常微分方程特解：共振

1. 公式
   观察依据

   因变量在所展示的常微分方程及试探解中均记为 x。

x

微分方程中关于 t 的未知函数。

关于 t 的函数；视频片段中未明确给出其定义域。

1. 公式
   观察依据

   自变量以 t 的形式出现在 $e^{-t}$、e^{rt} 及试探特解 $A t e^{-t}$ 中。

t

该常微分方程的自变量（类时间参数）。

实变量；未显示具体区间。

1. 公式
   观察依据

   一阶导数在常微分方程中记为 $\dot{x}$，后续被显式计算。

$\dot{x}$

x 关于 t 的一阶导数。

在 x 可导处有定义。

1. 公式
   观察依据

   二阶导数在常微分方程中记为 $\ddot{x}$，后续被显式计算。

$\ddot{x}$

x 关于 t 的二阶导数。

在 x 二阶可导处有定义。

1. 公式
   观察依据

   r 出现在试探齐次解 $x=e$^{rt} 中，也出现在特征多项式 $r^2+3r+2=0$ 中。

r

用于齐次试探解中的指数增长率参数。

从特征方程中求解出的代数未知量。

1. 公式
   观察依据

   $c_1$ 乘以所展示齐次解中的 $e^{-2t}$。

$c_1$

乘在齐次模态 $e^{-2t}$ 上的任意常数。

积分常数；其具体数值未给出。

1. 公式
   观察依据

   $c_2$ 乘以所展示齐次解中的 $e^{-t}$。

$c_2$

乘在齐次模态 $e^{-t}$ 上的任意常数。

积分常数；其具体数值未给出。

1. 公式
   观察依据

   A 被引入为试探特解 $x=A t e^{-t}$ 中的未知系数。

1. A 的最终取值在此片段中尚未得出。

A

对应共振型特解试探形式的待定系数。

需通过代入常微分方程确定的常数。

1. 公式
   观察依据

   变量 x 在微分方程和试探解中作为因变量（函数）出现。

x

常微分方程中的因变量（t 的函数）。

t 的实值函数。

1. 公式
   观察依据

   变量 t 在 $e^{-t}$ 和 te^{-t} 中作为自变量出现。

t

自变量（时间）。

实数。

1. 公式
   观察依据

   常数 A 在试探特解 x = Ate^{-t} 中引入，并在后续求解。

A

待定系数，在特解中求解。

实常数。

1. 公式
   观察依据

   符号 $\dot{x}$ 出现在微分方程及其导数表达式中。

$\dot{x}$

x 关于 t 的一阶导数。

t 的实值函数。

1. 声音
   观察依据

   说话人表示，他们想求解微分方程 x 二阶导加3乘 x 一阶导加2乘 x 等于2乘 e 的负 t 次方的一个特解。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$。

该片段研究微分方程$\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$，特别关注求其一个特解，而非通解。强迫项为指数形式，且说话人立即指出其指数与齐次方程的某一个模态相匹配。

1. 具有常系数的线性二阶常微分方程。

2. 右端项为$2e^{-t}$。

3. 本片段的目标仅为建立并开始计算一个特解。

1. 声音
   观察依据

   说话人说：‘对于齐次方程，若我们仅尝试设 x 等于 e 的 rt 次方，便可得到特征方程 r 的平方加3乘 r 加2等于0。’

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出‘齐次方程：试设 $x = e$^{rt}’，接着写出‘$r^2 + 3r + 2 = 0$ => ($r+2$)($r+1$)=0’。

为求解对应的齐次方程，视频采用标准的指数试探解$x=e^{rt}$。代入后得到特征多项式$r^2+3r+2=0$，其因式分解形式为$(r+2)(r+1)=0$。由此确定两个齐次指数解$r=-2$和$r=-1$。

1. 适用于常系数线性常微分方程所对应的齐次方程。

2. 此处得到两个互异的实根。

1. 具有指数型强迫项的非齐次二阶线性常微分方程。

1. 声音
   观察依据

   主讲人指出，齐次解为某个常数乘以 $e^{-2t}$，再加上另一个常数乘以 $e^{-t}$。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $x_h(t) = c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-t}$。

3. 图示
   观察依据

   从激励项 $2e^{-t}$ 向齐次解中的 $e^{-t}$ 项画出一个箭头。

由特征方程的根 $r=-2$ 和 $r=-1$，写出齐次解为 $x_h(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{-t}$。图示箭头强调：激励项 $2e^{-t}$ 与某一个齐次模态具有相同的指数因子，因此常规的非共振试探解将失效。

1. 特征方程的根互异且为实数。

2. 这是齐次常微分方程的通解。

1. 求解齐次常微分方程的特征方程法。

1. 声音
   观察依据

   主讲人表示，为求特解，必须尝试令 x 等于某个未知系数，并将等式右端乘以 t，即取 $A t e^{-t}$。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写下“特解试探：试取 $x = A t e^{-t}$”。

因为$e^{-t}$已经满足齐次方程，视频通过乘以$t$来修正常规的待定系数法猜测。所选试探解为$x_p(t)=Ate^{-t}$，其中$A$是待定系数，需将试探解代入常微分方程后确定。

1. 当激励项与齐次解模态重叠时使用。

2. 此处重叠发生在$e^{-t}$上，因此插入一个$t$因子。

1. 齐次解与激励项之间的重叠

1. 声音
   观察依据

   主讲人用语言陈述乘积法则：第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\dot{x}$=Ae^{-t}(1-t)。

对$x=Ate^{-t}$应用乘积法则求导得到$\dot{x}=Ae^{-t}-Ate^{-t}=Ae^{-t}(1-t)$。该表达式随后用于计算二阶导数。

1. 对 t 求导。

2. 对$t$和$e^{-t}$应用乘积法则。

1. 针对共振情形调整后的特解试探形式

1. 声音
   观察依据

   主讲人再次使用乘积法则，并指出结果为负一加 t 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，最终得负一。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示 $\ddot{x}$=Ae^{-t}(-1+t-1)。

3. 图示
   观察依据

   花括号将括号内的各项归为一组，主讲人就此评述其组合形式。

1. 展示了未化简的形式，但视频片段在写出化简后的二阶导数或代入常微分方程（ODE）所得结果之前就结束了。

对$\dot{x}=Ae^{-t}(1-t)$再求一次导数得到$\ddot{x}=Ae^{-t}(-1+t-1)$。括号内的项合并为$t-2$，因此化简后的形式为$\ddot{x}=Ae^{-t}(t-2)$，但本片段中屏幕上的化简并未完全完成。

1. 从先前已计算出的一阶导数继续推导。

2. 再次对$e^{-t}$和$(1-t)$应用乘积法则。

1. 共振试探解的一阶导数

1. 公式
   观察依据

   板书显示“特解尝试形式：x = Ate^{-t}”，并附有其一阶与二阶导数。

当非齐次项正比于 $e^{-t}$，且 -1 是特征方程的根时，待定系数法的标准做法是将常规猜测形式乘以 t。本视频采用这种共振形式 x = Ate^{-t}。

1. 激励项包含 $e^{-t}$。

2. -1 是齐次特征方程的单根。

1. 声音
   观察依据

   主讲人说：“因此我们将它代入微分方程，即 x 双点加 3x 点加 2x。”

2. 公式
   观察依据

   左侧算子 $\ddot{x} + 3\dot{x} + 2x$ 在试探解区块下方被重写。

将候选特解及其导数代入原微分方程的左侧，以确定未知系数 A。

1. 使用试探形式 x = Ate^{-t} 计算 x、$\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$。

1. 特解试探形式

1. 声音
   观察依据

   主讲人解释：在消去 $e^{-t}$ 后，将含 t 的项与不含 t 的项分别合并。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示合并后的表达式 ($A - 3A + 2A$)$t + (-2A + 3A)$。

代入试探解并提取公因子 $e^{-t}$ 后，所得表达式被整理为 t 的系数项与常数项。这使得它可与微分方程右侧进行匹配。

1. 公因子 $e^{-t}$ 已从等式两边消去。

1. 将试探解代入常微分方程

1. 公式
   观察依据

   二阶导数 $\ddot{x} + 3$一阶导数 $\dot{x} + 2x = 2$

视频展示了一个具有常系数的二阶线性常微分方程，其右侧为一个常数非齐次项。

1. 该方程是线性的。

2. 系数为常数（1、3、2）。

3. 右侧为一个常数（2）。

1. 公式
   观察依据

   将含 A 的项代入该常微分方程以求解 A。

1. 特解的具体假设形式在当前画面中未明确写出。

一种求解非齐次线性常微分方程特解的方法：先假设一个带有未知系数的解的形式，将其代入方程，再求出这些系数。

1. 适用于具有常系数的线性常微分方程。

2. 非齐次项必须属于特定类型（例如多项式、指数函数、正弦或余弦函数）。

1. 二阶线性非齐次常微分方程

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，难点在于 $e^{-t}$ 是齐次方程的一个解。

2. 公式
   观察依据

   齐次解包含项 $c_2 e^{-t}$。

3. 图示
   观察依据

   一个箭头在视觉上将激励项$2e^{-t}$ 与 $x_h(t)$ 中的 $e^{-t}$ 部分关联起来。

对于常微分方程$\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$，激励因子$e^{-t}$属于齐次解空间，因为$r=-1$是特征方程的一个根。

1. 考虑对应的齐次方程$\ddot{x}+3\dot{x}+2x=0$。

2. 采用指数试探解$x=e^{rt}$。

3. 特征方程为$r^2+3r+2=0$。

针对该特定常微分方程及其齐次解。

1. 声音
   观察依据

   说话者表示，此时需将等式右端乘以 t，得到 $A t e^{-t}$。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出特解形式：尝试设 $x = A t e^{-t}$。

1. 该片段通过本例演示了这一规则，但并未陈述带有完整条件的普遍定理。

当强迫项含有与齐次解相同的指数因子时，特解试探形式需乘以$t$；此处选取的形式为$x_p(t)=Ate^{-t}$。

1. 该常微分方程是具常系数的线性方程。

2. 非齐次项包含一个已在齐次解中出现的因子。

该结论针对视频片段中所解的具体例题而给出；更一般的规则虽被暗示，但此处未作形式化证明。

1. 声音
   观察依据

   说话者指出，尝试设 $x=e$^{rt} 可得特征方程 $r^2+3r+2=0$，其因式分解为 ($r+2$)($r+1$)=0。

2. 公式
   观察依据

   黑板上显示齐次方程的求解过程：尝试设 $x=e$^{rt}，则得 $r^2+3r+2=0$ ⇒ ($r+2$)($r+1$)=0。

1. 公式

   $$\ddot{x}+3\dot{x}+2x=0$$
   解释

   从给定常微分方程的齐次形式出发。

   步骤依据

   所展示的非齐次常微分方程对应的齐次方程。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x=e^{rt}$$
   解释

   尝试指数形式的解。

   步骤依据

   如视频中所述，这是求解常系数线性常微分方程的标准方法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$r^2+3r+2=0$$
   解释

   代入后得到特征多项式。

   步骤依据

   音频明确指出，这是由试探解所得的特征方程。

   视频直接表达
4. 公式

   $$(r+2)(r+1)=0$$
   解释

   对二次式进行因式分解。

   步骤依据

   黑板上展示了代数因式分解过程。

   视频直接表达
5. 公式

   $$r=-2,\ r=-1$$
   解释

   直接写出两个根。

   步骤依据

   对因式分解后的方程应用零积律。

   依据视频推导

齐次解的指数为$r=-2$和$r=-1$，由此构造出由$e^{-2t}$和$e^{-t}$组成的通解。

1. 声音
   观察依据

   主讲人用乘积法则口头计算了一阶导数和二阶导数。

2. 公式
   观察依据

   黑板上写出 x=Ate^{-t}，然后 $\dot{x}$=Ae^{-t}(1-t)，再然后 $\ddot{x}$=Ae^{-t}(-1+t-1)。

1. 视频片段在将这些导数代入常微分方程并求解 A 之前就结束了。

1. 公式

   $$x=Ate^{-t}$$
   解释

   从所选的特解试探形式出发。

   步骤依据

   选择该形式是因为 $e^{-t}$ 与齐次解重合。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\dot{x}=Ae^{-t}-Ate^{-t}$$
   解释

   对 $t$ 和 $e^{-t}$ 应用乘积法则。

   步骤依据

   主讲人明确描述了‘第一项的导数乘以第二项，加上第一项乘以第二项的导数’。

   视频直接表达
3. 公式

   $$\dot{x}=Ae^{-t}(1-t)$$
   解释

   提取公因式 $Ae^{-t}$。

   步骤依据

   黑板上展示了代数化简过程。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\ddot{x}=Ae^{-t}(-1)+(Ae^{-t})(-1)+A(-e^{-t})(1-t)$$
   解释

   再次对 $\dot{x}=Ae^{-t}(1-t)$ 应用乘积法则求导。

   步骤依据

   这是与口述推导相对应的标准展开式；黑板呈现的是合并后的结果，而非每一步中间过程。

   依据视频推导
5. 公式

   $$\ddot{x}=Ae^{-t}(-1+t-1)$$
   解释

   将各项合并为屏幕上显示的括号形式。

   步骤依据

   与黑板上写出的公式一致。

   视频直接表达
6. 公式

   $$\ddot{x}=Ae^{-t}(t-2)$$
   解释

   化简括号内的表达式。

   步骤依据

   对$-1+t-1=t-2$进行算术化简；该最终化简步骤在视频片段结束前未完全写出。

   依据视频推导

试探特解的导数为$\dot{x}=Ae^{-t}(1-t)$和$\ddot{x}=Ae^{-t}(t-2)$，为下一步代入常微分方程（ODE）做准备。

1. 公式
   观察依据

   黑板上展示了逐步代入与化简过程，最终得出 $A = 2$。

2. 声音
   观察依据

   主讲人叙述了含 t 项的消去过程以及剩余方程的求解过程。

1. 公式

   $$\ddot{x} + 3\dot{x} + 2x = 2e^{-t}$$
   解释

   从原始的非齐次微分方程出发。

   步骤依据

   黑板上显示的题目陈述。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x = Ate^{-t}, \quad \dot{x} = Ae^{-t}(1-t), \quad \ddot{x} = Ae^{-t}(-2+t)$$
   解释

   使用试探特解及其计算所得的一阶与二阶导数。

   步骤依据

   针对共振强迫项的待定系数法。

   视频直接表达
3. 公式

   $$Ae^{-t}(-2+t) + 3Ae^{-t}(1-t) + 2Ate^{-t} = 2e^{-t}$$
   解释

   将 x、$\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$ 代入常微分方程左端。

   步骤依据

   直接代数代入。

   视频直接表达
4. 公式

   $$e^{-t} [ A(-2+t) + 3A(1-t) + 2At ] = 2e^{-t}$$
   解释

   提取公因式指数项 $e^{-t}$。

   步骤依据

   乘法对加法的分配律。

   依据视频推导
5. 公式

   $$A(-2+t) + 3A(1-t) + 2At = 2$$
   解释

   方程两边同除以 $e^{-t}$（该式恒不为零），以简化方程。

   步骤依据

   对非零公因子进行代数约去。

   视频直接表达
6. 公式

   $$(A - 3A + 2A)t + (-2A + 3A) = 2$$
   解释

   展开并按 t 的幂次合并同类项。

   步骤依据

   多项式归类。

   视频直接表达
7. 公式

   $$0 \cdot t + A = 2$$
   解释

   化简系数：$A - 3A + 2A = 0$，且 -2A + $3A = A$。

   步骤依据

   算术化简。

   视频直接表达
8. 公式

   $$A = 2$$
   解释

   求解所得关于待定系数的线性方程。

   步骤依据

   基础代数。

   视频直接表达

试探特解中的待定系数为 $A = 2$。

1. 公式
   观察依据

   =（A 减去 3A 加上 2A）乘以 t，再加上（负 2A 加上 3A），结果等于 2，因此 A 等于 2

1. 特解的初始猜测形式未显示，但代数推导步骤暗示代入了某种特定形式。

1. 公式

   $$(A - 3A + 2A)t + (-2A + 3A) = 2$$
   解释

   将假设的特解及其各阶导数代入常微分方程后，各项按 t 的幂次进行归类。

   步骤依据

   代数化简并合并同类项。

   视频直接表达
2. 公式

   $$0 \cdot t + A = 2$$
   解释

   t 的系数化简为零（$A - 3A + 2A = 0$），常数项化简为 A（-2A + $3A = A$）。

   步骤依据

   算术运算。

   依据视频推导
3. 公式

   $$A = 2$$
   解释

   令剩余的常数项等于常微分方程右端，从而解出 A 的值。

   步骤依据

   多项式（或函数）相等。

   视频直接表达

待定系数 A 等于 2。

1. 声音
   观察依据

   整个片段是一个求解所显示常微分方程特解的完整例题。

2. 公式
   观察依据

   黑板上的推演从该常微分方程出发，依次完成齐次解、共振试探解（ansatz）及导数计算。

1. 该例题在本片段中未完成，因为在视频片段结束前尚未解出系数 A。

当强制项的指数函数与齐次解重叠时，求$\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$的一个特解。

1. 该常微分方程为$\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$。

2. 对应的齐次方程具有特征多项式$r^2+3r+2=0$。

3. 齐次解为$x_h(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{-t}$。

设定正确的共振试探解以求得特解，并计算代入所需的导数。

1. 公式

   $$r^2+3r+2=0\Rightarrow (r+2)(r+1)=0$$
   解释

   求解齐次特征方程。

   步骤依据

   在尝试$x=e^{rt}$后，直接在黑板上展示。

   视频直接表达
2. 公式

   $$x_h(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{-t}$$
   解释

   根据两个根写出齐次解。

   步骤依据

   实根互异情形下的标准结论；在黑板上给出。

   视频直接表达
3. 公式

   $$x_p(t)=Ate^{-t}$$
   解释

   由于$e^{-t}$本身已是齐次模态，需将朴素猜测乘以$t$。

   步骤依据

   主讲人明确指出这是共振情形下所需的修正方式。

   视频直接表达
4. 公式

   $$\dot{x}_p=Ae^{-t}(1-t)$$
   解释

   对试探解求一次导数。

   步骤依据

   乘积法则在音频中讲解，并在黑板上写出。

   视频直接表达
5. 公式

   $$\ddot{x}_p=Ae^{-t}(-1+t-1)$$
   解释

   再次求导。

   步骤依据

   第二次应用乘积法则；黑板上展示的是未化简形式。

   视频直接表达

该片段确立了正确的共振试探解$x_p(t)=Ate^{-t}$，并计算出$\dot{x}_p=Ae^{-t}(1-t)$和$\ddot{x}_p=Ae^{-t}(-1+t-1)=Ae^{-t}(t-2)$，但未得出$A$的最终数值。

验证需将$x_p$、$\dot{x}_p$和$\ddot{x}_p$代入原常微分方程，并比对$e^{-t}$的各项系数；此步骤在本片段中未展示。

1. 公式
   观察依据

   整段内容专门用于求解微分方程 $\ddot{x} + 3\dot{x} + 2x = 2e^{-t}$ 的特解。

求微分方程 $\ddot{x} + 3\dot{x} + 2x = 2e^{-t}$ 的一个特解。

1. 该微分方程为 $\ddot{x} + 3\dot{x} + 2x = 2e^{-t}$。

2. 齐次解中包含 $e^{-t}$ 项，表明与激励函数发生共振。

确定特解 $X_p(t)$ 的具体形式及其系数。

1. 公式

   $$x = Ate^{-t}$$
   解释

   因发生共振，提出一个乘以 t 的试探解。

   步骤依据

   当强制项的指数与齐次方程的特征根重合时，待定系数法的标准规则。

   视频直接表达
2. 公式

   $$\dot{x} = Ae^{-t}(1-t), \quad \ddot{x} = Ae^{-t}(-2+t)$$
   解释

   计算试探解所需的各阶导数。

   步骤依据

   求导的乘积法则与链式法则。

   视频直接表达
3. 公式

   $$(A - 3A + 2A)t + (-2A + 3A) = 2$$
   解释

   代入常微分方程，消去 $e^{-t}$，并合并同类项。

   步骤依据

   代数运算与比较系数。

   视频直接表达
4. 公式

   $$A = 2$$
   解释

   求解未知系数 A。

   步骤依据

   化简合并后的方程，得到 $A = 2$。

   视频直接表达
5. 公式

   $$X_p(t) = 2te^{-t}$$
   解释

   将 A 代回试探形式，写出最终的特解。

   步骤依据

   根据已解出的系数定义特解。

   视频直接表达

$X_p(t)$ 等于 2t 乘以 e 的负 t 次方

将 $X_p(t) = 2$te^{-t} 及其导数代回原常微分方程，方程成立。

1. 图示
   观察依据

   从上方方程中的激励项$2e^{-t}$向齐次解中的$e^{-t}$项画出一条箭头。

1. 上方方程$\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$

2. 齐次解$x_h(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{-t}$

3. 箭头标注

1. 出现一条新的箭头标注，连接右侧的指数项与齐次解中对应的指数项。

1. 添加箭头时，代数公式本身保持不变。

该箭头标示出共振问题：激励项含有与某一齐次解相同的指数因子，从而引出后续在特解试探中乘以$t$的操作。

1. 图示
   观察依据

   当讲解者提到合并括号内各项时，于$\ddot{x}=Ae^{-t}(-1+t-1)$的括号表达式下方画出一个大括号。

1. 简化后的结果被讨论，但在片段结束前未完整重写。

1. 公式$\ddot{x}=Ae^{-t}(-1+t-1)$

2. 括号下方的花括号标注

1. 在分组后的项下方添加一个花括号，以强调它们的组合关系。

1. 前置因子$Ae^{-t}$保留在分组表达式之外。

这种视觉分组突出了括号内各项应被合并，从而得到简化后的因子$t-2$。

1. 动画
   观察依据

   数码笔逐行书写代入后的方程，并将含 t 与不含 t 的项分别归类。

1. 黑色背景上的手写数学表达式。

1. 代数表达式的各行随讲话者叙述依次出现。

2. 各项在黑板上被分组并直观化简。

1. 原始微分方程与试探解始终显示在屏幕顶部。

视觉演进过程与将试探解代入常微分方程、合并同类项以求解 A 的代数步骤相对应。

1. 动画
   观察依据

   讲话者在黑板底部写下“$X_p(t) = 2$te^{-t}”。

1. 最终方程 $X_p(t) = 2$te^{-t}。

1. 将 $A=2$代入试探解的一般形式，从而得到具体的特解。

1. 试探解 x = Ate^{-t} 的结构保持不变，仅常数 A 被确定下来。

这一视觉呈现标志着推导结束，给出了特解的显式公式。

1. 图示
   观察依据

   黑底手写数学公式。

1. 微分方程

2. 代数代入步骤

3. 最终的特解

1. 文字在整个4秒片段中保持静止。

画面呈现了使用待定系数法求解特解的最终代数步骤。

1. 声音
   观察依据

   讲解者指出，难点在于$e^{-t}$是齐次方程的一个解，因此试探特解必须乘以$t$。

2. 图示
   观察依据

   从 $2e^{-t}$ 到 $e^{-t}$ 项的箭头在 $x_h(t)$ 中直观地标出了重叠部分。

由于等式右端与 $Ae^{-t}$ 成正比，人们可能会直接尝试形如 $e^{-t}$ 的特解。

视频表明，在共振情形下该尝试失败，因为$e^{-t}$本身已属于齐次解，故正确的试探解应为$Ate^{-t}$。

1. 公式
   观察依据

   视频明确使用 x = Ate^{-t} 而非 x = Ae^{-t} 作为特解形式。

当激励项 $e^{-t}$ 已是齐次解的一部分时，学生可能错误地猜测特解为 x = Ae^{-t}。

当发生共振（激励项的指数与特征方程的某个根重合）时，试探解必须乘以 t，以确保其与齐次解线性无关。

1. 公式
   观察依据

   板书内容从非齐次常微分方程过渡到‘齐次方程：尝试 $x=e$^{rt}’。

特解的讨论需首先理解对应的齐次方程及其特征根。

1. 公式
   观察依据

   因式分解$(r+2)(r+1)=0$之后，给出显示的解$x_h(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{-t}$。

齐次解直接由特征方程法求得的根导出。

1. 图示
   观察依据

   箭头将激励项$2e^{-t}$与齐次解的$e^{-t}$分量相连。

2. 声音
   观察依据

   主讲人解释：这种重叠迫使我们在特解试探函数中乘以$t$。

认识到$e^{-t}$是一种齐次模态，正是这一认识促使我们采用共振试探形式$Ate^{-t}$。

1. 公式
   观察依据

   写出$x=Ate^{-t}$后，黑板依次计算出$\dot{x}$和$\ddot{x}$。

所选试探解随后被求导，以便代入微分方程。

1. 公式
   观察依据

   二阶导数由先前写出的一阶导数$Ae^{-t}(1-t)$计算得出。

二阶导数的计算直接依赖于已求得的一阶导数。

1. 声音
   观察依据

   主讲人从陈述试探解过渡到说‘因此我们将它代入微分方程’。

所选的试探解形式直接用于代入步骤，以计算常微分方程左端的表达式。

1. 声音
   观察依据

   主讲人在写出代入后的表达式后，立即说‘因此我们合并各项’。

代入后得到的复杂表达式必须合并并化简，以分离出待定系数。

1. 公式
   观察依据

   该方法被直接应用于屏幕上显示的常微分方程。

待定系数法是用于求解所展示的特定二阶线性非齐次常微分方程的技术。

1. 声音
   观察依据

   主讲人明确指出：难点在于$e^{-t}$是齐次方程的解，因此右边必须乘以$t$。

2. 图示
   观察依据

   箭头标注将激励项与齐次模态关联起来。

1. 齐次解与激励项之间的重叠
2. 针对共振情形调整后的特解试探形式
3. 对于共振强迫情形，不可直接使用未经修正的试探解形式

1. 公式
   观察依据

   黑板上先显示$r^2+3r+2=0\Rightarrow(r+2)(r+1)=0$，然后显示$x_h(t)=c_1e^{-2t}+c_2e^{-t}$。

1. 求解齐次常微分方程的特征方程法。
2. 齐次解与激励项之间的重叠

1. 公式
   观察依据

   黑板上显示$\dot{x}=Ae^{-t}(1-t)$和$\ddot{x}=Ae^{-t}(-1+t-1)$。

2. 声音
   观察依据

   说话人用语言口头应用了两次乘积法则。

1. 二阶导数的最终化简在片段结束前未完全写出。

1. 共振试探解的一阶导数
2. 共振试探解的二阶导数

1. 公式
   观察依据

   该片段在计算完导数后即结束，尚未将导数代入常微分方程。

1. 本片段中未给出A的值。

1. 共振试探解的二阶导数
2. 例题：为$\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$设置特解。