板上。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\text{标出终点 }(5,-3)\text{ 从原点出发。}$$
   解释

   沿正 $x$ 方向移动 5 个单位，沿负 $y$ 方向移动 3 个单位。

   步骤依据

   演讲者在坐标轴上数出这些距离。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\text{将向量画作直角三角形的斜边。}$$
   解释

   使用分量线段作为垂直边。

   步骤依据

   演讲者明确说要建立一个直角三角形。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\|\vec{a}\| = \sqrt{5^2 + (-3)^2}$$
   解释

   对三角形应用勾股定理。

   步骤依据

   演讲者将此步骤归因于勾股定理。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\|\vec{a}\| = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$$
   解释

   简化算术。

   步骤依据

   直接在书写公式中显示。

   视频直接表达

$\|\vec{a}\| = \sqrt{34}$

最终值与黑板上书写的简化 $\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$ 匹配。

1. 动画
   观察依据

   数字 5 被蓝色圈出，对应的 $5^2$ 用蓝色书写。数字 -3 被粉色圈出，$(-3)^2$ 用粉色书写。

2. 声音
   观察依据

   讲解用颜色区分分量与对应的平方项。

1. 向量分量 (5, -3)

2. 模长公式中的平方项

1. 引入颜色以将特定分量链接到方程中的平方项。

1. 表达式的数学值保持不变。

颜色编码直观地展示了代入过程，确切地显示了 x 和 y 分量在基于勾股定理的模长公式中的位置。

1. 动画
   观察依据

   屏幕左侧画出一条带有向上箭头的垂直白线。

2. 声音
   观察依据

   讲解开始绘制坐标平面。

1. 88–93 秒开头区间只开始绘轴；同一完整视频随后画出向量与三角形。

1. y 轴

1. 空白空间转变为笛卡尔坐标系的起始部分。

1. 先前完成的代数计算仍然有效。

演讲者正在从代数计算过渡到几何可视化，以解释为什么模长公式本质上是勾股定理。

1. 图示
   观察依据

   垂直 $y$ 轴已存在，然后绘制水平 $x$ 轴并添加刻度。

2. 声音
   观察依据

   讲解标明坐标轴并添加定位分量的刻度。

1. 标记为 $y$ 的垂直轴

2. 标记为 $x$ 的水平轴

3. 刻度

1. 在现有垂直轴上添加水平轴。

2. 放置刻度以表示单位距离。

1. 顶部公式 $\vec{a}=(5,-3)$ 和 $\|\vec{a}\|=\sqrt{5^2+(-3)^2}=\sqrt{34}$ 保持可见。

准备平面以便几何定位向量分量。

1. 图示
   观察依据

   一个黄点出现在原点，另一个在 $(5,-3)$，并在它们之间绘制了一个黄色箭头。

2. 声音
   观察依据

   讲解用从原点出发的箭头表示该位移。

1. 原点

2. 终点 $(5,-3)$

3. 黄色向量箭头

1. 向量被定位为起点在原点。

2. 终点放置在 $(5,-3)$。

3. 从原点到终点绘制箭头。

1. 分量值保持为 $5$ 和 $-3$。

2. 书写的模长公式保持不变。

向量被几何表示为有向线段，其长度将被计算。

1. 图示
   观察依据

   添加向下的垂直线段和向右的水平线段，形成以向量为斜边的直角三角形。

2. 声音
   观察依据

   讲解在向量图中添加垂直的分量线段。

1. 垂直分量线段

2. 水平分量线段

3. 作为斜边的向量

1. 添加垂直分量线段。

2. 向量在视觉上被识别为斜边。

1. 向量端点保持在原点和 $(5,-3)$。

2. 分量大小保持为 $5$ 和 $3$。

图像将向量模长问题转化为直角三角形边长问题。

1. 声音
   观察依据

   竖直边长取负位移的绝对值。

2. 公式
   观察依据

   黑板写下 $(-3)^2$，等于 $9$。

人们可能认为负的 y 分量会减小模长或在公式中以负贡献进入。

在模长公式中，分量被平方，所以 $(-3)^2=9$；等价地，可以使用边长 $3$。

1. 声音
   观察依据

   例题将平移后的位移视为同一自由向量。

人们可能认为移动向量会改变它是哪个向量。

在固定坐标系中同时平移两端点，保持自由位移向量不变；相对于固定原点的位置是另一概念。

1. 声音
   观察依据

   讲解将长度公式与勾股定理联系起来。

向量模长公式是勾股定理对向量正交分量的直接应用。

1. 公式
   观察依据

   模长公式直接使用 $\vec{a}=(5,-3)$ 的元素。

2. 声音
   观察依据

   两个分量提供长度计算的输入。

向量的分量是模长公式中使用的输入。

1. 声音
   观察依据

   分量三角形利用已有定理说明模长计算的依据。

2. 公式
   观察依据

   计算是 $\sqrt{5^2+(-3)^2}$。

此处通过对分量直角三角形应用勾股定理来证明向量模长公式。

1. 声音
   观察依据

   讲解将向量放在原点以便构图。

2. 图示
   观察依据

   然后向量从原点绘制到 $(5,-3)$。

将向量置于原点使得可以直接将其分量读取为直角三角形的垂直边。

1. 声音
   观察依据

   本课介绍由分量求长度。

1. 向量分量
2. 向量模长公式

1. 声音
   观察依据

   讲解将分量公式与勾股关系联系起来。

1. 向量模长公式

1. 公式
   观察依据

   黑板显示 $\|\vec{a}\|=\sqrt{5^2+(-3)^2}=\sqrt{34}$。

2. 声音
   观察依据

   讲解完成根据分量求长度的计算。

1. 二维向量的分量
2. 由分量计算向量的模长
3. 应用于向量模长的勾股定理

1. 图示
   观察依据

   分量线段形成以向量为斜边的直角三角形。

2. 声音
   观察依据

   所画分量相互垂直，可以应用勾股定理。

1. 利用分量构建直角三角形
2. 应用于向量模长的勾股定理
3. 由分量计算向量的模长

1. 声音
   观察依据

   讲解将同一位移改画为从原点出发。

1. 向量可以平移而不改变模长或方向

1. 公式
   观察依据

   项 $(-3)^2$ 出现在模长计算中。

2. 声音
   观察依据

   负位移通过平方项参与计算。

1. 由分量计算向量的模长
2. 负分量在平方后仍贡献正值