如何为常微分方程 $\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$ 的待定系数法找到系数 A？

适用条件

• 试探解为 $x=Ate^{-t}$。
• 常微分方程为 $\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$。
• $e^{-t}$ 永远不为零，允许从两边消去。

理解与推导

1. 将 $x=Ate^{-t}$、$\dot{x}=Ae^{-t}(1-t)$ 和 $\ddot{x}=Ae^{-t}(t-2)$ 代入常微分方程。
2. 从左边提取 $e^{-t}$：$e^{-t}[A(t-2) + 3A(1-t) + 2At] = 2e^{-t}$。
3. 从两边消去 $e^{-t}$：$A(t-2) + 3A(1-t) + 2At = 2$。
4. 展开并按 $t$ 的幂次合并同类项：$(A - 3A + 2A)t + (-2A + 3A) = 2$。
5. 简化系数：$0 \cdot t + A = 2$。
6. 求解 $A$ 得到 $A=2$。

例子

黑板上显示了分组表达式 ($A - 3A + 2A$)$t + (-2A + 3A) = 2$。演讲者解释了在消去 $e^{-t}$ 后收集与 t 成正比的项和与 t 不成正比的项。

容易误解的地方

• 在相等系数之前忘记消去 $e^{-t}$。
• 错误地展开各项，导致 $t$ 的系数不为 $0$。

观看对应讲解

相关概念

继续追问

• 常微分方程 $\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$ 的最终特解是什么？
• 该片段在待定系数法中停在哪里？

相关问题