如何计算两个线性变换 A 和 B 的复合矩阵？

适用条件

• A 和 B 都是 3x3 矩阵。
• 运算在实数上进行。
• 这些是具有兼容输入和输出空间的实线性映射，使用标准列向量坐标表示。

理解与推导

1. 将矩阵 B 的各列识别为输入向量。
2. 将变换 A 应用于 B 的第一列，得到结果的第一列。
3. 将变换 A 应用于 B 的第二列，得到结果的第二列。
4. 将变换 A 应用于 B 的第三列，得到结果的第三列。
5. 将这些结果向量作为列组合起来，形成矩阵 $A \circ B$。

例子

给定 $A = \begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 \\ -3 & -2 & -4 \\ 3 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ 和 $B = \begin{bmatrix} -2 & 0 & -2 \\ -3 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & -4 \end{bmatrix}$，为了找到 $A \circ B$ 的第二列，计算 $A \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$。这是 A 的各列的线性组合：$0 \cdot \begin{bmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} + 3 \cdot \begin{bmatrix} 0 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -16 \\ 9 \end{bmatrix}$。

容易误解的地方

• 认为 $A \circ B$ 意味着先应用 A 再应用 B。
• 相信通过行乘列的方式计算乘法，而忽略了对基向量或输入列进行变换的几何解释。

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继续追问

• 为什么 A ∘ B 意味着先应用 B 再应用 A？
• 如何从第二个矩阵的列中找到复合矩阵的缺失列？
• 为什么在计算 A o B 时使用矩阵 B 的列而不是标准基向量？

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