在将 4 个不同的球放入 4 个不同的盒子时，如何计算“至少一个盒子为空”的事件 A 的概率 $P(A)$？

适用条件

• 球是不同的。
• 盒子是不同的。
• 每个球必须放入一个盒子。
• 在总样本空间中允许有空盒子。

理解与推导

1. 确定样本空间中的结果总数：$4^4$。
2. 识别对立事件 $A^c$：没有盒子为空。
3. 计算 $A^c$ 的结果数：由于 4 个球放入 4 个盒子且无空盒，每个盒子恰好有 1 个球，产生 4! 种排列。
4. 计算 $P(A^c) = 4$! / $4^4$。
5. 使用对立事件规则：$P(A) = 1 - P(A^c)$。

例子

视频显示 $P(A) = 1 - A_4^4 / 4^4$，化简为 $1 - 24/256 = 29/32$。

容易误解的地方

• 试图直接相加恰好 1、2、3 和 4 个空盒子的概率。
• 忘记总样本空间大小是 $4^4$，而不是 4! 或其他值。

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相关概念

继续追问

• $A_4^4$ 的值是多少？
• 这个 $P(A)$ 如何在条件概率公式中作为分母使用？

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