如何从随机微分方程和伊藤引理中获得 f 的偏微分方程？

通过将试探解 $S=f(W,t)$ 代入随机微分方程并应用伊藤引理，匹配 $dW$ 和 $dt$ 的系数。这产生了偏微分方程组：$f_W = \sigma f$ 和 $f_t + \frac{1}{2} f_{WW} = \mu f$。

通过将试探解

S=f(W,t)

代入随机微分方程并应用伊藤引理，匹配

dW

和

dt

的系数。这产生了偏微分方程组：

f_W = \sigma f

和

f_t + \frac{1}{2} f_{WW} = \mu f

。

适用条件

写出随机微分方程： $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$ 。
对 $S=f(W,t)$ 应用伊藤引理： $df(W,t) = \left[f_t + \frac{1}{2} f_{WW}\right] dt + f_W dW$ 。
相等 $dW$ 的系数： $f_W = \sigma S = \sigma f$ 。
相等 $dt$ 的系数： $f_t + \frac{1}{2} f_{WW} = \mu S = \mu f$ 。
得出偏微分方程组。

黑板上显示“由伊藤引理， $f_W = \sigma S = f \cdot \sigma$ 且 $f_t + \frac{1}{2} f$ _{WW} = $\mu S = f \cdot \mu$ 。”