常微分方程 $\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$ 的最终特解是什么？

特解使用 $Ate^{-t}$ 是因为强迫项 $e^{-t}$ 已经是相关齐次方程的解。在待定系数法中，如果强迫函数与齐次解重叠（共振），标准猜测必须乘以 $t$ 以确保线性无关。

适用条件：常微分方程是线性的且具有常系数。；强迫项包含 $e^{-t}$。；$r=-1$ 是齐次特征方程的根。

将试探解 $x=Ate^{-t}$ 及其导数代入常微分方程，提取公因式 $e^{-t}$，并按 $t$ 的幂次合并同类项。将剩余的常数项与右边相等，得到 $A=2$。

适用条件：试探解为 $x=Ate^{-t}$。；常微分方程为 $\ddot{x}+3\dot{x}+2x=2e^{-t}$。；$e^{-t}$ 永远不为零，允许从两边消去。

一阶导数是 $\dot{x}=Ae^{-t}(1-t)$，二阶导数是 $\ddot{x}=Ae^{-t}(t-2)$。这些是通过对试探解 $x=Ate^{-t}$ 连续应用乘积法则计算得出的。

适用条件：试探解为 $x=Ate^{-t}$。；求导是关于 $t$ 的。；对 $t$ 和 $e^{-t}$ 应用乘积法则。

第一段在计算完共振试探解 $x=Ate^{-t}$ 的一阶和二阶导数后停止。它尚未将这些导数代回微分方程或求解未知系数 $A$。

适用条件：该片段涵盖了齐次解的设置和共振试探解。；导数 $\dot{x}$ 和 $\ddot{x}$ 已计算但未代入。