← 全部问题共振试探解 Ate−t 的一阶和二阶导数是什么？
一阶导数是
x˙=Ae−t(1−t)，二阶导数是
x¨=Ae−t(t−2)。这些是通过对试探解
x=Ate−t 连续应用乘积法则计算得出的。
适用条件
- 试探解为 x=Ate−t。
- 求导是关于 t 的。
- 对 t 和 e−t 应用乘积法则。
理解与推导
- 从试探解 x=Ate−t 开始。
- 应用乘积法则求一阶导数：x˙=A(1)e−t+At(−e−t)=Ae−t(1−t)。
- 再次对 x˙=Ae−t(1−t) 应用乘积法则求二阶导数：x¨=A(−e−t)(1−t)+Ae−t(−1)。
- 简化二阶导数：x¨=Ae−t(−1+t−1)=Ae−t(t−2)。
例子
演讲者口头应用了乘积法则：“第一个的导数乘以第二个，加上第一个乘以第二个的导数”。黑板上显示 x˙=Ae−t(1−t) 和 x¨=Ae−t(−1+t−1)。
容易误解的地方
- 在对 e−t 求导时忘记负号。
- 未能正确简化二阶导数中的项，将其保留为 Ae−t(−1+t−1) 而没有合并常数。
相关问题
理解原因↗ 特解使用 Ate−t 是因为强迫项 e−t 已经是相关齐次方程的解。在待定系数法中，如果强迫函数与齐次解重叠（共振），标准猜测必须乘以 t 以确保线性无关。
适用条件：常微分方程是线性的且具有常系数。；强迫项包含 e−t。；r=−1 是齐次特征方程的根。
掌握方法↗ 将试探解 x=Ate−t 及其导数代入常微分方程，提取公因式 e−t，并按 t 的幂次合并同类项。将剩余的常数项与右边相等，得到 A=2。
适用条件：试探解为 x=Ate−t。；常微分方程为 x¨+3x˙+2x=2e−t。；e−t 永远不为零，允许从两边消去。
认识概念↗ 最终特解是 Xp(t)=2te−t。这是通过将解出的系数 A=2 代回共振试探解 x=Ate−t 获得的。
适用条件：常微分方程为 x¨+3x˙+2x=2e−t。；系数 A 已被确定为 2。；试探解形式为 x=Ate−t。
判断用途↗ 第一段在计算完共振试探解 x=Ate−t 的一阶和二阶导数后停止。它尚未将这些导数代回微分方程或求解未知系数 A。
适用条件：该片段涵盖了齐次解的设置和共振试探解。；导数 x˙ 和 x¨ 已计算但未代入。
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