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如何检查微分方程是否是恰当的？

要检查微分方程是否是恰当的，你必须验证 dx 的系数对 y 的偏导数等于 dy 的系数对 x 的偏导数。如果这些混合偏导数相等，则该方程是恰当的。

适用条件

  • 方程必须采用 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 的形式。
  • M 和 N 必须具有连续的一阶偏导数。

理解与推导

  1. 将 M(x,y)M(x,y) 识别为 dx 的系数，将 N(x,y)N(x,y) 识别为 dy 的系数。
  2. 计算 M 对 y 的偏导数，将 x 视为常数。
  3. 计算 N 对 x 的偏导数，将 y 视为常数。
  4. 比较这两个结果表达式。
  5. 如果偏导数相等，则得出方程是恰当的结论。

例子

对于方程 (-3x^2 - y)dx+(3y2−x)dy=0dx + (3y^2 - x)dy = 0，M=−3x2−yM = -3x^2 - y 且 N=3y2−xN = 3y^2 - x。M 对 y 的偏导数是 -1，N 对 x 的偏导数是 -1。因为 -1 = -1，所以该方程是恰当的。

容易误解的地方

  • 在没有检查偏导数的情况下假设方程是恰当的。
  • 将 M 对 y 的偏导数与 M 对 x 的偏导数混淆。

观看对应讲解

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